Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Gujarati

(C) એક બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ એકમ કોષમાં પરમાણુઓની સંખ્યા:
$(1/8 \times 8) + 1 = 2 \text{ પરમાણુઓ}$.
$39 \ g$ પોટેશિયમમાં મોલની સંખ્યા:
$n = \frac{39 \ g}{39 \ g/mol} = 1 \text{ mol}$.
$39 \ g$ પોટેશિયમમાં કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા:
$1 \times 6.023 \times 10^{23} = 6.023 \times 10^{23} \text{ પરમાણુઓ}$.
દરેક $BCC$ એકમ કોષમાં $2$ પરમાણુઓ હોવાથી,એકમ કોષોની સંખ્યા:
$\frac{6.023 \times 10^{23}}{2} = 3.011 \times 10^{23} \text{ એકમ કોષો}$.

(B) $NaCl$ પ્રકારના બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $(a)$ $a = 2(r_{A^+} + r_{B^-}) = 2(0.5 + 1.5) \ \mathring{A} = 4 \ \mathring{A} = 4 \times 10^{-8} \ cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનતા $( ho)$ ની ગણતરી આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{4 \times 48}{6 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3} \ g/cc$.
$\rho = \frac{192}{6 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} \ g/cc$.
$\rho = \frac{192}{6 \times 64 \times 10^{-1}} \ g/cc = \frac{192}{38.4} \ g/cc = 5 \ g/cc$.

(A) $bcc$ બંધારણ માટે, નજીકના આયનો વચ્ચેનું અંતર (જે બોડી સેન્ટર અને ખૂણા પર હોય છે) $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $d = 1.73 \, \mathring{A} = 173 \, pm$.
કિંમત મૂકતા: $173 = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
$a = \frac{173 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{173 \times 2}{1.732} \approx 200 \, pm$.
તેથી, એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $200 \, pm$ છે.

(B) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ છે.
પરમાણ્વીય દળ $(M)$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{d \times N_{A} \times a^{3}}{Z}$.
$fcc$ લેટિસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
આપેલ છે: $d = 10.5 \ g \ cm^{-3}$,$a = 4.077 \ \mathring{A} = 4.077 \times 10^{-8} \ cm$,અને $N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{10.5 \times 6.022 \times 10^{23} \times (4.077 \times 10^{-8})^{3}}{4}$.
$M = \frac{10.5 \times 6.022 \times 10^{23} \times 67.77 \times 10^{-24}}{4}$.
$M = \frac{428.4}{4} \approx 107.1 \ g \ mol^{-1}$.

(B) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
આપેલ છે: $d = 2.70 \ g \ cm^{-3}$,$M = 27.0 \ g \ mol^{-1}$,$a = 405 \ pm = 405 \times 10^{-10} \ cm$,અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $2.70 = \frac{Z \times 27.0}{(6.022 \times 10^{23}) \times (405 \times 10^{-10})^3}$.
કદ $a^3 = (4.05 \times 10^{-8})^3 \approx 6.643 \times 10^{-23} \ cm^3$ ગણતા.
$Z = \frac{2.70 \times 6.022 \times 10^{23} \times 6.643 \times 10^{-23}}{27.0} \approx 4$.
$Z = 4$ હોવાથી,એકમ કોષ $Face \ centered \ cubic \ (FCC)$ છે.

(B) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
આપેલ છે: $d = 2.72 \ g \ cm^{-3}$,$M = 27 \ g \ mol^{-1}$,$a = 404 \ pm = 404 \times 10^{-10} \ cm$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $2.72 = \frac{Z \times 27}{6.022 \times 10^{23} \times (404 \times 10^{-10})^3}$.
$Z$ ની ગણતરી કરતા: $Z = \frac{2.72 \times 6.022 \times 10^{23} \times 6.60 \times 10^{-23}}{27} \approx 4$.
$Z = 4$ હોવાથી,એકમ કોષ $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) છે.
$fcc$ લેટીસમાં સવર્ગ આંક $12$ હોય છે.

