Integration by substitution Questions in Hindi

(A) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$.
हम हर को $\sqrt{x(1-x)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
माना $\sqrt{x} = \sin \theta$. तब $x = \sin^2 \theta$.
दोनों पक्षों का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}}$
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$I = \int 2 \, d\theta = 2\theta + C$.
चूंकि $\sin \theta = \sqrt{x}$,इसलिए $\theta = \sin^{-1} \sqrt{x}$ है।
अतः,$I = 2 \sin^{-1} \sqrt{x} + C$.

(D) दिया गया समाकलन: $\int e^x(1+x) \cdot \sec^2(x e^x) \, dx = f(x) + C$.
माना $t = x e^x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = e^x + x e^x = e^x(1+x)$.
अतः,$dt = e^x(1+x) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\int \sec^2(t) \, dt$.
$\sec^2(t)$ का समाकलन $\tan(t) + C$ होता है।
$t$ के स्थान पर $x e^x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan(x e^x) + C$.
इसकी तुलना $f(x) + C$ से करने पर,$f(x) = \tan(x e^x)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} dx$.
इसे हल करने के लिए,हम $x^{3/2} = t$ प्रतिस्थापित करते हैं।
तब,$\frac{3}{2} x^{1/2} dx = dt$,जिसका अर्थ है $x^{1/2} dx = \frac{2}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{x^{1/2} dx}{\sqrt{a^3 - (x^{3/2})^2}} = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{(a^{3/2})^2 - t^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{A^2 - t^2}} dt = \sin^{-1}(\frac{t}{A}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\frac{t}{a^{3/2}}) + c$.
$t$ के स्थान पर $x^{3/2}$ रखने पर:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}) + c$.
अतः,$g(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}})$.

(C) माना $I = \int \frac{d x}{(x+100) \sqrt{x+99}}$.
हम हर को $(x+99) + 1 = (\sqrt{x+99})^2 + 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{d x}{((\sqrt{x+99})^2 + 1) \sqrt{x+99}}$.
माना $t = \sqrt{x+99}$. तब $t^2 = x+99$,जिसका अर्थ है $2t \, dt = dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2t \, dt}{(t^2 + 1)t} = \int \frac{2 \, dt}{t^2 + 1}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \tan^{-1}(t) + c$.
$t = \sqrt{x+99}$ वापस रखने पर:
$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99}) + c$.
इसकी तुलना $f(x) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+99})$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\tan x} \sec^2 x d x$.
चूँकि $\frac{1}{\tan x} = \cot x$,इसलिए $I = \int \sqrt{\cot x} \cdot \cot x \cdot \sec^2 x d x = \int (\cot x)^{3/2} \sec^2 x d x$.
वैकल्पिक रूप से,हर को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x} d x = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\cot x \cdot \cos^2 x} d x = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\cot x}} d x$.
माना $u = \cot x$,तब $du = -\csc^2 x d x$,इसलिए $d x = -\sin^2 x du$.
$I = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{\sin x \cos x} \cdot (-\sin^2 x du) = -\int \frac{\sin x}{\cos x \sqrt{u}} du = -\int \frac{1}{u \sqrt{u}} du = -\int u^{-3/2} du$.
$I = -\left( \frac{u^{-1/2}}{-1/2} \right) + c = 2 \sqrt{u} + c = 2 \sqrt{\cot x} + c$.
दिया गया है कि $\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = -f(x) + c$,अतः $-f(x) = 2 \sqrt{\cot x}$,जिससे $f(x) = -2 \sqrt{\cot x}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{9^x-1}} = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{(3^x)^2-1}}$.
$3^x = z$ प्रतिस्थापन लेने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $3^x \log 3 \, dx = dz$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3^x \, dx = \frac{dz}{\log 3}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{\log 3} \int \frac{dz}{\sqrt{z^2-1}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{\sqrt{t^2-a^2}} = \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\log 3} \log |z + \sqrt{z^2-1}| + c$.
अब $z = 3^x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{\log 3} \log |3^x + \sqrt{9^x-1}| + c$.

