Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Gujarati

(C) $NaCl$ એ ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ બંધારણ ધરાવે છે, જેમાં આયનો એકમકોષની ધારી પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારીની લંબાઈ $(a)$ અને આયનીય ત્રિજ્યા ($r^+$ અને $r^-$) વચ્ચેનો સંબંધ: $a = 2(r^+ + r^-)$.
આપેલ છે: $r^+ (Na^+) = 95 \, pm$ અને $r^- (Cl^-) = 181 \, pm$.
કિંમતો મૂકતા: $a = 2(95 \, pm + 181 \, pm) = 2(276 \, pm) = 552 \, pm$.
તેથી, $NaCl$ ના એકમકોષની ધારીની લંબાઈ $552 \, pm$ છે.

(A) ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ લેટીસ માટે,પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{2}a$ છે.
$FCC$ લેટીસમાં બે ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનું ટૂંકું અંતર એ ખૂણા પરના પરમાણુના કેન્દ્ર અને ફલકના કેન્દ્ર પરના પરમાણુના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે,જે ફલક વિકર્ણના અડધા ભાગ જેટલું હોય છે.
ટૂંકું અંતર $(d)$ = $\frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે $a = 0.574 \ nm$.
$d = \frac{0.574}{1.414} \ nm = 0.4059 \ nm$.

(A) $FCC$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ $= 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$
ધારની લંબાઈ $(a)$ માટે સૂત્ર:
$a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_A} = \frac{4 \times 60 \ g \ mol^{-1}}{6.23 \ g \ cm^{-3} \times 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$
$a^3 = \frac{240}{37.5046 \times 10^{23}} \ cm^3$
$a^3 \approx 6.4 \times 10^{-23} \ cm^3 = 64 \times 10^{-24} \ cm^3$
ઘનમૂળ લેતા:
$a = \sqrt[3]{64 \times 10^{-24}} \ cm = 4.0 \times 10^{-8} \ cm$.

(B) રોક સોલ્ટ બંધારણ ($NaCl$ પ્રકાર) માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને આયનીય ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ: $a = 2(r_{A^+} + r_{B^-})$ છે.
આપેલ છે: $a = 400 \, pm$ અને $r_{A^+} = 75 \, pm$.
કિંમતો મૂકતા: $400 = 2(75 + r_{B^-})$.
$200 = 75 + r_{B^-}$.
$r_{B^-} = 200 - 75 = 125 \, pm$.

(B) ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$
અહીં $a = 0.144 \ nm = 144 \ pm$ આપેલ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{144 \ pm}{2 \times 1.414} = \frac{144}{2.828} \ pm \approx 50.92 \ pm$।
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $r = 51 \ pm$ મળે છે।

(A) $FCC$ (ફલક કેન્દ્રિત ઘન) એકમ કોષ માટે, ધારીની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે.
તેથી, $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
અહીં $a = 620 \, pm$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ આપેલ છે.
$r = \frac{620}{2 \times 1.414} = \frac{620}{2.828} \approx 219.25 \, pm$.

(A) એકમ કોષનું કદ $(V) = 24 \times 10^{-24} \, cm^3$.
તત્વની ઘનતા $(\rho) = 7.2 \, g \, cm^{-3}$.
તત્વનું કુલ દળ $= 200 \, g$.
એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n) = (8 \text{ ખૂણા} \times 1/8) + 2 \text{ વિકર્ણ પરના પરમાણુઓ} = 1 + 2 = 3 \text{ પરમાણુઓ}$.
એકમ કોષની કુલ સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એકમ કોષનું દળ}} = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{કદ} \times \text{ઘનતા}} = \frac{200}{24 \times 10^{-24} \times 7.2} = 1.1574 \times 10^{24} \text{ એકમ કોષ}$.
પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $= n \times \text{એકમ કોષની કુલ સંખ્યા} = 3 \times 1.1574 \times 10^{24} = 3.472 \times 10^{24} \text{ પરમાણુઓ}$.

