Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Gujarati

(B) એકમ કોષની ઘનતા $(d)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
$d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A} \ g \ cm^{-3}$
જ્યાં:
$Z$ = એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા
$M$ = મોલર દળ
$a$ = એકમ કોષની ધારની લંબાઈ
$N_A$ = એવોગેડ્રો આંક
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) બ્રેગનો નિયમ $n\lambda = 2d\sin \theta$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે).
તે તરંગલંબાઇ $(\lambda)$,ક્રમિક પરમાણુ સમતલો વચ્ચેનું અંતર $(d)$ અને પરાવર્તન કોણ $(\theta)$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.

(A) $fcc$ સ્ફટિક માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(z)$ $4$ છે。
એક એકમ કોષનું કદ $V = a^3 = (100 \ pm)^3 = (100 \times 10^{-10} \ cm)^3 = 10^{-24} \ cm^3$ છે。
એક એકમ કોષનું દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = 10 \ g/cm^3 \times 10^{-24} \ cm^3 = 10^{-23} \ g$ છે。
$100 \ g$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા $N_{cells} = \frac{100 \ g}{10^{-23} \ g/unit cell} = 10^{25} \ unit cells$ છે。
દરેક $fcc$ એકમ કોષમાં $4$ પરમાણુઓ હોવાથી, પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $4 \times 10^{25}$ થાય。

(A) $NaCl$ નું મોલર દળ $23 + 35.5 = 58.5 \ g/mol$ છે.
$1.00 \ g$ $NaCl$ માં રહેલા સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $= \frac{1.00 \ g}{58.5 \ g/mol} \times 6.022 \times 10^{23} \text{ સૂત્ર એકમો/મોલ} = 1.029 \times 10^{22}$ સૂત્ર એકમો.
$NaCl$ ના એક એકમ કોષમાં $4$ સૂત્ર એકમો હોય છે,તેથી એકમ કોષોની સંખ્યા $= \frac{1.029 \times 10^{22}}{4} = 2.57 \times 10^{21}$ એકમ કોષો.

(B) બ્રેગનું સમીકરણ $n\lambda = 2d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં, $n$ એ પરાવર્તનનો ક્રમ દર્શાવે છે, જે એક પૂર્ણાંક $(n = 1, 2, 3, \dots)$ છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(A) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ લેટીસ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ છે: $4r = \sqrt{3} a$.
આપેલ છે $a = 4.29 \ \mathring{A}$.
$r = \frac{\sqrt{3} \times 4.29}{4} \ \mathring{A}$.
$r = \frac{1.732 \times 4.29}{4} \ \mathring{A} = 1.8574 \ \mathring{A}$.
$1 \ \mathring{A} = 10^{-8} \ cm$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $1.8574 \times 10^{-8} \ cm$ થાય.

(D) $bcc$ બંધારણ માટે,નજીકના પાડોશીનું અંતર $d$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ છે.
તેથી,$a = \frac{2d}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 4.52 \ \mathring{A}}{1.732} \approx 5.219 \ \mathring{A} = 5.219 \times 10^{-10} \ m$.
$bcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ છે.
ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{2 \times 39 \ g/mol}{(6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}) \times (5.219 \times 10^{-10} \ m)^3}$.
$\rho = \frac{78}{6.022 \times 10^{23} \times 1.421 \times 10^{-28}} \approx 911.5 \ kg \ m^{-3}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ઘનતા $910 \ kg \ m^{-3}$ છે.

(C) ઘનતા $(d)$ માટેનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times V}$
$Z$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $Z = \frac{d \times N_A \times V}{M}$
કદ $(V)$ = $a \times b \times c = 4.2 \times 8.6 \times 8.3 \times 10^{-24} \, cm^3 = 299.712 \times 10^{-24} \, cm^3$
કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{3.3 \times 6.022 \times 10^{23} \times 299.712 \times 10^{-24}}{155}$
$Z = \frac{3.3 \times 6.022 \times 29.9712}{155} \approx \frac{595.6}{155} \approx 3.84$
$Z$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
અહીં,$d = 4.0 \ g \ cm^{-3}$,$M (FeO) = 72 \ g \ mol^{-1}$,$a = 5.0 \times 10^{-8} \ cm$,અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $4.0 = \frac{Z \times 72}{6.022 \times 10^{23} \times (5.0 \times 10^{-8})^3}$.
ગણતરી કરતા $Z \approx 4$ મળે છે.
$FeO$ નું પ્રમાણ $1:1$ હોવાથી,એકમ કોષમાં $4$ $Fe^{2+}$ અને $4$ $O^{2-}$ આયનો હશે.