(D) माना $I = \int \log (6 \sin^2 x + 17 \sin x + 12)^{\cos x} dx$.
$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos x dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \log (6t^2 + 17t + 12) dt = \int \log ((2t+3)(3t+4)) dt = \int (\log(2t+3) + \log(3t+4)) dt$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$\int \log(2t+3) dt = t \log(2t+3) - \int \frac{2t}{2t+3} dt = t \log(2t+3) - \int (1 - \frac{3}{2t+3}) dt = (t + \frac{3}{2}) \log(2t+3) - t$.
इसी प्रकार,$\int \log(3t+4) dt = (t + \frac{4}{3}) \log(3t+4) - t$.
अतः,$f(t) = (t + \frac{3}{2}) \log(2t+3) + (t + \frac{4}{3}) \log(3t+4) - 2t$.
$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए,$t = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
$f(1) = (1 + \frac{3}{2}) \log(5) + (1 + \frac{4}{3}) \log(7) - 2(1) = \frac{5}{2} \log 5 + \frac{7}{3} \log 7 - 2 = \frac{15 \log 5 + 14 \log 7 - 12}{6}$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{\sin(x - \frac{\pi}{3}) \cos x}$ है।
सूत्र $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) \cos x} = \int \frac{dx}{\cos^2 x (\frac{1}{2} \tan x - \frac{\sqrt{3}}{2})} = \int \frac{\sec^2 x dx}{\frac{1}{2} (\tan x - \sqrt{3})} = 2 \int \frac{\sec^2 x dx}{\tan x - \sqrt{3}}$।
माना $u = \tan x - \sqrt{3}$,तब $du = \sec^2 x dx$ है।
$I = 2 \int \frac{du}{u} = 2 \log |u| + C = 2 \log |\tan x - \sqrt{3}| + C$।

(A) माना $I = \int \sqrt{e^{4x} + e^{2x}} \, dx = \int e^x \sqrt{e^{2x} + 1} \, dx$.
$e^x = v$ प्रतिस्थापित करने पर,$dv = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
$I = \int \sqrt{v^2 + 1} \, dv$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $I = \frac{v}{2} \sqrt{v^2 + 1} + \frac{1}{2} \ln|v + \sqrt{v^2 + 1}| + c$.
चूंकि $\sinh^{-1}(v) = \ln(v + \sqrt{v^2 + 1})$,इसलिए $I = \frac{v}{2} \sqrt{v^2 + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(v) + c$.
$v = e^x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} e^x \sqrt{e^{2x} + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(e^x) + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $x+2=t$,तब $dx=dt$ होगा।
समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int(t-1)(t)^4(t+1) \, dt = \int(t^2-1)t^4 \, dt$।
व्यंजक का विस्तार करने पर:
$I = \int(t^6-t^4) \, dt$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^7}{7} - \frac{t^5}{5} + C$।
$t = x+2$ वापस रखने पर:
$I = \frac{(x+2)^7}{7} - \frac{(x+2)^5}{5} + C$।

(A) माना $I = \int \cos \sqrt{x} \, dx$ है।
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dx = 2t \, dt$ मिलता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \cos(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int t \cos(t) \, dt$।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,जहाँ $u = t$ और $dv = \cos(t) \, dt$ है:
$I = 2 \left[ t \sin(t) - \int \sin(t) \, dt \right] = 2 [t \sin(t) + \cos(t)] + c$।
$t$ का मान $\sqrt{x}$ वापस रखने पर:
$I = 2 \sqrt{x} \sin \sqrt{x} + 2 \cos \sqrt{x} + c$।

(C) हमें समाकलन $I = \int \sin ^3(x) \cdot \cos ^3(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन को इस प्रकार लिखें:
$I = \int \sin ^3(x) \cdot \cos ^2(x) \cdot \cos(x) \, dx$
सर्वसमिका $\cos ^2(x) = 1 - \sin ^2(x)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \sin ^3(x) \cdot (1 - \sin ^2(x)) \cdot \cos(x) \, dx$
माना $t = \sin(x)$,तो $dt = \cos(x) \, dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int t^3(1 - t^2) \, dt = \int (t^3 - t^5) \, dt$
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^4}{4} - \frac{t^6}{6} + C$
अब $t = \sin(x)$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{4} \sin ^4(x) - \frac{1}{6} \sin ^6(x) + C$

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \sin^5 x \, dx = \int \sin^4 x \cdot \sin x \, dx$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^4 x = (1 - \cos^2 x)^2 = 1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x$ प्राप्त होता है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x) \sin x \, dx$।
माना $u = \cos x$,तो $du = -\sin x \, dx$,इसलिए $\sin x \, dx = -du$।
$I = -\int (1 - 2u^2 + u^4) \, du = -[u - \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}] + C = -\frac{u^5}{5} + \frac{2u^3}{3} - u + C$।
$u = \cos x$ वापस रखने पर: $I = -\frac{\cos^5 x}{5} + \frac{2}{3} \cos^3 x - \cos x + C$।
दिए गए व्यंजक $\frac{-\cos^5 x}{5} + a \cos^3 x + b \cos x + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = \frac{2}{3}$ और $b = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$।