(A) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ યુનિટ સેલ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sqrt{3} a = 4r$ છે.
પરમાણુનો વ્યાસ $(d)$ એ $2r$ જેટલો હોય છે.
સંબંધ $\sqrt{3} a = 4r$ પરથી,આપણે લખી શકીએ $2r = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
આપેલ છે $a = 4 \times 10^{-10} \ m$,તેથી વ્યાસ $d = 2r = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \times 10^{-10} \ m$.
$d = 1.732 \times 2 \times 10^{-10} \ m = 3.464 \times 10^{-10} \ m$.

(D) ઘનતા માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે。
$fcc$ લેટિસ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે。
આપેલ ધારની લંબાઈ $a = 404 \, pm = 404 \times 10^{-10} \, cm$ છે。
આપેલ ઘનતા $\rho = 2.72 \, g \, cm^{-3}$ અને $N_A = 6.02 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ છે。
કિંમતો મૂકતા: $2.72 = \frac{4 \times M}{6.02 \times 10^{23} \times (404 \times 10^{-10})^3}$.
$M$ માટે ઉકેલતા: $M = \frac{2.72 \times 6.02 \times 10^{23} \times 66.0 \times 10^{-24}}{4} \approx 27 \, g \, mol^{-1}$.

(A) $fcc$ લેટિસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
આપેલ છે: ધારની લંબાઈ $a = 4.077 \times 10^{-8} \ cm$,ઘનતા $d = 10.5 \ g \ cm^{-3}$,એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
પરમાણ્વીય દળ $M$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$.
$M = \frac{10.5 \times (4.077 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{10.5 \times 67.77 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = \frac{428.55}{4} \approx 107.14 \ g \ mol^{-1}$.

(C) $CsCl$ સ્ફટિક રચનામાં,$Cl^{-}$ આયનો સાદા ઘન એકમ કોષના ખૂણાઓ પર આવેલા હોય છે અને $Cs^{+}$ આયન અંતઃકેન્દ્રમાં આવેલો હોય છે.
અંતઃ વિકર્ણ પર,$Cs^{+}$ આયન અને ખૂણા પરના $Cl^{-}$ આયનો એકબીજાને સ્પર્શે છે.
અંતઃ વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{3} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતઃ વિકર્ણમાં બે $Cl^{-}$ ની ત્રિજ્યા અને એક $Cs^{+}$ નો વ્યાસ (બે $Cs^{+}$ ની ત્રિજ્યા) સમાવિષ્ટ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$2 r_c + 2 r_a = \sqrt{3} a$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$r_c + r_a = \frac{\sqrt{3} a}{2}$

(A) એક એકમ કોષનું કદ $V = a^3 = (2.88 \times 10^{-8} \, cm)^3 = 23.8878 \times 10^{-24} \, cm^3$ છે.
એક એકમ કોષનું દળ $m = \text{ઘનતા} \times V = 7.2 \, g/cm^3 \times 23.8878 \times 10^{-24} \, cm^3 = 171.99 \times 10^{-24} \, g$ છે.
ધાતુનું કુલ દળ $7.2 \, mg = 7.2 \times 10^{-3} \, g$ છે.
એકમ કોષોની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એક એકમ કોષનું દળ}} = \frac{7.2 \times 10^{-3} \, g}{171.99 \times 10^{-24} \, g} \approx 4.186 \times 10^{19}$ છે.
આમ,એકમ કોષોની સંખ્યા આશરે $4.19 \times 10^{19}$ છે.