(B) $bcc$ બંધારણ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ = $2$ છે。
આપેલ છે: પરમાણ્વીય દળ $(M)$ = $100 \ g/mol$, ધારની લંબાઈ $(a)$ = $400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm$, એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતા $(\rho)$ નું સૂત્ર: $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{2 \times 100}{(400 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$\rho = \frac{200}{64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{200}{38.54} \approx 5.189 \ g/cm^3$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે。

(C) $NaCl$ સ્ફટિક માટે,ઘનતા $d = 2.165 \, g \, cm^{-3}$ છે.
$NaCl$ એ $fcc$ બંધારણ ધરાવે છે,તેથી એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
$Na^+$ અને $Cl^-$ આયનો વચ્ચેનું અંતર $d_{ion} = a/2$ છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
$281 \, pm = a/2 \implies a = 562 \, pm = 562 \times 10^{-10} \, cm$.
$NaCl$ નું મોલર દળ $M = 23 + 35.5 = 58.5 \, g \, mol^{-1}$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.165 = \frac{4 \times 58.5}{(562 \times 10^{-10})^3 \times N_A}$.
$N_A = \frac{4 \times 58.5}{(562 \times 10^{-10})^3 \times 2.165}$.
$N_A = \frac{234}{1.775 \times 10^{-22} \times 2.165} \approx 6.09 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.

(B) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$ છે।
આપેલ છે:
$d = 7.2 \, g \, cm^{-3}$
$a = 289 \, pm = 289 \times 10^{-10} \, cm$
$M = 52 \, g \, mol^{-1}$
$N_A = 6.02 \times 10^{23} \, mol^{-1}$
$n$ માટે ગણતરી કરતા:
$n = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$
$n = \frac{7.2 \times (289 \times 10^{-10})^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{52}$
$n = \frac{7.2 \times 2.41 \times 10^{-23} \times 6.02 \times 10^{23}}{52}$
$n = \frac{7.2 \times 2.41 \times 6.02}{52} \approx 2$
એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ હોવાથી, તે $BCC$ (Body-Centered Cubic) પ્રકારનો એકમ કોષ છે.

(B) ઘન એકમકોષનું કદ $V = a^3$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a$ એ ધારીની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $a = 3.04 \ \mathring{A} = 3.04 \times 10^{-8} \ cm$.
$V = (3.04 \times 10^{-8} \ cm)^3$.
$V = 28.101 \times 10^{-24} \ cm^3 = 2.81 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) $BCC$ રચના માટે,ધારીની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$ છે.
આપેલ છે,$a = 4.29 \ \overset{o}{A} = 4.29 \times 10^{-8} \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{3} \times 4.29 \times 10^{-8}}{4}$.
$r = \frac{1.732 \times 4.29 \times 10^{-8}}{4} = 1.857 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) આપેલ છે: ધારની લંબાઈ $a = 4.077 \times 10^{-8} \ cm$,ઘનતા $d = 10.5 \ g \ cm^{-3}$,$fcc$ લેટાઈસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$,અને એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$
$M = \frac{10.5 \times (4.077 \times 10^{-8})^3 \times 6.023 \times 10^{23}}{4}$
$M = \frac{10.5 \times 67.76 \times 10^{-24} \times 6.023 \times 10^{23}}{4}$
$M = \frac{428.56}{4} = 107.14 \ g \ mol^{-1}$.

(C) $CsCl$ એ $BCC$ (Body-Centered Cubic) લેટીસ બંધારણમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$BCC$ એકમ કોષમાં,આયનો તેના અંતઃવિકર્ણ (body diagonal) પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
અંતઃવિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{3}a$ છે,જ્યાં $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
કેન્દ્રમાં રહેલા આયન $(Cs^+)$ અને ખૂણા પરના આયન $(Cl^-)$ વચ્ચેનું અંતર અંતઃવિકર્ણના અડધા જેટલું હોય છે.
તેથી,આંતરઆયનીય અંતર $d = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ થાય.