(D) બ્રેગનું સમીકરણ $2d \sin \theta = n\lambda$ છે.
આપેલ છે: વિવર્તનનો ક્રમ $n = 2$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 1 \ \mathring{A}$,અને ખૂણો $\theta = 60^\circ$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \times d \times \sin \ 60^\circ = 2 \times 1 \ \mathring{A}$
કારણ કે $\sin \ 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$,તેથી:
$2 \times d \times 0.8660 = 2$
$d = \frac{2}{2 \times 0.8660} = \frac{1}{0.8660} \approx 1.1547 \ \mathring{A}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$d = 1.15 \ \mathring{A}$.

(D) $bcc$ બંધારણ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $z = 2$ છે।
ઘનતા $d = 530 \ kg \ m^{-3} = 0.530 \ g \ cm^{-3}$.
પરમાણ્વીય દળ $M = 6.94 \ g \ mol^{-1}$.
સૂત્ર $d = \frac{z M}{a^3 N_A}$ નો ઉપયોગ કરતા, $a^3 = \frac{z M}{d N_A}$.
$a^3 = \frac{2 \times 6.94 \ g \ mol^{-1}}{0.530 \ g \ cm^{-3} \times 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$.
$a^3 = 4.352 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$a = (43.52 \times 10^{-24})^{1/3} \ cm = 3.517 \times 10^{-8} \ cm$.
$1 \ cm = 10^{10} \ pm$ હોવાથી, $a = 3.517 \times 10^{-8} \times 10^{10} \ pm = 351.7 \ pm \approx 352 \ pm$.

(D) આપેલ છે કે એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા,$z = 4$,તેથી સ્ફટિક રચના ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ છે.
$fcc$ એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે.
તેથી,$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{361 \, pm}{2 \times 1.414} = \frac{361}{2.828} \approx 127.65 \, pm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,ત્રિજ્યા $127 \, pm$ છે.

$(A)$ એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
$fcc$ લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $z = 4$ છે.
ધારની લંબાઈ $a = 404 \, pm = 4.04 \times 10^{-8} \, cm$ છે.
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{z}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{2.72 \times (4.04 \times 10^{-8})^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{4}$.
$M \approx 27 \, g \, mol^{-1}$.

(A) ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ લેટીસ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{2}a$ છે。
પરમાણુનો વ્યાસ $(d)$ એ $2r$ છે. તેથી, $d = 2r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
આપેલ ધારની લંબાઈ $a = 408 \, pm$ માટે, આપણે વ્યાસની ગણતરી કરીએ છીએ:
$d = \frac{408 \, pm}{1.414} \approx 288.5 \, pm$.
આમ, $288.5 \, pm$ એ સાચો ગણતરી કરેલ મૂલ્ય છે, તેથી વિકલ્પ $A$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(A) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ લેટીસ માટે, બે વિરુદ્ધ વીજભારિત આયનો વચ્ચેનું અંતર $(d)$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
અહીં $a = 387 \ pm$ આપેલ છે,
$d = \frac{1.732 \times 387}{2} \ pm$
$d = 0.866 \times 387 \ pm$
$d \approx 335.14 \ pm$
તેથી, નજીકની કિંમત $335 \ pm$ છે.

(A) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ સ્ફટિક માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a \sqrt{3} = 4r$ છે।
આપેલ છે, ધારની લંબાઈ $a = 351 \ pm$.
તેથી, પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$.
કિંમતો મૂકતા, $r = \frac{351 \times 1.732}{4} = 151.98 \ pm$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, આ મૂલ્ય આશરે $151.8 \ pm$ છે.

(C) સાદા ઘન માટે,ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2}$ છે.
અંતઃકેન્દ્રિત ઘન માટે,ત્રિજ્યા $r = \frac{a\sqrt{3}}{4}$ છે.
ફલક-કેન્દ્રિત ઘન માટે,ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{a}{2} : \frac{a\sqrt{3}}{4} : \frac{a}{2\sqrt{2}}$ થશે.

(A) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{Z \times M}{a^{3} \times N_{A}}$
$CsBr$ માટે બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક (bcc) લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $Z = 1$ છે.
મોલર દળ $M = 133 + 80 = 213 \, g/mol$.
ધારની લંબાઈ $a = 436.6 \, pm = 436.6 \times 10^{-10} \, cm$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\rho = \frac{1 \times 213}{(436.6 \times 10^{-10})^{3} \times 6.02 \times 10^{23}}$
$\rho = \frac{213}{83.25 \times 10^{-24} \times 6.02 \times 10^{23}}$
$\rho = \frac{213}{50.11} \approx 4.25 \, g/cm^{3}$.

