Logarithmic Differentiation Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $h(x) = x^{x^x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log h(x) = x^x \log x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = x^x(1 + \log x) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1 + \log x) \log x + x^{x-1}$.
$x = 1$ આગળ,$h(1) = 1^{1^1} = 1$,તેથી $\log h(1) = \log 1 = 0$.
$x = 1$ ની કિંમત $\frac{h'(x)}{h(x)}$ ના પદમાં મૂકતા:
$\frac{h'(1)}{h(1)} = 1^1(1 + \log 1) \log 1 + 1^{1-1} = 1(1 + 0)(0) + 1^0 = 0 + 1 = 1$.
ચૂકવણી મુજબ $\log h(1) = 0$ હોવાથી,$1 + \log h(1) = 1 + 0 = 1$.
આમ,$x = 1$ આગળ,$\frac{h'(x)}{h(x)} = 1 + \log h(x)$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $y = f(x)^{g(x)}$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log y = g(x) \log f(x)$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = g'(x) \log f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}$ મળે છે.
આમ,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{g(x)}{f(x)} f'(x) + \log f(x) g'(x) \right]$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y[H(x)f'(x) + G(x)g'(x)]$ સાથે સરખાવતા,$H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ અને $G(x) = \log f(x)$ મળે છે.
હવે,આપણે સંકલન $I = \int \frac{G(x)H(x)f'(x)}{g(x)} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,$I = \int \frac{\log f(x) \cdot \frac{g(x)}{f(x)} \cdot f'(x)}{g(x)} dx = \int \frac{\log f(x) f'(x)}{f(x)} dx$.
ધારો કે $u = \log f(x)$,તો $du = \frac{f'(x)}{f(x)} dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int u du = \frac{u^2}{2} + c = \frac{[\log f(x)]^2}{2} + c$.

(B) ધારો કે $y = \frac{x \cdot 2^x-x}{1-\cos x}$. તો આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y(f(x) + \log 2)$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = f(x) + \log 2$,અથવા $\frac{d}{dx}(\ln |y|) = f(x) + \log 2$.
આમ,$f(x) = \frac{d}{dx}(\ln |y|) - \log 2$.
કારણ કે $y = \frac{x(2^x-1)}{1-\cos x}$,આપણી પાસે $\ln |y| = \ln |x| + \ln |2^x-1| - \ln |1-\cos x|$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\ln |y|) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2^x-1} \cdot (2^x \log 2) - \frac{\sin x}{1-\cos x}$.
આને $f(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2^x \log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x} - \log 2$.
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2^x \log 2 - (2^x-1) \log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x}$.
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2^x \log 2 - 2^x \log 2 + \log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x}$.
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{\log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=\frac{\cos ^2 x}{1+\sin ^2 x}$.
સૌ પ્રથમ,$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos ^2(\pi/4)}{1+\sin ^2(\pi/4)}=\frac{(1/\sqrt{2})^2}{1+(1/\sqrt{2})^2}=\frac{1/2}{1+1/2}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$.
હવે,લઘુગણકીય વિકલનનો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું વિકલન કરો:
$\ln(f(x)) = 2\ln(\cos x) - \ln(1+\sin^2 x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 2\left(\frac{-\sin x}{\cos x}\right) - \frac{2\sin x \cos x}{1+\sin^2 x} = -2\tan x - \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે:
$\frac{f'(\pi/4)}{f(\pi/4)} = -2\tan(\pi/4) - \frac{\sin(\pi/2)}{1+\sin^2(\pi/4)} = -2(1) - \frac{1}{1+1/2} = -2 - \frac{1}{3/2} = -2 - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$.
કારણ કે $f(\pi/4) = 1/3$,તેથી $f'(\pi/4) = -\frac{8}{3} \times \frac{1}{3} = -\frac{8}{9}$.
અંતે,$f(\pi/4) - 3f'(\pi/4)$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{1}{3} - 3\left(-\frac{8}{9}\right) = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

