Higher order derivatives Questions in Hindi

(C) दिया गया फलन: $y = ae^x + be^{-x} + c$
$x$ के सापेक्ष पहली बार अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(ae^x + be^{-x} + c) = ae^x - be^{-x}$
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}(ae^x - be^{-x}) = ae^x + be^{-x}$
$x$ के सापेक्ष तीसरी बार अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime \prime} = \frac{d}{dx}(ae^x + be^{-x}) = ae^x - be^{-x}$
इस परिणाम की तुलना पहले अवकलज से करने पर,हम पाते हैं कि $y^{\prime \prime \prime} = y^{\prime}$.

(B) दिया गया है $y=a \cos (\log x)+b \sin (\log x)$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx} [a \cos (\log x)+b \sin (\log x)] = -a \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-a \sin (\log x) + b \cos (\log x)}{x}$।
अतः,$x y^{\prime} = -a \sin (\log x) + b \cos (\log x)$।
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (x y^{\prime}) = \frac{d}{dx} [-a \sin (\log x) + b \cos (\log x)]$।
बाईं ओर गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर: $x y^{\prime \prime} + y^{\prime} = -a \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -[a \cos (\log x) + b \sin (\log x)]$।
चूंकि $y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x)$,इसलिए:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -y$।

(C) दिया गया है,$f(x)=\frac{x-1}{e^x} \dots (i)$
भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{e^x(1) - (x-1)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(1 - x + 1)}{e^{2x}} = \frac{2-x}{e^x} \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ में $x=0$ रखने पर:
$f'(0) = \frac{2-0}{e^0} = 2 \dots (iii)$
अब,समीकरण $(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f''(x) = \frac{e^x(-1) - (2-x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(-1 - 2 + x)}{e^{2x}} = \frac{x-3}{e^x} \dots (iv)$
समीकरण $(iv)$ में $x=0$ रखने पर:
$f''(0) = \frac{0-3}{e^0} = -3 \dots (v)$
समीकरण $(iii)$ और $(v)$ को जोड़ने पर:
$f'(0) + f''(0) = 2 + (-3) = -1$

(A) दिया गया है $y = \sin ax + \cos bx$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = \frac{d}{dx}(\sin ax) + \frac{d}{dx}(\cos bx) = a \cos ax - b \sin bx$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः अवकलन करने पर:
$y'' = \frac{d}{dx}(a \cos ax - b \sin bx) = -a^2 \sin ax - b^2 \cos bx$।
अब,$y''$ और $y$ का मान $y'' + b^2 y$ में रखने पर:
$y'' + b^2 y = (-a^2 \sin ax - b^2 \cos bx) + b^2(\sin ax + \cos bx)$।
$y'' + b^2 y = -a^2 \sin ax - b^2 \cos bx + b^2 \sin ax + b^2 \cos bx$।
$y'' + b^2 y = (b^2 - a^2) \sin ax$।

(B) दिया गया है $y=e^{ax}(\cos bx+\sin bx)$।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx}=ae^{ax}(\cos bx+\sin bx)+e^{ax}(-b\sin bx+b\cos bx) = ay+be^{ax}(\cos bx-\sin bx)$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $be^{ax}(\cos bx-\sin bx) = \frac{dy}{dx}-ay$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + b[ae^{ax}(\cos bx-\sin bx) + e^{ax}(-b\sin bx-b\cos bx)]$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + a[be^{ax}(\cos bx-\sin bx)] - b^2e^{ax}(\sin bx+\cos bx)$।
$be^{ax}(\cos bx-\sin bx) = \frac{dy}{dx}-ay$ और $e^{ax}(\cos bx+\sin bx) = y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = a\frac{dy}{dx} + a(\frac{dy}{dx}-ay) - b^2y$।
$\frac{d^2y}{dx^2} - 2a\frac{dy}{dx} + (a^2+b^2)y = 0$।
$\frac{d^2y}{dx^2}-K\frac{dy}{dx}+Ly=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K=2a$ और $L=a^2+b^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$L+bK = a^2+b^2+b(2a) = a^2+b^2+2ab = (a+b)^2$।

(A) दिया गया है: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) = n \log \left(\frac{x}{n}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{1 - (y/b)^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = n \cdot \frac{n}{x} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{1}{\sqrt{(b^2 - y^2)/b^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$ $\Rightarrow -\frac{b}{\sqrt{b^2 - y^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2 - y^2}} = \frac{n}{x} \Rightarrow -x y_1 = n \sqrt{b^2 - y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 y_1^2 = n^2 (b^2 - y^2)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^2 (2 y_1 y_2) + 2x y_1^2 = n^2 (-2 y y_1)$.
$2 y_1$ से भाग देने पर (यह मानते हुए कि $y_1 \neq 0$):
$x^2 y_2 + x y_1 = -n^2 y \Rightarrow x^2 y_2 + x y_1 + n^2 y = 0$.

