Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Hindi

(D) दिया गया सारणिक: $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 3x+2 & 2x-1 \\ 2x-1 & 4x & 3x+1 \\ 7x-2 & 17x+6 & 12x-1\end{array}\right| = 0$.
पंक्ति संक्रिया $R_{3} \rightarrow R_{3} - 3R_{1} - 2R_{2}$ लागू करने पर:
तीसरी पंक्ति के अवयवों के लिए:
$R_{3,1} = (7x-2) - 3(x) - 2(2x-1) = 7x - 2 - 3x - 4x + 2 = 0$.
$R_{3,2} = (17x+6) - 3(3x+2) - 2(4x) = 17x + 6 - 9x - 6 - 8x = 0$.
$R_{3,3} = (12x-1) - 3(2x-1) - 2(3x+1) = 12x - 1 - 6x + 3 - 6x - 2 = 0$.
चूंकि तीसरी पंक्ति के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $x$ के सभी मानों के लिए $0$ है।
अतः,यह समीकरण $x$ के अनंत मानों के लिए सत्य है।

(D) आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने के लिए,हम तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं क्योंकि इसमें सबसे अधिक शून्य हैं:
$\det(A) = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3-t & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3-t & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3-t & 1 \\ -1 & 3-t \end{vmatrix}$
$\det(A) = 1 \cdot ((3-t)(1) - (0)(-1))$
$\det(A) = 3-t$
यह दिया गया है कि $\det(A) = 5$,इसलिए हम समीकरण बनाते हैं:
$3-t = 5$
$-t = 5 - 3$
$-t = 2$
$t = -2$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हमारे पास है,$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & 0 \\ -\cos \theta & 1 & \cos \theta \\ -1 & -\cos \theta & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1[1 - (-\cos \theta)(\cos \theta)] - \cos \theta[-\cos \theta - (-\cos \theta)] + 0[\cos^2 \theta + 1]$
$|A| = 1[1 + \cos^2 \theta] - \cos \theta[0] + 0$
$|A| = 1 + \cos^2 \theta$
अब,हम जानते हैं कि $-1 \leq \cos \theta \leq 1$.
इसलिए,$0 \leq \cos^2 \theta \leq 1$.
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,हमें $1 \leq 1 + \cos^2 \theta \leq 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$1 \leq |A| \leq 2$.
इसलिए,$|A|$ का मान संवृत अंतराल $[1, 2]$ में स्थित है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & x(x+1)(x-1) \end{vmatrix}$।
$R_2$ से $x$ और $R_3$ से $x(x-1)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$f(x) = x \cdot x(x-1) \begin{vmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2 & x-1 & x+1 \\ 3 & x-2 & x+1 \end{vmatrix}$।
$C_3$ से $(x+1)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$f(x) = x^2(x-1)(x+1) \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 2 & x-1 & 1 \\ 3 & x-2 & 1 \end{vmatrix}$।
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ संक्रिया लगाने पर:
$f(x) = x^2(x-1)(x+1) \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & x-2 & 1 \end{vmatrix}$।
चूंकि दो पंक्तियाँ ($R_1$ और $R_2$) समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,सभी $x$ के लिए $f(x) = 0$,जिसका अर्थ है कि $f(100) = 0$।

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & \cos R & \cos Q \\ \cos R & -1 & \cos P \\ \cos Q & \cos P & -1\end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = -1(1 - \cos^2 P) - \cos R(-\cos R - \cos Q \cos P) + \cos Q(\cos R \cos P + \cos Q)$
$\Delta = -(1 - \cos^2 P) + \cos^2 R + \cos R \cos Q \cos P + \cos Q \cos R \cos P + \cos^2 Q$
$\Delta = -1 + \cos^2 P + \cos^2 R + \cos^2 Q + 2 \cos P \cos Q \cos R$.
चूंकि $P, Q, R$ एक त्रिभुज के कोण हैं,$P+Q+R = \pi$,इसलिए $R = \pi - (P+Q)$.
त्रिभुज में कोसाइन के वर्गों के योग के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $\cos^2 P + \cos^2 Q + \cos^2 R = 1 - 2 \cos P \cos Q \cos R$.
इस मान को $\Delta$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = -1 + (1 - 2 \cos P \cos Q \cos R) + 2 \cos P \cos Q \cos R = 0$.

