Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Gujarati

(C) બ્રેગના સમીકરણ $n \lambda = 2 d \sin \theta$ મુજબ.
$(100)$ સમતલ માટે,આંતર-સમતલીય અંતર $d_{100} = \frac{a}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}} = a = 6 \mathring{A}$ છે.
આપેલ $n=2, \lambda=3 \mathring{A}, \theta=30^{\circ}$ માટે,સમીકરણ સંતોષાય છે: $2 \times 3 = 2 \times 6 \times \sin 30^{\circ} = 6 \times 1 = 6$.
$(200)$ સમતલ માટે,આંતર-સમતલીય અંતર $d_{200} = \frac{a}{\sqrt{2^2+0^2+0^2}} = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \mathring{A}$ છે.
સમાન તરંગલંબાઈ $\lambda = 3 \mathring{A}$ સાથે પ્રથમ ક્રમના વિવર્તન $(n=1)$ માટે,$1 \times 3 = 2 \times 3 \times \sin \theta$.
$3 = 6 \sin \theta$ $\Rightarrow \sin \theta = 0.5$ $\Rightarrow \theta = 30^{\circ}$.

(B) ક્યુબિક લેટીસ માટે આંતર-સમતલ અંતર $d$ નું સૂત્ર: $d = \frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$
અહીં,ક્યુબિક લેટીસની ધારની લંબાઈ $a = 450 \, pm$ છે.
$(2, 2, 1)$ સમતલ માટે,મિલર ઇન્ડેક્સ $h=2, k=2, l=1$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{450}{\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2}}$
$d = \frac{450}{\sqrt{4+4+1}}$
$d = \frac{450}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{450}{3} = 150 \, pm$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બ્રેગના સમીકરણ મુજબ,$n\lambda = 2d\sin\theta$.
આપેલ છે કે આંતર-સમતલ અંતર $d = \lambda$ અને પ્રથમ ક્રમનું વિવર્તન $(n = 1)$ ધારતા.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $1 \times \lambda = 2 \times \lambda \times \sin\theta$.
બંને બાજુ $\lambda$ વડે ભાગતા,આપણને $1 = 2\sin\theta$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\sin\theta = \frac{1}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
આપેલ છે, ધાતુની પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા, $r = 141.4 \, pm$.
ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ રચના માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ છે.
$a$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $a = 2\sqrt{2}r$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = 2 \times 1.414 \times 141.4 = 400 \, pm$.
એકમ કોષનું કદ $V = a^3$ છે.
$V = (400 \, pm)^3 = 64,000,000 \, pm^3 = 64 \times 10^6 \, pm^3$.
આને $6.4 \times 10^7 \, pm^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(D) એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$ છે.
અહીં,$d = 4.0 \ g \ cm^{-3}$,$M = 56 + 16 = 72 \ g \ mol^{-1}$,$a = 5.0 \ \mathring{A} = 5.0 \times 10^{-8} \ cm$,અને $N_{A} = 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4.0 = \frac{Z \times 72}{6.0 \times 10^{23} \times (5.0 \times 10^{-8})^3}$.
$4.0 = \frac{Z \times 72}{6.0 \times 10^{23} \times 125 \times 10^{-24}}$.
$4.0 = \frac{Z \times 72}{0.075}$.
$Z = \frac{4.0 \times 0.075}{72} \approx 4.166$.
પ્રતિ એકમ કોષ $FeO$ એકમોની સંખ્યા માટે નજીકનો પૂર્ણાંક $4$ છે.

(D) એકમ કોષની ઘનતા $d$ નું સૂત્ર: $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$,જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$N_{A}$ એ એવોગેડ્રો આંક છે અને $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
$fcc$ માટે,$Z = 4$ અને $a = 2.0 \ \mathring{A}$.
$bcc$ માટે,$Z = 2$ અને $a = 2.5 \ \mathring{A}$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર: $\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{4 \times M / (N_{A} \times 2.0^3)}{2 \times M / (N_{A} \times 2.5^3)}$.
$\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{4}{8} \times \frac{15.625}{1} = 0.5 \times 15.625 = 7.8125$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $8$ છે.