(B) $FCC$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ફલક વિકર્ણની લંબાઈ $d = \sqrt{2}a$ છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
વળી,ફલક વિકર્ણ $4r$ જેટલો હોય છે,જ્યાં $r$ એ પરમાણુની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$4r = \sqrt{2}a$.
$a$ માટે ગણતરી કરતા,$a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) $fcc$ એકમ કોષમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે।
$24 \times 10^{23}$ પરમાણુઓનું દળ = $200 \, g$.
એકમ કોષનું દળ = $\frac{200 \times 4}{24 \times 10^{23}} \, g$.
એકમ કોષનું કદ = $a^3 = (200 \times 10^{-10} \, cm)^3 = 8 \times 10^{-24} \, cm^3$.
ઘનતા $\rho = \frac{\text{એકમ કોષનું દળ}}{\text{એકમ કોષનું કદ}}$.
$\rho = \frac{200 \times 4}{24 \times 10^{23} \times 8 \times 10^{-24}} = 41.67 \, g \, cm^{-3}$.

(B) ઘન એકમ કોષમાં,ફલક વિકર્ણનું સૂત્ર $d = a\sqrt{2}$ છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
અહીં ફલક વિકર્ણ $4 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
તેથી,$a\sqrt{2} = 4 \ \mathring{A}$.
$a = \frac{4}{\sqrt{2}} \ \mathring{A}$.
$a = \frac{4}{1.414} \ \mathring{A} \approx 2.83 \ \mathring{A}$.

$(A)$ $bcc$ એકમ કોષ માટે, પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે।
આપેલ છે: ઘનતા $d = 6.8 \ g \ cm^{-3}$, ધારની લંબાઈ $a = 290 \ pm = 290 \times 10^{-10} \ cm$.
સૂત્ર $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે:
$6.8 = \frac{2 \times M}{(290 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$M = \frac{6.8 \times (2.4389 \times 10^{-23}) \times 6.022 \times 10^{23}}{2} \approx 50 \ g \ mol^{-1}$.
$200 \ g$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{\text{દળ}}{M} \times N_A = \frac{200}{50} \times 6.022 \times 10^{23} = 4 \times 6.022 \times 10^{23} = 2.4088 \times 10^{24} \approx 2.4 \times 10^{24}$ $\text{પરમાણુઓ}$.

(C) ક્યુબિક ક્લોઝ પેક $(fcc)$ બંધારણ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$4r = \sqrt{2}a$
આપેલ છે, $r = 125 \ pm = 125 \times 10^{-10} \ cm$.
$a$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$
$a = 2 \times 1.414 \times 125 \times 10^{-10} \ cm$
$a = 353.5 \times 10^{-10} \ cm$
$a = 3.535 \times 10^{-8} \ cm$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, $a = 3.53 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
આપેલ છે:
$d = 2.75 \, g \, cm^{-3}$
$a = 654 \, pm = 654 \times 10^{-10} \, cm$
$M = 39 + 80 = 119 \, g \, mol^{-1}$
$N_A = 6.023 \times 10^{23} \, mol^{-1}$
$n$ માટે ગણતરી કરતા:
$n = \frac{2.75 \times (654 \times 10^{-10})^3 \times 6.023 \times 10^{23}}{119}$
$n \approx 4$
એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $4$ હોવાથી, સ્ફટિક રચના $\text{ફલક કેન્દ્રિત ઘન } (FCC)$ છે.

(C) ઘન સ્ફટિક માટે આંતર-સમતલીય અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$ છે.
અહીં $a = 0.556 \ nm$ અને મિલર સૂચકાંકો $(h, k, l) = (1, 1, 1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d_{111} = \frac{0.556}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$.
$d_{111} = \frac{0.556}{\sqrt{3}} \approx \frac{0.556}{1.732} \approx 0.321 \ nm$.

(A) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ એકમ કોષ માટે,પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$
તેથી,$a = 2\sqrt{2} \times r$.
અહીં $r = 0.144 \ nm$ આપેલ છે:
$a = 2 \times 1.414 \times 0.144 \ nm$
$a = 0.407 \ nm$.

(B) એકમ કોષનું કદ $V = a^3 = (200 \times 10^{-10} \ cm)^3 = 8 \times 10^{-24} \ cm^3$ છે।
એકમ કોષનું દળ $m = V \times \text{ઘનતા} = 8 \times 10^{-24} \ cm^3 \times 10 \ g \ cm^{-3} = 8 \times 10^{-23} \ g$ છે।
$FCC$ એકમ કોષમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે।
$100 \ g$ માં એકમ કોષની સંખ્યા $= \frac{100}{8 \times 10^{-23}} = 1.25 \times 10^{24}$ છે।
કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4 \times 1.25 \times 10^{24} = 0.5 \times 10^{25}$।

(A) $bcc$ લેટાઈસ માટે,ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{3} \times a}{4}$.
$r = \frac{1.732 \times 4.29}{4} = \frac{7.43028}{4} = 1.85757 \ \mathring{A} \approx 1.86 \ \mathring{A}$.

