Crystal packing Questions in Gujarati

(C) $hcp$ ગોઠવણીમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $6$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે,જે $6$ છે.
ધન આયનો $M$ એ અષ્ટફલકીય છિદ્રોના બે-તૃતીયાંશ ભાગને રોકે છે,તેથી એકમ કોષ દીઠ $M$ ધન આયનોની સંખ્યા $\frac{2}{3} \times 6 = 4$ છે.
એકમ કોષ દીઠ ઓક્સાઇડ આયનો $(O)$ ની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,$M:O$ નો ગુણોત્તર $4:6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2:3$ થાય છે.
આમ,સંયોજનનું સૂત્ર $M_2O_3$ છે.

(B) પરમાણુઓના ક્લોઝ પેકિંગમાં (દા.ત.,$fcc$ અથવા $ccp$),એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ $(TV)$ ની સંખ્યા $2n = 2 \times 4 = 8$ છે.
ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સ $(OV)$ ની સંખ્યા $n = 4$ છે.
તેથી,પરમાણુ દીઠ $TV$ ની સંખ્યા $\frac{8}{4} = 2$ છે.
પરમાણુ દીઠ $OV$ ની સંખ્યા $\frac{4}{4} = 1$ છે.
આમ,પ્રતિ પરમાણુ $2$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ અને $1$ ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ હોય છે.

(B) અંત:કેન્દ્રિત ઘન $(bcc)$ લેટિસમાં,ગોળાઓ એવી રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે કે બીજો સ્તર પ્રથમ સ્તરના ખાડાઓમાં મૂકવામાં આવે છે,પરંતુ ત્રીજો સ્તર સીધો પ્રથમ સ્તરની ઉપર મૂકવામાં આવે છે. આ $A-B-A-B$ પ્રકારની થપ્પીની ભાત બનાવે છે.

(C) ધાતુઓની સ્ફટિક રચના પરમાણુઓની ગોઠવણી પર આધાર રાખે છે.
$Na$ (સોડિયમ) એ બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(bcc)$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$Cu$ (કોપર) અને $Ag$ (સિલ્વર) એ ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ અથવા ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ $(ccp)$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$Mg$ (મેગ્નેશિયમ) એ હેકઝાગોનલ ક્લોઝ પેકિંગ $(hcp)$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ ધાતુઓની સ્ફટિક રચનાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. $Na$ (સોડિયમ) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$2$. $Zn$ (ઝિંક) હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ $(HCP)$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$3$. $Mg$ (મેગ્નેશિયમ) હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ $(HCP)$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$4$. $Ag$ (સિલ્વર) ક્યુબિક ક્લોઝેસ્ટ પેકિંગ $(CCP)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ફલકકેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ અથવા ક્યુબિક ક્લોઝ પેક $(CCP)$ રચનામાં,ગોઠવણી $ABCABC...$ ભાતને અનુસરે છે.
$ABC$ ગોઠવણીમાં,પ્રથમ સ્તર $A$ છે,બીજું સ્તર $B$ છે,અને ત્રીજું સ્તર $C$ છે.
બીજું સ્તર $(B)$ પ્રથમ સ્તર $(A)$ ના સમચતુષ્કલકીય છિદ્રોને ઢાંકે છે.
ત્રીજું સ્તર $(C)$ પ્રથમ અને બીજા સ્તર વચ્ચે ઉદ્ભવતા અષ્ટફલકીય છિદ્રોને ઢાંકે છે.

(A) ષટ્કોણીય ક્લોઝ પેક $(HCP)$ રચનામાં,સ્તરોની ગોઠવણી $ABAB...$ ભાતને અનુસરે છે.
જ્યારે બીજું સ્તર પ્રથમ સ્તર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રચાય છે.
ત્રીજું સ્તર પ્રથમ સ્તરની બરાબર ઉપર મૂકવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે પ્રથમ અને બીજા સ્તર દ્વારા બનાવેલા સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રોને ઢાંકે છે.

