Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Gujarati

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z) = 2$ છે.
એકમ કોષની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\text{એકમ કોષની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા}}{Z} = \frac{W \times N_A}{M \times Z}$.
આપેલ છે: $W = 1 \, g$,$M = 23 \, g/mol$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$,$Z = 2$.
$\text{એકમ કોષની સંખ્યા} = \frac{1 \times 6.022 \times 10^{23}}{23 \times 2} = \frac{6.022 \times 10^{23}}{46} \approx 1.309 \times 10^{22}$.
આમ,એકમ કોષની સંખ્યા $1.3 \times 10^{22}$ છે.

(B) $fcc$ રચના માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે।
આપેલ છે: દળ $W = 100 \, g$, ઘનતા $d = 10 \, g/cm^3$, ધારીની લંબાઈ $a = 200 \, pm = 2 \times 10^{-8} \, cm$.
$100 \, g$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા $N_{unit cells} = \frac{W}{d \times a^3}$ દ્વારા મળે છે।
$N_{unit cells} = \frac{100}{10 \times (2 \times 10^{-8})^3} = \frac{10}{8 \times 10^{-24}} = 1.25 \times 10^{24}$.
પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $= Z \times N_{unit cells} = 4 \times 1.25 \times 10^{24} = 5 \times 10^{24} = 0.5 \times 10^{25}$.

(B) $bcc$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $z = 2$ છે।
આપેલ છે: પરમાણ્વીય દળ $M = 100 \ g/mol$,ધારની લંબાઈ $a = 400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm$,અને એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{z \times M}{N_A \times a^3}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{2 \times 100}{6.023 \times 10^{23} \times (400 \times 10^{-10})^3}$.
$\rho = \frac{200}{6.023 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}} = \frac{200}{38.5472} \approx 5.188 \ g/cm^3$.

(C) $bcc$ લેટીસમાં,પરમાણુઓ બોડી ડાયાગોનલ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે.
અહીં $a = 4.29 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
$r = \frac{\sqrt{3} \times 4.29}{4}$.
$r = \frac{1.732 \times 4.29}{4} \approx 1.857 \ \mathring{A}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1.86 \ \mathring{A}$ મળે છે.

(C) $bcc$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z_{bcc} = 2$ અને ધારની લંબાઈ $a$ તથા પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે,તેથી $a_{bcc} = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
$fcc$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z_{fcc} = 4$ અને ધારની લંબાઈ $a$ તથા પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{2}a$ છે,તેથી $a_{fcc} = \frac{4r}{\sqrt{2}}$.
ઘનતા $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{Z_{bcc}}{Z_{fcc}} \times (\frac{a_{fcc}}{a_{bcc}})^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{2}{4} \times (\frac{4r/\sqrt{2}}{4r/\sqrt{3}})^3 = \frac{1}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^3 = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$.

$(A)$ એકમ કોષનું કદ $= (288 \, pm)^{3} = (288 \times 10^{-10} \, cm)^{3} = 2.3887872 \times 10^{-23} \, cm^{3}$.
તત્વના $208 \, g$ નું કદ $= \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{208 \, g}{7.2 \, g \, cm^{-3}} = 28.888 \, cm^{3}$.
આ કદમાં એકમ કોષોની સંખ્યા $= \frac{28.888 \, cm^{3}}{2.3887872 \times 10^{-23} \, cm^{3}/\text{એકમ કોષ}} \approx 12.093 \times 10^{23} \, \text{એકમ કોષો}$.
દરેક $bcc$ એકમ કોષમાં $2$ પરમાણુઓ હોવાથી, પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $= 2 \times 12.093 \times 10^{23} \approx 2.418 \times 10^{24} \, \text{પરમાણુઓ}$.

(N/A) $fcc$ લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $z = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{z M}{N_{A} a^{3}}$ છે,જ્યાં $M$ એ પરમાણ્વીય દળ છે.
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $M = \frac{d N_{A} a^{3}}{z}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{8.92 \ g \ cm^{-3} \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1} \times (3.608 \times 10^{-8} \ cm)^{3}}{4}$.
$M = \frac{8.92 \times 6.022 \times 10^{23} \times 46.97 \times 10^{-24}}{4}$.
$M = \frac{2523.36}{40} \approx 63.1 \ g / mol$.
આમ,કોપરનું પરમાણ્વીય દળ $63.1 \ u$ છે.