(C) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ સ્ટ્રક્ચર માટે:
$FCC$ માં,પરમાણુઓ ફેસ ડાયાગોનલ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ફેસ ડાયાગોનલ $a \sqrt{2} = 4 r$ છે.
તેથી,$a = 2 \sqrt{2} r$ અથવા $r = \frac{a}{2 \sqrt{2}}$.
બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ સ્ટ્રક્ચર માટે:
$BCC$ માં,પરમાણુઓ બોડી ડાયાગોનલ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
બોડી ડાયાગોનલ $a \sqrt{3} = 4 r$ છે.
તેથી,$r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$ અથવા $4 r = \sqrt{3} a$.
આમ,સાચો સંબંધ $2 \sqrt{2} r = a$ અને $4 r = \sqrt{3} a$ છે.

(D) ઘન એકમ કોષ માટે ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_{A} \times a^3}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$d = 3.0 \ g \ cm^{-3}$
$M = 12 \ g \ mol^{-1}$
$a = 300 \ pm = 3 \times 10^{-8} \ cm$
$N_{A} = 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
$Z$ માટે સૂત્ર:
$Z = \frac{d \times N_{A} \times a^3}{M}$
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \frac{3.0 \times 6.02 \times 10^{23} \times (3 \times 10^{-8})^3}{12}$
$Z \approx 4.06$
નજીકનો પૂર્ણાંક $4$ છે.

(D) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ લેટીસ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\sqrt{3} \ a = 4 \ r$ છે.
આપેલ છે $a = 4 \ \mathring{A}$,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\sqrt{3} \times 4 = 4 \ r$.
$r = \sqrt{3} \ \mathring{A} \approx 1.732 \ \mathring{A}$.
આને $..... \times 10^{-1} \ \mathring{A}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે:
$r = 17.32 \times 10^{-1} \ \mathring{A}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $17 \times 10^{-1} \ \mathring{A}$ મળે છે.

(C) ઘનતા માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે。
આપેલ છે: $\rho = 2 \ g/cm^3$, $M = 75 \ g/mol$, $a = 5 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6 \times 10^{23}$.
$Z$ ની ગણતરી:
$Z = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M} = \frac{2 \times 6 \times 10^{23} \times (5 \times 10^{-8})^3}{75} = \frac{12 \times 10^{23} \times 125 \times 10^{-24}}{75} = \frac{1500 \times 10^{-1}}{75} = \frac{150}{75} = 2$.
અહીં $Z = 2$ હોવાથી, સ્ફટિક રચના બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ છે。
$BCC$ રચના માટે, ત્રિજ્યા $r$ અને ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ છે。
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5 \ \mathring{A} = 1.732 \times 1.25 \ \mathring{A} = 2.165 \ \mathring{A}$.
$pm$ માં રૂપાંતર કરતા: $2.165 \ \mathring{A} = 2.165 \times 100 \ pm = 216.5 \ pm$.

(C) ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ બંધારણ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે, જ્યાં $a = 400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $8 = \frac{4 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times (400 \times 10^{-10})^3}$.
મોલર દળ $(M)$ શોધતા: $M = 76.8 \ g \ mol^{-1}$.
$256 \ g$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા = $\frac{256}{76.8} \times 6.022 \times 10^{23} = 2.007 \times 10^{24}$.
તેથી, $N = 2$.

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
એકમ કોષનું દળ ઘનતા $(\rho)$ અને કદ $(a^3)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\rho \times a^3 = 3 \times 10^{-22} \ g$ છે.
$0.3 \ g$ ધાતુમાં એકમ કોષોની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એક એકમ કોષનું દળ}} = \frac{0.3 \ g}{3 \times 10^{-22} \ g} = 1.0 \times 10^{21}$ એકમ કોષો.
દરેક $bcc$ એકમ કોષમાં $2$ પરમાણુઓ હોવાથી,પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $2 \times (1.0 \times 10^{21}) = 2.0 \times 10^{21}$ પરમાણુઓ થાય.