(A) $fcc$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{2}a$ છે।
આપેલ છે કે $a = 361 \ pm$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{2} \times 361}{4} = \frac{1.414 \times 361}{4} \approx 127.6 \ pm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, ત્રિજ્યા $127 \ pm$ થાય છે.

(D) ફેસ સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(Fcc)$ એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને આયનીય ત્રિજ્યા $(r_{cation} + r_{anion})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$a = 2(r_{cation} + r_{anion})$
આપેલ છે:
$a = 508 \, pm$
$r_{cation} = 110 \, pm$
કિંમતો મૂકતા:
$508 = 2(110 + r_{anion})$
$254 = 110 + r_{anion}$
$r_{anion} = 254 - 110 = 144 \, pm$

(D) $BCC$ બંધારણ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\sqrt{3} a = 4r$ છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a = \frac{1.732}{4} \times 351 \ pm$.
$r = 0.433 \times 351 \ pm = 152.013 \ pm$.
તેથી, લિથિયમની પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા આશરે $152 \ pm$ છે।

(A) ફેસ સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$a \sqrt{2} = 4r$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{a \sqrt{2}}{4} = \frac{361 \times 1.414}{4} \ pm$
$r = \frac{510.454}{4} \ pm \approx 127.6 \ pm$
આમ, પરમાણુ $A$ ની ત્રિજ્યા $127.6 \ pm$ છે.

(B) ઘનતા $\rho$ શોધવાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$NaCl$ (fcc બંધારણ) માટે,એકમ કોષ દીઠ અણુઓની સંખ્યા $Z = 4$.
મોલર દળ $M = 58.5 \ g/mol$.
ધારની લંબાઈ $a = 0.564 \ nm = 5.64 \times 10^{-8} \ cm$.
એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\rho = \frac{4 \times 58.5}{(5.64 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$\rho \approx 2.16 \ g/cm^3$.

(B) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
આપેલ છે: $d = 6.25 \ g/cm^3$, $M = 120 \ g/mol$, $a = 400 \ pm = 4 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $6.25 = \frac{Z \times 120}{(4 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}$.
$Z = 2$ મળે છે.
તેથી, સ્ફટિક લેટીસ $B.C.C$ છે.

(C) $(i)$ $SC$ માટે,બોડી ડાયાગોનલની લંબાઈ $\sqrt{3}a$ છે. પરમાણુઓ ધાર પર એકબીજાને સ્પર્શે છે,તેથી $2r = a$. પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ બોડી ડાયાગોનલનો અંશ $\frac{2r}{\sqrt{3}a} = \frac{a}{\sqrt{3}a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. આ સાચું છે.
$(ii)$ $bcc$ માટે,બોડી ડાયાગોનલ $\sqrt{3}a = 4r$ છે,તેથી $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$. ધારની લંબાઈ $a$ છે. રોકાયેલ ધારનો અંશ $\frac{2r}{a} = \frac{2(\sqrt{3}a/4)}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે. આ સાચું છે.
$(iii)$ $fcc$ માટે,ફેસ ડાયાગોનલ $\sqrt{2}a = 4r$ છે,તેથી $r = \frac{\sqrt{2}a}{4}$. ફેસ ડાયાગોનલની લંબાઈ $\sqrt{2}a$ છે. રોકાયેલ ફેસ ડાયાગોનલનો અંશ $\frac{4r}{\sqrt{2}a} = \frac{4(\sqrt{2}a/4)}{\sqrt{2}a} = 1$ છે. આપેલ વિકલ્પ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ જણાવે છે,જે ખોટું છે.
$(iv)$ $3-D$ પેકિંગ કાર્યક્ષમતાનો ક્રમ $fcc$ $(74\%)$ > $bcc$ $(68\%)$ > $pc$ $(52\%)$ છે. આ સાચું છે.