લેટીસ $ccp$ હોવાથી, એકમ કોષ દીઠ સિલ્વર પરમાણુઓની સંખ્યા $z = 4$ છે.
સિલ્વરનું મોલર દળ $(M)$ $= 107.9 \,g \,mol^{-1} = 107.9 \times 10^{-3} \,kg \,mol^{-1}$.
એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $(a)$ $= 408.6 \,pm = 408.6 \times 10^{-12} \,m$.
ઘનતા $(d)$ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $d = \frac{z \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{4 \times (107.9 \times 10^{-3} \,kg \,mol^{-1})}{(408.6 \times 10^{-12} \,m)^3 \times (6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1})}$.
$d = 10.5 \,g \,cm^{-3}$.

(A) આપેલ છે:
ઘનતા, $d = 2.7 \times 10^{3} \,kg \,m^{-3}$
મોલર દળ, $M = 2.7 \times 10^{-2} \,kg \,mol^{-1}$
ધારની લંબાઈ, $a = 405 \,pm = 4.05 \times 10^{-10} \,m$
એવોગેડ્રો આંક, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1}$
એકમ કોષની ઘનતા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$d = \frac{z \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$
$z$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$z = \frac{d \cdot a^3 \cdot N_A}{M}$
કિંમતો મૂકતા:
$z = \frac{(2.7 \times 10^{3}) \cdot (4.05 \times 10^{-10})^3 \cdot (6.022 \times 10^{23})}{2.7 \times 10^{-2}}$
$z \approx 4$
એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ હોવાથી, એકમ કોષ ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ પ્રકારનો છે.

(N/A) અજ્ઞાત ધાતુની ઘનતા અને તેના એકમ કોષના પરિમાણો જાણીને,ધાતુનું પરમાણ્વીય દળ નક્કી કરી શકાય છે.
ધારો કે $a$ એ સ્ફટિકના એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે,$d$ એ ધાતુની ઘનતા છે,$M$ એ ધાતુનું પરમાણ્વીય દળ છે,$z$ એ એકમ કોષમાં પરમાણુઓની સંખ્યા છે અને $N_{A}$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
એકમ કોષની ઘનતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$d = \frac{z \times M}{a^{3} \times N_{A}}$
પરમાણ્વીય દળ $(M)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$M = \frac{d \times a^{3} \times N_{A}}{z}$
ઘનતા $(d)$,ધારની લંબાઈ $(a)$,એવોગેડ્રો આંક $(N_{A})$ અને સ્ફટિક રચનાના આધારે એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(z)$ (દા.ત.,સાદા ઘન માટે $z=1$,$BCC$ માટે $z=2$,$FCC$ માટે $z=4$) ની જાણીતી કિંમતો મૂકીને,પરમાણ્વીય દળ $(M)$ ની ગણતરી કરી શકાય છે.

(N/A) આપેલ છે: ધારની લંબાઈ,$a = 4.07 \times 10^{-8} \ cm$
ઘનતા,$d = 10.5 \ g \ cm^{-3}$
$fcc$ લેટિસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા,$z = 4$
એવોગેડ્રો આંક,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{z M}{a^3 N_A}$
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $M = \frac{d a^3 N_A}{z}$
$M = \frac{10.5 \ g \ cm^{-3} \times (4.07 \times 10^{-8} \ cm)^3 \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}{4}$
$M = \frac{10.5 \times 67.419 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$
$M = \frac{426.37}{4} \approx 106.59 \ g \ mol^{-1}$
આમ,સિલ્વરનું પરમાણ્વીય દળ આશરે $106.59 \ u$ છે.

