Integration by substitution Questions in Hindi

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} dx$.
$u = \sqrt[4]{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = u^4$ और $dx = 4u^3 du$ प्राप्त होता है।
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{u}{u^2+u} (4u^3 du) = 4 \int \frac{u^4}{u(u+1)} du = 4 \int \frac{u^3}{u+1} du$.
बहुपद विभाजन का उपयोग करने पर,$\frac{u^3}{u+1} = u^2 - u + 1 - \frac{1}{u+1}$.
$I = 4 \int (u^2 - u + 1 - \frac{1}{u+1}) du = 4 (\frac{u^3}{3} - \frac{u^2}{2} + u - \log|u+1|) + K$.
$I = \frac{4}{3}u^3 - 2u^2 + 4u - 4 \log(u+1) + K$.
$\frac{2}{3}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \frac{2}{3} [2u^3 - 3u^2 + 6u - 6 \log(u+1)] + K$.
$u = \sqrt[4]{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{3} [2 \sqrt[4]{x^3} - 3 \sqrt[4]{x^2} + 6 \sqrt[4]{x} - 6 \log(1+\sqrt[4]{x})] + K$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A=2, B=-3, C=6, D=-6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2}{3}(A+B+C+D) = \frac{2}{3}(2 - 3 + 6 - 6) = \frac{2}{3}(-1) = -\frac{2}{3}$.

(C) माना $I = \int (\log x)^m x^n \, dx$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = e^t$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = e^t \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int t^m (e^t)^n \cdot e^t \, dt$
$I = \int t^m e^{nt} \cdot e^t \, dt$
$I = \int t^m e^{(n+1)t} \, dt$।
अतः,सही प्रतिस्थापन $x = e^t$ है और परिणामी समाकल $\int t^m e^{(n+1)t} \, dt$ है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{4+5 \cos x}$ है।
$\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ और $dx = \frac{2 du}{1+u^2}$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \tan(x/2)$:
$I = \int \frac{\frac{2 du}{1+u^2}}{4+5\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)} = \int \frac{2 du}{4(1+u^2) + 5(1-u^2)} = \int \frac{2 du}{4+4u^2+5-5u^2} = \int \frac{2 du}{9-u^2}$।
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \times \frac{1}{2(3)} \ln \left| \frac{3+u}{3-u} \right| + C = \frac{1}{3} \ln \left| \frac{3+\tan(x/2)}{3-\tan(x/2)} \right| + C$।

(B) माना $I = \int \sqrt{x}(1-x^3)^{-\frac{1}{2}} dx$ है।
$t = x^{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{x} dx = \frac{2}{3} dt$ है।
चूंकि $x^3 = (x^{\frac{3}{2}})^2 = t^2$ है,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int (1-t^2)^{-\frac{1}{2}} \left(\frac{2}{3} dt\right) = \frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt$।
समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है।
$t = x^{\frac{3}{2}}$ वापस रखने पर,$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(x^{\frac{3}{2}}) + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{2}{3} g(f(x)) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ और $g(x) = \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\int x^{n-2} f(x) dx = \int x^{n-2} \cdot \frac{x}{(1 + nx^n)^{1/n}} dx = \int \frac{x^{n-1}}{(1 + nx^n)^{1/n}} dx$.
माना $t = 1 + nx^n$.
तब $dt = n \cdot n x^{n-1} dx = n^2 x^{n-1} dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{n-1} dx = \frac{1}{n^2} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{n^2} \cdot t^{-1/n} dt = \frac{1}{n^2} \left[ \frac{t^{-1/n + 1}}{-1/n + 1} \right] + C$.
$= \frac{1}{n^2} \left[ \frac{t^{(n-1)/n}}{(n-1)/n} \right] + C = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n}{n-1} \cdot t^{(n-1)/n} + C$.
$= \frac{1}{n(n-1)} (1 + nx^n)^{1 - 1/n} + C$.

(D) माना $I = \int \frac{1+x \cos x}{x[1-x^2(e^{\sin x})^2]} dx$.
अंश और हर को $e^{\sin x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{(1+x \cos x) e^{\sin x}}{x e^{\sin x}[1-(x e^{\sin x})^2]} dx$.
माना $t = x e^{\sin x}$.
तब $dt = [e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x] dx = e^{\sin x}(1+x \cos x) dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{t(1-t^2)} = \int \frac{dt}{t(1-t)(1+t)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{t(1-t)(1+t)} = \frac{1}{t} + \frac{1}{2(1-t)} - \frac{1}{2(1+t)}$.
समाकलन करने पर:
$I = \ln|t| - \frac{1}{2} \ln|1-t| - \frac{1}{2} \ln|1+t| + C = \ln|t| - \frac{1}{2} \ln|1-t^2| + C$.
$I = \frac{1}{2} \ln|t^2| - \frac{1}{2} \ln|1-t^2| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{t^2}{1-t^2} \right| + C$.
$t = x e^{\sin x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{(x e^{\sin x})^2}{1-(x e^{\sin x})^2} \right| + C = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{(x e^{\sin x})^2}{(x e^{\sin x})^2-1} \right| + C$.