(A) $b.c.c.$ બંધારણમાં,પરમાણુઓ અંતઃ વિકર્ણ (body diagonal) પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
અંતઃ વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{3} a$ છે.
કેન્દ્રના પરમાણુ અને ખૂણાના પરમાણુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\sqrt{3} a}{2}$ છે.
અહીં,$a = 4.3 \ \mathring{A}$.
ટૂંકામાં ટૂંકું આંતર-આયનીય અંતર $(r_{Cs^+} + r_{Br^-}) = \frac{\sqrt{3} \times 4.3}{2}$.
$(r_{Cs^+} + r_{Br^-}) = \frac{1.732 \times 4.3}{2} = 3.7236 \ \mathring{A} \approx 3.72 \ \mathring{A}$.

(C) $1$. તત્વનું મોલર દળ $(M)$ ગણો:
પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ = $2.03 \times 10^{24}$
દળ $(w)$ = $135 \ g$
એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
મોલ $(n)$ = $N / N_A = (2.03 \times 10^{24}) / (6.022 \times 10^{23}) \approx 3.37 \ mol$
મોલર દળ $(M)$ = $w / n = 135 / 3.37 \approx 40 \ g \ mol^{-1}$.
$2$. ઘનતા $(d)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$d = (Z \times M) / (N_A \times a^3)$
$FCC$ લેટીસ માટે, $Z = 4$.
ધારની લંબાઈ $(a)$ = $150 \ pm = 150 \times 10^{-10} \ cm = 1.5 \times 10^{-8} \ cm$.
$a^3 = (1.5 \times 10^{-8})^3 = 3.375 \times 10^{-24} \ cm^3$.
$d = (4 \times 40) / (6.022 \times 10^{23} \times 3.375 \times 10^{-24})$
$d = 160 / 2.0324 \approx 78.72 \ g \ cm^{-3}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, ઘનતા $78.8 \ g \ cm^{-3}$ છે.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\sqrt{3} \ a = 4 \ r$.
અહીં $a = 4 \times 10^{-10} \ m$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{\sqrt{3} \times a}{4} = \frac{\sqrt{3} \times 4 \times 10^{-10}}{4} = \sqrt{3} \times 10^{-10} \ m$.

(A) $NaCl$ નું મોલર દળ $58.5 \ g/mol$ છે.
$NaCl$ ના એક એકમ કોષમાં $4$ $NaCl$ ના એકમો હોય છે.
એક એકમ કોષનું દળ: $\frac{4 \times 58.5}{6.022 \times 10^{23}} \ g = 3.886 \times 10^{-22} \ g$.
$1.00 \ g$ $NaCl$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા: $\frac{1.00}{3.886 \times 10^{-22}} \approx 2.57 \times 10^{21}$.

(B) $NaCl$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$
ધારની લંબાઈ $(a)$ માટે પુનઃગોઠવણી કરતા: $a = \left[ \frac{Z \times M}{\rho \times N_{A}} \right]^{1/3}$
આપેલ છે: $Z = 4$,$M = 119 \ g \ mol^{-1}$,$\rho = 2.75 \ g \ cm^{-3}$,$N_{A} = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
$a = \left[ \frac{4 \times 119}{2.75 \times 6.023 \times 10^{23}} \right]^{1/3}$
$a \approx 6.6 \times 10^{-8} \ cm$

(D) $bcc$ બંધારણમાં,નજીકના પાડોશીનું અંતર $d$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ છે.
આપેલ છે $d = 4.52 \ \mathring{A}$,તેથી $a = \frac{2 \times 4.52}{\sqrt{3}} \ \mathring{A} = 5.233 \ \mathring{A} = 5.233 \times 10^{-10} \ m$.
$bcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ છે.
ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $M = 39 \ g \ mol^{-1} = 0.039 \ kg \ mol^{-1}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$\rho = \frac{2 \times 0.039}{(6.022 \times 10^{23}) \times (5.233 \times 10^{-10})^3} \ kg \ m^{-3}$.
$\rho \approx 908 \ kg \ m^{-3}$.