(B) $FCC$ એકમ કોષમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
ધારીની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે.
$4$ પરમાણુઓનું કદ = $4 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{16}{3} \pi r^3$ થાય.
એકમ કોષનું કદ = $a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$ થાય.
પેકિંગ અંશ = $\frac{\text{પરમાણુઓનું કદ}}{\text{એકમ કોષનું કદ}} = \frac{\frac{16}{3} \pi r^3}{16\sqrt{2}r^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}}$.

(C) $fcc$ રચનામાં પેકિંગ ક્ષમતા $\frac{\pi}{3\sqrt{2}}$ છે.
ખાલી ભાગ $= 1 - \text{પેકિંગ ક્ષમતા}$.
ખાલી ભાગ $= 1 - \frac{\pi}{3\sqrt{2}}$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
ખાલી ભાગ $= 1 - \frac{\sqrt{2}\pi}{6}$.

(B) સ્ફટિકરચનાનો પેકિંગ અંશ $(PF)$ એ પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલા કુલ કદનો અંશ છે.
$bcc$ માટે,$Z_1 = 2$ અને $4r = \sqrt{3}a_1$,તેથી $PF_{bcc} = \frac{2 \times \frac{4}{3} \pi r^3}{a_1^3} = \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \approx 0.68$.
$fcc$ માટે,$Z_2 = 4$ અને $4r = \sqrt{2}a_2$,તેથી $PF_{fcc} = \frac{4 \times \frac{4}{3} \pi r^3}{a_2^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74$.
રોકાયેલા કદના ભાગનો ગુણોત્તર $\frac{PF_{bcc}}{PF_{fcc}} = \frac{3\sqrt{6}}{8} \approx 0.91$ થાય છે.

(C) સાદા ક્યુબિક લેટિસની પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $52.36\%$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કુલ કદના $52.36\%$ ભાગમાં ગોળાઓ ગોઠવાયેલા છે.
રોકાયા વગરના અવકાશ (ખાલી જગ્યા) ની ટકાવારી નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ખાલી જગ્યા} = 100\% - \text{પેકિંગ કાર્યક્ષમતા}$
$\text{ખાલી જગ્યા} = 100\% - 52.36\% = 47.64\%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ક્લોઝ-પેક્ડ રચનામાં,જો પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ હોય,તો અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $N$ અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N$ હોય છે.
તેથી,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા કરતા અડધી હોય છે.

(C) ક્લોઝ પેક રચનામાં,જો ગોળાઓની સંખ્યા $n$ હોય,તો ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2n$ થાય છે.
અહીં ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $N$ આપેલી છે,તેથી $2n = N$.
આથી,ગોળાઓની સંખ્યા $n = N/2$ થશે.

(C) બાજુની લંબાઈ ધરાવતા ઘનમાં,ખૂણાથી ઘનના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર એ મુખ્ય વિકર્ણનું અડધું છે.
મુખ્ય વિકર્ણ = $\sqrt{3}a$.
ખૂણાથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $(x)$ = $\frac{\sqrt{3}a}{2}$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો ખૂણાઓથી $\frac{\sqrt{3}a}{4}$ અંતરે આવેલા હોય છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,ખૂણાથી ચતુષ્ફલકીય છિદ્રનું અંતર $\frac{1}{2} \times (\frac{\sqrt{3}a}{2}) = \frac{x}{2}$ થાય છે.

(B) $ccp$ રચનામાં $Y$ તત્વના પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ ધારો.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $(T.V.)$ ની સંખ્યા $2n = 2 \times 4 = 8$ છે.
આપેલ છે કે $X$ તત્વ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોનો $2/3$ ભાગ રોકે છે,તેથી $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $8 \times \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$ થાય.
$X:Y$ નો ગુણોત્તર $\frac{16}{3} : 4$ છે,જેનું સાદું રૂપ $16:12$ અથવા $4:3$ થાય છે.
તેથી,સંયોજનનું અણુસૂત્ર $X_4Y_3$ છે.