(A) माना $I = \int \frac{1}{x[(\log x)^2 + 4 \log x - 1]} dx$.
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $I = \int \frac{1}{t^2 + 4t - 1} dt$ हो जाता है।
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $t^2 + 4t - 1 = (t+2)^2 - 5 = (t+2)^2 - (\sqrt{5})^2$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{u^2 - a^2} du = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{u-a}{u+a} \right| + K$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{(t+2) - \sqrt{5}}{(t+2) + \sqrt{5}} \right| + K$.
$t = \log x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{\log x + 2 - \sqrt{5}}{\log x + 2 + \sqrt{5}} \right| + K$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$A = \frac{1}{2\sqrt{5}}$,$B = 2 - \sqrt{5}$,और $C = 2 + \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\int \frac{(2x+1)^6}{(3x+2)^8} dx = P \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^Q + R$
माना $t = \frac{2x+1}{3x+2}$।
तब,$\frac{dt}{dx} = \frac{(3x+2)(2) - (2x+1)(3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4-6x-3}{(3x+2)^2} = \frac{1}{(3x+2)^2}$।
अतः,$dt = \frac{dx}{(3x+2)^2}$।
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^6 \cdot \frac{dx}{(3x+2)^2} = \int t^6 dt$।
समाकलन करने पर,$\int t^6 dt = \frac{t^7}{7} + C = \frac{1}{7} \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^7 + C$।
$P \left( \frac{2x+1}{3x+2} \right)^Q + R$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = \frac{1}{7}$,$Q = 7$ और $R = C$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{P}{Q} = \frac{1/7}{7} = \frac{1}{49} = \frac{1}{7^2}$।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\cos^2 x + \sin 2x}$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{1 + 2 \tan x}$.
माना $t = 1 + 2 \tan x$. तब $dt = 2 \sec^2 x dx$,जिसका अर्थ है कि $\sec^2 x dx = \frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \log |t| + C$.
अब $t = 1 + 2 \tan x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \log |1 + 2 \tan x| + C$.
अतः,विकल्प $C$ सही है.

(B) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} d x$.
$1+x^2 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x d x = 2t d t$ अर्थात $x d x = t d t$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x^2 = t^2 - 1$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{(t^2-1) t d t}{t} = \int (t^2-1) d t$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^3}{3} - t + C$.
$t = (1+x^2)^{1/2}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2} - (1+x^2)^{1/2} + C$.
इसकी तुलना $A(1+x^2)^{3/2} + B(1+x^2)^{1/2} + C$ से करने पर,$A = \frac{1}{3}$ और $B = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.

(B) दिया गया समाकलन $\int_1^3 x^n \sqrt{x^2-1} dx = 6$ है।
माना $u = x^2 - 1$,तब $du = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} du$.
जब $x=1$ है,तो $u=0$ और जब $x=3$ है,तो $u=8$.
अतः समाकलन $\int_0^8 (u+1)^{\frac{n-1}{2}} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = 6$ हो जाता है।
दिए गए समाधान के अनुसार $n=3$ रखने पर यह सही सिद्ध होता है।

(B) माना $I = \int_1^4 x \sqrt{x^2-1} \, dx$.
$t = x^2 - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x \, dx$ या $x \, dx = \frac{dt}{2}$ प्राप्त होता है।
जब $x = 1$,तब $t = 1^2 - 1 = 0$.
जब $x = 4$,तब $t = 4^2 - 1 = 15$.
अतः,$I = \int_0^{15} \sqrt{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_0^{15} t^{1/2} \, dt$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^{15} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} [t^{3/2}]_0^{15} = \frac{1}{3} (15)^{3/2}$.
इसकी तुलना $\alpha(k)^\beta$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{3}$,$k = 15$ और $\beta = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha \beta = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