(A) $bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) બંધારણમાં, નજીકના આયનો બોડી ડાયાગોનલ પર સ્થિત હોય છે.
$bcc$ એકમ કોષ માટે, નજીકના આયનો વચ્ચેનું અંતર (જે ખૂણાના પરમાણુ અને બોડી-સેન્ટર્ડ પરમાણુ વચ્ચેનું અંતર છે) $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે $d = 1.73 \ \mathring{A}$.
$1 \ \mathring{A} = 100 \ pm$ હોવાથી, $d = 1.73 \times 100 = 173 \ pm$.
કિંમતો મૂકતા: $173 = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
$a = \frac{173 \times 2}{\sqrt{3}}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા, $a = \frac{173 \times 2}{1.732} \approx 200 \ pm$.

(B) ઘનતા માટેનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
આણ્વીય દળ $M$ માટે સૂત્ર: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$.
આપેલ છે: $d = 1.287 \, g \, cm^{-3}$,$a = 12.3 \, nm = 12.3 \times 10^{-7} \, cm$,$Z = 4$ ($FCC$ માટે),અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{1.287 \times (12.3 \times 10^{-7})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M \approx 3.6 \times 10^5 \, g \, mol^{-1}$.

(A) ઘન પ્રણાલી માટે બે સમતલો વચ્ચેનું અંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$
$(100)$,$(110)$ અને $(111)$ સમતલો માટે,અંતર નીચે મુજબ છે:
$d_{100} = \frac{a}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = a$
$d_{110} = \frac{a}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
$d_{111} = \frac{a}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$
તેથી,$d_{100} : d_{110} : d_{111}$ નો ગુણોત્તર:
$a : \frac{a}{\sqrt{2}} : \frac{a}{\sqrt{3}} = 1 : \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{1}{\sqrt{3}}$

(D) બ્રેગના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $n \lambda = 2d \sin \theta$
આપેલ છે: $n = 2$,$\lambda = 1 \ \mathring{A}$,$\theta = 60^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$2 \times 1 = 2 \times d \times \sin 60^{\circ}$
$2 = 2 \times d \times (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$d = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \frac{2}{1.732} \approx 1.15 \ \mathring{A}$

(B) બ્રેગના નિયમ મુજબ: $n \lambda = 2d \sin \theta$
આપેલ છે: $n = 1$,$\lambda = 2.29 \times 10^{-10} \ m$,$\theta = 27^\circ 8'$.
અહીં $\sin(27^\circ 8') \approx 0.45$ લેતા:
$d = \frac{n \lambda}{2 \sin \theta} = \frac{1 \times 2.29 \times 10^{-10}}{2 \times 0.45}$
$d = \frac{2.29 \times 10^{-10}}{0.9} \approx 2.5 \times 10^{-10} \ m$.

(A) આપેલ છે: વિવર્તનનો ક્રમ $n = 2$,$2\theta = 90^{\circ} \Rightarrow \theta = 45^{\circ}$,બે સમતલો વચ્ચેનું અંતર $d = 2.28 \ \mathring{A}$.
બ્રેગના નિયમ મુજબ: $n\lambda = 2d \sin \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times \lambda = 2 \times 2.28 \times \sin(45^{\circ})$.
$\lambda = 2.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\lambda = 2.28 \times 0.707 = 1.612 \ \mathring{A} \approx 1.62 \ \mathring{A}$.

(B) બ્રેગના નિયમ $(n=1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n \lambda = 2d \sin \theta$
$\lambda = 2 \times (2.64 \times 10^{-10} \ m) \times \sin(7.75^{\circ})$
$\lambda = 5.28 \times 10^{-10} \times 0.1349 \approx 7.123 \times 10^{-11} \ m$
ઊર્જાનો તફાવત $\Delta E$ નીચે મુજબ મળે:
$\Delta E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \ m/s)}{7.123 \times 10^{-11} \ m}$
$\Delta E \approx 2.79 \times 10^{-15} \ J$
આમ,નજીકનો વિકલ્પ $2.788 \times 10^{-15} \ J$ છે.