(C) $fcc$ રચનામાં,એકમ કોષ દીઠ $Y$ તત્ત્વના પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની $(T.V.)$ સંખ્યા $= 2 \times ( {\text{પરમાણુઓની સંખ્યા}}) = 2 \times 4 = 8$ થાય.
$X$ તત્વ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોનો $25\%$ ભાગ રોકે છે,તેથી $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 8 \times \frac{25}{100} = 8 \times \frac{1}{4} = 2$ થાય.
$X:Y$ નો ગુણોત્તર $2:4$ એટલે કે $1:2$ છે.
તેથી,સંયોજનનું અણુસૂત્ર $XY_2$ થશે.

(C) ખૂણા પર રહેલા $A$ આયનોની સંખ્યા = $8 \times \frac{1}{8} = 1$
ફલકની મધ્યમાં રહેલા $B$ આયનોની સંખ્યા = $6 \times \frac{1}{2} = 3$
તેથી,$A:B$ નો ગુણોત્તર $1:3$ છે.
સંયોજનનું અણુસૂત્ર $AB_3$ થશે.

(A) $fcc$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે,જે $4$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે,જે $2 \times 4 = 8$ છે.
આપેલ છે કે $B$ બધા જ અષ્ટફલકીય છિદ્રો $(4)$ અને અડધા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $(8 \times \frac{1}{2} = 4)$ રોકે છે,તેથી $B$ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $4 + 4 = 8$ છે.
આમ,$A:B$ નો ગુણોત્તર $4:8$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1:2$ થાય છે.
તેથી,અણુસૂત્ર $AB_2$ છે.

(A) ધારો કે $ccp$ લેટીસમાં ઓક્સાઇડ આયનો $(O^{2-})$ ની સંખ્યા $N = 4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રો $(OV)$ ની સંખ્યા = $N = 4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $(TV)$ ની સંખ્યા = $2N = 8$.
આપેલ છે કે $TV$ નો $1/8$ ભાગ $X^{+2}$ આયનો દ્વારા રોકાયેલ છે:
$X^{+2}$ આયનોની સંખ્યા = $\frac{1}{8} \times 8 = 1$.
આપેલ છે કે $OV$ નો $50\%$ ભાગ $Y^{+3}$ આયનો દ્વારા રોકાયેલ છે:
$Y^{+3}$ આયનોની સંખ્યા = $\frac{50}{100} \times 4 = 2$.
આમ,$X : Y : O$ નું પ્રમાણ $1 : 2 : 4$ છે.
તેથી ઓક્સાઇડનું અણુસૂત્ર $X{Y_2}{O_4}$ થશે.

(C) $1$. $fcc$ એકમ કોષમાં,ખૂણા પરના $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $8 \times (1/8) = 1$ અને ફલક-કેન્દ્ર પર $6 \times (1/2) = 3$ છે. કુલ $A = 4$.
$2$. ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $2 \times 4 = 8$. અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $4$.
$3$. $B$ પરમાણુઓ $25\%$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $(8 \times 0.25 = 2)$ અને $50\%$ અષ્ટફલકીય છિદ્રો $(4 \times 0.50 = 2)$ રોકે છે. કુલ $B = 4$.
$4$. જો એક અક્ષ પરના પરમાણુઓ દૂર કરવામાં આવે,તો બે ફલક-કેન્દ્રિત પરમાણુઓ દૂર થાય છે. $A$ ની નવી સંખ્યા = $4 - 2 = 2$. ખૂણાના પરમાણુઓ $1$ રહે છે. કુલ $A = 3$.
$5$. છિદ્રોની સંખ્યા બદલાતી નથી કારણ કે લેટિસ માળખું અકબંધ છે. કુલ $B = 4$.
$6$. પરિણામી સૂત્ર $A_3B_4$ છે.