(C) माना $I = \int \frac{(1+x) e^x}{\cot \left(x e^x\right)} d x$ है।
$t = x e^x$ प्रतिस्थापित करने पर।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{dt}{\cot t} = \int \tan t dt$ प्राप्त होता है।
$\tan t$ का समाकलन $\log |\sec t| + c$ होता है।
अतः,$I = \log |\sec(x e^x)| + c$।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना $I = \int \frac{(\cos ^n \theta-\cos \theta)^{\frac{1}{n}}}{\cos ^{n+1} \theta} \sin \theta d \theta$.
अंश से $\cos^n \theta$ बाहर निकालने पर:
$I = \int \frac{(\cos^n \theta (1 - \cos^{1-n} \theta))^{\frac{1}{n}}}{\cos^{n+1} \theta} \sin \theta d \theta$
$I = \int \frac{\cos \theta (1 - \cos^{1-n} \theta)^{\frac{1}{n}}}{\cos^{n+1} \theta} \sin \theta d \theta = \int \frac{(1 - \cos^{1-n} \theta)^{\frac{1}{n}}}{\cos^n \theta} \sin \theta d \theta$.
माना $t = 1 - \cos^{1-n} \theta$.
तब $dt = -(1-n) \cos^{-n} \theta (-\sin \theta) d \theta = (1-n) \cos^{-n} \theta \sin \theta d \theta$.
अतः,$\frac{dt}{1-n} = \frac{\sin \theta}{\cos^n \theta} d \theta$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{t^{\frac{1}{n}}}{1-n} dt = \frac{1}{1-n} \cdot \frac{t^{\frac{1}{n}+1}}{\frac{1}{n}+1} + c = \frac{1}{1-n} \cdot \frac{t^{\frac{n+1}{n}}}{\frac{n+1}{n}} + c$
$I = \frac{n}{(1-n)(n+1)} t^{\frac{n+1}{n}} + c = \frac{n}{1-n^2} (1 - \cos^{1-n} \theta)^{\frac{n+1}{n}} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin 2x} dx$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{2 \sin x \cos x} dx$.
अंश और हर को $\sin^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{2 \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x} \cdot \sin^2 x} dx = \int \frac{\sqrt{\cot x}}{2 \cot x \sin^2 x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sqrt{\cot x}} dx$.
माना $t = \cot x$,तब $dt = -\operatorname{cosec}^2 x dx$,अर्थात $\operatorname{cosec}^2 x dx = -dt$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{-dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt$.
$I = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\sqrt{t} + C$.
$t = \cot x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = -\sqrt{\cot x} + C$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}} dx$.
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर और सरल करने पर:
$I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^2(x+1+1/x)}} dx = \int \frac{x-1}{x(x+1) \sqrt{x+1+1/x}} dx$.
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{1-1/x^2}{(x+1/x+2) \sqrt{x+1/x+1}} dx$.
माना $t = \sqrt{x+1/x+1}$,तो $t^2 = x+1/x+1$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2t dt = (1-1/x^2) dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2t dt}{(t^2+1)t} = 2 \int \frac{dt}{t^2+1} = 2 \tan^{-1}(t) + C$.
अतः,$f(x) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{x+1/x+1})$.
$x=1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{1+1+1}) = 2 \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(A) माना $I = \int \frac{y^2+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[6]{y^2}}{y\left(1+\sqrt[3]{y^2}\right)} d y$
$= \int \frac{y^2+y^{4/3}+y^{1/3}}{y(1+y^{2/3})} d y$
$= \int \frac{y^{4/3}(y^{2/3}+1)+y^{1/3}}{y(1+y^{2/3})} d y$
$= \int \left(y^{1/3} + \frac{y^{-2/3}}{1+y^{2/3}}\right) d y$
$= \frac{y^{4/3}}{4/3} + \int \frac{y^{-2/3}}{1+(y^{1/3})^2} d y$
$= \frac{3}{4} y^{4/3} + 3 \int \frac{d(y^{1/3})}{1+(y^{1/3})^2}$
$= \frac{3}{4} \sqrt[3]{y^4} + 3 \tan^{-1}(y^{1/3}) + C$
$= \frac{3}{4} \sqrt[3]{y^4} + 3 \tan^{-1}(\sqrt[3]{y}) + C$

(C) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{\sqrt{2} \, dx}{\cos x \sqrt{\sin 2x}}$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{\sin 2x} = \sqrt{2} \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{2} \, dx}{\cos x \cdot \sqrt{2} \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}} = \int \frac{dx}{\cos x \sqrt{\sin x} \sqrt{\cos x}} = \int \frac{dx}{(\cos x)^{3/2} \sqrt{\sin x}}$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x \, dx}{\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}}} = \int \frac{\sec^2 x \, dx}{\sqrt{\tan x}}$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x \, dx$.
$I = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-1/2} \, du = 2u^{1/2} + c = 2 \sqrt{\tan x} + c$.
अतः,$f(x) = 2 \sqrt{\tan x}$.

