यदि u = x{y^2}{tan ^{ - 1}}left( {frac{y}{x}} | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $u(x, y) = x{y^2}{	an ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} ight)$ है।समघातता (homogeneity) की जाँच करने के लिए,हम $x$ को $tx$ और $y$ को $t

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$3u$

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(C) दिया गया फलन $u(x, y) = x{y^2}{	an ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} ight)$ है।समघातता (homogeneity) की जाँच करने के लिए,हम $x$ को $tx$ और $y$ को $ty$ से प्रतिस्थापित करते हैं:$u(tx, ty) = (tx)(ty)^2 	an^{-1}\left(\frac{ty}{tx}ight)$$u(tx, ty) = t^3 x y^2 	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight)$$u(tx, ty) = t^3 u(x, y)$.चूँकि फलन $n = 3$ घात का एक समघात फलन है,यूलर प्रमेय (Euler's Theorem) के अनुसार:$x{u_x} + y{u_y} = n u$$x{u_x} + y{u_y} = 3u$.

यदि $u = x{y^2}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)$ है,तो $x{u_x} + y{u_y} = $

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यदि $u = e^{-x^2 - y^2}$ है,तो

यदि $f(x, y) = \frac{\cos(x - 4y)}{\cos(x + 4y)}$ है,तो $\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{y = \frac{x}{4}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि ${z^2} = \frac{{x^{1/2} + y^{1/2}}}{{x^{1/3} + y^{1/3}}}$ है,तो $x\frac{{\partial z}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = $

यदि $u = \tan^{-1}\left(\frac{x^3 + y^3}{x - y}\right)$ है,तो $x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = $

यदि $u = x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ है,तो $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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