(B) $ccp$ રચનામાં,એકમ કોષ દીઠ $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી એટલે કે $4$ હોય છે.
$Y$ પરમાણુઓ અષ્ટફલકીય છિદ્રોનો અડધો ભાગ રોકે છે,તેથી $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $4 \times \frac{1}{2} = 2$ થાય.
જો એક $X$ પરમાણુનું $Z$ દ્વારા વિસ્થાપન થાય,તો બાકી રહેલા $X$ પરમાણુઓ = $4 - 1 = 3$.
જો એક $Y$ પરમાણુનું $Z$ દ્વારા વિસ્થાપન થાય,તો બાકી રહેલા $Y$ પરમાણુઓ = $2 - 1 = 1$.
ઉમેરવામાં આવેલા $Z$ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $1 + 1 = 2$ છે.
આમ,$X:Y:Z$ નું પ્રમાણ $3:1:2$ છે.
તેથી અણુસૂત્ર $X_3YZ_2$ થશે.

(A) $ccp$ એકમ કોષમાં,ખૂણા અને ફલક કેન્દ્ર પરના $X$ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $4$ છે. અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી એટલે કે $4$ હોય છે.
$2$ ખૂણાના પરમાણુઓને બદલ્યા પછી બાકી રહેલા $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા: $X = 4 - (2 \times \frac{1}{8}) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોમાં $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા: $Y = 4$.
ખૂણાના પરમાણુઓને બદલતા $Z$ પરમાણુઓની સંખ્યા: $Z = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.
ગુણોત્તર $X : Y : Z = \frac{15}{4} : 4 : \frac{1}{4}$ છે.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $X_{15}Y_{16}Z$ મળે છે.

(B) $CCP$ રચનામાં, $A$ પરમાણુઓ ખૂણાઓ અને ફલકના કેન્દ્ર પર હોય છે। ઘનનું કેન્દ્ર એ બોડી સેન્ટર છે。
ખૂણા પરના પરમાણુનું કેન્દ્રથી અંતર $\frac{\sqrt{3}a}{2}$ છે。
ફલકના કેન્દ્ર પરના પરમાણુનું કેન્દ્રથી અંતર $\frac{a}{\sqrt{2}}$ છે。
અહીં $A$ ખૂણાઓ અને ફલકના કેન્દ્ર બંને પર હોવાથી, ફલકના કેન્દ્ર પરના $A$ પરમાણુનું અંતર $\frac{115}{\sqrt{2}} \approx 81.3 \ pm$ થાય છે।

(D) ત્રિકોણીય છિદ્ર માટે સવર્ગ આંક (coordination number) $3$ છે.
સવર્ગ આંક $3$ માટે સીમિત ત્રિજ્યા ગુણોત્તર $(r_+ / r_-)$ $0.155$ છે.
તેથી,ત્રિકોણીય છિદ્ર માટેની રેન્જ $0.155 \le r_+ / r_- < 0.225$ છે.

(D) $ZnS$ (ઝિંક બ્લેન્ડ) બંધારણમાં,$S^{2-}$ આયનો $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ) લેટીસ બનાવે છે.
એકમ કોષ દીઠ $4$ $S^{2-}$ આયનો હોય છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2 \times (\text{પરમાણુઓની સંખ્યા}) = 2 \times 4 = 8$ છે.
$ZnS$ માં,$Zn^{2+}$ આયનો અડધા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $4$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકાયેલા છે.
$Na_2O$ (એન્ટિફ્લોરાઈટ) બંધારણમાં,$O^{2-}$ આયનો $ccp$ લેટીસ બનાવે છે.
એકમ કોષ દીઠ $4$ $O^{2-}$ આયનો હોય છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $8$ છે.
$Na_2O$ માં,$Na^{+}$ આયનો તમામ $8$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે.
તેથી,$Na_2O$ માં,તમામ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકાયેલા છે.

(C) સ્પીનલ બંધારણ એ $AB_2O_4$ સામાન્ય સૂત્ર ધરાવતું સ્ફટિક બંધારણ છે. આ બંધારણમાં,ઓક્સાઈડ આયનો $(O^{2-})$ ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ $(ccp)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ લેટીસ બનાવે છે. ધાતુના કેટાયનો આ લેટીસમાં રહેલી ચતુષ્ફલકીય અને અષ્ટફલકીય છિદ્રોમાં ગોઠવાયેલા હોય છે.