(D) આપેલ છે $y=(\sin x)^{x^2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log y = x^2 \log(\sin x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x)) + \log(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x + \log(\sin x) \cdot 2x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cot x + 2x \log(\sin x)$.
$y$ વડે ગુણતા:
$\frac{dy}{dx} = y \cdot (x^2 \cot x + 2x \log(\sin x))$.
$y = (\sin x)^{x^2}$ મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{x^2} (x^2 \cot x + 2x \log(\sin x))$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = x^2 (\sin x)^{x^2} \frac{\cos x}{\sin x} + 2x (\sin x)^{x^2} \log(\sin x)$.
$\frac{dy}{dx} = x^2 (\sin x)^{x^2-1} \cos x + 2x (\sin x)^{x^2} \log(\sin x)$.

(C) આપેલ છે કે $y=\frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$\log y = \log \left( \frac{(x+1)^2 (x-1)^{1/2}}{(x+4)^3 e^x} \right)$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\log y = 2 \log(x+1) + \frac{1}{2} \log(x-1) - 3 \log(x+4) - x \log e$
કારણ કે $\log e = 1$,તેથી:
$\log y = 2 \log(x+1) + \frac{1}{2} \log(x-1) - 3 \log(x+4) - x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1 \right]$
$y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x} \left[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1 \right]$

(C) આપેલ સમીકરણ: $y(\cos x)^{\sin x} = (\sin x)^{\sin x}$
બંને બાજુ $(\cos x)^{\sin x}$ વડે ભાગતા: $y = \frac{(\sin x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x}} = (\tan x)^{\sin x}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln y = \sin x \cdot \ln(\tan x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\tan x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$
બીજા પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y [\cos x \cdot \ln(\tan x) + \sec x]$
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$\tan x = 1$,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sec x = \sqrt{2}$,અને $y = (1)^{1/\sqrt{2}} = 1$
આ કિંમતો મૂકતા: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = 1 \cdot [\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \ln(1) + \sqrt{2}] = 1 \cdot [0 + \sqrt{2}] = \sqrt{2}$

(D) ધારો કે $y = u + v$,જ્યાં $u = x^{\log x}$ અને $v = (\log x)^x$ છે.
$u$ માટે બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log u = (\log x)(\log x) = (\log x)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \implies \frac{du}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$.
$x=e$ આગળ: $\frac{du}{dx} = e^{\log e} \cdot \frac{2 \log e}{e} = e^1 \cdot \frac{2}{e} = 2$.
હવે $v = (\log x)^x$ માટે: $\log v = x \log(\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log(\log x) + \frac{1}{\log x}$.
$\frac{dv}{dx} = (\log x)^x \left[ \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right]$.
$x=e$ આગળ: $\frac{dv}{dx} = (\log e)^e \left[ \log(\log e) + \frac{1}{\log e} \right] = 1^e [ \log(1) + 1 ] = 1 \cdot [0 + 1] = 1$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 2 + 1 = 3$.

(A) ધારો કે $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$,જ્યાં $f_1(x) = x^{\tan x}$ અને $f_2(x) = (\tan x)^x$.
$f_1(x) = x^{\tan x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log f_1 = \tan x \cdot \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{f_1} \frac{df_1}{dx} = \sec^2 x \cdot \log x + \tan x \cdot \frac{1}{x}$.
તેથી,$\frac{df_1}{dx} = x^{\tan x} \left( \sec^2 x \cdot \log x + \frac{\tan x}{x} \right)$.
$f_2(x) = (\tan x)^x$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log f_2 = x \cdot \log(\tan x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{f_2} \frac{df_2}{dx} = 1 \cdot \log(\tan x) + x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$.
તેથી,$\frac{df_2}{dx} = (\tan x)^x \left( \log(\tan x) + \frac{x \sec^2 x}{\tan x} \right)$.
હવે,$f^{\prime}(x) = \frac{df_1}{dx} + \frac{df_2}{dx}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$f_1^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\pi}{4}\right)^1 \left( (\sqrt{2})^2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{1}{\pi/4} \right) = \frac{\pi}{4} (2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{4}{\pi}) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1$.
$f_2^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = (1)^{\pi/4} \left( \log 1 + \frac{\pi/4 \cdot 2}{1} \right) = 1 \cdot (0 + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1 + \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{\pi}{2} (\log \frac{\pi}{4} + 1) = 1 + \frac{\pi}{2} \log \left( \frac{e \pi}{4} \right)$.