(B) माना $I = \int x \operatorname{Tan}^{-1} \sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}} \, dx$ है।
$x^2 = \cos \theta$ रखने पर,$2x \, dx = -\sin \theta \, d\theta$,जिसका अर्थ है $x \, dx = -\frac{1}{2} \sin \theta \, d\theta$।
समाकलन $I = \int \operatorname{Tan}^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} \left(-\frac{1}{2} \sin \theta\right) d\theta$ हो जाता है।
$\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \cot(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर।
अतः,$I = -\frac{1}{2} \int (\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}) \sin \theta \, d\theta = -\frac{\pi}{4} \int \sin \theta \, d\theta + \frac{1}{4} \int \theta \sin \theta \, d\theta$।
$I = \frac{\pi}{4} \cos \theta + \frac{1}{4} [-\theta \cos \theta + \int \cos \theta \, d\theta] = \frac{\pi}{4} \cos \theta - \frac{1}{4} \theta \cos \theta + \frac{1}{4} \sin \theta + c$।
चूँकि $\cos \theta = x^2$,$\theta = \operatorname{Cos}^{-1} x^2$,और $\sin \theta = \sqrt{1-x^4}$ है,
$I = \frac{x^2}{4} (\pi - \operatorname{Cos}^{-1} x^2) + \frac{1}{4} \sqrt{1-x^4} + c$।

(D) माना $I = \int \frac{1}{(2 \cos x+\sin x)^2} d x$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{(2 + \tan x)^2} d x$.
माना $u = 2 + \tan x$.
तब $du = \sec^2 x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{u^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{u} + c$.
$u = 2 + \tan x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{2 + \tan x} + c$.
चूंकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए:
$I = -\frac{1}{2 + \frac{\sin x}{\cos x}} + c = -\frac{\cos x}{2 \cos x + \sin x} + c$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(D) माना $I = \int \frac{(\sin^4 x + 2 \cos^2 x - 1) \cos x}{(1 + \sin x)^6} dx$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,अंश $\sin^4 x + 2(1 - \sin^2 x) - 1 = \sin^4 x - 2 \sin^2 x + 1 = (1 - \sin^2 x)^2 = \cos^4 x$ हो जाता है।
अतः,$I = \int \frac{\cos^4 x \cdot \cos x}{(1 + \sin x)^6} dx = \int \frac{\cos^5 x}{(1 + \sin x)^6} dx$.
माना $u = 1 + \sin x$,तब $du = \cos x dx$.
प्रतिस्थापन करने पर,$I = \int \frac{(1 - \sin x)^2}{(1 + \sin x)^4} \cos x dx = \int \frac{(1 - t)^2}{(1 + t)^4} dt$ जहाँ $t = \sin x$.
$z = \frac{1 - t}{1 + t}$ लेने पर,$dz = \frac{-2}{(1 + t)^2} dt$.
अतः $I = \int z^2 (-\frac{1}{2} dz) = -\frac{z^3}{6} + C = -\frac{1}{6} \left( \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right)^3 + C$.
इसे सरल करने पर,$I = -\frac{1}{6} \frac{(1 - \sin x)^3}{(1 + \sin x)^3} \cdot \frac{(1 + \sin x)^3}{(1 + \sin x)^3} = -\frac{1}{6} \frac{(1 - \sin^2 x)^3}{(1 + \sin x)^6} = -\frac{\cos^6 x}{6(1 + \sin x)^6} + C$.

(C) माना $I = \int \frac{4 \tan^4 x + 3 \tan^2 x - 1}{\tan^2 x + 4} dx$.
सबसे पहले,अंश का गुणनखंड करने पर: $4 \tan^4 x + 3 \tan^2 x - 1 = (4 \tan^2 x - 1)(\tan^2 x + 1)$.
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए $I = \int \frac{(4 \tan^2 x - 1) \sec^2 x}{\tan^2 x + 4} dx$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$.
समाकलन $I = \int \frac{4u^2 - 1}{u^2 + 4} du$ हो जाता है।
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $I = \int \frac{4(u^2 + 4) - 17}{u^2 + 4} du$.
$I = \int \left( 4 - \frac{17}{u^2 + 2^2} \right) du$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = 4u - 17 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{u}{2} \right) + C$.
$u = \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर,$I = 4 \tan x - \frac{17}{2} \tan^{-1} \left( \frac{\tan x}{2} \right) + C$.

(D) माना $I = \int \sqrt{4 \cos ^2 x - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
सर्वसमिका $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \sqrt{4(1 - \sin ^2 x) - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx = \int \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x \, dx = dt$.
$I = \int \sqrt{4 - 9t^2} \, dt = \int \sqrt{2^2 - (3t)^2} \, dt$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 3t$ और $du = 3 \, dt$ (अतः $dt = \frac{du}{3}$):
$I = \frac{1}{3} \int \sqrt{2^2 - u^2} \, du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u}{2} \sqrt{4 - u^2} + \frac{4}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) \right] + C$.
$u = 3 \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{3 \sin x}{2} \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) \right] + C$.
$I = \frac{1}{2} \sin x \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + \frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) + C$.