(A) $X$-Ray Diffraction $(XRD)$:
- આ એક પ્રાયોગિક તકનીક છે જેનો ઉપયોગ સ્ફટિકની પરમાણ્વીય અને આણ્વિય રચના નક્કી કરવા માટે થાય છે,જેમાં સ્ફટિકીય લેટીસ આપાત $X$-ray કિરણોને ઘણી ચોક્કસ દિશાઓમાં વિવર્તિત કરે છે.
- તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે સ્ફટિકની ત્રિ-પરિમાણીય આણ્વિય રચના મેળવવા માટે થાય છે.
- ઉચ્ચ સાંદ્રતા ધરાવતા શુદ્ધ નમૂનાને સ્ફટિકીકૃત કરવામાં આવે છે અને આ સ્ફટિકોને વિવર્તન ભાતનું વિશ્લેષણ કરવા માટે $X$-ray કિરણોના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે.

(C) $X$-ray ક્રિસ્ટલોગ્રાફીનો ઉપયોગ સ્ફટિકના આણ્વિક અને પરમાણ્વીય બંધારણને ઓળખવા માટે થાય છે.
સ્ફટિક આપાત $X$-ray કિરણોનું વિવર્તન (diffraction) કરે છે.
આ વિવર્તિત કિરણોની તીવ્રતા અને ખૂણાઓને માપીને,સ્ફટિકના આણ્વિક બંધારણનું મૂલ્યાંકન કરી શકાય છે.
આ સાધનને $X$-ray ડિફ્રેક્ટોમીટર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) સાદા ઘન એકમ કોષમાં,પ્રતિ એકમ કોષ કણોની સંખ્યા $(Z)$ $1$ છે.
એકમ કોષનું કદ $(V_{cell})$ એ કણ દ્વારા રોકાયેલ કદ $(V_{particle})$ સાથે આ સંબંધ ધરાવે છે: $V_{cell} = Z \times V_{particle}$.
આપેલ છે કે $Z = 1$ અને $V_{particle} = 2.1 \times 10^{-23} \ cm^3$.
તેથી,$V_{cell} = 1 \times 2.1 \times 10^{-23} \ cm^3 = 2.1 \times 10^{-23} \ cm^3$.
આને $x \times 10^{-23} \ cm^3$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2.1$ મળે છે.
નોંધ: જો આપણે સાદા ઘન એકમ કોષના ભૌમિતિક સંબંધ $V = 8r^3$ નો ઉપયોગ કરીએ,તો $x \approx 4.0$ મળે છે.

(A) $fcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
એકમ કોષનું દળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{એકમ કોષનું દળ} = \frac{Z \times M}{N_A}$,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
$M$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $M = \frac{\text{એકમ કોષનું દળ} \times N_A}{Z}$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{1.8 \times 10^{-22} \ g \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}{4}$.
$M = \frac{108.396}{4} \ g \ mol^{-1} = 27.099 \ g \ mol^{-1} \approx 27.0 \ g \ mol^{-1}$.

(A) એકમ કોષનું કદ $V_{cell} = a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે $a = 4.0 \times 10^{-8} \ cm$,તેથી $V_{cell} = (4.0 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 64 \times 10^{-24} \ cm^3 = 6.4 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$1 \ cm^3$ કદમાં એકમ કોષોની સંખ્યા આ રીતે ગણવામાં આવે છે:
$\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ કદ}}{\text{એક એકમ કોષનું કદ}} = \frac{1 \ cm^3}{6.4 \times 10^{-23} \ cm^3} = 0.15625 \times 10^{23} = 1.5625 \times 10^{22}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) એકમ કોષની ઘનતા $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે,અને $a^3$ એ એકમ કોષનું કદ $(V)$ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\rho \times V = \frac{Z \times M}{N_A}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એક પરમાણુનું દળ $m = \frac{M}{N_A} = 4.4 \times 10^{-23} \ g$ છે.
આપેલ છે $\rho \times V = 1.792 \times 10^{-22} \ g$.
કિંમતો મૂકતા: $1.792 \times 10^{-22} = Z \times (4.4 \times 10^{-23})$.
$Z = \frac{1.792 \times 10^{-22}}{4.4 \times 10^{-23}} = \frac{17.92}{4.4} \approx 4.07$.
$Z \approx 4$ હોવાથી,એકમ કોષ એ Face centred unit cell $(FCC)$ છે.