(C) $hcp$ અને $ccp$ ગોઠવણીમાં,પેકિંગ ક્ષમતા $74\%$ હોય છે.
તેથી,ખાલી જગ્યા (void space) $100\% - 74\% = 26\%$ છે.
વિધાન $C$ જણાવે છે કે $hcp$ માં ખાલી જગ્યા $32\%$ છે,જે ખોટું છે.

(A) વિધાન સાચું છે કારણ કે ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ $4$ ગોળાઓના સંપર્કથી બને છે,અને ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ $6$ ગોળાઓના સંપર્કથી બને છે.
કારણ પણ સાચું છે કારણ કે 'ટેટ્રાહેડ્રલ' અને 'ઓક્ટાહેડ્રલ' નામ વોઇડની આસપાસના ગોળાઓની ભૌમિતિક ગોઠવણી પરથી લેવામાં આવ્યા છે.
આમ,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) હેક્સાગોનલ ક્લોઝ પેક્ડ $(hcp)$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ ઋણ આયનો $(A)$ ની સંખ્યા $6$ છે.
$hcp$ લેટીસમાં અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે,જે $6$ છે.
ધન આયનો $(C)$ આ અષ્ટફલકીય છિદ્રોના $75 \%$ ભાગ રોકે છે.
ધન આયનો $(C)$ ની સંખ્યા $= 6 \times \frac{75}{100} = 6 \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$ અથવા $\frac{9}{2}$.
ધન આયનો $(C)$ અને ઋણ આયનો $(A)$ નો ગુણોત્તર $\frac{9}{2} : 6$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને $9 : 12$ મળે છે.
$3$ વડે ભાગીને ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $3 : 4$ મળે છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $C_{3}A_{4}$ છે.

(A) $ccp$ લેટીસ તત્વ $Y$ દ્વારા રચાય છે.
ઉદ્ભવતા અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા તેમાં હાજર $Y$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
તમામ અષ્ટફલકીય છિદ્રો $X$ ના પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલા હોવાથી,તેમની સંખ્યા પણ $Y$ ના પરમાણુઓ જેટલી જ હશે.
આમ,$X$ અને $Y$ તત્વોના પરમાણુઓ સમાન સંખ્યામાં અથવા $1:1$ ના ગુણોત્તરમાં હાજર છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $XY$ છે.

(A) ધારો કે $hcp$ લેટીસમાં તત્વ $B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $n$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $2n$.
તત્વ $A$ ના પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $(2/3) \times 2n = 4n/3$.
પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $A : B = (4n/3) : n = 4/3 : 1 = 4 : 3$.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $A_4B_3$ છે.

ધારો કે ક્લોઝ-પેક્ડ કણોની સંખ્યા $N$ છે.
આપેલ છે,$N = 0.5 \ mol = 0.5 \times 6.022 \times 10^{23} = 3.011 \times 10^{23}$ કણો.
ક્લોઝ-પેક્ડ રચનામાં:
ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $= N = 3.011 \times 10^{23}$.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $= 2N = 2 \times 3.011 \times 10^{23} = 6.022 \times 10^{23}$.
કુલ વોઇડ્સની સંખ્યા $= N + 2N = 3N = 3 \times 3.011 \times 10^{23} = 9.033 \times 10^{23}$.
આમ,કુલ વોઇડ્સની સંખ્યા $9.033 \times 10^{23}$ છે અને ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $6.022 \times 10^{23}$ છે.

(B) $ccp$ લેટીસ તત્વ $N$ ના પરમાણુઓ દ્વારા બને છે. ધારો કે $N$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $x$ છે.
સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$M$ ના પરમાણુઓ $1/3$ સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $M$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $(1/3) \times 2x = 2x/3$ છે.
પરમાણુઓ $M:N$ નો ગુણોત્તર $(2x/3) : x = 2/3 : 1 = 2:3$ છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $M_2N_3$ છે.

(C) સ્ફટિક લેટીસની પેકિંગ કાર્યક્ષમતા એ ઘટક કણો દ્વારા રોકાયેલી જગ્યાનો અંશ છે.
- સાદી ક્યુબિક લેટીસ: $52.4 \%$
- બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ લેટીસ: $68 \%$
- હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ $(HCP)$ લેટીસ: $74 \%$
તેથી,હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ લેટીસની પેકિંગ કાર્યક્ષમતા સૌથી વધુ છે.