(B) माना $I = \int \frac{\sec^2 x}{(\sec x + \tan x)^2} dx$.
माना $t = \sec x + \tan x$. तब $\frac{1}{t} = \sec x - \tan x$.
इन दोनों को जोड़ने पर,$2 \sec x = t + \frac{1}{t} \Rightarrow \sec x = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$.
$t = \sec x + \tan x$ का अवकलन करने पर,$dt = (\sec x \tan x + \sec^2 x) dx = \sec x(\tan x + \sec x) dx = \sec x \cdot t \cdot dx$.
अतः,$\sec x dx = \frac{dt}{t}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sec x \cdot \sec x dx}{t^2} = \int \frac{\frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{t}}{t^2} = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^4} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int (t^{-2} + t^{-4}) dt = \frac{1}{2} [\frac{t^{-1}}{-1} + \frac{t^{-3}}{-3}] + C$.
$I = -\frac{1}{2t} - \frac{1}{6t^3} + C = -\frac{3t^2 + 1}{6t^3} + C$.
$t = \sec x + \tan x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = -\frac{1+3(\sec x+\tan x)^2}{6(\sec x+\tan x)^3} + C$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{2 \sin 2x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx$ है।
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करके,अंश को पुनः लिखने पर:
$I = \int \frac{4 \sin x \cos x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx = \int \frac{(4 \sin x - 3) \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x dx = dt$.
समाकलन $I = \int \frac{4t - 3}{2t^2 - 3t + 4} dt$ हो जाता है।
माना $u = 2t^2 - 3t + 4$,तब $du = (4t - 3) dt$.
अतः,$I = \int \frac{du}{u} = \ln |u| + c = \ln |2t^2 - 3t + 4| + c$.
$t = \sin x$ वापस रखने पर,हमें $f(x) = \ln |2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4|$ प्राप्त होता है।
अब,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0)$ की गणना करें:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \ln |2(1)^2 - 3(1) + 4| = \ln |2 - 3 + 4| = \ln 3$.
$f(0) = \ln |2(0)^2 - 3(0) + 4| = \ln 4$.
इसलिए,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0) = \ln 3 - \ln 4 = \ln \left(\frac{3}{4}\right) = \log \left(\frac{3}{4}\right)$.

(A) माना $I = \int \frac{d x}{\left(x+\frac{2}{x}\right) \sqrt{x^4+4 x^2+3}}$.
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x d x}{\left(x^2+2\right) \sqrt{x^4+4 x^2+3}}$.
वर्गमूल के अंदर के पद को फिर से लिखने पर: $x^4+4 x^2+3 = (x^2+2)^2 - 1$.
अतः,$I = \int \frac{x d x}{\left(x^2+2\right) \sqrt{(x^2+2)^2 - 1}}$.
माना $t = x^2+2$,तो $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t \sqrt{t^2-1}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^2-1}} = \sec^{-1}(t) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(t) + C$.
$t = x^2+2$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \sec^{-1}(x^2+2) + C$.

(D) माना $I = \int \frac{x^{49} \tan ^{-1}(x^{50})}{1+x^{100}} d x$.
$t = \tan ^{-1}(x^{50})$ प्रतिस्थापित करने पर।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{1+(x^{50})^2} \cdot 50x^{49} = \frac{50x^{49}}{1+x^{100}}$.
अतः,$\frac{x^{49}}{1+x^{100}} dx = \frac{1}{50} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t \cdot \frac{1}{50} dt = \frac{1}{50} \int t dt = \frac{1}{50} \cdot \frac{t^2}{2} + C = \frac{1}{100} t^2 + C$.
$t$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{100} (\tan ^{-1}(x^{50}))^2 + C$.
दिए गए व्यंजक $k(\tan ^{-1}(x^{50}))^2 + c$ के साथ तुलना करने पर,$k = \frac{1}{100}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x^{9/2}}{\sqrt{1+x^{11}}} dx$.
$t = x^{11/2}$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$dt = \frac{11}{2} x^{9/2} dx$,जिसका अर्थ है कि $x^{9/2} dx = \frac{2}{11} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{2}{11} dt}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{2}{11} \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \log(x + \sqrt{1+x^2}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{2}{11} \log(t + \sqrt{1+t^2}) + c$.
$t = x^{11/2}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{11} \log(x^{11/2} + \sqrt{1+x^{11}}) + c$.