(D) माना $I = \int \frac{d x}{(x-1) \sqrt{x+2}}$.
$t = \sqrt{x+2}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $t^2 = x+2$,अर्थात $x = t^2 - 2$.
अतः $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 - 2 - 1)t} = \int \frac{2 \, dt}{t^2 - 3}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} \log \left| \frac{t-\sqrt{3}}{t+\sqrt{3}} \right| + C$.
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}} \right| + C$.

(A) दिया गया है $x = \frac{t^3}{t^2 - 1}$ और $y = \frac{t}{t^2 - 1}$।
सबसे पहले,$x - 3y$ की गणना करें:
$x - 3y = \frac{t^3}{t^2 - 1} - 3 \left( \frac{t}{t^2 - 1} \right) = \frac{t^3 - 3t}{t^2 - 1}$।
इसके बाद,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके $dx$ ज्ञात करें:
$dx = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^3}{t^2 - 1} \right) dt = \frac{(t^2 - 1)(3t^2) - t^3(2t)}{(t^2 - 1)^2} dt = \frac{3t^4 - 3t^2 - 2t^4}{(t^2 - 1)^2} dt = \frac{t^4 - 3t^2}{(t^2 - 1)^2} dt$।
अब,इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करें:
$\int \frac{dx}{x - 3y} = \int \frac{\frac{t^4 - 3t^2}{(t^2 - 1)^2} dt}{\frac{t^3 - 3t}{t^2 - 1}} = \int \frac{t^2(t^2 - 3)}{(t^2 - 1)^2} \cdot \frac{t^2 - 1}{t(t^2 - 3)} dt = \int \frac{t}{t^2 - 1} dt$।
मान लीजिए $u = t^2 - 1$,तो $du = 2t dt$,इसलिए $t dt = \frac{1}{2} du$।
$\int \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} \log|u| + C = \frac{1}{2} \log(t^2 - 1) + C$।

(A) माना $I = \int \frac{d x}{(x-3)^{\frac{4}{5}}(x+1)^{\frac{6}{5}}}$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{d x}{(x+1)^2 \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{\frac{4}{5}}}$.
माना $t = \frac{x-3}{x+1}$.
तब,$dt = \frac{(x+1)(1) - (x-3)(1)}{(x+1)^2} dx = \frac{4}{(x+1)^2} dx$.
अतः,$\frac{dx}{(x+1)^2} = \frac{dt}{4}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int t^{-\frac{4}{5}} dt$.
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{\frac{1}{5}}}{\frac{1}{5}} + C = \frac{5}{4} t^{\frac{1}{5}} + C$.
$t = \frac{x-3}{x+1}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{5}{4} \left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{\frac{1}{5}} + C$.