(N/A) $(i)$ $hcp$ માં,ત્રીજું સ્તર બીજા સ્તર પર એવી રીતે ગોઠવાય છે કે જેથી ત્રીજા સ્તરના ગોળાઓ બીજા સ્તરના ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ (ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો) ને રોકે છે. આના પરિણામે સ્તરોની $ABAB...$ ભાત બને છે,જેમાં ત્રીજા સ્તરના ગોળાઓ પ્રથમ સ્તરના ગોળાઓની બરાબર ઉપર હોય છે.
$ccp$ માં,ત્રીજું સ્તર બીજા સ્તર પર એવી રીતે ગોઠવાય છે કે જેથી ત્રીજા સ્તરના ગોળાઓ બીજા સ્તરના ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સ (અષ્ટફલકીય છિદ્રો) ને રોકે છે. આના પરિણામે સ્તરોની $ABCABC...$ ભાત બને છે,જેમાં ચોથા સ્તરના ગોળાઓ પ્રથમ સ્તરના ગોળાઓની બરાબર ઉપર હોય છે.

(N/A) $(iii)$ $4$ ગોળાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા છિદ્રને ચતુષ્ફલકીય છિદ્ર કહેવામાં આવે છે,જ્યારે $6$ ગોળાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા છિદ્રને અષ્ટફલકીય છિદ્ર કહેવામાં આવે છે. જ્યારે $4$ ગોળાઓ નિયમિત ચતુષ્ફલકના ખૂણાઓ પર ગોઠવાયેલા હોય ત્યારે ચતુષ્ફલકીય છિદ્ર રચાય છે,જ્યારે $6$ ગોળાઓ નિયમિત અષ્ટફલકના ખૂણાઓ પર ગોઠવાયેલા હોય ત્યારે અષ્ટફલકીય છિદ્ર રચાય છે.

(N/A) સિમ્પલ ક્યુબિક લેટિસ:
સિમ્પલ ક્યુબિક લેટિસમાં,કણો માત્ર ઘનના ખૂણાઓ પર આવેલા હોય છે અને ધારની સાથે એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારો કે ઘનની ધારની લંબાઈ $a$ છે અને દરેક કણની ત્રિજ્યા $r$ છે.
તેથી,આપણે લખી શકીએ: $a = 2r$.
હવે,ઘન એકમ કોષનું કદ $= a^3 = (2r)^3 = 8r^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ કોષ દીઠ કણોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,રોકાયેલ એકમ કોષનું કદ $= \frac{4}{3} \pi r^3$.
આમ,પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $= \frac{\text{એક કણનું કદ}}{\text{ઘન એકમ કોષનું કદ}} \times 100 \%$.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $= \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{8r^3} \times 100 \% = \frac{\pi}{6} \times 100 \%$.
$\pi \approx 3.14159$ નો ઉપયોગ કરતા,પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $\approx \frac{3.14159}{6} \times 100 \% \approx 52.36 \% \approx 52.4 \%$.

(N/A) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ યુનિટ સેલમાં,કેન્દ્રમાં રહેલો પરમાણુ બોડી ડાયાગોનલ પર ત્રાંસા ગોઠવાયેલા અન્ય બે પરમાણુઓના સંપર્કમાં હોય છે.
ઘનની ભૂમિતિ પરથી,ધારો કે ધારની લંબાઈ $a$ છે અને પરમાણુની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ફેસ ડાયાગોનલ $b$ નીચે મુજબ મળે છે:
$b^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2}$
$b = \sqrt{2}a$
બોડી ડાયાગોનલ $c$ નીચે મુજબ મળે છે:
$c^{2} = a^{2} + b^{2} = a^{2} + 2a^{2} = 3a^{2}$
$c = \sqrt{3}a$
જેহেতু બોડી ડાયાગોનલ પરના પરમાણુઓ એકબીજાને સ્પર્શે છે,તેથી બોડી ડાયાગોનલની લંબાઈ $c = 4r$ થાય.
તેથી,$\sqrt{3}a = 4r$,જે $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
યુનિટ સેલનું કદ $a^{3} = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \frac{64r^{3}}{3\sqrt{3}}$ છે.
$BCC$ યુનિટ સેલમાં $2$ પરમાણુઓ હોય છે. આ $2$ પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદ:
$V_{occupied} = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{8}{3} \pi r^{3}$.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતાની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\text{Packing Efficiency} = \frac{\text{Volume of } 2 \text{ atoms}}{\text{Total volume of unit cell}} \times 100\%$
$= \frac{\frac{8}{3} \pi r^{3}}{\frac{64r^{3}}{3\sqrt{3}}} \times 100\%$
$= \frac{8\pi}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{64} \times 100\%$
$= \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \times 100\% \approx 68\%$.