(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{lll} a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{lll} (a-b)+(b-c)+(c-a) & b-c & c-a \\ (b-c)+(c-a)+(a-b) & c-a & a-b \\ (c-a)+(a-b)+(b-c) & a-b & b-c \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अवयवों को सरल करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{lll} 0 & b-c & c-a \\ 0 & c-a & a-b \\ 0 & a-b & b-c \end{array} \right|$.
चूँकि प्रथम स्तंभ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x+\omega^2 & \omega & 1 \\ \omega & \omega^2 & 1+x \\ 1 & x+\omega & \omega^2\end{array}\right|=0$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,पहला स्तंभ इस प्रकार हो जाता है:
$C_1 = \begin{bmatrix} x + \omega^2 + \omega + 1 \\ \omega + \omega^2 + 1 + x \\ 1 + x + \omega + \omega^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ x \\ x \end{bmatrix}$.
अतः,सारणिक $x \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega & 1 \\ 1 & \omega^2 & 1+x \\ 1 & x+\omega & \omega^2 \end{array}\right| = 0$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि $x = 0$ एक हल है।

(B) हम जानते हैं कि $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ होता है।
दिया गया है कि $\det(AB) = 0$,इसलिए $\det(A) \cdot \det(B) = 0$ होगा।
$\det(A) = (x+2)^2 - 9x = x^2 + 4x + 4 - 9x = x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$ की गणना करें।
$\det(B) = x(x+2) - 0 = x(x+2)$ की गणना करें।
इस प्रकार,समीकरण $(x-1)(x-4) \cdot x(x+2) = 0$ बन जाता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x-1=0, x-4=0, x=0, x+2=0$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $x = 1, 4, 0, -2$ हैं।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
सारणिक इस प्रकार है:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 4a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 2c & c\end{array}\right|=0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(3bc - 2bc) - 1(4ac - 2ac) + 1(4ab - 3ab) = 0$
व्यंजक को सरल करने पर:
$(bc) - (2ac) + (ab) = 0$
$bc + ab = 2ac$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $a, b, c \neq 0$):
$\frac{bc}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{2ac}{abc}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$
यह स्थिति दर्शाती है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $AP$ में हैं,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ $HP$ में हैं।

(B) सारणिक का मान इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$\begin{vmatrix} \cos^2\theta & -\sin^2\theta \\ \sin^2\theta & \cos^2\theta \end{vmatrix} = (\cos^2\theta)(\cos^2\theta) - (-\sin^2\theta)(\sin^2\theta) = \cos^4\theta + \sin^4\theta$.
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करने पर:
$\cos^4\theta + \sin^4\theta = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$.
चूंकि $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$,इसलिए $\sin^2 2\theta = 4\sin^2\theta\cos^2\theta$,जिसका अर्थ है $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$.
अतः,व्यंजक $1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$ हो जाता है।
अब,$\sin^2 2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$1 - \frac{1}{2}(\frac{1 - \cos 4\theta}{2}) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4\theta = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4\theta = \frac{1}{4}(3 + \cos 4\theta)$.
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) शीर्षों $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = 35$.
दिए गए शीर्षों $(2, -6)$,$(5, 4)$,और $(k, 4)$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |2(4-4) + 5(4 - (-6)) + k(-6-4)| = 35$
$\frac{1}{2} |2(0) + 5(10) + k(-10)| = 35$
$|50 - 10k| = 70$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $50 - 10k = 70 \implies -10k = 20 \implies k = -2$.
स्थिति $2$: $50 - 10k = -70 \implies -10k = -120 \implies k = 12$.
अतः,$k$ के संभावित मान $12$ और $-2$ हैं।

(D) रैखिक समीकरण निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} \cos 3\theta & -8 & -12 \\ \cos 2\theta & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\cos 3\theta(9 - 3) + 8(3\cos 2\theta - 3) - 12(\cos 2\theta - 3) = 0$
$6\cos 3\theta + 24\cos 2\theta - 24 - 12\cos 2\theta + 36 = 0$
$6\cos 3\theta + 12\cos 2\theta + 12 = 0$
$6$ से विभाजित करने पर: $\cos 3\theta + 2\cos 2\theta + 2 = 0$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ और $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$(4\cos^3\theta - 3\cos\theta) + 2(2\cos^2\theta - 1) + 2 = 0$
$4\cos^3\theta + 4\cos^2\theta - 3\cos\theta = 0$
$\cos\theta(4\cos^2\theta + 4\cos\theta - 3) = 0$
$\cos\theta(2\cos\theta - 1)(2\cos\theta + 3) = 0$
चूंकि $\cos\theta$ का मान $-3/2$ नहीं हो सकता,इसलिए $\cos\theta = 0$ या $\cos\theta = 1/2$ प्राप्त होता है।
$\theta \in [0, 2\pi]$ के लिए,$\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2$.
$\cos\theta = 1/2 \Rightarrow \theta = \pi/3, 5\pi/3$.
सभी मानों का योग $\pi/2 + 3\pi/2 + \pi/3 + 5\pi/3 = 2\pi + 2\pi = 4\pi$ है।