(A) माना $I = \int \frac{\sin ^3 x}{(\cos ^4 x + 3 \cos ^2 x + 1) \tan ^{-1}(\sec x + \cos x)} dx$ है।
माना $t = \tan ^{-1}(\sec x + \cos x)$ है।
तब $dt = \frac{1}{1 + (\sec x + \cos x)^2} (\sec x \tan x - \sin x) dx$ होगा।
$dt = \frac{1}{1 + (\frac{1}{\cos x} + \cos x)^2} (\frac{\sin x}{\cos ^2 x} - \sin x) dx$।
$dt = \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x + (1 + \cos ^2 x)^2} \cdot \frac{\sin x (1 - \cos ^2 x)}{\cos ^2 x} dx$।
$dt = \frac{\sin x \cdot \sin ^2 x}{\cos ^2 x + 1 + 2 \cos ^2 x + \cos ^4 x} dx = \frac{\sin ^3 x}{\cos ^4 x + 3 \cos ^2 x + 1} dx$।
अतः,$I = \int \frac{dt}{t} = \ln |t| + C = \ln |\tan ^{-1}(\sec x + \cos x)| + C$।
चूंकि $f(x) = \ln |\tan ^{-1}(\sec x + \cos x)|$ है,इसलिए $e^{f(x)} = \tan ^{-1}(\sec x + \cos x)$।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{(\sin x + \cos x + \sqrt{2} \sqrt{\sin 2x})^2} dx$ है।
हर को $(\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x})^4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \int \frac{dx}{(\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x})^4} = \int \frac{dx}{\cos^2 x (\sqrt{\tan x} + 1)^4} = \int \frac{\sec^2 x}{(\sqrt{\tan x} + 1)^4} dx$.
माना $\tan x = t^2$,तो $\sec^2 x dx = 2t dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{2t dt}{(t+1)^4} = 2 \int \frac{t+1-1}{(t+1)^4} dt = 2 \int \left( \frac{1}{(t+1)^3} - \frac{1}{(t+1)^4} \right) dt$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर: $I = 2 \left[ \frac{(t+1)^{-2}}{-2} - \frac{(t+1)^{-3}}{-3} \right] + C = 2 \left[ \frac{1}{3(t+1)^3} - \frac{1}{2(t+1)^2} \right] + C$.
सरल करने पर: $I = \frac{2}{3(t+1)^3} - \frac{1}{(t+1)^2} + C = \frac{2 - 3(t+1)}{3(t+1)^3} + C = \frac{2 - 3t - 3}{3(t+1)^3} + C = \frac{-(1+3t)}{3(1+t)^3} + C$.
$t = \sqrt{\tan x}$ रखने पर,हमें $I = \frac{-(1+3\sqrt{\tan x})}{3(1+\sqrt{\tan x})^3} + C$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\cos ^4 x}{\left(\sin ^2 x+\sin ^{-3} x \cos ^5 x\right)^3} d x$.
हर से $\sin ^2 x$ कॉमन लेने पर:
$I = \int \frac{\cos ^4 x}{\left(\sin ^2 x(1+\sin ^{-5} x \cos ^5 x)\right)^3} d x = \int \frac{\cos ^4 x}{\sin ^6 x(1+\cot ^5 x)^3} d x$.
इसे सरल करने पर:
$I = \int \frac{\cot ^4 x \operatorname{cosec}^2 x}{(1+\cot ^5 x)^3} d x$.
माना $1+\cot ^5 x = y$.
तब $5 \cot ^4 x(-\operatorname{cosec}^2 x) d x = d y$,जिसका अर्थ है $\cot ^4 x \operatorname{cosec}^2 x d x = -\frac{1}{5} d y$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = -\frac{1}{5} \int y^{-3} d y = -\frac{1}{5} \left(\frac{y^{-2}}{-2}\right) + C = \frac{1}{10} y^{-2} + C$.
$y = 1+\cot ^5 x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{10}(1+\cot ^5 x)^{-2} + C$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{2+\sin 2 x} d x$ है।
यहाँ $2 + \sin 2x = 1 + (1 + \sin 2x) = 1 + (\sin x + \cos x)^2$ लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \int \frac{\sin x \cos(\pi/4) - \cos x \sin(\pi/4)}{1 + (\sin x + \cos x)^2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sin x - \cos x}{1 + (\sin x + \cos x)^2} dx$.
माना $t = \sin x + \cos x$,तो $dt = (\cos x - \sin x) dx$,जिसका अर्थ है कि $-dt = (\sin x - \cos x) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{-dt}{1 + t^2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(t) + C$.
$t = \sin x + \cos x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sin x + \cos x) + C$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप $-\frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(f(x)) + C$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \sin x + \cos x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4})$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) हमारे पास $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2(1-x^3)}} = \int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^3}}$ है।
अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^2 dx}{x^3\sqrt{1-x^3}}$.
मान लीजिए $t = \sqrt{1-x^3}$,तब $t^2 = 1-x^3$,इसलिए $2t dt = -3x^2 dx$,जिसका अर्थ है कि $x^2 dx = -\frac{2}{3}t dt$.
साथ ही $x^3 = 1-t^2$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-\frac{2}{3}t dt}{(1-t^2)t} = -\frac{2}{3} \int \frac{dt}{1-t^2} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + C = \frac{1}{3} \log \left| \frac{1-t}{1+t} \right| + C$.
$t = \sqrt{1-x^3}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \log \left| \frac{1-\sqrt{1-x^3}}{1+\sqrt{1-x^3}} \right| + C$.
अतः,$f(x) = \frac{1-\sqrt{1-x^3}}{1+\sqrt{1-x^3}}$.
$x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x^3 = \frac{1}{8}$,इसलिए $1-x^3 = \frac{7}{8}$.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1-\sqrt{7/8}}{1+\sqrt{7/8}} = \frac{\sqrt{8}-\sqrt{7}}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{x \sqrt{x^4 - 1}}$.
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x \ dx}{x^2 \sqrt{(x^2)^2 - 1}}$.
माना $x^2 = t$,तब $2x \ dx = dt$,या $x \ dx = \frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt/2}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}}$.
हम जानते हैं कि $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 1}} = \sec^{-1}(t) + C$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(t) + C = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x^2) + C$.
दिए गए व्यंजक $\frac{1}{k} \sec^{-1}(x^k)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 2$ प्राप्त होता है।

(C) हमें $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x \sqrt{1 + \tan x}} = \sec^2 x (1 + \tan x)^{-1/2}$ दिया गया है।
माना $t = 1 + \tan x$. तब $dt = \sec^2 x \ dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$F(x) = \int f(x) \ dx = \int (1 + \tan x)^{-1/2} \sec^2 x \ dx = \int t^{-1/2} \ dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$F(x) = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2 \sqrt{t} + C = 2 \sqrt{1 + \tan x} + C$.
चूँकि $F(0) = 4$ दिया गया है,$x = 0$ रखने पर:
$F(0) = 2 \sqrt{1 + \tan 0} + C = 2 \sqrt{1 + 0} + C = 2 + C$.
चूँकि $F(0) = 4$,इसलिए $2 + C = 4$,जिसका अर्थ है कि $C = 2$.
अतः,$F(x) = 2 \sqrt{1 + \tan x} + 2 = 2 (\sqrt{1 + \tan x} + 1)$.