(A) $fcc$ એકમ કોષ માટે,પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ = $4$.
ધારની લંબાઈ $(a)$ = $3.61 \times 10^{-8} \, cm$.
$Cu$ નું પરમાણ્વીય દળ $(M_w)$ = $63.5 \, g \, mol^{-1}$.
એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ = $6.023 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
ઘનતા $(d)$ = $\frac{n \times M_w}{a^3 \times N_A}$.
$d = \frac{4 \times 63.5}{(3.61 \times 10^{-8})^3 \times 6.023 \times 10^{23}}$.
$d = \frac{254}{47.0458 \times 10^{-24} \times 6.023 \times 10^{23}}$.
$d = \frac{254}{28.339} \approx 8.96 \, g \, cm^{-3}$.

(C) $bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) બંધારણ માટે, નજીકના પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર $(d)$ સૂત્ર $d = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે નજીકના પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 1.73 \ \mathring{A}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{3} \approx 1.732$, તેથી સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $1.73 = \frac{1.732}{2} a$.
$a$ માટે ગણતરી કરતા: $a = \frac{1.73 \times 2}{1.732} \approx \frac{3.46}{1.732} \approx 1.9976 \ \mathring{A} \approx 2 \ \mathring{A}$.
ધારની લંબાઈને $\mathring{A}$ માંથી $pm$ માં ફેરવવા માટે, આપણે રૂપાંતરણ અવયવ $1 \ \mathring{A} = 100 \ pm$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી, $a = 2 \ \mathring{A} \times 100 \ pm/\mathring{A} = 200 \ pm$.

(B) $1$. ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને એકમ કોષનું કદ શોધો: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
$2$. પ્રથમ, મોલર દળ $(M)$ શોધો: $M = \frac{\text{દળ} \times N_A}{\text{પરમાણુઓની સંખ્યા}} = \frac{200 \ g \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}{4.12 \times 10^{24}} \approx 29.23 \ g \ mol^{-1}$.
$3$. $fcc$ બંધારણ માટે, $Z = 4$.
$4$. $a^3$ માટે ઘનતાના સૂત્રને ગોઠવો: $a^3 = \frac{Z \times M}{\rho \times N_A} = \frac{4 \times 29.23}{7.2 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 2.697 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$5$. $a$ ની ગણતરી કરો: $a = \sqrt[3]{2.697 \times 10^{-23}} \approx 2.999 \times 10^{-8} \ cm = 299.9 \ pm$.

(B) આપેલ: ઘનતા $(d)$ = $8.55 \ g \ cm^{-3}$,$M_w = 93 \ g \ mol^{-1}$,$Z = 2$ ($BCC$ બંધારણ માટે),$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{Z \times M_w}{a^3 \times N_A}$.
$a^3 = \frac{Z \times M_w}{d \times N_A} = \frac{2 \times 93}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 3.61 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$a = (36.1 \times 10^{-24})^{1/3} \approx 3.305 \times 10^{-8} \ cm$.
$BCC$ બંધારણ માટે,ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે.
$r = \frac{\sqrt{3} \times a}{4} = \frac{1.732 \times 3.305 \times 10^{-8}}{4} \approx 1.43 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) $NaCl$ સ્ફટિક ($fcc$ રચના) માટે,$Na^+$ અને $Cl^-$ આયનો વચ્ચેનું અંતર $(d)$ $d = a/2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે $d = 2.814 \ \overset{\circ}{A}$,તેથી $a = 2 \times 2.814 = 5.628 \ \overset{\circ}{A} = 5.628 \times 10^{-8} \ cm$.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = (Z \times M) / (N_A \times a^3)$ છે.
$NaCl$ માટે,$Z = 4$ અને $M = 58.5 \ g/mol$.
કિંમતો મૂકતા: $2.167 = (4 \times 58.5) / (N_A \times (5.628 \times 10^{-8})^3)$.
$N_A = (4 \times 58.5) / (2.167 \times 178.28 \times 10^{-24})$.
$N_A = 234 / (386.33 \times 10^{-24}) \approx 6.057 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.

(A) અંત: કેન્દ્રિય ઘન $(BCC)$ એકમ કોષ માટે, પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ અને બાજુની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$.
આપેલ છે, $a = 351 \ pm$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{1.732 \times 351}{4} \ pm$.
$r = \frac{607.932}{4} \ pm$.
$r \approx 151.98 \ pm \approx 152 \ pm$.