(A) ઘન પ્રણાલી માટે આંતર-સમતલીય અંતર $d_{hkl}$ નું સૂત્ર: $d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$ છે.
આપેલ છે: $a = 450 \, pm$, $h = 2$, $k = 2$, $l = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $d_{220} = \frac{450}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2}}$.
$d_{220} = \frac{450}{\sqrt{4 + 4 + 0}} = \frac{450}{\sqrt{8}}$.
$d_{220} = \frac{450}{2\sqrt{2}} = \frac{225}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા, $d_{220} = \frac{225}{1.414} \approx 159.12 \, pm$.
આમ, અંતર આશરે $159 \, pm$ છે.

(C) ઘન સ્ફટિક માટે બે સમાંતર સમતલો વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$
અહીં, ધારની લંબાઈ $a = 300 \, pm$ અને મિલર ઇન્ડેક્સ $(hkl) = (111)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{300}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{300}{\sqrt{3}}$
$d = \frac{300}{1.732} \approx 173.2 \, pm$ (આપેલા વિકલ્પો મુજબ $172.2 \, pm$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે).

(C) $bcc$ રચના માટે, ધારીની લંબાઇ $(a)$ અને પરમાણ્વિય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$4r = \sqrt{3}a$
અહીં $a = 400 \, pm$ અને $\sqrt{3} \approx 1.732$ છે।
$r = \frac{\sqrt{3} \times 400}{4} = 1.732 \times 100 = 173.2 \, pm$.
આમ, પરમાણ્વિય ત્રિજ્યા $173 \, pm$ થશે.

(B) $ccp$ (ઘન સંવૃત સંકુલિત) રચના માટે, એકમ કોષની ધારીની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$4r = \sqrt{2}a$
અહીં $a = 407 \ pm$ આપેલ છે।
$r = \frac{\sqrt{2} \times 407}{4} = \frac{1.414 \times 407}{4} \approx 143.8 \ pm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, જવાબ $144 \ pm$ મળે છે।

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે, ધારીની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$4r = \sqrt{3}a$
અહીં $a = 386 \ pm$ આપેલ છે।
$r = \frac{\sqrt{3} \times a}{4}$
$r = \frac{1.732 \times 386}{4}$
$r = \frac{668.552}{4} \approx 167.14 \ pm$
પૂર્ણાંકમાં લેતા, પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $167 \ pm$ થાય।

(B) $fcc$ એકમ કોષ માટે, ધારીની લંબાઇ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$4r = \sqrt{2}a$
અહીં $a = 361 \, pm$ આપેલ છે।
$r = \frac{\sqrt{2} \times 361}{4} = \frac{1.414 \times 361}{4} \approx 127.6 \, pm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, ત્રિજ્યા $127 \, pm$ થાય.

(D) $bcc$ એકમ કોષ માટે,અંતઃ વિકર્ણ $\sqrt{3}a$ છે.
$bcc$ બંધારણમાં,પરમાણુઓ અંતઃ વિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે,જે ધનાયન અને ઋણાયનની ત્રિજ્યાનો બનેલો છે: $2r_{+} + 2r_{-} = \sqrt{3}a$.
તેથી,ધનાયન અને ઋણાયનની ત્રિજ્યાનો સરવાળો $r_{+} + r_{-} = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ થાય.

(A) $bcc$ લેટિસ માટે, કેન્દ્ર અને ખૂણા પરના આયન વચ્ચેનું અંતર $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ થાય છે.
$NH_4Cl$ ($bcc$ બંધારણ) માં, વિરુદ્ધ વીજભાર ધરાવતા આયનો વચ્ચેનું અંતર $(r_+ + r_-)$ એ $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે: $a = 387 \, pm$.
અંતર $d = \frac{\sqrt{3} \times 387}{2}$.
$d = \frac{1.732 \times 387}{2} = 335.14 \, pm \approx 335 \, pm$.

