Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(B) બોહરના ક્વોન્ટાઇઝેશનના પૂર્વધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે,વેગ $v = \frac{h}{2\pi mr}$ થાય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_c = \frac{(\frac{h}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^3}$.
અહીં $4\pi^2$ અચળાંક હોવાથી,$a_c \propto \frac{h^2}{m^2 r^3}$ મળે છે.

(D) દ-બ્રોગ્લીની પરિકલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
બોહરના કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટમીકરણના અધિતર્ક મુજબ,$L = mvr_n = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આ સમીકરણને વેગમાન $mv$ માટે ગોઠવતા,આપણને $mv = \frac{nh}{2\pi r_n}$ મળે છે.
$mv$ ની આ કિંમતને દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{(nh / 2\pi r_n)} = \frac{2\pi r_n}{n}$.
આમ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\frac{2\pi r}{n}$ થાય છે.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના મોડેલમાં,વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ અને ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ છે.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ મળે છે.
તેથી,$3^{\text{rd}}$ કક્ષા $(n_1 = 3)$ અને $5^{\text{th}}$ કક્ષા $(n_2 = 5)$ માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$ થાય.

(D) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{h}{2 \pi}$ છે.
આના પરથી,વેગ $v = \frac{h}{2 \pi mR}$ મળે છે.
કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi R}{v} = \frac{2 \pi R}{h / (2 \pi mR)} = \frac{4 \pi^2 mR^2}{h}$ છે.
ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે મળતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{4 \pi^2 mR^2 / h} = \frac{eh}{4 \pi^2 mR^2}$ છે.
કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi R^2$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,$M = \left( \frac{eh}{4 \pi^2 mR^2} \right) \times (\pi R^2) = \frac{eh}{4 \pi m}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિને કારણે ઉદ્ભવતો ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_0$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $M_0 = \frac{e}{2m_e} L_0$,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$m_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,અને $L_0$ એ કક્ષીય કોણીય વેગમાન છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કક્ષીય કોણીય વેગમાન $L_0 = \frac{nh}{2\pi}$ છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ કિંમતને ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $M_0 = \frac{e}{2m_e} \times \frac{nh}{2\pi}$.
અહીં $e$,$m_e$,$h$,અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $M_0 \propto n$.

(D) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto \frac{1}{n}$ છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમાણસરતા મૂકતા,આપણને $f \propto \frac{(1/n)}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ મળે છે.
તેથી,પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $n^3$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = \frac{v_0}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ એ અચળાંક છે.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{L}{v}$ શોધવાની જરૂર છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{L}{v} = \frac{nh/2\pi}{v_0/n}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{L}{v} = \frac{h}{2\pi v_0} \cdot n^2$ મળે છે.
અહીં $h$,$\pi$ અને $v_0$ અચળાંકો હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{L}{v}$ એ $n^2$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$,જ્યાં $v$ એ વેગ છે અને $T$ એ આવર્તકાળ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
બોહરના મોડેલ મુજબ,ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ અને વેગ $v \propto n^{-1}$ છે.
આ પ્રમાણસરતા મૂકતા: $B \propto \frac{v}{r^2} \propto \frac{n^{-1}}{(n^2)^2} = \frac{n^{-1}}{n^4} = n^{-5}$.
તેથી,કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $n^{-5}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય વેગ $v_n = \frac{v_1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_1$ એ ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં વેગ છે.
આપેલ છે કે નવો વેગ $v_n = \frac{1}{3} v_1$ છે,તેથી $\frac{v_1}{n} = \frac{v_1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 r_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા,આપણને $r_3 = (3)^2 r_1 = 9 r_1$ મળે છે.
તેથી,તે કક્ષાની ત્રિજ્યા $9 r_1$ છે.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = n \frac{h}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$,તેથી $L = 2 \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{\pi}$.
દ્વિપરમાણ્વીય અણુની પરિભ્રમણ ઉર્જા $E = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $E = \frac{(\frac{h}{\pi})^2}{2I} = \frac{h^2}{\pi^2 \cdot 2I} = \frac{h^2}{2 I \pi^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કક્ષીય કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષીય ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = \frac{e}{2m} L$ છે.
$L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$ મળે છે.
અહીં $e$,$m$,$h$ અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી,$\mu \propto n$ થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) બોહરના મોડેલ મુજબ, હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 r_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $r_1$ એ સૌથી અંદરની કક્ષા (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ) ની ત્રિજ્યા છે।
આપેલ છે કે $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \ m = 0.53 \ Å$.
ચોથી કક્ષા માટે, $n = 4$.
તેથી, $r_4 = (4)^2 \times r_1 = 16 \times 0.53 \ Å$.
$r_4 = 8.48 \ Å$.