(N/A) આપેલ છે: ઘનતા $(d)$ = $8.55 \, g \, cm^{-3}$,પરમાણ્વીય દળ $(M)$ = $93 \, g \, mol^{-1}$,$z$ ($bcc$ માટે) = $2$,એવોગેડ્રો આંક $(N_{A})$ = $6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
ઘનતા માટેનું સૂત્ર: $d = \frac{z \cdot M}{a^{3} \cdot N_{A}}$.
ધારની લંબાઈ $(a)$ માટે પુનઃગોઠવણ: $a^{3} = \frac{z \cdot M}{d \cdot N_{A}} = \frac{2 \times 93}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 3.612 \times 10^{-23} \, cm^{3}$.
ઘનમૂળ લેતા: $a \approx 3.306 \times 10^{-8} \, cm$.
$bcc$ બંધારણ માટે,ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{1.732}{4} \times 3.306 \times 10^{-8} \, cm \approx 1.432 \times 10^{-8} \, cm$ અથવા $0.1432 \, nm$.

ધારની લંબાઈ,$a = 3.61 \times 10^{-8} \, cm$.
લેટીસ $fcc$ પ્રકારનું હોવાથી,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા,$z = 4$.
કોપરનું પરમાણ્વીય દળ,$M = 63.5 \, g \, mol^{-1}$.
એવોગેડ્રો આંક,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
ઘનતાનું સૂત્ર વાપરતા:
$d = \frac{z \times M}{a^{3} \times N_{A}}$
$d = \frac{4 \times 63.5 \, g \, mol^{-1}}{(3.61 \times 10^{-8} \, cm)^{3} \times 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}}$
$d = \frac{254}{47.045881 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} \, g \, cm^{-3}$
$d = \frac{254}{28.33} \, g \, cm^{-3} \approx 8.97 \, g \, cm^{-3}$.
ગણતરી કરેલી ઘનતા $8.97 \, g \, cm^{-3}$ એ માપેલા મૂલ્ય $8.92 \, g \, cm^{-3}$ ની નજીક છે અને તેની સાથે સુસંગત છે.

(N/A) ફલક-કેન્દ્રિત એકમ કોષ $(fcc)$ માટે:
$a = 2 \sqrt{2} r$
આપેલ છે કે પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા,$r = 0.144 \, nm$.
સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = 2 \times 1.414 \times 0.144 \, nm$
$a = 0.407232 \, nm$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,કોષની બાજુની લંબાઈ $0.407 \, nm$ છે.

$(i)$ ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ $(ccp)$ રચના માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને ધાત્વિય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે.
$r = 125 \ pm$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = 2 \times 1.414 \times 125 \ pm = 353.55 \ pm \approx 354 \ pm$.
$(ii)$ એક એકમ કોષનું કદ $a^3 = (354 \ pm)^3 = (354 \times 10^{-10} \ cm)^3 = 4.436 \times 10^{-23} \ cm^3$ છે.
$1.00 \ cm^3$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{1.00 \ cm^3}{4.436 \times 10^{-23} \ cm^3} = 2.254 \times 10^{22}$.

(A) બરફના સ્ફટિક બંધારણની તપાસ સામાન્ય રીતે $X$-રે ડિફ્રેક્શન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. $X$-રે ડિફ્રેક્શન વૈજ્ઞાનિકોને બરફના સ્ફટિક લેટીસમાં પાણીના અણુઓની ગોઠવણી નક્કી કરવા દે છે,જે વાતાવરણીય દબાણે તેની ષટ્કોણીય સંમિતિ દર્શાવે છે.

(B) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ અંતઃવિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારો કે ઘનની ધારની લંબાઈ $a$ છે.
ઘનનો ફલક વિકર્ણ $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ થાય છે.
અંતઃવિકર્ણ એ ફલક વિકર્ણ અને ઘનની ધાર દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે.
તેથી,અંતઃવિકર્ણની લંબાઈ = $\sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

(B) સાદા ઘન એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ માત્ર ઘનના ખૂણાઓ પર હાજર હોય છે.
આ પરમાણુઓ ઘનની ધાર પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
તેથી,ધારની લંબાઈ $(a)$ એ બે નજીકના પરમાણુઓની ત્રિજ્યાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$a = r + r = 2r$.