(C) $fcc$ એકમ કોષ માટે,ધારીની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{2}a$ છે.
$fcc$ લેટિસમાં બે નજીકના પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર $2r$ જેટલું હોય છે.
સંબંધ $4r = \sqrt{2}a$ પરથી,આપણને $2r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
અહીં $a = 4.07 \ \mathring{A}$ આપેલ છે,તેથી અંતર $d = \frac{4.07}{1.414} \approx 2.878 \ \mathring{A}$ થાય.
આમ,અંતર આશરે $2.87 \ \mathring{A}$ છે.

(A) $bcc$ રચના માટે, સૌથી નજીકના આયનો (ધન આયન અને ઋણ આયન) વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ એકમકોષની ધારીની લંબાઈ છે。
આપેલ છે કે સૌથી નજીકના આયનો વચ્ચેનું અંતર $d = 173 \, pm$ છે。
તેથી, $173 = \frac{\sqrt{3}}{2} a$.
$a = \frac{173 \times 2}{\sqrt{3}}$.
$\sqrt{3} \approx 1.73$ હોવાથી, $a = \frac{173 \times 2}{1.73} = 100 \times 2 = 200 \, pm$.

(B) $NaCl$ સ્ફટિક રચના માટે, ધારીની લંબાઈ $a$ અને આયનીય ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ: $a = 2(r_{+} + r_{-})$ છે.
આપેલ છે: $r_{+} = 95 \, pm$ અને $r_{-} = 180 \, pm$.
કિંમતો મૂકતા: $a = 2(95 + 180) \, pm$.
$a = 2(275) \, pm = 550 \, pm$.

(B) આપેલ છે: $Z = 4$,$M = 58.5 \, \text{g/mol}$,$a = 0.564 \, nm = 5.64 \times 10^{-8} \, cm$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$.
ઘનતાનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{4 \times 58.5}{(6.022 \times 10^{23}) \times (5.64 \times 10^{-8})^3}$.
$d = \frac{234}{6.022 \times 10^{23} \times 179.44 \times 10^{-24}}$.
$d = \frac{234}{108.06} \approx 2.16 \, \text{g/cm}^3$.

(A) $bcc$ રચના માટે, એકમકોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા, $Z = 2$.
આપેલ છે: $a = 287 \, pm = 2.87 \times 10^{-8} \, cm$.
$Cr$ નું પરમાણ્વીય દળ, $M = 51.99 \, \text{g/mol} \approx 52 \, \text{g/mol}$.
એવોગેડ્રો આંક, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$.
ઘનતા $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
$d = \frac{2 \times 52}{(6.022 \times 10^{23}) \times (2.87 \times 10^{-8})^3}$.
$d = \frac{104}{14.236} \approx 7.305 \, \text{g/cm}^3$.

(B) $bcc$ રચના માટે, એકમકોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$.
આપેલ છે: ધારીની લંબાઈ $a = 400 \, pm = 4 \times 10^{-8} \, cm$, પરમાણ્વીય ભાર $M = 100 \, \text{g/mol}$, એવોગેડ્રો આંક $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}$.
ઘનતા $d$ નું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{2 \times 100}{6.022 \times 10^{23} \times (4 \times 10^{-8})^3} \approx \frac{200}{38.54} \approx 5.189 \, \text{g/cm}^3$.
આમ, ઘનતા આશરે $5.188 \, \text{g/cm}^3$ થાય.

(C) $CsCl$ માટે $bcc$ રચનામાં,એકમકોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $Z = 1$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
આપેલ છે: $d = 3.988 \, g/cm^3$,$M = 168.4 \, g/mol$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
$a^3$ માટે ગણતરી કરતા: $a^3 = \frac{Z \times M}{N_A \times d} = \frac{1 \times 168.4}{6.022 \times 10^{23} \times 3.988}$.
$a^3 \approx \frac{168.4}{24.015 \times 10^{23}} \approx 7.012 \times 10^{-23} \, cm^3$.
$a = \sqrt[3]{70.12 \times 10^{-24}} \approx 4.12 \times 10^{-8} \, cm$.