(D) બોહર મોડેલમાં,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ $P.E. = -\frac{kZe^2}{r_n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $r_n \propto n^2$,તેથી $P.E. \propto -\frac{1}{n^2}$ થાય છે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ ઋણ સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય ઘટે છે,એટલે કે તે ઓછું ઋણ બને છે (એટલે કે તે વધે છે).
$n=1$ માટે,$P.E. = -27.2 \text{ eV}$.
$n=2$ માટે,$P.E. = -6.8 \text{ eV}$.
કારણ કે $-6.8 \text{ eV} > -27.2 \text{ eV}$,તેથી $n=2$ કક્ષામાં સ્થિતિઊર્જા $n=1$ કક્ષા કરતા વધારે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલું વિધાન ખોટું છે.

(D) બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2 \pi}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $L = I \omega$,તેથી $I \omega = \frac{nh}{2 \pi}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{nh}{2 \pi I}$.
પરિભ્રમણ ગતિ ઉર્જા $E_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $E_r = \frac{1}{2} I \left(\frac{nh}{2 \pi I}\right)^2$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$E_r = \frac{1}{2} I \left(\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 I^2}\right) = \frac{n^2 h^2}{8 \pi^2 I}$.

(C) $n^{\text{મી}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 r_0$ છે,જ્યાં $r_0$ એ પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $(n=1)$ છે.
પ્રથમ બોહર કક્ષા $(n=1)$ માટે,$r_1 = 1^2 r_0 = r_0$.
બીજી બોહર કક્ષા $(n=2)$ માટે,$r_2 = 2^2 r_0 = 4 r_0$.
પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા અને બીજી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{r_0}{4 r_0} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h n}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વેગ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $V_n \propto \frac{1}{n}$.
તેથી,$p^{\text{th}}$ અને $n^{\text{th}}$ કક્ષા માટે,આપણને ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{V_p}{V_n} = \frac{1/p}{1/n} = \frac{n}{p}$.
આમ,$V_p : V_n$ નો ગુણોત્તર $n : p$ છે.

(C) બોહર મોડેલમાં,ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન) અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના સ્થિત વિદ્યુત કુલંબ આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સંતુલન માટેની શરત છે:
$\text{કેન્દ્રગામી બળ} = \text{કુલંબ બળ}$
$\frac{mv^2}{r_0} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e \cdot e}{r_0^2}$
$v^2$ માટે સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_0 m}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$v = \sqrt{\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}} = \frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}}$
આમ,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $\frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}}$ છે.

(B) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
આ સૂચવે છે કે $L \propto n$.
ત્રીજી બોહર કક્ષા $(n_1 = 3)$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_1 = l$ છે.
ચોથી બોહર કક્ષા $(n_2 = 4)$ માટે,ધારો કે કોણીય વેગમાન $L_2 = L'$ છે.
પ્રમાણસરતા $L \propto n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{n_1}{n_2}$
$\frac{l}{L'} = \frac{3}{4}$
$L' = \frac{4}{3} l$

(C) $n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ઝડપ $v_n \propto \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક અવસ્થા ધરા-સ્થિતિ $(n_1 = 1)$ છે જેની ઝડપ $v_1$ છે,અને અંતિમ ઝડપ $v_2 = \frac{v_1}{3}$ છે.
સંબંધ $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{v_1}{v_1/3} = \frac{n_2}{1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n_2 = 3$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{r_2}{r_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 9$.
આમ,ઉત્તેજિત અવસ્થામાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2 = 9 r_1$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A_n = \pi r_n^2$ હોવાથી,$A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ થાય.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે અને બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(A_3)$ અને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(A_2)$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_3}{A_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$ થાય.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
અહીં $E \propto \frac{Z^2}{n^2}$ હોવાથી,આપણે બંને કિસ્સાઓ માટે ગુણોત્તર લખી શકીએ.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z_H = 1)$ માટે બીજી કક્ષા $(n_H = 2)$: $E_H = E \propto \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.
હિલિયમ પરમાણુ $(Z_{He} = 2)$ માટે ત્રીજી કક્ષા $(n_{He} = 3)$: $E_{He} \propto \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
હવે,ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_{He}}{E_H} = \frac{4/9}{1/4} = \frac{4}{9} \times 4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E_{He} = \frac{16}{9} E$.