(C) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times V}$ છે,જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$M$ એ મોલર દળ છે,$N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે અને $V$ એ એકમ કોષનું કદ છે.
આપેલ છે કે ઘનતા $(\rho)$ અને કદ $(V)$ નો ગુણાકાર $1.8 \times 10^{-22} \ g$ છે,તેથી $\rho \times V = 1.8 \times 10^{-22} \ g$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ કોષનું દળ = $\rho \times V$.
વળી,એકમ કોષનું દળ = પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $\times$ એક પરમાણુનું દળ $(m_{atom})$.
તેથી,$Z \times m_{atom} = \rho \times V$.
કિંમતો મૂકતા: $Z \times (4.5 \times 10^{-23} \ g) = 1.8 \times 10^{-22} \ g$.
$Z = \frac{1.8 \times 10^{-22}}{4.5 \times 10^{-23}} = 4$.
આમ,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.

(D) $fcc$ એકમ કોષ માટે,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z) = 4$ છે.
એક એકમ કોષનું દળ ઘનતા $(\varrho)$ અને કદ $(a^3)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\varrho \times a^3 = \frac{Z \times M}{N_A}$ છે.
આપેલ છે કે $\varrho \times a^3 = 6.8 \times 10^{-22} \ g$,જે એક એકમ કોષનું દળ દર્શાવે છે.
તત્વના $1 \ g$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા $\frac{1 \ g}{6.8 \times 10^{-22} \ g/\text{unit cell}} \approx 1.4706 \times 10^{21} \ \text{unit cells}$ છે.
દરેક $fcc$ એકમ કોષમાં $4$ પરમાણુઓ હોવાથી,$1 \ g$ માં પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $4 \times 1.4706 \times 10^{21} = 5.8824 \times 10^{21}$ પરમાણુઓ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $fcc$ સ્ફટિક રચના માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\varrho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે,જ્યાં $M$ મોલર દળ છે અને $N_A$ એવોગેડ્રો આંક $(6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $M = \frac{\varrho \times a^3 \times N_A}{Z}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{1.728 \times 10^{-22} \times 6.022 \times 10^{23}}{4} = \frac{104.06}{4} = 26.015 \ g/mol$.
$1 \ g$ ધાતુમાં પરમાણુઓની સંખ્યા આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $\text{પરમાણુઓની સંખ્યા} = \frac{\text{દળ}}{M} \times N_A = \frac{1}{26.015} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.315 \times 10^{22}$ પરમાણુઓ.

(D) એકમ કોષનું દળ તેની ઘનતા $(\rho)$ અને તેના કદ $(V)$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $\rho \times V = 1.58 \times 10^{-22} \ g$.
ધાતુનું કુલ દળ = $0.79 \ g$.
એકમ કોષોની સંખ્યા = $\frac{\text{કુલ દળ}}{\text{એક એકમ કોષનું દળ}}$.
એકમ કોષોની સંખ્યા = $\frac{0.79 \ g}{1.58 \times 10^{-22} \ g} = 0.5 \times 10^{22} = 5.0 \times 10^{21}$.

(C) $bcc$ એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે.
તેથી,$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે $r = 1.86 \times 10^{-8} \ cm$.
$a = \frac{4 \times 1.86 \times 10^{-8}}{\sqrt{3}} \approx 4.2956 \times 10^{-8} \ cm$.
એકમ કોષનું કદ $(V)$ $a^3$ છે.
$V = (4.2956 \times 10^{-8} \ cm)^3 \approx 7.928 \times 10^{-23} \ cm^3$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,સાચો જવાબ $7.951 \times 10^{-23} \ cm^3$ છે.