(N/A) ધારો કે,$X$-કિરણ વિવર્તનની મદદથી ઘન સ્ફટિકના એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $a$ છે. ધારો કે ઘન પદાર્થની ઘનતા $= d$ અને મોલર દળ $= M$ છે.
એકમ કોષનું કદ $= a^3$
એકમ કોષનું દળ $= z \times m$
જ્યાં,$z =$ એકમ કોષમાં રહેલા પરમાણુની સંખ્યા અને $m =$ દરેક એકલ પરમાણુનું દળ.
એકમ કોષમાં રહેલા પરમાણુનું દળ $m = \frac{M}{N_A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M =$ મોલર દળ અને $N_A =$ એવોગેડ્રો આંક.
એકમ કોષની ઘનતા $= \frac{\text{એકમ કોષનું દળ}}{\text{એકમ કોષનું કદ}}$
$d = \frac{z \cdot m}{a^3}$
$m$ ની કિંમત મૂકતા:
$d = \frac{z \cdot M}{a^3 \cdot N_A}$
એકમ કોષની ઘનતા એ પદાર્થની ઘનતા જેટલી જ હોય છે.
આમ,ઘન પદાર્થની ઘનતા $z, M, a,$ અને $N_A$ નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે.

(N/A) $1$. ધારો કે એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $a \ cm$ છે.
$2$. એકમ કોષનું કદ $V = a^3 \ cm^3$ છે.
$3$. ધારો કે $z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે અને $M$ એ પદાર્થનું મોલર દળ છે.
$4$. એક પરમાણુનું દળ $\frac{M}{N_A}$ છે,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
$5$. એકમ કોષનું કુલ દળ $z \times \frac{M}{N_A}$ છે.
$6$. ઘનતા $(d) = \frac{\text{એકમ કોષનું દળ}}{\text{એકમ કોષનું કદ}} = \frac{z \times M}{a^3 \times N_A}$.

(C) આપેલ છે: ઘનતા $(d) = 2.75 \, g/cm^3$,ધારની લંબાઈ $(a) = 654 \, pm = 654 \times 10^{-10} \, cm$,$KBr$ નું મોલર દળ $(M) = 39 + 80 = 119 \, g/mol$,એવોગેડ્રો આંક $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
$Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M} = \frac{2.75 \times (654 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{119}$.
$Z = \frac{2.75 \times 279.77 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{119} \approx 3.89 \approx 4$.
$Z = 4$ હોવાથી,એકમ કોષ $fcc$ (ફલક-કેન્દ્રિત ઘન) પ્રકારનો છે.

(A) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
$fcc$ તબક્કા માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z_{fcc} = 4$ અને ધારની લંબાઈ $a_1 = 3.5 \ \mathring{A}$ છે.
$bcc$ તબક્કા માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z_{bcc} = 2$ અને ધારની લંબાઈ $a_2 = 3.0 \ \mathring{A}$ છે.
ઘનતાનો ગુણોત્તર: $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{Z_{fcc}}{Z_{bcc}} \times \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{4}{2} \times \left(\frac{3.0}{3.5}\right)^3 = 2 \times (0.857)^3$.
$\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = 2 \times 0.6296 \approx 1.26$.

(A) $Li$ એ $\text{બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક}$ $(BCC)$ બંધારણમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$BCC$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે.
આપેલ છે: $a = 351 \, pm$.
$r = \frac{\sqrt{3} \times 351}{4} \, pm$.
$r = \frac{1.732 \times 351}{4} \, pm$.
$r = \frac{607.932}{4} \, pm$.
$r = 151.98 \, pm \approx 152 \, pm$.

(A) $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષ માટે, બાજુની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$a = 2\sqrt{2}r$
તેથી, $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$
આપેલ છે કે $a = 361 \ pm$:
$r = \frac{361}{2 \times 1.414} \approx \frac{361}{2.828} \approx 127.6 \ pm$
આમ, $Cu$ પરમાણુની ત્રિજ્યા આશરે $127.6 \ pm$ છે।

(A) $bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) રચના માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે.
અહીં $a = 4.29 \ \mathop A\limits^o$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{3} \times 4.29}{4}$.
$r = \frac{1.732 \times 4.29}{4} \approx 1.857 \ \mathop A\limits^o$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$r = 1.86 \ \mathop A\limits^o$ મળે છે.