(B) दिया गया है $I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{\sin (2 x + \theta) + \sin \theta}} d x$
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin (\frac{C + D}{2}) \cos (\frac{C - D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 \sin (\frac{2 x + 2 \theta}{2}) \cos (\frac{2 x + \theta - \theta}{2})}} d x$
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 \sin (x + \theta) \cos x}} d x$
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 (\sin x \cos \theta + \cos x \sin \theta) \cos x}} d x$
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2 \cos^2 x (\tan x \cos \theta + \sin \theta)}} d x$
$\Rightarrow I = \int \frac{\sec x}{\sqrt{2} \cos x \sqrt{\tan x \cos \theta + \sin \theta}} d x$
$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x \cos \theta + \sin \theta}} d x$
माना $t = \tan x \cos \theta + \sin \theta$,तब $dt = \sec^2 x \cos \theta d x$,अतः $\sec^2 x d x = \frac{dt}{\cos \theta}$.
$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2} \cos \theta} \int t^{-1/2} dt$
$\Rightarrow I = \frac{1}{\sqrt{2} \cos \theta} \cdot 2 t^{1/2} + C$
$\Rightarrow I = \sqrt{\frac{2}{\cos^2 \theta}} \sqrt{\tan x \cos \theta + \sin \theta} + C$
$\Rightarrow I = \sqrt{2 \sec^2 \theta (\tan x \cos \theta + \sin \theta)} + C$
$\Rightarrow I = \sqrt{2 \sec \theta (\tan x + \tan \theta)} + C$

(B) दिया गया समाकलन: $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$.
माना $I = \int \cos ^k(x) \sin (x) d x$.
$t = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -\sin x d x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin x d x = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t^k (-dt) = -\int t^k dt$.
$t^k$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\frac{t^{k+1}}{k+1} + C$.
$t = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{\cos^{k+1} x}{k+1} + C$.
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $\frac{-1}{4} \cos^4(x) + C$ से करने पर:
$\frac{1}{k+1} = \frac{1}{4}$ और $k+1 = 4$.
अतः,$k = 3$.

(C) माना $I = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} \, dx$.
हम जानते हैं कि $\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
अतः,$I = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2 - 1}} \, dx$.
माना $t = \sin x + \cos x$.
तब $dt = (\cos x - \sin x) \, dx$,जिसका अर्थ है कि $(\sin x - \cos x) \, dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-dt}{\sqrt{t^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = -\log |t + \sqrt{t^2 - 1}| + C$.
$t = \sin x + \cos x$ वापस रखने पर:
$I = -\log |\sin x + \cos x + \sqrt{(\sin x + \cos x)^2 - 1}| + C$.
चूंकि $(\sin x + \cos x)^2 - 1 = \sin 2x$,इसलिए:
$I = -\log |\sin x + \cos x + \sqrt{\sin 2x}| + C$.

(B) माना $I = \int \sqrt[3]{x}\left(1+\sqrt[3]{x^4}\right)^{\frac{1}{7}} d x = \int x^{\frac{1}{3}}\left(1+x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{7}} d x$.
माना $1+x^{\frac{4}{3}} = t$.
तब,$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} d x = d t$,जिसका अर्थ है $x^{\frac{1}{3}} d x = \frac{3}{4} d t$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int t^{\frac{1}{7}} \cdot \frac{3}{4} d t = \frac{3}{4} \int t^{\frac{1}{7}} d t$.
समाकलन करने पर:
$I = \frac{3}{4} \cdot \frac{t^{\frac{1}{7}+1}}{\frac{1}{7}+1} + c = \frac{3}{4} \cdot \frac{t^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + c = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} t^{\frac{8}{7}} + c = \frac{21}{32} \left(1+x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{8}{7}} + c$.
इसकी तुलना $A\left(1+\sqrt[3]{x^4}\right)^B+c$ से करने पर,हमें $A = \frac{21}{32}$ और $B = \frac{8}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A B = \frac{21}{32} \times \frac{8}{7} = \frac{3}{4}$.