(D) ત્રિજ્યા ગુણોત્તર $\frac{r^{+}}{r^{-}} = \frac{2.5}{2.6} \approx 0.96$ છે.
$0.732 \leq \frac{r^{+}}{r^{-}} < 1$ હોવાથી,સ્ફટિક રચના બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ પ્રકારની છે.
$BCC$ યુનિટ સેલ માટે,ધારની લંબાઈ $a$ અને આયનીય ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{a \sqrt{3}}{2} = (r^{+} + r^{-})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a \times 1.7}{2} = (2.5 + 2.6) = 5.1$.
$a$ માટે ઉકેલતા: $a = \frac{5.1 \times 2}{1.7} = 6 \ \mathring{A}$.

(D) $fcc$ લેટીસ માટે: કોઓર્ડિનેશન નંબર $12$ છે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે,અને ધારની લંબાઈ $a_1 = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$ છે.
ઘનતા $d_1 = \frac{Z_1 \cdot M}{N_A \cdot a_1^3} = \frac{4 \cdot M}{N_A \cdot (2\sqrt{2}r)^3}$.
$bcc$ લેટીસ માટે: કોઓર્ડિનેશન નંબર $8$ છે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $2$ છે,અને ધારની લંબાઈ $a_2 = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ છે.
ઘનતા $d_2 = \frac{Z_2 \cdot M}{N_A \cdot a_2^3} = \frac{2 \cdot M}{N_A \cdot (\frac{4r}{\sqrt{3}})^3}$.
ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{ (2\sqrt{2}r)^3} \cdot \frac{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^3}{2} = \frac{2(\sqrt{2})^3}{(\sqrt{3})^3}$.

(D) $CsCl$ બંધારણમાં, કેટાયન શરીરના કેન્દ્રમાં હોય છે અને એનાયન ઘનના ખૂણા પર હોય છે। શરીરના વિકર્ણની લંબાઈ $a \sqrt{3}$ છે, જ્યાં $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
ત્રિજ્યા અને ધારની લંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ: $r_{c}^{+} + r_{a}^{-} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.
આપેલ છે $r_{c}^{+} = 80 \ pm$ અને $r_{a}^{-} = 100 \ pm$, તેથી $80 + 100 = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow 180 = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.
$a$ માટે ઉકેલતા: $a = \frac{360}{\sqrt{3}} = 120 \sqrt{3} \ pm$.
$CsCl$ બંધારણમાં, બે કેટાયન વચ્ચેનું સૌથી નજીકનું અંતર ઘનની ધારની લંબાઈ $a$ જેટલું હોય છે.
તેથી, બે કેટાયન વચ્ચેનું સૌથી નજીકનું અંતર $120 \sqrt{3} \ pm$ છે.

(B) $ccp$ (અથવા $fcc$) લેટીસ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે।
આપેલ છે કે $r = 215 \, pm$.
કિંમત મૂકતા: $a = 2 \times 1.414 \times 215 = 608.22 \, pm$.
આમ, ધારની લંબાઈ આશરે $608.2 \, pm$ છે।

(B) સોનું ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ લેટીસમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે,જે ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ બંધારણનો એક પ્રકાર છે.
$fcc$ એકમ કોષ માટે,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા,$Z = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
અહીં,$\rho = 19.3 \ g/cm^3$,$M = 197 \ g/mol$,અને $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $19.3 = \frac{4 \times 197}{a^3 \times 6.023 \times 10^{23}}$.
$a^3 = \frac{788}{19.3 \times 6.023 \times 10^{23}} \approx 6.78 \times 10^{-23} \ cm^3$.
ઘનમૂળ લેતા,$a \approx 4.07 \times 10^{-8} \ cm$ મળે છે.

(D) $CsCl$ જેવી $bcc$ સ્ફટિક રચનામાં, આયનો શરીરના વિકર્ણ (body diagonal) પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
શરીરના વિકર્ણની લંબાઈ $a \sqrt{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
શરીરનો વિકર્ણ $2(r_{+} + r_{-})$ જેટલો પણ હોય છે, જ્યાં $(r_{+} + r_{-})$ એ આંતર-આયનીય અંતર છે.
તેથી, $2(r_{+} + r_{-}) = a \sqrt{3}$.
$(r_{+} + r_{-}) = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.
અહીં $a = 400 \, pm$ આપેલ છે, તેથી આંતર-આયનીય અંતર $\frac{400 \sqrt{3}}{2} \, pm$ થશે.