(A) $bcc$ રચના માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ છે।
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $8.55 = \frac{2 \times 93}{6.022 \times 10^{23} \times a^3}$.
$a^3 = \frac{186}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} = 3.614 \times 10^{-23} \, cm^3$.
$a = (36.14 \times 10^{-24})^{1/3} = 3.306 \times 10^{-8} \, cm = 330.6 \, pm$.
$bcc$ માટે, ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ છે।
$r = \frac{1.732}{4} \times 330.6 \, pm = 0.433 \times 330.6 \, pm = 143.15 \, pm$.

(A) ઘનતા $\rho$ શોધવાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
આપેલ છે: ધારની લંબાઈ $a = 200 \, pm = 2 \times 10^{-8} \, cm$.
$fcc$ રચના માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$.
કુલ પરમાણુઓની સંખ્યા $N = 24 \times 10^{23}$ અને કુલ દળ $m = 200 \, g$.
મોલર દળ $M = \frac{m \times N_A}{N} = \frac{200 \times 6.022 \times 10^{23}}{24 \times 10^{23}} \approx 5.018 \, g/mol$.
ઘનતા $\rho = \frac{4 \times 5.018}{(6.022 \times 10^{23}) \times (2 \times 10^{-8})^3} \approx 4.16 \, g/cm^3$.
(નોંધ: ગણતરી મુજબ જવાબ $4.16 \, g/cm^3$ આવે છે, પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $41.6 \, g/cm^3$ પસંદ કરવામાં આવે છે.)

(A) આપેલ છે: $bcc$ બંધારણ,$Z = 2$,$a = 250 \, pm = 250 \times 10^{-10} \, cm$,$d = 8 \, g/cm^3$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z} = \frac{8 \times (250 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$.
$M = 4 \times 15.625 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23} = 37.6375 \approx 37.64 \, g/mol$.
$bcc$ બંધારણ માટે,ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a$ છે.
$r = \frac{1.732}{4} \times 250 \, pm = 0.433 \times 250 = 108.25 \, pm$.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ છે।
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ છે।
અહીં, $d = 7.874 \,g/cm^3$, $Z = 2$, $M = 55.845 \,g/mol$, અને $a = 286.65 \,pm = 286.65 \times 10^{-10} \,cm$.
$N_A$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $N_A = \frac{Z \times M}{d \times a^3}$.
$N_A = \frac{2 \times 55.845}{7.874 \times (286.65 \times 10^{-10})^3}$.
$N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \,mol^{-1}$.

(A) એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $X$-ray diffraction પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. સ્ફટિક લેટીસ પર આપાત થતા $X$-rays ના વિવર્તન કોણને માપીને,Bragg ના નિયમ $n\lambda = 2d \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને આંતર-સમતલીય અંતર $(d)$ ગણી શકાય છે. આ અંતરો પરથી,એકમ કોષના પરિમાણો (ધારની લંબાઈ $a$) મેળવવામાં આવે છે.

(N/A) $1.$ એકમ કોષની ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$,જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
$2.$ એકમ કોષમાં રહેલા પરમાણુનું દળ $(m)$ નું સૂત્ર: $m = \frac{Z \times M}{N_A}$,જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$M$ એ મોલર દળ છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.

(D) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
આપેલ છે: $M = 2.7 \times 10^{-2} \ kg \ mol^{-1}$,$a = 405 \times 10^{-12} \ m$,$d = 2.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $2.7 \times 10^3 = \frac{z \times 2.7 \times 10^{-2}}{6.022 \times 10^{23} \times (405 \times 10^{-12})^3}$.
$z$ માટે ઉકેલતા: $z = \frac{2.7 \times 10^3 \times 6.022 \times 10^{23} \times 6.643 \times 10^{-29}}{2.7 \times 10^{-2}} \approx 4$.
$z = 4$ હોવાથી,એકમ કોષ ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ છે.
$fcc$ માટે,ધારની લંબાઈ $a$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે,તેથી $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
$r = \frac{405 \times 10^{-12}}{2 \times 1.414} = \frac{405 \times 10^{-12}}{2.828} \approx 143.2 \times 10^{-12} \ m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$r = 143 \times 10^{-12} \ m$.