(C) આપેલ છે: ધારની લંબાઈ $(a) = 200 \, pm = 2 \times 10^{-8} \, cm$.
એકમ કોષનું કદ $(V) = a^3 = (2 \times 10^{-8} \, cm)^3 = 8 \times 10^{-24} \, cm^3$.
$f.c.c.$ માટે એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z) = 4$.
તત્વનું દળ $(m) = 200 \, g$.
પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $(N) = 24 \times 10^{23}$.
ઘનતા $(\rho) = \frac{Z \times m}{V \times N}$.
$\rho = \frac{4 \times 200 \, g}{8 \times 10^{-24} \, cm^3 \times 24 \times 10^{23}}$.
$\rho = \frac{800}{8 \times 24 \times 10^{-1}} = \frac{800}{19.2} = 41.66 \approx 41.7 \, \text{g cm}^{-3}$.

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે,પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $= 2$ છે.
એકમ કોષનું દળ $m = \frac{Z \times M}{N_A}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M = 50 \, g \, mol^{-1}$ અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
$m = \frac{2 \times 50}{6.022 \times 10^{23}} \approx 166.06 \times 10^{-24} \, g$.
એકમ કોષનું કદ $(V)$ $V = \frac{m}{d}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $d = 5.96 \, g \, cm^{-3}$.
$V = \frac{166.06 \times 10^{-24}}{5.96} \approx 27.86 \times 10^{-24} \, cm^3$.
આમ,એકમ કોષનું કદ આશરે $27.8 \times 10^{-24} \, cm^3$ થાય.

(A) $FCC$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ છે.
અહીં $a = 508 \text{ pm}$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા: $r = \frac{508}{2\sqrt{2}} = \frac{254}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા, $r = \frac{254}{1.414} \approx 179.6 \text{ pm}$ મળે છે.

(A) $NaCl$ પ્રકારની રચના માટે,ધારની લંબાઈ $a = 2(r_{cation} + r_{anion})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$NaCl$ માટે: $a_{NaCl} = 2(r_{Na^+} + r_{Cl^-}) = 2r_{Cl^-} (0.55 + 1) = 2r_{Cl^-} (1.55)$.
$KCl$ માટે: $a_{KCl} = 2(r_{K^+} + r_{Cl^-}) = 2r_{Cl^-} (0.74 + 1) = 2r_{Cl^-} (1.74)$.
ધારની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{a_{KCl}}{a_{NaCl}} = \frac{1.74}{1.55} \approx 1.123$ થાય છે.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે, પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ = $2$ છે.
પરમાણ્વીય દળ $(M)$ = $50 \ \text{g/mol}$.
ધારની લંબાઈ $(a)$ = $290 \ pm = 2.9 \times 10^{-8} \ cm$.
એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ \text{mol}^{-1}$.
ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર: $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{2 \times 50}{(2.9 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$d = \frac{100}{14.687} \approx 6.81 \ \text{g/cm}^{-3}$.

(B) $BCC$ એકમ કોષ માટે,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$.
આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 10.3 \ g \ cm^{-3}$,આણ્વિય દળ $M = 95.94 \ g \ mol^{-1}$,એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$.
$a^3$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_A} = \frac{2 \times 95.94}{10.3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$a^3 = \frac{191.88}{62.0266 \times 10^{23}} \approx 3.0935 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$a = (30.935 \times 10^{-24})^{1/3} \approx 3.139 \times 10^{-8} \ cm$.
$pm$ માં ફેરવતા: $a = 3.139 \times 10^{-8} \ cm \times 10^{10} \ pm/cm = 313.9 \ pm$.

(C) $NaCl$ નું આણ્વીય દળ $58.5 \ g/mol$ છે.
$NaCl$ ના એક એકમ કોષમાં $4$ $NaCl$ ના એકમો હોય છે.
એક એકમ કોષનું દળ: $\text{દળ} = \frac{4 \times 58.5}{6.022 \times 10^{23}} \ g$.
$1.00 \ g$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા:
$\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{1.00 \ g}{(4 \times 58.5) / (6.022 \times 10^{23}) \ g} = \frac{6.022 \times 10^{23}}{234} \approx 2.57 \times 10^{21} \ \text{એકમ કોષો}$.