(C) माना $u = \log_e x$ है। तब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$y = \tan^{-1}\left[\frac{\log_e e - \log_e x^2}{\log_e e + \log_e x^2}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3+2u}{1-6u}\right]$
$y = \tan^{-1}\left[\frac{1-2u}{1+2u}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3+2u}{1-3(2u)}\right]$
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ और $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$y = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1}(2u)) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1}(2u))$
$y = \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 3$
चूंकि $y$ एक स्थिरांक है,इसलिए अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ है।
अतः,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ है।

(B) दिया गया है $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n \log _e\left(\frac{x}{n}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}} \cdot \frac{1}{b} y_1 = n \cdot \frac{n}{x} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n}{x}$.
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2-y^2}} = \frac{n}{x} \implies x y_1 = -n \sqrt{b^2-y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 y_1^2 = n^2 (b^2-y^2)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 x y_1^2 + x^2 \cdot 2 y_1 y_2 = -n^2 \cdot 2 y y_1$.
$2 x y_1$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $x \neq 0, y_1 \neq 0$):
$y_1 + x y_2 = -\frac{n^2 y}{x}$.
$x y_1 + x^2 y_2 + n^2 y = 0$.
$A y_2 + B y_1 + C y = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=x^2, B=x, C=n^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $y = A x^{-1} + B x^2$ है।
सबसे पहले,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = -A x^{-2} + 2 B x$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = 2 A x^{-3} + 2 B$ प्राप्त होता है।
अब,$x^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = x^2 (2 A x^{-3} + 2 B) = 2 A x^{-1} + 2 B x^2$ प्राप्त होता है।
$2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = 2 (A x^{-1} + B x^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = A x^{-1} + B x^2$ है,इसलिए $y$ का मान रखने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{d x^2} = 2 y$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $y=\sin ^{-1}\left(\frac{5 x+12 \sqrt{1-x^{2}}}{13}\right)$.
माना $x = \cos \theta$,तब $\sqrt{1-x^2} = \sin \theta$.
साथ ही,माना $\sin \alpha = \frac{5}{13}$,तब $\cos \alpha = \frac{12}{13}$.
इन मानों को $y$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = \sin^{-1}(\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta)$
$y = \sin^{-1}(\sin(\alpha + \theta)) = \alpha + \theta$
$y = \sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \cos^{-1}(x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर $y_1 \sqrt{1-x^2} = -1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $y_1^2 (1-x^2) = 1$.
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$2y_1 y_2 (1-x^2) + y_1^2 (-2x) = 0$
$2y_1$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $y_1 \neq 0$):
$y_2(1-x^2) - x y_1 = 0$.
इसकी तुलना $a(1-x^2)y_2 + bxy_1 = 0$ से करने पर,हमें $a=1$ और $b=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = (1, -1)$.

(B) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1} x$।
प्रथम अवकलज: $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$।
द्वितीय अवकलज: $f''(x) = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$।
हमें दिया गया है $f'(x) + f''(x) = 0$।
अवकलजों का मान रखने पर: $\frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} = 0$।
$(1+x^2)^2$ से गुणा करने पर: $(1+x^2) - 2x = 0$।
यह समीकरण $x^2 - 2x + 1 = 0$ में बदल जाता है,जो $(x-1)^2 = 0$ है।
अतः,$x = 1$।

(C) दिया गया है $y = e^{kx}$।
तब $\frac{dy}{dx} = ke^{kx} = ky$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = k^2e^{kx} = k^2y$।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx})(\frac{dy}{dx} - y) = y\frac{dy}{dx}$
$(k^2y + ky)(ky - y) = y(ky)$
$ky(k+1) \cdot y(k-1) = ky^2$
$k(k^2 - 1)y^2 = ky^2$
चूंकि $y = e^{kx} \neq 0$,हम $y^2$ से विभाजित कर सकते हैं:
$k(k^2 - 1) = k$
$k^3 - k = k$
$k^3 - 2k = 0$
$k(k^2 - 2) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k^2 = 2$,जिससे $k = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$k$ के तीन भिन्न मान हैं।