$(A)$ $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે।
આપેલ છે $r = 128 \ pm$.
$a = 2 \times 1.414 \times 128 \ pm = 361.98 \ pm \approx 362 \ pm$.
$pm$ ને $cm$ માં ફેરવતા: $362 \ pm = 362 \times 10^{-10} \ cm = 3.62 \times 10^{-8} \ cm$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે।

(C) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $\varrho = \frac{Z \times m}{a^3}$ છે,જ્યાં $Z$ એ એકમ કોષ દીઠ કણોની સંખ્યા છે,$m$ એ એક કણનું દળ છે અને $a^3$ એ એકમ કોષનું કદ છે.
$Z$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $Z = \frac{\varrho \times a^3}{m}$.
આપેલ કિંમતો: $\varrho \times a^3 = 3.2 \times 10^{-22} \ g$ અને $m = 8.0 \times 10^{-23} \ g$.
કિંમતો મૂકતા: $Z = \frac{3.2 \times 10^{-22}}{8.0 \times 10^{-23}} = 4$.
તેથી,એકમ કોષ દીઠ કણોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) એક યુનિટ સેલનું કદ $V_{cell} = a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ યુનિટ સેલની ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે $a = 1.25 \times 10^{-8} \ cm$.
$V_{cell} = (1.25 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 1.953125 \times 10^{-24} \ cm^3$.
કુલ કદ $V_{total} = 1 \ cm^3$ માં યુનિટ સેલની સંખ્યા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{યુનિટ સેલની સંખ્યા} = \frac{V_{total}}{V_{cell}} = \frac{1 \ cm^3}{1.953125 \times 10^{-24} \ cm^3} \approx 5.12 \times 10^{23}$.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને કણની ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = \sqrt{3}a$ છે, એટલે કે $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
અહીં $r = 186 \ pm$ આપેલ છે.
$a = \frac{4 \times 186}{\sqrt{3}} \ pm = \frac{744}{1.732} \ pm \approx 429.56 \ pm$.
$pm$ ને $cm$ માં ફેરવતા: $1 \ pm = 10^{-10} \ cm$.
તેથી, $a = 429.56 \times 10^{-10} \ cm = 4.2956 \times 10^{-8} \ cm \approx 4.296 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ છે।
આપેલ ધારની લંબાઈ $a = 4.3 \times 10^{-8} \ cm$.
$a$ ને $pm$ માં ફેરવતા: $a = 4.3 \times 10^{-8} \ cm = 4.3 \times 10^{-8} \times 10^{10} \ pm = 430 \ pm$.
હવે, સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 430 \ pm$.
$r = 0.433 \times 430 \ pm = 186.19 \ pm \approx 186.2 \ pm$.

(C) એક એકમ કોષનું કદ $V_{cell} = a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે $a = 2.0 \times 10^{-8} \ cm$.
$V_{cell} = (2.0 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 8.0 \times 10^{-24} \ cm^3$.
$1 \ cm^3$ માં એકમ કોષોની સંખ્યા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{\text{કુલ કદ}}{\text{એક એકમ કોષનું કદ}} = \frac{1 \ cm^3}{8.0 \times 10^{-24} \ cm^3} = 0.125 \times 10^{24} = 1.25 \times 10^{23}$.

(A) $fcc$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\varrho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે,જેને $M = \frac{\varrho \times a^3 \times N_A}{Z}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે $\varrho \times a^3 = 7.2 \times 10^{-22} \ g$,$Z = 4$,અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
મોલર દળ $M = \frac{7.2 \times 10^{-22} \times 6.022 \times 10^{23}}{4} \approx 108.4 \ g/mol$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{M} = \frac{5.4}{108.4} \approx 0.0498 \ mol$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $= n \times N_A = 0.0498 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 3.0 \times 10^{22}$ પરમાણુઓ.

$(A)$ સાદા ઘન એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ છે।
આપેલ છે, $r = 170 \ pm$.
તેથી, $a = 2 \times 170 \ pm = 340 \ pm$.
ધારની લંબાઈને $pm$ માંથી $cm$ માં ફેરવવા માટે:
$1 \ pm = 10^{-10} \ cm$.
$a = 340 \times 10^{-10} \ cm = 3.40 \times 10^{-8} \ cm$.

(C) $fcc$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $\sqrt{2} a = 4 r$ છે।
$a$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $a = 2 \sqrt{2} r$.
આપેલ છે $r = 139 \ pm = 139 \times 10^{-10} \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $a = 2 \times 1.414 \times 139 \ pm = 393.1 \ pm$.
સેન્ટીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $a = 393.1 \times 10^{-10} \ cm = 3.93 \times 10^{-8} \ cm$.