(C) माना $I = \int \frac{\tan x}{\sec ^2 x(1+\sec ^6 x)^{2/3}} dx$ है।
समाकल्य को इस प्रकार लिखें:
$I = \int \frac{\tan x}{\sec ^2 x \cdot (\sec^6 x)^{2/3} (\frac{1}{\sec^6 x} + 1)^{2/3}} dx$
$I = \int \frac{\tan x}{\sec ^2 x \cdot \sec^4 x (\cos^6 x + 1)^{2/3}} dx$
$I = \int \frac{\tan x}{\sec^6 x (1 + \cos^6 x)^{2/3}} dx$
$I = \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^6 x (1 + \cos^6 x)^{-2/3} dx$
$I = \int \sin x \cos^5 x (1 + \cos^6 x)^{-2/3} dx$
माना $u = 1 + \cos^6 x$ है। तब $du = 6 \cos^5 x (-\sin x) dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \cos^5 x dx = -\frac{1}{6} du$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int -\frac{1}{6} u^{-2/3} du$
$I = -\frac{1}{6} \cdot \frac{u^{1/3}}{1/3} + C$
$I = -\frac{1}{2} u^{1/3} + C$
$I = -\frac{1}{2} (1 + \cos^6 x)^{1/3} + C$।

(C) माना $I = \int(2 x-3) \sqrt{3 x+2} \, dx$ है।
$3x+2 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \frac{t^2-2}{3}$ और $dx = \frac{2t}{3} \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \left(2 \left(\frac{t^2-2}{3}\right) - 3\right) \cdot t \cdot \frac{2t}{3} \, dt$
$I = \int \left(\frac{2t^2-13}{3}\right) \cdot \frac{2t^2}{3} \, dt = \frac{2}{9} \int (2t^4 - 13t^2) \, dt$
$I = \frac{2}{9} \left( \frac{2t^5}{5} - \frac{13t^3}{3} \right) + c = \frac{2}{135} (6t^5 - 65t^3) + c$
चूंकि $t = \sqrt{3x+2}$ है,
$I = \frac{2}{135} (3x+2) \sqrt{3x+2} (6(3x+2) - 65) + c$
$I = \frac{2}{135} \sqrt{3x+2} (3x+2) (18x - 53) + c$
$I = \frac{2}{135} (54x^2 - 123x - 106) \sqrt{3x+2} + c$.

(A) माना $I = \int \frac{\cos^3 x}{(1+\sin x)^4} dx$ है।
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos^3 x = \cos x(1 - \sin^2 x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{\cos x(1 - \sin^2 x)}{(1+\sin x)^4} dx$ है।
माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x dx$ है।
$I = \int \frac{1 - u^2}{(1+u)^4} du = \int \frac{(1-u)(1+u)}{(1+u)^4} du = \int \frac{1-u}{(1+u)^3} du$ है।
माना $t = 1+u$,तो $u = t-1$ और $du = dt$ है।
$I = \int \frac{1-(t-1)}{t^3} dt = \int \frac{2-t}{t^3} dt = \int (2t^{-3} - t^{-2}) dt$ है।
$I = 2 \frac{t^{-2}}{-2} - \frac{t^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t} + c$ है।
$t = 1+\sin x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = -\frac{1}{(1+\sin x)^2} + \frac{1}{1+\sin x} + c = \frac{-1 + (1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} + c = \frac{\sin x}{(1+\sin x)^2} + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{(1-\cos x)^{2 / 7}}{(1+\cos x)^{9 / 7}} dx$.
सर्वसमिकाओं $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{(2 \sin^2 \frac{x}{2})^{2/7}}{(2 \cos^2 \frac{x}{2})^{9/7}} dx$
$I = \int \frac{2^{2/7} \sin^{4/7} \frac{x}{2}}{2^{9/7} \cos^{18/7} \frac{x}{2}} dx$
$I = \int \frac{1}{2} \frac{\sin^{4/7} \frac{x}{2}}{\cos^{4/7} \frac{x}{2} \cdot \cos^2 \frac{x}{2}} dx$
$I = \int \frac{1}{2} \tan^{4/7} \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$.
माना $t = \tan \frac{x}{2}$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int t^{4/7} dt = \frac{t^{4/7 + 1}}{4/7 + 1} + C = \frac{t^{11/7}}{11/7} + C = \frac{7}{11} t^{11/7} + C$.
$t = \tan \frac{x}{2}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{7}{11} \left(\tan \frac{x}{2}\right)^{11/7} + C$.