(A) दिया गया है $y=e^{\tan ^{-1} x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{\tan ^{-1} x} \times \frac{d}{dx}(\tan ^{-1} x) = e^{\tan ^{-1} x} \times \frac{1}{1+x^2}$।
चूंकि $y = e^{\tan ^{-1} x}$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{1+x^2}$।
दोनों पक्षों को $(1+x^2)$ से गुणा करने पर:
$(1+x^2) y_1 = y$।
बाएं पक्ष पर गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[(1+x^2) y_1] = \frac{d}{dx}(y)$।
$(1+x^2) y_2 + y_1(2x) = y_1$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1+x^2) y_2 + (2x - 1) y_1 = 0$।

(A) दिया गया है $y = \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)}$.
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}(x+2)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}$.
गुणांकों को हल करने पर हमें $A=4, B=-3, C=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 4(x+2)^{-1} - 3(x+1)^{-1} + (x+1)^{-2}$.
$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन करने पर:
$y' = -4(x+2)^{-2} + 3(x+1)^{-2} - 2(x+1)^{-3}$.
पुनः अवकलन करने पर:
$y'' = 8(x+2)^{-3} - 6(x+1)^{-3} + 6(x+1)^{-4}$.
$y'' = 2\left[\frac{4}{(x+2)^{3}} - \frac{3}{(x+1)^{3}} + \frac{3}{(x+1)^{4}}\right]$.
यह विकल्प $A$ के समान है।

(A) दिया गया है $y=e^{m \sin^{-1} x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d y}{d x}=e^{m \sin^{-1} x} \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^{2}}}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=m e^{m \sin^{-1} x} = m y$।
अब पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x} \left( \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} \right) = \frac{d}{d x} (m y)$।
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}} (-2 x) \frac{d y}{d x} = m \frac{d y}{d x}$।
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}$।
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} = m y$ का मान रखने पर:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m(m y) = m^{2} y$।
अतः,$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - m^{2} y = 0$।
दिए गए समीकरण $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - k y = 0$ से तुलना करने पर,$k = m^{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$f(x)=\tan ^{-1}\left[\frac{\log \left(\frac{e}{x^{2}}\right)}{\log \left(e x^{2}\right)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right]$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(e/x^2) = 1 - 2 \log x$ और $\log(ex^2) = 1 + 2 \log x$.
अतः,$f(x) = \tan^{-1}\left[\frac{1 - 2 \log x}{1 + 2 \log x}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3 + 2 \log x}{1 - 3(2 \log x)}\right]$.
माना $2 \log x = u$. तब $f(x) = \tan^{-1}\left[\frac{1 - u}{1 + u}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3 + u}{1 - 3u}\right]$.
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ और $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} u) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1} u)$.
$f(x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} 3$.
चूंकि $f(x)$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलन $f'(x) = 0$ और द्वितीय अवकलन $f''(x) = 0$ होगा।

(B) दिया गया है कि $f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+C_1$ प्राप्त होता है।
$x=1$ रखने पर,$f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)+C_1$ प्राप्त होता है।
$f^{\prime}(1)=4$ और $g^{\prime}(1)=6$ दिया गया है,इसलिए $4=6+C_1$,जिसका अर्थ है कि $C_1=-2$ है।
अतः,$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-2$ है।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x)=g(x)-2x+C_2$ प्राप्त होता है।
$x=2$ रखने पर,$f(2)=g(2)-2(2)+C_2$ प्राप्त होता है।
$f(2)=3$ और $g(2)=9$ दिया गया है,इसलिए $3=9-4+C_2$,अर्थात $3=5+C_2$,जिससे $C_2=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)=g(x)-2x-2$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $f(x)-g(x)=-2x-2$ प्राप्त होता है।
$x=1$ के लिए,$f(1)-g(1)=-2(1)-2=-4$ है।