(B) ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ એ $\frac{1}{n}$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(v \propto \frac{1}{n})$.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ $n^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(r \propto n^2)$.
આ સંબંધોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F \propto \frac{v^2}{r}$
$F \propto \frac{(1/n)^2}{n^2}$
$F \propto \frac{1/n^2}{n^2}$
$F \propto \frac{1}{n^4}$ અથવા $F \propto n^{-4}$.

(B) $n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{Ze^2}{2 \varepsilon_0 nh}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે વેગ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v_n \propto \frac{1}{n}$.
પ્રથમ કક્ષા માટે $n_1 = 1$ અને બીજી કક્ષા માટે $n_2 = 2$ છે.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{2}{1}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ગતિ કરતા $m$ દળ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$-મી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$
બીજી બોહર કક્ષા માટે,$n = 2$. સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા:
$r_2 = \frac{\varepsilon_0 h^2 (2)^2}{\pi m e^2} = \frac{4 \varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$
હવે,બીજી કક્ષા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ની ગણતરી કરીએ:
$I = m \times (r_2)^2$
$I = m \times \left( \frac{4 \varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \right)^2$
$I = m \times \frac{16 \varepsilon_0^2 h^4}{\pi^2 m^2 e^4}$
$I = \frac{16 \varepsilon_0^2 h^4}{\pi^2 m e^4}$

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta L = L_2 - L_1$.
અહીં,$n_1 = 4$ અને $n_2 = 5$ છે.
$\Delta L = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi} (n_2 - n_1)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} (5 - 4)$.
$\Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.28} \approx 1.055 \times 10^{-34} \text{ J s}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ફેરફાર આશરે $1 \times 10^{-34} \text{ J s}$ છે.

(D) ખ્યાલ: બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા.
બોહરના મોડેલમાં, $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r_n = a_0 \cdot \frac{n^2}{Z}$
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
તેથી, $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ થાય.
સૌથી નાની કક્ષા (ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ) માટે, $n = 1$, તેથી $r_1 = a_0 (1)^2 = a_0$.
ત્રીજી કક્ષા માટે, $n = 3$, તેથી ત્રિજ્યા:
$r_3 = a_0 (3)^2 = 9 a_0$ થાય.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ઓર્બિટલ ચુંબકીય મોમેન્ટને $m_{orb} = iA$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $i = \frac{e}{T}$ એ પ્રવાહ છે,$A = \pi r^2$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $T$ એ ઇલેક્ટ્રોનના પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
$i$ અને $A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $m_{orb} = e \left( \frac{\pi r^2}{T} \right) \dots (1)$ મળે છે.
કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi} \dots (2)$.
વળી,સમયગાળો $T$ એ વેગ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r}{T} = \frac{v}{2\pi}$.
આને $m_{orb}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $m_{orb} = e \pi r \left( \frac{r}{T} \right) = e \pi r \left( \frac{v}{2\pi} \right) = \frac{evr}{2}$ મળે છે.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$vr = \frac{nh}{2\pi m}$.
આને $m_{orb}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $m_{orb} = \frac{e}{2} \left( \frac{nh}{2\pi m} \right) = n \left( \frac{eh}{4\pi m} \right)$ મળે છે.
અહીં $e, h, \pi,$ અને $m$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $m_{orb} \propto n$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,સ્થિત-વિદ્યુત બળ ઇલેક્ટ્રોનને $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{e^2}{r^2}$
બંને બાજુ $\frac{r}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{e^2}{2 r}$
ગતિઊર્જા $K$ ને $\frac{1}{2} m v^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી:
$K = \frac{e^2}{2 r}$
આમ,ગતિઊર્જા $\frac{e^2}{2 r}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) કેન્દ્રગામી બળ એ સ્થિત-વિદ્યુત બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} \implies mv^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$. ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$mvr = \frac{h}{2\pi} \implies v = \frac{h}{2\pi mr}$.
બળના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $m(\frac{h}{2\pi mr})^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \implies \frac{h^2}{4\pi^2 mr^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \implies r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$.
ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ છે.
$v = \frac{h}{2\pi mr}$ અને $r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 e}{4\pi r^2} \cdot \frac{h}{2\pi mr} = \frac{\mu_0 e h}{8\pi^2 m r^3}$.
$r^3 = (\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2})^3 = \frac{\varepsilon_0^3 h^6}{\pi^3 m^3 e^6}$ મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 e h}{8\pi^2 m} \cdot \frac{\pi^3 m^3 e^6}{\varepsilon_0^3 h^6} = \frac{\mu_0 e^7 \pi m^2}{8 \varepsilon_0^3 h^5}$.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $E \propto \frac{1}{n^2}$.
$n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $L \propto n$.
સંબંધ $L \propto n$ પરથી,આપણને મળે છે $n \propto L$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સંબંધમાં મૂકતા: $E \propto \frac{1}{n^2} \implies E \propto \frac{1}{L^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે $\sqrt{E} \propto \frac{1}{L}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $L \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ મળે છે.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના મોડેલમાં,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ અને ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ હોય છે.
આ પ્રમાણસરતાને પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ મળે છે.
તેથી,$3^{\text{rd}}$ કક્ષા $(n_1 = 3)$ અને $5^{\text{th}}$ કક્ષા $(n_2 = 5)$ માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{5^4}{3^4}$ થાય.
કિંમતોની ગણતરી કરતા,આપણને $\frac{625}{81}$ મળે છે.