(B) $ccp$ રચના માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ઘનતા $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$,જ્યાં $M = 197 \, g/mol$ અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
$a^3 = \frac{Z \times M}{d \times N_A} = \frac{4 \times 197}{19.3 \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{788}{116.22 \times 10^{23}} \approx 6.78 \times 10^{-23} \, cm^3 = 67.8 \times 10^{-24} \, cm^3$.
$a = \sqrt[3]{67.8 \times 10^{-24}} \approx 4.078 \times 10^{-8} \, cm$.
$ccp$ રચના માટે,$4r = \sqrt{2}a$,તેથી $r = \frac{\sqrt{2} \times a}{4} = \frac{1.414 \times 4.078 \times 10^{-8}}{4} \approx 1.44 \times 10^{-8} \, cm$.

(C) એકમકોષની ઘનતા $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Z$ એ એકમકોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે, $M$ એ મોલર દળ છે, $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે અને $a$ એ ધારીની લંબાઈ છે।
$bcc$ માટે, $Z_1 = 2$ અને $a_1 = 300 \ pm$.
$fcc$ માટે, $Z_2 = 4$ અને $a_2 = 380 \ pm$.
ઘનતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{Z_1}{Z_2} \times \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{2}{4} \times \left(\frac{380}{300}\right)^3 = 0.5 \times (1.266)^3$.
$\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = 0.5 \times 2.03 = 1.015 \approx 1.01$.

(B) $NaCl$ પ્રકારની રચના માટે, $Z = 4$. $KF$ નું મોલર દળ $M = 39 + 19 = 58 \, g/mol$ છે।
ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
$2.48 = \frac{4 \times 58}{6.022 \times 10^{23} \times a^3}$
$a^3 = \frac{232}{2.48 \times 6.022 \times 10^{23}} = 155.35 \times 10^{-24} \, cm^3$
$a = 537.5 \, pm$.
$NaCl$ પ્રકારની રચનામાં, ધન આયન અને ઋણ આયન વચ્ચેનું અંતર $r_+ + r_- = \frac{a}{2}$ થાય।
$r_+ + r_- = \frac{537.5}{2} \approx 268.75 \, pm \approx 270 \, pm$.

(D) આપેલ છે: પરમાણ્વીય દળ $M = 96 \, g/mol$, ઘનતા $d = 10.3 \, g/cm^3$, ધારીની લંબાઈ $a = 314 \, pm = 3.14 \times 10^{-8} \, cm$, એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
ઘનતાનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
કિંમતો મૂકતા: $10.3 = \frac{Z \times 96}{6.022 \times 10^{23} \times (3.14 \times 10^{-8})^3}$.
$10.3 = \frac{Z \times 96}{18.64}$.
$Z = \frac{10.3 \times 18.64}{96} \approx 2$.
એકમકોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ હોવાથી, સ્ફટિકનું બંધારણ $bcc$ (અંતઃકેન્દ્રિત ઘન) પ્રકારનું છે.

(B) $Ag$ એ ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ લેટિસમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$FCC$ લેટિસમાં,બે નજીકના પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે $d = 2.5 \times 10^{-8} \ cm$,તેથી $a = d \times \sqrt{2} = 2.5 \times 10^{-8} \times 1.414 = 3.535 \times 10^{-8} \ cm$.
$FCC$ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{4 \times 108}{6.022 \times 10^{23} \times (3.535 \times 10^{-8})^3}$.
$d = \frac{432}{6.022 \times 10^{23} \times 44.17 \times 10^{-24}} = \frac{432}{26.6} \approx 16.24 \ g/cm^3$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $16.8 \ g/cm^3$ છે.