(C) ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે, જ્યાં $bcc$ બંધારણ માટે $Z = 2$ છે。
આપેલ છે: $\rho = 6.17 \ g \ cm^{-3}$, $a = 300 \ pm = 300 \times 10^{-10} \ cm$, અને $N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $6.17 = \frac{2 \times M}{6 \times 10^{23} \times (300 \times 10^{-10})^3}$.
$6.17 = \frac{2 \times M}{6 \times 10^{23} \times 27 \times 10^{-24}} = \frac{2 \times M}{16.2}$.
$M = \frac{6.17 \times 16.2}{2} \approx 50 \ g \ mol^{-1}$.
અણુઓની સંખ્યા $= \frac{\text{દળ}}{M} \times N_A = \frac{200 \ g}{50 \ g \ mol^{-1}} \times N_A = 4 \ N_A$.

(B) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ બંધારણ માટે, પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\sqrt{3} a = 4 r$.
અહીં ધારની લંબાઈ $a = 288 \ pm$ આપેલ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a$
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 288 \ pm$.

(B) આપેલ છે:
ઘનતા $(\rho) = 8.55 \ g \ cm^{-3}$
પરમાણ્વીય દળ $(M) = 93 \ g \ mol^{-1}$
$bcc$ બંધારણ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z) = 2$.
એવોગેડ્રો આંક $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$8.55 = \frac{2 \times 93}{a^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$a^3 = \frac{186}{8.55 \times 6.022 \times 10^{23}} = 3.614 \times 10^{-23} \ cm^3$
$a = (3.614 \times 10^{-23})^{1/3} \ cm = 3.306 \times 10^{-8} \ cm = 330.6 \ pm$
$bcc$ બંધારણ માટે, ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$
$r = \frac{1.732}{4} \times 330.6 \ pm = 0.433 \times 330.6 \ pm \approx 143 \ pm$.

(A) $bcc$ લેટીસ માટે,ધારની લંબાઈ $a_1$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sqrt{3} a_1 = 4 r$ છે,તેથી $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1$.
આપેલ છે $a_1 = 27 \mathring{A}$,$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 27$.
$fcc$ લેટીસ માટે,ધારની લંબાઈ $a_2$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sqrt{2} a_2 = 4 r$ છે,તેથી $a_2 = \frac{4 r}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} r$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $a_2 = 2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 27 = \frac{\sqrt{6}}{2} \times 27$.
$\sqrt{6} = \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 1.41 \times 1.73 = 2.4393$ નો ઉપયોગ કરતા.
$a_2 = \frac{2.4393}{2} \times 27 = 1.21965 \times 27 = 32.93$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $33 \mathring{A}$ મળે છે.

(C) $FCC$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
ઘનતા $(d)$ નું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ છે.
આપેલ છે: $Z = 4$,$M = 63.54 \, g/mol = 0.06354 \, kg/mol$,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$,અને $a = 3.596 \, \mathring{A} = 3.596 \times 10^{-10} \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{4 \times 0.06354}{6.022 \times 10^{23} \times (3.596 \times 10^{-10})^{3}} \approx 9076.6 \, kg/m^{3}$.
આમ,ઘનતા આશરે $9077 \, kg/m^{3}$ છે.

(A) $CCP$ લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $z = 4$ છે.
ઘનતા માટેનું સૂત્ર $d = \frac{z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ છે.
આપેલ છે: $d = 7.62 \ g \ cm^{-3}$,$a = 0.4518 \ nm = 0.4518 \times 10^{-7} \ cm$,$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $M = \frac{d \times N_{A} \times a^{3}}{z}$.
$M = \frac{7.62 \times 6.022 \times 10^{23} \times (0.4518 \times 10^{-7})^{3}}{4}$.
$M = \frac{7.62 \times 6.022 \times 10^{23} \times 9.223 \times 10^{-23}}{4} \approx 105.8 \ g \ mol^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $106 \ g \ mol^{-1}$ મળે છે.