(B) $fcc$ એકમ કોષ માટે,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ છે,જ્યાં $a^3$ એ એકમ કોષનું કદ $(V)$ છે.
$V$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $V = a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_{A}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{4 \times 27 \ g \ mol^{-1}}{16.0 \times 10^{23} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}}$.
$V = \frac{108}{16.0 \times 10^{23}} \ cm^3 = 6.75 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) ધાતુનું દળ $m = 10.8 \ g$ છે.
એક એકમ કોષનું દળ ઘનતા $(\rho)$ અને કદ $(a^3)$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે,જે $\rho a^3 = 7.2 \times 10^{-22} \ g$ છે.
એકમ કોષોની સંખ્યા ધાતુના કુલ દળને એક એકમ કોષના દળ વડે ભાગીને મેળવી શકાય છે:
$\text{એકમ કોષોની સંખ્યા} = \frac{m}{\rho a^3} = \frac{10.8 \ g}{7.2 \times 10^{-22} \ g} = 1.5 \times 10^{22}$.

(C) સાદા ઘન એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ છે।
આપેલ ધારની લંબાઈ $(a) = 380 \ pm$.
તેથી, ત્રિજ્યા $(r) = \frac{a}{2} = \frac{380 \ pm}{2} = 190 \ pm$.

(B) $FCC$ લેટીસ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
ઘનતા $\rho$ માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_{A}}$ છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{63 \ g \ mol^{-1} \times 4}{28 \ cm^3 \ mol^{-1}}$.
$\rho = \frac{252}{28} \ g \ cm^{-3} = 9.0 \ g \ cm^{-3}$.

(D) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ છે.
અહીં,$fcc$ બંધારણ માટે એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
મોલર દળ $M = 63.5 \ g \ mol^{-1}$ આપેલ છે.
એકમ કોષનું કદ $V = a^3$ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,$a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_{A}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $a^3 = \frac{4 \times 63.5}{5.5 \times 10^{24}}$.
$a^3 = \frac{254}{5.5 \times 10^{24}} = 4.618 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) $bcc$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ છે.
$r$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ મળે છે.
આપેલ કિંમત $a = 530 \ pm$ મૂકતા:
$r = \frac{530 \times \sqrt{3}}{4} \approx \frac{530 \times 1.732}{4} = \frac{917.96}{4} \approx 229.5 \ pm$.
તેથી, ધાતુના પરમાણુની ત્રિજ્યા $229.5 \ pm$ છે.

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
ઘનતા $(\rho)$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_{A}}$ છે.
આપેલ છે: $\rho = 8.6 \ g \ cm^{-3}$ અને $a^3 \times N_{A} = 22.0 \ cm^3 \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $8.6 \ g \ cm^{-3} = \frac{M \times 2}{22.0 \ cm^3 \ mol^{-1}}$.
તેથી,$M = \frac{8.6 \times 22.0}{2} = \frac{189.2}{2} = 94.6 \ g \ mol^{-1}$.

(B) $BCC$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $2$ છે.
પરમાણુની ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$ છે.
એક પરમાણુનું કદ $V_{atom} = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કુલ કદ $(V)$ $Z \times V_{atom} = 2 \times \frac{4}{3} \pi \left( \frac{\sqrt{3}a}{4} \right)^3$ થાય.
$V = \frac{8}{3} \pi \left( \frac{3 \sqrt{3} a^3}{64} \right) = \frac{\sqrt{3} \pi a^3}{8}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) $bcc$ એકમ કોષ માટે,પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ છે.
એકમ કોષનું કદ $a^3 = \frac{M \times n}{\rho \times N_A}$ થાય.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $a^3 = \frac{23 \ g \ mol^{-1} \times 2}{1 \ g \ cm^{-3} \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$.
$a^3 = \frac{46}{6.022 \times 10^{23}} \ cm^3 \approx 7.638 \times 10^{-23} \ cm^3$.
આમ,કદ આશરે $7.6 \times 10^{-23} \ cm^3$ છે.