(D) माना $I = \int \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$ है।
प्रतिस्थापन $t = x+\frac{\pi}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = t-\frac{\pi}{4}$ और $dx = dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन में इन मानों को रखने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{2} \sin \left(t-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin t} dt$।
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \sqrt{2} \frac{\sin t \cos \frac{\pi}{4} - \cos t \sin \frac{\pi}{4}}{\sin t} dt$।
चूँकि $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है:
$I = \int \sqrt{2} \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos t\right)}{\sin t} dt = \int \frac{\sin t - \cos t}{\sin t} dt$।
$I = \int (1 - \cot t) dt = t - \ln |\sin t| + c$।
$t = x+\frac{\pi}{4}$ वापस रखने पर:
$I = x + \frac{\pi}{4} - \ln |\sin (x+\frac{\pi}{4})| + c$।
अचर पद $\frac{\pi}{4}$ को अचर $c$ में समाहित करने पर:
$I = x - \log |\sin (x+\frac{\pi}{4})| + c$।

(C) हमारे पास है,$\int \frac{2x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} dx = \frac{-1}{ax^2+bx+c} + \alpha$।
हर को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x(x+3)(x+1)(x+2)+1 = (x^2+3x)(x^2+3x+2)+1$।
माना $t = x^2+3x$,तो $dt = (2x+3)dx$।
समाकलन में मान रखने पर: $\int \frac{dt}{t(t+2)+1} = \int \frac{dt}{t^2+2t+1} = \int \frac{dt}{(t+1)^2}$।
समाकलन करने पर प्राप्त होता है: $-\frac{1}{t+1} + \alpha = \frac{-1}{x^2+3x+1} + \alpha$।
इसकी तुलना $\frac{-1}{ax^2+bx+c} + \alpha$ से करने पर,हमें $a=1, b=3, c=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c = 1+3+1 = 5$।

(B) हमारे पास $I = \int \frac{2 \tan x}{1+2 \tan^2 x} dx$ है।
$\sin x$ और $\cos x$ में परिवर्तित करने पर:
$I = \int \frac{2 \frac{\sin x}{\cos x}}{1+2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} dx = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x + 2 \sin^2 x} dx$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हर $(1 - \sin^2 x) + 2 \sin^2 x = 1 + \sin^2 x$ हो जाता है।
अतः,$I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{1 + \sin^2 x} dx$.
माना $t = 1 + \sin^2 x$. तब $dt = 2 \sin x \cos x dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + c_1 = \log |1 + \sin^2 x| + c_1$.
चूंकि $1 = \cos^2 x + \sin^2 x$,इसलिए $1 + \sin^2 x = \cos^2 x + 2 \sin^2 x$.
$I = \log |\cos^2 x + 2 \sin^2 x| + c_1 = \log |2(\frac{\cos^2 x}{2} + \sin^2 x)| + c_1$.
$\log(ab) = \log a + \log b$ का उपयोग करने पर:
$I = \log 2 + \log |\frac{\cos^2 x}{2} + \sin^2 x| + c_1 = \log |\frac{\cos^2 x}{2} + \sin^2 x| + c$,जहाँ $c = c_1 + \log 2$.

(D) माना $I = \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x + \sin x} \, dx$.
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{(1 - \sin^2 x) \cos x}{\sin^2 x + \sin x} \, dx$.
$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos x \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1 - t^2}{t^2 + t} \, dt = \int \frac{(1 - t)(1 + t)}{t(t + 1)} \, dt$.
उभयनिष्ठ पद $(1 + t)$ को काटने पर:
$I = \int \frac{1 - t}{t} \, dt = \int \left( \frac{1}{t} - 1 \right) \, dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \log |t| - t + C$.
$t = \sin x$ वापस रखने पर:
$I = \log |\sin x| - \sin x + C$.

(D) माना $I = \int \sin (\sqrt{k}) \, dk$,जहाँ $k \in (0, \infty)$ है।
$k = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dk = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sin(t) \cdot (2t \, dt) = 2 \int t \sin(t) \, dt$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = t$ और $dv = \sin(t) \, dt$ है,तब $du = dt$ और $v = -\cos(t)$ होगा।
$I = 2 [t(-\cos(t)) - \int (-\cos(t)) \, dt]$
$I = 2 [-t \cos(t) + \int \cos(t) \, dt]$
$I = 2 [-t \cos(t) + \sin(t)] + c$
अब $t = \sqrt{k}$ वापस रखने पर:
$I = 2[\sin(\sqrt{k}) - \sqrt{k} \cos(\sqrt{k})] + c$.

(B) दिया गया है कि वक्र का समीकरण $y = \int x^3 e^{x^4} dx$ है।
मान लीजिए $t = x^4$,तब $dt = 4x^3 dx$,जिसका अर्थ है $x^3 dx = \frac{1}{4} dt$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = \frac{1}{4} \int e^t dt = \frac{1}{4} e^t + C = \frac{1}{4} e^{x^4} + C$।
चूंकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से गुजरता है,हम $x=0$ और $y=1$ रखते हैं: $1 = \frac{1}{4} e^0 + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$।
अतः,समीकरण $y = \frac{1}{4} e^{x^4} + \frac{3}{4}$ है।
$x$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} e^{x^4} \Rightarrow 4y - 3 = e^{x^4}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log_e |4y - 3| = x^4$।
इसलिए,$x = (\log_e |4y - 3|)^{1/4}$।
अतः,$f(y) = (\log_e |4y - 3|)^{1/4}$।

(B) माना $I = \int (1+e^{-x})^{-1} dx = \int \frac{1}{1 + \frac{1}{e^x}} dx$
$I = \int \frac{e^x}{e^x+1} dx$
माना $u = e^x + 1$,तब $du = e^x dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$
$u = e^x + 1$ वापस रखने पर:
$I = \log (e^x + 1) + C$.