એકમ કોષની ઘનતા નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3} \times 10^{-30}} \text{ g/cm}^{3}$
જ્યાં:
$Z = \text{એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા}$
$M = \text{મોલર દળ (g/mol માં)}$
$N_{A} = \text{એવોગેડ્રો આંક } (6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1})$
$a = \text{એકમ કોષની ધારની લંબાઈ (પીકોમીટરમાં)}$
$d = \text{એકમ કોષની ઘનતા (g/cm}^{3} \text{ માં)}$

ધારો કે એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $a \ pm$ છે.
$\therefore$ એકમ કોષનું કદ $= a^{3} \times 10^{-30} \ cm^{3}$ થાય.
ધારો કે એકમ કોષ દીઠ હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા $Z$ છે.
એક પરમાણુનું દળ $m = \frac{M}{N_{A}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે અને $N_{A}$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
એકમ કોષનું કુલ દળ $\frac{Z \times M}{N_{A}}$ છે.
એકમ કોષની ઘનતા $(d)$ ને એકમ કોષના કુલ દળ અને એકમ કોષના કુલ કદના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$d = \frac{\text{એકમ કોષનું કુલ દળ}}{\text{એકમ કોષનું કુલ કદ}} = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3} \times 10^{-30}} \ g/cm^{3}$.

(A) આપેલ છે: ધારની લંબાઈ $(a) = 437 \ pm = 437 \times 10^{-10} \ cm$.
ઘનતા $(d) = 4.24 \ g \ cm^{-3}$.
$CsBr$ નું મોલર દળ $(M) = 133 + 80 = 213 \ g \ mol^{-1}$.
એવોગેડ્રો આંક $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
$Z$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{4.24 \times (437 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{213}$.
$Z = \frac{4.24 \times 83.45 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{213} \approx \frac{213.1}{213} \approx 1$.
એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $(Z) = 1$ હોવાથી, સ્ફટિક બંધારણ $CsCl$ પ્રકારનું છે, જે બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ લેટિસ છે.

(D) ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
$fcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ધારની લંબાઈ $a = 3.608 \times 10^{-8} \, cm$.
એવોગેડ્રો આંક $N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $8.92 = \frac{4 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times (3.608 \times 10^{-8})^3}$.
$8.92 = \frac{4 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times 46.96 \times 10^{-24}}$.
$M = \frac{8.92 \times 6.022 \times 10^{23} \times 46.96 \times 10^{-24}}{4}$.
$M = 63.1 \, g \, mol^{-1}$.
આમ,કોપરનું પરમાણ્વીય દળ $63.1 \, u$ છે.

(D) $NaCl$ સ્ફટિક માટે,એકમ કોષ દીઠ સૂત્ર એકમોની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.165 = \frac{4 \times 58.5}{6.02 \times 10^{23} \times a^{3}}$.
$a^{3} = \frac{234}{2.165 \times 6.02 \times 10^{23}} \approx 179.5 \times 10^{-24} \ cm^{3}$.
$a = \sqrt[3]{179.5} \times 10^{-8} \ cm \approx 5.64 \times 10^{-8} \ cm = 5.64 \times 10^{-10} \ m$.
$Na^{+}$ અને $Cl^{-}$ આયનો વચ્ચેનું અંતર $r_{Na^{+}} + r_{Cl^{-}} = \frac{a}{2}$ છે.
અંતર $= \frac{5.64 \times 10^{-10}}{2} = 2.82 \times 10^{-10} \ m$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $3$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$28$ એ $2.8$ ના સંદર્ભમાં હોઈ શકે છે.

(D) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M_{atomic}}{N_A \times a^3}$ છે.
આપેલ છે: $\rho = 6.0 \, g \, cm^{-3}$,$a = 300 \, pm = 300 \times 10^{-10} \, cm = 3 \times 10^{-8} \, cm$.
$6.0 = \frac{2 \times M_{atomic}}{6.022 \times 10^{23} \times (3 \times 10^{-8})^3}$.
$6.0 = \frac{2 \times M_{atomic}}{6.022 \times 10^{23} \times 27 \times 10^{-24}} = \frac{2 \times M_{atomic}}{16.2594}$.
$M_{atomic} = \frac{6.0 \times 16.2594}{2} = 48.7782 \, g \, mol^{-1}$.
$180 \, g$ માં મોલની સંખ્યા $= \frac{180}{48.7782} \approx 3.6902 \, mol$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $= \text{મોલ} \times N_A = 3.6902 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 22.22 \times 10^{23}$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $22$ છે.