$(C)$ $fcc$ $\text{એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ } a \text{ અને ત્રિજ્યા } r \text{ વચ્ચેનો સંબંધ } a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r \text{ છે।}
\text{આપેલ } r = 106.05 \ pm \text{ માટે} a = 2 \times 1.414 \times 106.05 \approx 300 \ pm।
\text{સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: } a = 300 \times 10^{-10} \ cm = 3 \times 10^{-8} \ cm।
\text{એકમ કોષનું કદ } V = a^3 = (3 \times 10^{-8} \ cm)^3 = 27 \times 10^{-24} \ cm^3 = 2.7 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(B) $bcc$ એકમ કોષ માટે,પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $5.6 \ g \ cm^{-3} = \frac{M \times 2}{75 \ cm^3 \ mol^{-1}}$.
$M$ માટે ગણતરી કરતા: $M = \frac{5.6 \times 75}{2} = 210 \ g \ mol^{-1}$.

(B) ઘન એકમ કોષની ઘનતા $(\rho)$ માટેનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ છે.
અહીં,$M$ એ મોલર દળ છે,$n$ એ એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા છે,$a^3$ એ એકમ કોષનું કદ છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
$n$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $n = \frac{\rho \times a^3 \times N_A}{M}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{8.6 \ g \ cm^{-3} \times 21.5 \ cm^3 \ mol^{-1}}{92.0 \ g \ mol^{-1}}$.
$n = \frac{184.9}{92.0} \approx 2$.
તેથી,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(C) $bcc$ એકમ કોષ માટે,પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ છે.
એકમ કોષના કદ $(a^3)$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$a^3 = \frac{M \times n}{\rho \times N_A}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $a^3 = \frac{92 \ g \ mol^{-1} \times 2}{5.0 \times 10^{24} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}}$.
$a^3 = \frac{184}{5.0 \times 10^{24}} \ cm^3 = 36.8 \times 10^{-24} \ cm^3 = 3.68 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(D) $fcc$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા,$n = 4$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ છે.
આપેલ છે: $M = 197 \ g \ mol^{-1}$ અને $a^3 \times N_{A} = 40 \ cm^3 \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{4 \times 197 \ g \ mol^{-1}}{40 \ cm^3 \ mol^{-1}} = 19.7 \ g \ cm^{-3}$.

(B) સાદા ઘન એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $a$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2}$ છે.
તેથી,$a = 2r = 2 \times 400 \ pm = 800 \ pm$.
ધારની લંબાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $a = 800 \ pm = 800 \times 10^{-10} \ cm = 8 \times 10^{-8} \ cm$.
એકમ કોષનું કદ $V = a^3 = (8 \times 10^{-8} \ cm)^3$ થશે.
$V = 512 \times 10^{-24} \ cm^3 = 5.12 \times 10^{-22} \ cm^3$.

(A) $fcc$ પ્રકારના એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ છે.
$a$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $a = 2\sqrt{2} \times r$ મળે.
આપેલ છે કે $r = 144 \ pm$, તેથી $a = 2 \times 1.414 \times 144 \ pm = 407.23 \ pm$.
સેન્ટીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $407.23 \ pm = 407.23 \times 10^{-10} \ cm = 4.07 \times 10^{-8} \ cm$.

(D) $bcc$ એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
ઘનતાનું સૂત્ર $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ છે.
આપેલ છે: $\rho = 10 \ g \ cm^{-3}$,$a = 4 \times 10^{-8} \ cm$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $10 = \frac{M \times 2}{(4 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$M = \frac{10 \times 64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$.
$M = \frac{10 \times 64 \times 0.1 \times 6.022}{2} = \frac{385.4}{2} \approx 192.7 \ g \ mol^{-1}$.
આમ,મોલર દળ આશરે $193 \ g \ mol^{-1}$ છે.

(A) $BCC$ એકમ કોષ માટે, પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ: $4r = \sqrt{3}a$ છે.
આપેલ $a = 287 \ pm$ કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 287$
$r = \frac{1.732 \times 287}{4}$
$r = \frac{497.084}{4} \approx 124.27 \ pm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં, પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $124 \ pm$ થાય છે.