(B) माना $I = \int(x+2) \sqrt{x+3} \, dx$.
$t = \sqrt{x+3}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $t^2 = x+3$ और $x = t^2-3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int(t^2-3+2) \cdot t \cdot (2t \, dt)$
$I = \int(t^2-1) \cdot 2t^2 \, dt$
$I = 2 \int(t^4-t^2) \, dt$
$I = 2 \left( \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} \right) + C$
$I = 2 \left( \frac{3t^5 - 5t^3}{15} \right) + C$
$I = \frac{2}{15} t^3 (3t^2 - 5) + C$
चूंकि $t = \sqrt{x+3}$,इसलिए $t^2 = x+3$ और $t^3 = (x+3)\sqrt{x+3}$।
$I = \frac{2}{15} (x+3)\sqrt{x+3} (3(x+3) - 5) + C$
$I = \frac{2}{15} \sqrt{x+3} (x+3) (3x + 9 - 5) + C$
$I = \frac{2}{15} \sqrt{x+3} (x+3) (3x + 4) + C$
$I = \frac{2}{15} \sqrt{x+3} (3x^2 + 4x + 9x + 12) + C$
$I = \frac{2}{15} \sqrt{x+3} (3x^2 + 13x + 12) + C$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx$ है।
माना $t = \sin x$,तब $dt = \cos x \, dx$ होगा।
अतः समाकलन $I = \int \sqrt{t} \, dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{3} (\sin x)^{3/2} + C$ प्राप्त होता है।
वास्तविक संख्याओं में $\sqrt{\sin x}$ को परिभाषित होने के लिए,$\sin x \ge 0$ होना चाहिए।
यहाँ $\sin x > 0$ होना आवश्यक है ताकि वर्गमूल फलन अवकलनीय रहे।
ज्या फलन $\sin x$ प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में धनात्मक होता है,जो अंतराल $(2n\pi, (2n+1)\pi)$ को दर्शाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।

(A) माना $I = \int \frac{x e^{\left(\frac{x^2}{x^2-2}\right)}}{x^4-4 x^2+4} d x$.
ध्यान दें कि $x^4-4x^2+4 = (x^2-2)^2$.
अतः,$I = \int \frac{x e^{\left(\frac{x^2}{x^2-2}\right)}}{(x^2-2)^2} d x$.
माना $t = x^2$,तो $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{e^{\left(\frac{t}{t-2}\right)}}{(t-2)^2} dt$.
अब,माना $p = \frac{t}{t-2}$.
तो $dp = \frac{(t-2)(1) - t(1)}{(t-2)^2} dt = \frac{-2}{(t-2)^2} dt$.
इसका अर्थ है $\frac{1}{(t-2)^2} dt = -\frac{1}{2} dp$.
समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int e^p \left(-\frac{1}{2} dp\right) = -\frac{1}{4} \int e^p dp = -\frac{1}{4} e^p + C$.
$p = \frac{x^2}{x^2-2}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{4} e^{\frac{x^2}{x^2-2}} + C$.

(B) माना $I = \int \frac{x^2}{1 + (x^3)^2} dx$.
प्रतिस्थापन $z = x^3$ लेने पर,$dz = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{1}{3} dz$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + z^2} dz$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{1 + z^2} dz = \tan^{-1}(z) + C$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(z) + C$ प्राप्त होता है।
अंत में,$z = x^3$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(x^3) + C$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x^3+x^2-x-1}{(x^5+x^4+3x^3+3x^2+x+1) \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$.
अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x+1) - 1(x+1) = (x^2-1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^4(x+1) + 3x^2(x+1) + 1(x+1) = (x+1)(x^4+3x^2+1)$.
अतः,$I = \int \frac{(x-1)(x+1)^2}{(x+1)(x^4+3x^2+1) \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx = \int \frac{(x^2-1)}{(x^4+3x^2+1) \tan^{-1}(\frac{x^2+1}{x})} dx$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{(x^2 + 3 + \frac{1}{x^2}) \tan^{-1}(x + \frac{1}{x})} dx = \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{((x + \frac{1}{x})^2 + 1) \tan^{-1}(x + \frac{1}{x})} dx$.
माना $u = \tan^{-1}(x + \frac{1}{x})$,तो $du = \frac{1}{1 + (x + \frac{1}{x})^2} \cdot (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.
इस प्रकार,$I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + C = \log|\tan^{-1}(x + \frac{1}{x})| + C$.
$A \log(f(x)) + C$ से तुलना करने पर,हमें $A = 1$ और $f(x) = \tan^{-1}(x + \frac{1}{x})$ प्राप्त होता है।
अतः $f(2) = \tan^{-1}(2 + \frac{1}{2}) = \tan^{-1}(\frac{5}{2})$.
इसलिए,$A - \tan(f(2)) = 1 - \tan(\tan^{-1}(\frac{5}{2})) = 1 - \frac{5}{2} = \frac{-3}{2}$.