(B) माना $I = \int \frac{\cos x-\sin x}{5+\sin 2 x} d x$.
हम जानते हैं कि $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin 2x$.
अतः,$\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\cos x-\sin x}{5 + (\sin x + \cos x)^2 - 1} d x = \int \frac{\cos x-\sin x}{4 + (\sin x + \cos x)^2} d x$.
माना $t = \sin x + \cos x$. तब $dt = (\cos x - \sin x) dx$.
समाकलन में $t$ और $dt$ रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{4 + t^2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) + C$.
अंत में $t = \sin x + \cos x$ रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{2}\right) + C$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int e^{3 \log x}(x^4+1)^{-1} dx$ है।
गुणधर्म $e^{\log a} = a$ का उपयोग करते हुए,हमें $e^{3 \log x} = e^{\log x^3} = x^3$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{x^3}{x^4+1} dx$।
माना $t = x^4+1$।
तब $dt = 4x^3 dx$,जिसका अर्थ है कि $x^3 dx = \frac{1}{4} dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{1}{4t} dt = \frac{1}{4} \log|t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = x^4+1$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{4} \log(x^4+1) + C$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{\sin(2x)}{\sin^2(x) + 2\cos^2(x)} dx$.
सर्वसमिका $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ का उपयोग करने पर,हर $1 - \cos^2(x) + 2\cos^2(x) = 1 + \cos^2(x)$ हो जाता है।
अतः,$I = \int \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} dx$.
माना $t = 1 + \cos^2(x)$.
तब $dt = 2\cos(x)(-\sin(x)) dx = -\sin(2x) dx$.
इसका अर्थ है कि $\sin(2x) dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-dt}{t} = -\log |t| + c$.
$t = 1 + \cos^2(x)$ वापस रखने पर,हमें $I = -\log |1 + \cos^2(x)| + c$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) माना $I = \int \frac{x^{n-1}}{x^{2n} + 4} dx$.
$x^n = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $n x^{n-1} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{n-1} dx = \frac{1}{n} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{n} \int \frac{dt}{t^2 + 2^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{t}{2} \right) + c$.
$t = x^n$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2n} \tan^{-1} \left( \frac{x^n}{2} \right) + c$.

(D) माना $I = \int \frac{1 + \tan^{2} x}{1 - \tan^{2} x} dx$ है।
चूँकि $1 + \tan^{2} x = \sec^{2} x$ होता है,इसलिए $I = \int \frac{\sec^{2} x}{1 - \tan^{2} x} dx$ होगा।
$\tan x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sec^{2} x \ dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{dt}{1 - t^{2}}$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a + x}{a - x} \right| + c$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + c$ प्राप्त होता है।
अब $t$ के स्थान पर $\tan x$ रखने पर,$I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \right| + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{d x}{\sqrt{2 e^x-1}}$.
$u = \sqrt{2 e^x-1}$ प्रतिस्थापन लेने पर,$u^2 = 2 e^x - 1$,जिससे $2 e^x = u^2 + 1$,या $e^x = \frac{u^2+1}{2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$x = \ln\left(\frac{u^2+1}{2}\right)$.
$u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = \frac{1}{\frac{u^2+1}{2}} \cdot \frac{2u}{2} du = \frac{2u}{u^2+1} du$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{2u}{u^2+1} du = \int \frac{2}{u^2+1} du$.
समाकलन करने पर,$I = 2 \operatorname{Tan}^{-1}(u) + c$.
$u = \sqrt{2 e^x-1}$ वापस रखने पर,$I = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{2 e^x-1}\right) + c$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{e^x + 4e^{-x}}$ है।
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^x dx}{e^{2x} + 4}$.
माना $u = e^x$,तब $du = e^x dx$ होगा।
समाकलन $I = \int \frac{du}{u^2 + 2^2}$ बन जाता है।
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{u}{2}) + c$.
$u = e^x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{e^x}{2}) + c$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{e^x}{2})$ है।