(B) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M_W}{N_A \times a^3}$ છે.
આપેલ છે: $d = 1.74 \, g \, cm^{-3}$,$M_W = 24 \, g \, mol^{-1}$,$a = 4.53 \times 10^{-8} \, cm$,અને $N_A = 6 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
$Z$ માટે સૂત્ર: $Z = \frac{d \times N_A \times a^3}{M_W}$.
ગણતરી કરતા $Z \approx 4$ મળે છે.

(D) $fcc$ લેટીસમાં,$4$ પરમાણુઓ $1$ એકમ કોષ બનાવે છે. તેથી,$4 \ mol$ પરમાણુઓ $= 1 \ mol$ એકમ કોષ.
તત્વ $X$ ના મોલ $= \frac{8 \ g}{80 \ g/mol} = 0.1 \ mol$ પરમાણુઓ.
એકમ કોષોની સંખ્યા $= \frac{0.1 \ mol}{4} = 0.025 \ mol$ એકમ કોષ.
એકમ કોષોની સંખ્યા $= 0.025 \times N_A$.

(A) $bcc$ બંધારણમાં,પરમાણુઓ બોડી ડાયાગોનલ (body diagonal) પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
બોડી ડાયાગોનલની લંબાઈ $\sqrt{3}a$ છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
બોડી ડાયાગોનલ એ કેટાયનની બે ત્રિજ્યા $(r^+)$ અને એનાયનની બે ત્રિજ્યા $(r^-)$ ધરાવે છે,એટલે કે $2r^+ + 2r^- = \sqrt{3}a$.
કેટાયન અને એનાયન વચ્ચેનું ટૂંકામાં ટૂંકું આંતર-આયનીય અંતર તેમની ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે,$d = r^+ + r^-$.
તેથી,$d = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.
આપેલ છે કે $a = 4.3 \ \mathring{A}$,તેથી અંતર $d = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4.3 \ \mathring{A}$ થાય.

(A) એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
અહીં,$d = 4.0 \, g \, cm^{-3}$,$M = 72 \, g \, mol^{-1}$,$a = 5.0 \times 10^{-8} \, cm$,અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
$Z$ માટે ગણતરી કરતા:
$Z = \frac{4.0 \times (5.0 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{72} \approx 4$.
$FeO$ ના સૂત્ર મુજબ,$Fe^{2+}$ અને $O^{2-}$ નો ગુણોત્તર $1:1$ છે. તેથી,દરેક એકમ કોષમાં $4$ $Fe^{2+}$ અને $4$ $O^{2-}$ આયનો હશે.

(A) એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M_w}{N_A \times a^3}$ છે.
આપેલ છે: $d = 4.0 \ g \ cm^{-3}$,$a = 5.0 \ \mathring{A} = 5.0 \times 10^{-8} \ cm$,$M_w = 72 \ g/mol$,અને $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $4.0 = \frac{Z \times 72}{(6.022 \times 10^{23}) \times (5.0 \times 10^{-8})^3}$.
ગણતરી કરતા $Z \approx 4$ મળે છે.
$FeO$ માં $1:1$ પ્રમાણ હોવાથી,એકમ કોષમાં $4$ $Fe^{2+}$ અને $4$ $O^{2-}$ આયનો હાજર હશે.

(A) આપેલ છે:
ઘનતા $(\rho)$ = $0.539 \ g/cm^3$
ધારની લંબાઈ $(a)$ = $3.5 \ \mathring{A} = 3.5 \times 10^{-8} \ cm$
પરમાણ્વીય દળ $(M_A)$ = $6.94 \ g/mol$
એવોગેડ્રો અચળાંક $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
એકમ કોષની ઘનતા માટેનું સૂત્ર:
$\rho = \frac{Z \times M_A}{N_A \times a^3}$
$Z$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$Z = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M_A}$
$Z = \frac{0.539 \times 6.022 \times 10^{23} \times (3.5 \times 10^{-8})^3}{6.94}$
$Z = \frac{0.539 \times 6.022 \times 10^{23} \times 42.875 \times 10^{-24}}{6.94}$
$Z = \frac{139.22}{6.94} \approx 2$
તેથી,એકમ કોષમાં $2$ લિથિયમ પરમાણુઓ હાજર છે.