(D) આપેલ છે,$y=x^{\sqrt{x}}$.
બંને બાજુ $\ln$ લેતા,આપણને મળે $\ln y = \sqrt{x} \ln x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2 + \ln x}{2\sqrt{x}}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y(2 + \ln x)}{2\sqrt{x}}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^y = y^{\sin x} (\tan x)^{\cos x}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$y \log x = \sin x \log y + \cos x \log (\tan x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y \log x) = \frac{d}{dx}(\sin x \log y) + \frac{d}{dx}(\cos x \log \tan x)$
$\frac{dy}{dx} \log x + y \cdot \frac{1}{x} = (\cos x \log y + \sin x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}) + (-\sin x \log \tan x + \cos x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x)$
વિકલિત પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\cos x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$
$\left(\log x - \frac{\sin x}{y}\right) \frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\left(\log x - \frac{\sin x}{y}\right) \frac{dy}{dx} = \cos x \log y - \sin x \log (\tan x) + \operatorname{cosec} x - \frac{y}{x}$

(C) આપેલ છે કે $h(x) = x^{x^x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log h(x) = x^x \log x$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$ હોવાથી,
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = x^x(1 + \log x) \log x + x^{x-1}$
$x = 1$ મૂકતા:
$\frac{h^{\prime}(1)}{h(1)} = 1^1(1 + \log 1) \log 1 + 1^{1-1} = 1(1 + 0)(0) + 1 = 1$.
વિકલ્પ $C$ માં $x = 1$ મૂકતા $1 + \log h(1) = 1 + \log(1) = 1 + 0 = 1$ મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $1 + \log h(x)$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{\log_e x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln f(x) = \ln(e^{-x}) + \ln(\sin x) - \ln(\ln x) = -x + \ln(\sin x) - \ln(\ln x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x \ln x}$.
કારણ કે $f'(x) = f(x) \cdot g(x)$,તેથી $g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \cot x - \frac{1}{x \ln x}$.
$g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $g'(x) = -\operatorname{cosec}^2 x - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x \ln x} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x - \left( \frac{-(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x})}{(x \ln x)^2} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x + \frac{\ln x + 1}{x^2 (\ln x)^2}$.
$x = e$ મુકતા: $g'(e) = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{\ln e + 1}{e^2 (\ln e)^2} = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{1 + 1}{e^2 (1)^2} = 2e^{-2} - \operatorname{cosec}^2(e)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{(x+1) \sinh x}{e^{2x} \tan x} = (x+1) \sinh x e^{-2x} \cot x$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln|f(x)| = \ln|x+1| + \ln|\sinh x| - 2x + \ln|\cot x|$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}(\ln|x+1|) + \frac{d}{dx}(\ln|\sinh x|) + \frac{d}{dx}(-2x) + \frac{d}{dx}(\ln|\cot x|)$.
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x+1} + \frac{\cosh x}{\sinh x} - 2 + \frac{-\operatorname{cosec}^2 x}{\cot x}$.
કારણ કે $\frac{\cosh x}{\sinh x} = \operatorname{coth} x$ અને $\frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\cot x} = \frac{1}{\sin^2 x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \operatorname{cosec} 2x$.
તેથી,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x+1} + \operatorname{coth} x - 2 - 2 \operatorname{cosec} 2x$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{x+1} + \operatorname{coth} x + g(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g(x) = -2 - 2 \operatorname{cosec} 2x = -2(1 + \operatorname{cosec} 2x)$ મળે છે.