(A) समाकलन $\int \frac{2 t+1}{t^2+t+1} d t$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $u = t^2+t+1$ है।
तब,$t$ के सापेक्ष $u$ का अवकलन $\frac{du}{dt} = 2t+1$ है।
इसका अर्थ है कि $du = (2t+1) dt$ है।
इन मानों को मूल समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int \frac{1}{u} du$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{u}$ का समाकलन $\log |u| + c$ होता है।
$u = t^2+t+1$ का मान वापस रखने पर,हमें $\log |t^2+t+1| + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \sin ^5 x \cos ^5 x \, dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \cos ^5 x \sin ^4 x \sin x \, dx = \int \cos ^5 x (1 - \cos ^2 x)^2 \sin x \, dx$.
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x \, dx = dt$,या $\sin x \, dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t^5 (1 - t^2)^2 (-dt) = -\int t^5 (t^4 - 2t^2 + 1) \, dt$.
$I = -\int (t^9 - 2t^7 + t^5) \, dt = -(\frac{t^{10}}{10} - 2 \frac{t^8}{8} + \frac{t^6}{6}) + C$.
$I = -\frac{t^6}{60} (6t^4 - 15t^2 + 10) + C$.
$t = \cos x$ रखने पर:
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} (6 \cos ^4 x - 15 \cos ^2 x + 10) + C$.
$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6(1 - \sin ^2 x)^2 - 15(1 - \sin ^2 x) + 10] + C$.
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6(1 - 2 \sin ^2 x + \sin ^4 x) - 15 + 15 \sin ^2 x + 10] + C$.
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6 - 12 \sin ^2 x + 6 \sin ^4 x - 15 + 15 \sin ^2 x + 10] + C$.
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6 \sin ^4 x + 3 \sin ^2 x + 1] + C$.
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(D) दिया गया है $I = \int \frac{x-x^2}{\sqrt{1-x}} d x$.
चूंकि $x-x^2 = x(1-x)$,इसलिए $I = \int \frac{x(1-x)}{\sqrt{1-x}} d x = \int x \sqrt{1-x} d x$.
माना $1-x = t^2$,तब $dx = -2t dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1-t^2) t (-2t) dt = 2 \int (t^4 - t^2) dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} \right] + c = \frac{2}{15} t^3 (3t^2 - 5) + c$.
$t = \sqrt{1-x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{15} (1-x)^{3/2} [3(1-x) - 5] + c = \frac{2}{15} (1-x)^{3/2} (-3x - 2) + c = -\frac{2}{15} (1-x)^{3/2} (3x+2) + c$.

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{(2 \sin x + \sec x)^4}$ है।
अंश और हर को $\sec^4 x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sec^4 x}{(2 \sin x \cos x + 1)^4} dx = \int \frac{\sec^4 x}{(\sin 2x + 1)^4} dx$.
हर को पुन: लिखने पर: $2 \sin x + \sec x = \frac{2 \sin x \cos x + 1}{\cos x} = \frac{\sin 2x + 1}{\cos x}$.
अतः,$I = \int \frac{\cos^4 x}{(\sin 2x + 1)^4} dx = \int \frac{\cos^4 x}{((\sin x + \cos x)^2)^4} dx = \int \frac{\cos^4 x}{(\sin x + \cos x)^8} dx$.
अंश और हर को $\cos^8 x$ से भाग देने पर:
$I = \int \frac{\sec^4 x}{(1 + \tan x)^8} dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$. चूँकि $\sec^2 x = 1 + t^2$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1 + t^2}{(1 + t)^8} dt = \int \frac{(1 + t)^2 - 2t}{(1 + t)^8} dt = \int \frac{(1 + t)^2 - 2(1 + t - 1)}{(1 + t)^8} dt$
$I = \int \frac{dt}{(1 + t)^6} - 2 \int \frac{dt}{(1 + t)^7} + 2 \int \frac{dt}{(1 + t)^8}$
$I = -\frac{1}{5}(1 + t)^{-5} + \frac{2}{6}(1 + t)^{-6} - \frac{2}{7}(1 + t)^{-7} + k$
$I = -\frac{1}{5}(1 + \tan x)^{-5} + \frac{1}{3}(1 + \tan x)^{-6} - \frac{2}{7}(1 + \tan x)^{-7} + k$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = -\frac{1}{5}$,$B = \frac{1}{3}$,$C = -\frac{2}{7}$.
$A + B + C = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{-21 + 35 - 30}{105} = -\frac{16}{105}$.

(C) माना $I = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{a^3-x^3}} dx$ है।
$t = x^{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} dt$।
साथ ही,$t^2 = (x^{\frac{3}{2}})^2 = x^3$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{a^3 - t^2}} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{(\sqrt{a^3})^2 - t^2}}$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{A^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{A}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{a^3}}\right) + c$।
$t = x^{\frac{3}{2}}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}}\right) + c = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\right) + c$।
अतः,$P(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\right)$।