(B) મોલર દળ $M$ ની ગણતરી: $M = \frac{200 \, g}{24 \times 10^{23} \, \text{atoms}} \times 6.022 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol} \approx 50.18 \, g/mol$.
$fcc$ એકમ કોષ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$.
ધારની લંબાઈ $a = 200 \, pm = 200 \times 10^{-10} \, cm$.
કદ $V = a^3 = (200 \times 10^{-10} \, cm)^3 = 8 \times 10^{-24} \, cm^3$.
ઘનતા $\rho = \frac{n \times M}{V \times N_A} = \frac{4 \times 50.18}{8 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 4.16 \, g/cm^3$.

$(A)$ ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$ છે.
આપેલ છે: $a = 288 \, pm = 288 \times 10^{-10} \, cm$, $d = 7.2 \, g \, cm^{-3}$, $n = 2$ ($BCC$ માટે), અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $7.2 = \frac{2 \times M}{(288 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$M = \frac{7.2 \times (288 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$.
$M \approx 51.8 \, g \, mol^{-1}$.

(A) $1$. ઘન એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
$2$. $NaCl$ પ્રકારના બંધારણ માટે,$Z = 4$. $KF$ નું આણ્વીય દળ $M = 39 + 19 = 58 \ g \ mol^{-1}$ છે.
$3$. આપેલ છે: $\rho = 2.48 \ g \ cm^{-3}$ અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$4$. $a^3 = \frac{Z \times M}{\rho \times N_A} = \frac{4 \times 58}{2.48 \times 6.022 \times 10^{23}} = 155.3 \times 10^{-24} \ cm^3$.
$5$. $a = \sqrt[3]{155.3 \times 10^{-24}} = 5.375 \times 10^{-8} \ cm = 537.5 \ pm$.
$6$. $NaCl$ પ્રકારના બંધારણમાં,ધન આયન અને ઋણ આયન વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{a}{2}$ થાય છે.
$7$. $d = \frac{537.5 \ pm}{2} = 268.75 \ pm \approx 268.8 \ pm$.

(B) $BCC$ એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $r = 75 \, pm$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા: $a = \frac{4 \times 75}{1.732} = \frac{300}{1.732} \approx 173.2 \, pm$.

$(A)$ $BCC$ લેટાઈસ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને આયનીય ત્રિજ્યા ($r^+$ અને $r^-$) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$2(r^+ + r^-) = \sqrt{3}a$
$r^+ + r^- = \frac{\sqrt{3}a}{2}$
અહીં $a = 390 \ pm$ અને $r^- = 180 \ pm$ આપેલ છે:
$r^+ + 180 = \frac{1.732 \times 390}{2}$
$r^+ + 180 = 337.74$
$r^+ = 337.74 - 180 = 157.74 \ pm \approx 158 \ pm$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $fcc$ લેટીસ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ છે。
અહીં $a = 361 \ pm$ આપેલ છે。
કિંમત મૂકતા: $r = \frac{361}{2 \times 1.414} = \frac{361}{2.828} \approx 127.65 \ pm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, આપણને $128 \ pm$ મળે છે。

(C) આપેલ છે: $FCC$ રચના, તેથી $n = 4$.
ઘનતા $(d)$ = $1.984 \ g \ cm^{-3}$.
ધારની લંબાઈ $(a)$ = $630 \ pm = 6.3 \times 10^{-8} \ cm$.
એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ = $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
સૂત્ર: $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$.
આણ્વિય દળ $(M)$ માટે: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{n}$.
$M = \frac{1.984 \times (6.3 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$.
$M = 74.70 \ g \ mol^{-1}$.

(A) $bcc$ બંધારણ માટે, બે આયનો વચ્ચેનું સૌથી નજીકનું અંતર $(d)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \frac{\sqrt{3}a}{2}$, જ્યાં $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે $d = 173 \ pm$.
કિંમત મૂકતા: $173 = \frac{\sqrt{3}a}{2}$.
$a = \frac{173 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{346}{1.732} \approx 200 \ pm$.

(A) એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર: $d = \frac{n \times M}{a^3 \times N_A}$
આપેલ મૂલ્યો:
$d = 0.53 \ g/cm^3$
$a = 3.5 \ \mathop A\limits^o = 3.5 \times 10^{-8} \ cm$
$M = 6.94 \ g \ mol^{-1}$
$N_A = 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
$n$ શોધવા માટે સૂત્ર:
$n = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{0.53 \times (3.5 \times 10^{-8})^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{6.94}$
$n \approx 2$
આમ,એકમ કોષમાં $Li$ પરમાણુઓની સંખ્યા $2$ છે.