(C) दिया गया है $x=\sin \theta$ और $y=\sin(k \theta)$।
सबसे पहले,$y_1 = \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{d\theta} = k \cos(k \theta)$ और $\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$.
$y_1 = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{k \cos(k \theta)}{\cos \theta} \implies y_1 \cos \theta = k \cos(k \theta)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_2 \cos \theta - y_1 \sin \theta \cdot \frac{d\theta}{dx} = -k^2 \sin(k \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
चूंकि $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए:
$y_2 \cos \theta - y_1 \sin \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = -k^2 \sin(k \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta}$.
$\cos \theta$ से गुणा करने पर:
$y_2 \cos^2 \theta - y_1 \sin \theta = -k^2 \sin(k \theta)$.
चूंकि $1-x^2 = 1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ और $x = \sin \theta$ है:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 = -k^2 y$.
इसे $(1-x^2) y_2 - x y_1 - \alpha y = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha y = -k^2 y$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = -k^2$।

(B) दिया गया समीकरण $x^2+y^2=1$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 2y y^{\prime} = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y y^{\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime}) \cdot y^{\prime} = 0$
$1 + y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 = 0$
अतः,$y y^{\prime \prime} + (y^{\prime})^2 + 1 = 0$।

(C) दिया गया है कि $x = \int_0^y \frac{1}{\sqrt{1 + 9t^2}} dt$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\sqrt{1 + 9y^2}}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + 9y^2}$ प्राप्त होता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + 9y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + 9y^2}} \cdot (18y) \cdot \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + 9y^2}$ का मान रखने पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9y}{\sqrt{1 + 9y^2}} \cdot \sqrt{1 + 9y^2} = 9y$ प्राप्त होता है।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 9y$ की तुलना $\frac{d^2y}{dx^2} = ay$ से करने पर,$a = 9$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $U(x) = \frac{Lx+M}{x^2-2Bx+C}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$U(x)(x^2-2Bx+C) = Lx+M$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$U_1(x^2-2Bx+C) + U(2x-2B) = L$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$U_2(x^2-2Bx+C) + U_1(2x-2B) + U_1(2x-2B) + U(2) = 0$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$U_2(x^2-2Bx+C) + U_1(4x-4B) + 2U = 0$.
इसे $PU_2 + QU_1 + RU = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = x^2-2Bx+C$,$Q = 4(x-B)$,और $R = 2$.

(D) दिया गया है $f(x) = x^{3} + x^{2}f^{\prime}(1) + 2x f^{\prime\prime}(2) + f^{\prime\prime\prime}(3)$.
प्रथम अवकलज: $f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 2f^{\prime\prime}(2)$.
द्वितीय अवकलज: $f^{\prime\prime}(x) = 6x + 2f^{\prime}(1)$.
तृतीय अवकलज: $f^{\prime\prime\prime}(x) = 6$.
अब,स्थिरांकों का मान ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime\prime}(2) = 6(2) + 2f^{\prime}(1) = 12 + 2f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime\prime\prime}(3) = 6$.
इन मानों को $f^{\prime}(x)$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 2(12 + 2f^{\prime}(1)) = 3x^{2} + 2x f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime}(1)$ ज्ञात करने के लिए $x = 1$ रखने पर:
$f^{\prime}(1) = 3(1)^{2} + 2(1)f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1)$.
$f^{\prime}(1) = 3 + 2f^{\prime}(1) + 24 + 4f^{\prime}(1) = 27 + 6f^{\prime}(1)$.
$-5f^{\prime}(1) = 27 \implies f^{\prime}(1) = -\frac{27}{5}$.
अब $f^{\prime}(1)$ का मान $f^{\prime}(x)$ में रखने पर:
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2x(-\frac{27}{5}) + 24 + 4(-\frac{27}{5}) = 3x^{2} - \frac{54}{5}x + 24 - \frac{108}{5} = 3x^{2} - \frac{54}{5}x + \frac{12}{5}$.
अंत में,$f^{\prime}(5)$ की गणना करने पर:
$f^{\prime}(5) = 3(5)^{2} - \frac{54}{5}(5) + \frac{12}{5} = 75 - 54 + \frac{12}{5} = 21 + \frac{12}{5} = \frac{105 + 12}{5} = \frac{117}{5}$.

(D) दिया गया है $e^y(x+1) = 1$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural log) लेने पर: $y + \ln(x+1) = 0 \implies y = -\ln(x+1)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1} = -(x+1)^{-1}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2} = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2$.
अब,व्यंजक की गणना करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 - \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+1)^2} = 0$.