(C) $fcc$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે.
આપેલ છે $a = 361 \ pm$.
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{361}{2 \times 1.414} = \frac{361}{2.828} \approx 127.65 \ pm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં, ત્રિજ્યા $127 \ pm$ છે。

(B) $fcc$ લેટીસ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = a \sqrt{2}$ છે。
વ્યાસ $(d)$ એ $2r$ હોવાથી, આપણે $2d = a \sqrt{2}$ લખી શકીએ, જે $d = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ તરીકે સરળ બને છે。
આપેલ $a = 407 \, pm$ માટે, આપણે $d = \frac{407 \times 1.414}{2} \approx 287.8 \, pm$ ગણી શકીએ છીએ.

(B) ઝિંક બ્લેન્ડ બંધારણમાં,કેટાયન ચતુષ્ફલકીય છિદ્રમાં હોય છે અને એનાયન $fcc$ લેટીસ બનાવે છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્ર માટે,ધારની લંબાઈ $a$ અને આયનીય ત્રિજ્યા $r_+$ અને $r_-$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = r_+ + r_-$
આપેલ છે $r_+ = 0.7 \ \mathring{A}$ અને $r_- = 1.8 \ \mathring{A}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sqrt{3}}{4} a = 0.7 + 1.8 = 2.5 \ \mathring{A}$
$a = \frac{2.5 \times 4}{\sqrt{3}}$
$a = \frac{10}{1.732} \approx 5.77 \ \mathring{A}$.

(D) $fcc$ એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{\sqrt{2}a}{4}$
$a$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \times r$
આપેલ છે $r = 0.14 \ nm$:
$a = 2 \times 1.414 \times 0.14 \ nm$
$a = 2.828 \times 0.14 \ nm$
$a \approx 0.3959 \ nm$
નજીકના મૂલ્યમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$a \approx 0.4 \ nm$ મળે છે.

(B) $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{\sqrt{2} a}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$
આપેલ ધારની લંબાઈ $a = 361 \ pm$:
$r = \frac{361}{2 \times 1.414}$
$r = \frac{361}{2.828}$
$r \approx 127.65 \ pm$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $r = 128 \ pm$ મળે છે.

(C) $bcc$ બંધારણ માટે, નજીકનું અંતર $(d)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $d = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $d = 1.73 \, \mathring{A}$ અને $\sqrt{3} \approx 1.732$.
કિંમતો મૂકતા: $1.73 = \frac{1.732 \times a}{2}$.
$a = \frac{1.73 \times 2}{1.732} \approx 2 \, \mathring{A}$.
$1 \, \mathring{A} = 100 \, pm$ હોવાથી, ધારની લંબાઈ $a = 200 \, pm$ થાય.

(B) $bcc$ રચના માટે,આંતર-આયનીય અંતર $r^+ + r^- = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
$a = 390 \ pm$
$r_{Cl^-} = 180 \ pm$
કિંમતો મૂકતા:
$r_{NH_4^+} + 180 \ pm = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 390 \ pm$
$r_{NH_4^+} + 180 \ pm = 0.866 \times 390 \ pm$
$r_{NH_4^+} + 180 \ pm = 337.74 \ pm \approx 338 \ pm$
$r_{NH_4^+} = 338 \ pm - 180 \ pm = 158 \ pm$.

(D) એકમ કોષની ઘનતા $(d)$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
$FCC$ એકમ કોષ માટે,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z) = 4$.
$Cu$ નું પરમાણ્વીય દળ $(M) = 63.55\, g\, mol^{-1}$.
એવોગેડ્રો અંક $(N_A) = 6.023 \times 10^{23}\, mol^{-1}$.
ધારની લંબાઈ $(a) = x\, \mathring{A} = x \times 10^{-8}\, cm$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{4 \times 63.55}{(6.023 \times 10^{23}) \times (x \times 10^{-8})^3}$
$d = \frac{254.2}{6.023 \times 10^{23} \times x^3 \times 10^{-24}}$
$d = \frac{254.2}{0.6023 \times x^3} \approx \frac{422}{x^3}\, g\, cm^{-3}$