(A) $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T_n = \frac{2 \pi r_n}{v_n}$ છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \left(\frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2}\right) n^2$ છે (જ્યાં $Z=1$ છે).
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \left(\frac{e^2}{2 h \varepsilon_0}\right) \frac{1}{n}$ છે.
આ કિંમતોને $T_n$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T_n = 2 \pi \left(\frac{h^2 \varepsilon_0 n^2}{\pi m e^2}\right) \div \left(\frac{e^2}{2 h \varepsilon_0 n}\right)$
$T_n = 2 \pi \left(\frac{h^2 \varepsilon_0 n^2}{\pi m e^2}\right) \times \left(\frac{2 h \varepsilon_0 n}{e^2}\right)$
$T_n = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m e^4}$.

(B) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ અને કોણીય વેગમાન $L$ નો ગુણોત્તર છે.
$\text{ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર} = \frac{\mu}{L} = \frac{iA}{mvr}$
બોહર મોડેલનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ $i = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2 \pi}$ અને ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr = mr(r \omega) = mr^2 \omega$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\mu}{L} = \frac{(\frac{e \omega}{2 \pi})(\pi r^2)}{mr^2 \omega} = \frac{e}{2m}$
અહીં $e$ અને $m$ અચળ હોવાથી,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષા $n$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ અને ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ છે.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
તેથી,$3^{\text{rd}}$ અને $5^{\text{th}}$ કક્ષા માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{a_3}{a_5} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$ થાય છે.

(B) પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{kZe^2}{2r_n}$ છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = -\frac{kZe^2}{2r_n}$ છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $K = -E$.
તેથી,ગતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{E} = \frac{-E}{E} = -1$ થાય.
આને $1:-1$ ના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલમાં,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E$ એ $E \propto \frac{1}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના ક્વોન્ટાઇઝેશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $L \propto n$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $n \propto L$ મૂકતા,આપણને $E \propto \frac{1}{L^2}$ મળે છે.
તેથી,$E \propto L^{-2}$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $mv = \frac{nh}{2\pi r}$.
આ કિંમતને તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
આમ,$\lambda_n = \frac{2\pi (a_0 n^2)}{n} = 2\pi a_0 n$.
તેથી,પ્રથમ $(n=1)$ અને બીજી $(n=2)$ કક્ષા માટે તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2\pi a_0 (1)}{2\pi a_0 (2)} = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની બોહર કક્ષામાં ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે:
ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ $K = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{2r} = \frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ $P = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K.E.$ અને $P.E.$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{K}{P} = \frac{\frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}}{-\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r}} = -\frac{4 \pi \epsilon_{0} r}{8 \pi \epsilon_{0} r} = -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.53 \text{ Å} = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m}$.
સમયગાળો $T = 1.571 \times 10^{-16} \text{ s}$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v$ સૂત્ર $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2 \pi r}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2 \times 3.142 \times 0.53 \times 10^{-10}}{1.571 \times 10^{-16}}$.
કારણ કે $2 \times 3.142 = 6.284$,તેથી $v = \frac{6.284 \times 0.53 \times 10^{-10}}{1.571 \times 10^{-16}}$.
અહીં $\frac{6.284}{1.571} = 4$ થાય છે.
તેથી,$v = 4 \times 0.53 \times 10^{6} \text{ m/s}$.
$v = 2.12 \times 10^{6} \text{ m/s}$.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L_{n} = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$L_{n} \propto n$,જેનો અર્થ છે કે $n \propto L_{n}$.
ઉર્જાના સંબંધમાં $n \propto L_{n}$ મૂકતા,આપણને $E_{n} \propto \frac{1}{L_{n}^{2}}$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $E_{n} \propto \frac{1}{L_{n}^{2}}$ છે.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
બીજી કક્ષા માટે,$n = 2$,તેથી $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ થાય.
પરિભ્રમણ ગતિ ઉર્જા $E = \frac{L^{2}}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{(h/\pi)^{2}}{2I} = \frac{h^{2}}{2I\pi^{2}}$ મળે છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના મોડેલ પરથી,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ છે.
આ પ્રમાણભૂત સંબંધોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1/n^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
તેથી,બળ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક સાથે $F \propto n^{-4}$ મુજબ સંબંધિત છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $(v)$ $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી વેગ $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h}$ થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોનના વેગ $(v)$ અને પ્રકાશના વેગ $(c)$ નો ગુણોત્તર $\frac{v}{c} = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h c}$ થાય છે.