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1-x^7}{x(1+x^7)} dx$ है।
अंश और हर को $x^6$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^6(1-x^7)}{x^7(1+x^7)} dx$.
माना $u = x^7$,तब $du = 7x^6 dx$,जिसका अर्थ है $x^6 dx = \frac{du}{7}$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{1-u}{u(1+u)} \cdot \frac{du}{7} = \frac{1}{7} \int \frac{1-u}{u(1+u)} du$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1-u}{u(1+u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u}$.
$1-u = A(1+u) + Bu$.
$u=0$ के लिए,$A=1$.
$u=-1$ के लिए,$1-(-1) = B(-1) \Rightarrow B = -2$.
अतः,$I = \frac{1}{7} \int (\frac{1}{u} - \frac{2}{1+u}) du = \frac{1}{7} (\ln |u| - 2 \ln |1+u|) + C$.
$u = x^7$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{7} \ln |x^7| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C = \frac{7}{7} \ln |x| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C = 1 \ln |x| - \frac{2}{7} \ln |x^7+1| + C$.
इसकी तुलना $a \ln |x| + b \ln |x^7+1| + c$ से करने पर,हमें $a = 1$ और $b = -2/7$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{d x}{x^{2 / 3}(1+x^{2 / 3})}$.
$x^{1/3} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^3$ प्राप्त होता है,जिससे $dx = 3t^2 dt$ होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{3t^2 dt}{(t^2)(1+t^2)} = \int \frac{3 dt}{1+t^2}$.
$\frac{1}{1+t^2}$ का समाकलन $\tan^{-1}(t)$ होता है।
अतः,$I = 3 \tan^{-1}(t) + c$.
$t = x^{1/3}$ वापस रखने पर,हमें $I = 3 \tan^{-1}(x^{1/3}) + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^e+e^x} dx$ ... $(i)$
$x^e + e^x = t$ रखने पर ... $(ii)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{dx}(x^e + e^x) = \frac{dt}{dx}$
$e x^{e-1} + e^x = \frac{dt}{dx}$
$(e x^{e-1} + e^x) dx = dt$
$e$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$e(x^{e-1} + \frac{e^x}{e}) dx = dt$
$e(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = dt$
$(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = \frac{1}{e} dt$ ... $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ के मानों को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{e} dt$
$I = \frac{1}{e} \int \frac{1}{t} dt$
$I = \frac{1}{e} \log |t| + C$
$t = x^e + e^x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{e} \log |x^e + e^x| + C$

(B) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)} d x$.
माना $t = x e^x$. तब $dt = (e^x + x e^x) d x = e^x(1+x) d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t(1+t)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$.
दोनों पदों का समाकलन करने पर:
$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right) dt = \log |t| - \log |1+t| + C = \log \left| \frac{t}{1+t} \right| + C$.
$t = x e^x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + C$.

(B) माना $I = \int \frac{f(x) g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x) g(x)}{f(x) g(x)} [\log g(x)-\log f(x)] \, dx$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx} \left( \log \frac{g(x)}{f(x)} \right) = \frac{d}{dx} (\log g(x) - \log f(x)) = \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} - \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{f(x) g^{\prime}(x) - f^{\prime}(x) g(x)}{f(x) g(x)}$ होता है।
अतः,समाकलन $I = \int \log \left[\frac{g(x)}{f(x)}\right] \cdot d\left( \log \frac{g(x)}{f(x)} \right)$ बन जाता है।
माना $t = \log \left[\frac{g(x)}{f(x)}\right]$,तब $dt = d\left( \log \frac{g(x)}{f(x)} \right)$ होगा।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \left[ \log \frac{g(x)}{f(x)} \right]^2 + C$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$\int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos x}}=g(x)+c$.
हम समाकल को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^4 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}} = \int \frac{d x}{\sin ^2 x \sqrt{\cot x}}$
यह सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$\int \operatorname{cosec}^2 x \cdot (\cot x)^{-1/2} d x$
माना $t = \cot x$,तब $dt = -\operatorname{cosec}^2 x d x$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{cosec}^2 x d x = -dt$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int -t^{-1/2} dt = -\frac{t^{1/2}}{1/2} + c = -2\sqrt{t} + c$
अब $t = \cot x$ वापस रखने पर:
$-2\sqrt{\cot x} + c = -\frac{2}{\sqrt{\tan x}} + c$
अतः,$g(x) = -\frac{2}{\sqrt{\tan x}}$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$.
$x = 2 \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
समाकलन $I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{(4 \tan^2 \theta) \sqrt{4 + 4 \tan^2 \theta}}$ हो जाता है।
चूंकि $\sqrt{4(1 + \tan^2 \theta)} = 2 \sec \theta$,इसलिए $I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{4 \tan^2 \theta \cdot 2 \sec \theta} = \frac{1}{4} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \ d\theta$.
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} \ d\theta = \frac{1}{4} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \ d\theta$.
$u = \sin \theta$ रखने पर,$du = \cos \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है। अतः $I = \frac{1}{4} \int u^{-2} \ du = \frac{1}{4} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{4 \sin \theta} + C$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{x}{2}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ होता है।
अतः,$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{x^2+4}}{x} + C = -\frac{\sqrt{4+x^2}}{4x} + C$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$.
हम हर को $\sqrt{x(1-x)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
माना $\sqrt{x} = \sin \theta$. तब $x = \sin^2 \theta$.
दोनों पक्षों का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}}$
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$I = \int 2 \, d\theta = 2\theta + C$.
चूंकि $\sin \theta = \sqrt{x}$,इसलिए $\theta = \sin^{-1} \sqrt{x}$ है।
अतः,$I = 2 \sin^{-1} \sqrt{x} + C$.