(C) ઘનતા માટેનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે।
આપેલ છે: $d = 9 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$,$Z = 4$ ($\text{FCC}$ માટે),$N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$,અને $a = 200 \sqrt{2} \ pm = 200 \sqrt{2} \times 10^{-12} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$9 \times 10^3 = \frac{4 \times M}{6 \times 10^{23} \times (200 \sqrt{2} \times 10^{-12})^3}$.
$a^3 = (200 \sqrt{2} \times 10^{-12})^3 = (2 \sqrt{2} \times 10^{-10})^3 = 16 \sqrt{2} \times 10^{-30} \ m^3$.
$M = \frac{9 \times 10^3 \times 6 \times 10^{23} \times 16 \sqrt{2} \times 10^{-30}}{4} \approx 0.0305 \ kg \ mol^{-1}$.

(A) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(z)$ $4$ છે.
પરમાણ્વીય દળ $(M)$ $60 \, g/mol$ છે.
ધારની લંબાઈ $(a)$ $4 \times 10^{-8} \, cm$ છે.
એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ $6 \times 10^{23} \, mol^{-1}$ છે.
ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર $d = \frac{z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{4 \times 60}{(4 \times 10^{-8})^3 \times (6 \times 10^{23})}$.
$d = \frac{240}{64 \times 10^{-24} \times 6 \times 10^{23}} = \frac{240}{38.4} = 6.25 \, g/cm^3$.

(B) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ રચના માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને કેટાયન $(r^+)$ તથા એનાયન $(r^-)$ ની ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$r^+ + r^- = \frac{\sqrt{3}}{2} a$
આપેલ છે:
$a = 390 \ pm$
$r^+ = 150 \ pm$
કિંમતો મૂકતા:
$150 + r^- = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 390$
$150 + r^- = 0.866 \times 390$
$150 + r^- = 337.74$
$r^- = 337.74 - 150 = 187.74 \ pm$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, એનાયનની ત્રિજ્યા $187.7 \ pm$ મળે છે.

(B) ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{z \times M}{N_A \times a^3}$.
આપેલ છે: $\rho = 1.74 \ g \ cm^{-3}$, $M = 24 \ g \ mol^{-1}$, $a = 4.53 \ \mathring{A} = 4.53 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $1.74 = \frac{z \times 24}{6 \times 10^{23} \times (4.53 \times 10^{-8})^3}$.
$z$ માટે ઉકેલતા: $z \approx 4$.
$z = 4$ હોવાથી, બંધારણ ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ છે。
$FCC$ માટે, ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
$r = \frac{4.53 \ \mathring{A}}{2 \times 1.414} \approx 1.60 \ \mathring{A}$.
$pm$ માં રૂપાંતર: $1.60 \ \mathring{A} = 160 \ pm$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $CsCl$ ની સ્ફટિક રચનામાં,$Cs^{+}$ આયન બોડી સેન્ટર પર અને $Cl^{-}$ આયનો ઘનના ખૂણાઓ પર હોય છે.
આ બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક ગોઠવણી માટે,બોડી ડાયાગોનલ $\sqrt{3} \ a = 2(r_{Cs^{+}} + r_{Cl^{-}})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} \ a = 2(1.69 \ \mathring{A} + 1.81 \ \mathring{A})$.
$\sqrt{3} \ a = 2(3.50 \ \mathring{A}) = 7.00 \ \mathring{A}$.
$a = \frac{7.00}{1.732} \ \mathring{A} \approx 4.04 \ \mathring{A}$.

(B) સ્ફટિકની ઘનતા શોધવાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{n \times M}{N_A \times a^3} \, g \, cm^{-3}$ છે.
$bcc$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
આપેલ છે: પરમાણ્વીય દળ $M = 100 \, g \, mol^{-1}$,ધારની લંબાઈ $a = 400 \, pm = 400 \times 10^{-10} \, cm$,અને એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\rho = \frac{2 \times 100}{6.022 \times 10^{23} \times (400 \times 10^{-10})^3} \, g \, cm^{-3}$
$\rho = \frac{200}{6.022 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} \, g \, cm^{-3}$
$\rho = \frac{200}{38.54} \approx 5.19 \, g \, cm^{-3}$.