(B) $NaCl$ પ્રકારની રચના માટે,ધારની લંબાઈ $a = 2(r_+ + r_-)$.
આપેલ છે કે $\frac{r_{Na^+}}{r_{Cl^-}} = 0.5 \Rightarrow r_{Na^+} = 0.5 r_{Cl^-}$.
તેથી,$a_{NaCl} = 2(r_{Na^+} + r_{Cl^-}) = 2(0.5 r_{Cl^-} + r_{Cl^-}) = 3 r_{Cl^-}$.
આપેલ છે કે $\frac{r_{Na^+}}{r_{K^+}} = 0.7 \Rightarrow r_{K^+} = \frac{r_{Na^+}}{0.7} = \frac{5}{7} r_{Cl^-}$.
તેથી,$a_{KCl} = 2(r_{K^+} + r_{Cl^-}) = 2(\frac{5}{7} r_{Cl^-} + r_{Cl^-}) = \frac{24}{7} r_{Cl^-}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d_{NaCl}}{d_{KCl}} = \frac{M_{NaCl}}{M_{KCl}} \times (\frac{a_{KCl}}{a_{NaCl}})^3$.
$\frac{d_{NaCl}}{d_{KCl}} = \frac{58.5}{74.5} \times (\frac{8}{7})^3 = 1.118$.

(A) $bcc$ માટે,નજીકના પડોશીઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a_1$ છે,તેથી $a_1 = \frac{2d}{\sqrt{3}}$.
$fcc$ માટે,નજીકના પડોશીઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{a_2}{\sqrt{2}}$ છે,તેથી $a_2 = d\sqrt{2}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_{bcc}}{\rho_{fcc}} = \frac{Z_1 \times M / (N_A \times a_1^3)}{Z_2 \times M / (N_A \times a_2^3)} = \frac{Z_1}{Z_2} \times (\frac{a_2}{a_1})^3$.
$Z_1 = 2$ $(bcc)$ અને $Z_2 = 4$ $(fcc)$ મૂકતા:
$\frac{\rho_{bcc}}{\rho_{fcc}} = \frac{2}{4} \times (\frac{d\sqrt{2}}{2d/\sqrt{3}})^3 = \frac{1}{2} \times (\frac{\sqrt{6}}{2})^3 = \frac{1}{2} \times \frac{6\sqrt{6}}{8} = \frac{3\sqrt{6}}{8} \approx 0.918$.
આમ,ગુણોત્તર આશરે $0.91$ થાય છે.

(A) એકમ કોષોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{\text{દળ} \times N_A}{Z \times M}$.
અહીં,$\text{દળ} = 1 \, g$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$,$M = 58.5 \, g/mol$,અને $NaCl$ ની $fcc$ રચના માટે એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{1 \times 6.022 \times 10^{23}}{4 \times 58.5}$.
$= \frac{6.022 \times 10^{23}}{234} \approx 2.57 \times 10^{21}$.

(C) $NaCl$ નું આણ્વીય દળ $58.5 \, g/mol$ છે.
આપેલ દળ $W = 58.5 \, g$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{W}{M} = \frac{58.5}{58.5} = 1 \, mol$.
$NaCl$ ના કુલ એકમોની સંખ્યા $= n \times N_A = 1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{23}$.
$fcc$ રચનામાં,પ્રતિ એકમકોષ એકમોની સંખ્યા $(Z)$ $4$ હોય છે.
એકમકોષની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ એકમો}}{Z} = \frac{6 \times 10^{23}}{4} = 1.5 \times 10^{23}$.

(D) એકમ કોષની સંખ્યા $= \frac{W \times N_A}{Z \times M}$
અહીં $W = 10 \, g$,$N_A = 6 \times 10^{23}$,$Z = 1$,અને $M = 168.5 \, g/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10 \times 6 \times 10^{23}}{1 \times 168.5} = 3.56 \times 10^{22}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $3.38 \times 10^{22}$ છે.