(B) કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \frac{n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}}$ છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ છે.
આ કિંમતોને $T$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi \left( \frac{n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{\pi m e^{2}} \right)}{\left( \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h} \right)}$
$T = \frac{2 n^{2} h^{2} \epsilon_{0}}{m e^{2}} \times \frac{2 \epsilon_{0} n h}{e^{2}}$
$T = \frac{4 \epsilon_{0}^{2} n^{3} h^{3}}{m e^{4}}$.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ, હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 n^2$ છે, જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે。
આ સૂચવે છે કે ત્રિજ્યા $r$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંકના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $r \propto n^2$.
પ્રથમ ચાર કક્ષાઓ $(n = 1, 2, 3, 4)$ માટે, ત્રિજ્યાઓ $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$ ના પ્રમાણમાં હશે。
આ કિંમતોની ગણતરી કરતા, આપણને $1: 4: 9: 16$ મળે છે。
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે。

(C) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ સંબંધ $2\pi r = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે.
આ કિંમતને ડી-બ્રોગ્લી સંબંધમાં મૂકતા: $2\pi (k n^2) = n\lambda$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\lambda \propto n$ મળે છે.
ધરા અવસ્થા $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 1 + 3 = 4$ ને અનુરૂપ છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ $1$ થી વધીને $4$ થાય છે,તેમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માં વધારો થશે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v_n = \frac{v_1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_1$ એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં ઝડપ છે.
આપેલ છે કે,$v_1 = 2.2 \times 10^6 \ m/s$.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા એટલે $n = 4$ (કારણ કે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n=1$ છે,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ છે,બીજી $n=3$ છે,અને ત્રીજી $n=4$ છે).
સંબંધ $v_n = \frac{v_1}{n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v_4 = \frac{v_1}{4} = \frac{2.2 \times 10^6 \ m/s}{4}$.
$v_4 = 0.55 \times 10^6 \ m/s = 5.5 \times 10^5 \ m/s$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના અભિધારણાઓ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ ચોક્કસ કક્ષાઓમાં પરિભ્રમણ કરે છે જેને સ્થાયી કક્ષાઓ કહેવામાં આવે છે.
આ સ્થાયી કક્ષાઓમાં,ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતું નથી,ભલે તે તેની વર્તુળાકાર ગતિને કારણે પ્રવેગિત હોય (તેનો વેગ સદિશ સતત બદલાતો રહે છે).
તેથી,સ્થાયી કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતી વખતે ઇલેક્ટ્રોન પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરતું નથી.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
આમ,$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ હોવાથી,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ કક્ષાઓ વચ્ચેના ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ મેળવવા માટે,ઉર્જા તફાવત $\Delta E$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક વધવાની સાથે ક્રમિક કક્ષાઓ વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત ઘટતો જાય છે.
ઉર્જાના તફાવતોની સરખામણી કરતા: $(E_5 - E_4) < (E_4 - E_3) < (E_3 - E_2) < (E_2 - E_1)$.
તેથી,$n=5$ થી $p=4$ ના સંક્રમણ માટે ઉર્જા તફાવત સૌથી ઓછો હોવાથી તરંગલંબાઇ મહત્તમ હશે.

(A) વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
અહીં,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,જે $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ છે,જ્યાં $v$ એ કક્ષીય વેગ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$r \propto n^2$ અને $v \propto \frac{1}{n}$ છે.
આ કિંમતોને પ્રવાહના સૂત્રમાં મૂકતા: $I \propto \frac{(1/n)}{n^2} = n^{-3}$.
હવે,$I$ અને $r$ ની કિંમતોને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $B \propto \frac{I}{r} \propto \frac{n^{-3}}{n^2} = n^{-5}$.
તેથી,કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $n^{-5}$ ના પ્રમાણમાં છે.