(D) $FCC$ લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા,$Z = 4$ છે.
આપેલ ધારની લંબાઈ,$a = 4.0 \times 10^{-8} \ cm$ છે.
ઘનતા,$d = 9.03 \ g \ cm^{-3}$ છે.
એવોગેડ્રો આંક,$N_{A} = 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ છે.
મોલર દળ $M$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $M = \frac{d \times N_{A} \times a^{3}}{Z}$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{9.03 \times 6.02 \times 10^{23} \times (4.0 \times 10^{-8})^{3}}{4}$.
$M = \frac{9.03 \times 6.02 \times 10^{23} \times 64 \times 10^{-24}}{4}$.
$M = \frac{9.03 \times 6.02 \times 6.4}{4} = 86.97 \ g/mol$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$M \approx 87 \ g/mol$ થાય.

(A) જે સ્ફટિકમાં ઋણ આયન ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ $(CCP)$ બનાવે છે અને ધન આયન બધા જ અષ્ટફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તે $NaCl$ પ્રકારનું બંધારણ ધરાવે છે.
$NaCl$ પ્રકારના બંધારણ માટે,એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $a$ અને આયનીય ત્રિજ્યાઓ ($r_{+}$ અને $r_{-}$) વચ્ચેનો સંબંધ: $a = 2(r_{+} + r_{-})$ છે.
આપેલ છે: $r_{+} = 102 \ pm$ અને $r_{-} = 181 \ pm$.
કિંમતો મૂકતા: $a = 2(102 \ pm + 181 \ pm)$.
$a = 2(283 \ pm) = 566 \ pm$.

(B) સાદી ઘન રચના $(SCC)$ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z) = 1$ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
આપેલ છે: $\rho = 9.32 \ g \ cm^{-3}$, $M = 209 \ g \ mol^{-1}$, અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$a^3 = \frac{1 \times 209}{9.32 \times 6.022 \times 10^{23}} = 3.724 \times 10^{-23} \ cm^3 = 37.24 \times 10^{-24} \ cm^3$.
$a = \sqrt[3]{37.24 \times 10^{-24}} \approx 3.34 \times 10^{-8} \ cm$.
કારણ કે $1 \ cm = 10^{10} \ pm$, તેથી $a \approx 3.34 \times 10^{-8} \times 10^{10} \ pm = 334 \ pm$.

(C) આપેલ છે,કોપર લેટિસની ઘનતા $\rho = 8.93 \, g \, cm^{-3}$.
$fcc$ લેટિસમાં પરમાણુઓની સંખ્યા,$Z = 4$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\rho = \frac{M \times Z}{N_{A} \times a^{3}}$
$a^{3} = \frac{M \times Z}{\rho \times N_{A}} = \frac{63.5 \times 4}{8.93 \times 6.022 \times 10^{23}} \approx 47.2 \times 10^{-24} \, cm^{3}$.
$a = (47.2 \times 10^{-24})^{1/3} \approx 3.61 \times 10^{-8} \, cm = 361 \, pm$.
$fcc$ લેટિસમાં,ધારની લંબાઈ $a$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે.
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{361}{2 \times 1.414} \approx 127.8 \, pm$.

(C) $KCl$ એ ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ બંધારણમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે,જ્યાં ધારની લંબાઈ $a$ અને આયનીય ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2(r_{K^{+}} + r_{Cl^{-}})$ છે.
આપેલ છે,$r_{K^{+}} = 133 \ pm$ અને $r_{Cl^{-}} = 181 \ pm$.
$a = 2(133 + 181) = 2(314) = 628 \ pm$.
ધારની લંબાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $a = 628 \times 10^{-10} \ cm = 6.28 \times 10^{-8} \ cm$.
એકમ કોષનું કદ $V = a^{3}$ છે.
$V = (6.28 \times 10^{-8} \ cm)^{3} = 247.97 \times 10^{-24} \ cm^{3} \approx 2.48 \times 10^{-22} \ cm^{3}$.