(N/A) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ યુનિટ સેલ માટે:
ધારો કે યુનિટ સેલની ધારની લંબાઈ $a$ છે અને ફેસ ડાયાગોનલ $AC$ ની લંબાઈ $b$ છે.
$\triangle ABC$ પરથી,આપણી પાસે છે:
$AC^{2} = BC^{2} + AB^{2}$
$\Rightarrow b^{2} = a^{2} + a^{2}$
$\Rightarrow b^{2} = 2a^{2}$
$\Rightarrow b = \sqrt{2}a$
ધારો કે $r$ એ પરમાણુની ત્રિજ્યા છે.
આકૃતિ પરથી,તે જોઈ શકાય છે કે ફેસ ડાયાગોનલ $b = 4r$ છે.
$\Rightarrow \sqrt{2}a = 4r$
$\Rightarrow a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$
યુનિટ સેલનું કદ = $a^{3} = (2\sqrt{2}r)^{3} = 16\sqrt{2}r^{3}$.
$FCC$ યુનિટ સેલમાં $4$ પરમાણુઓ હોય છે.
$4$ પરમાણુઓનું કદ = $4 \times \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{16}{3}\pi r^{3}$.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા = $\frac{\text{4 પરમાણુઓનું કદ}}{\text{યુનિટ સેલનું કુલ કદ}} \times 100\%$
$= \frac{\frac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}r^{3}} \times 100\%$
$= \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \times 100\% \approx 74\%$

(N/A) ક્લોઝ પેકિંગમાં ચાર પરમાણુઓનો ચોરસ સમતલ ધ્યાનમાં લો,જેના કેન્દ્ર $O$ પર અષ્ટફલકીય છિદ્ર છે. ધારો કે બે નજીકના પરમાણુઓના કેન્દ્રો $P$ અને $Q$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રની ભૂમિતિ પરથી,આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle POQ$ બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં કર્ણ $PQ = 2R$ અને બાજુઓ $PO = OQ = R + r$ છે.
$\triangle POQ$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$PQ^{2} = PO^{2} + OQ^{2}$
$(2R)^{2} = (R + r)^{2} + (R + r)^{2}$
$4R^{2} = 2(R + r)^{2}$
$2R^{2} = (R + r)^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{2}R = R + r$
$r = \sqrt{2}R - R$
$r = (\sqrt{2} - 1)R$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$r = 0.414R$

(D) ધારો કે ઓક્સાઇડ $(O^{2-})$ આયનોની સંખ્યા $x$ છે.
ઓક્સાઇડ આયનો હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ $(HCP)$ ગોઠવણી બનાવે છે,તેથી અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા ઓક્સાઇડ આયનોની સંખ્યા જેટલી એટલે કે $x$ હોય છે.
આપેલ છે કે દર ત્રણમાંથી બે અષ્ટફલકીય છિદ્રો ફેરિક આયનો દ્વારા રોકાયેલા છે.
તેથી,ફેરિક $(Fe^{3+})$ આયનોની સંખ્યા $= \frac{2}{3}x$.
તેથી,$Fe^{3+}$ આયનો અને $O^{2-}$ આયનોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $Fe^{3+} : O^{2-} = \frac{2}{3}x : x = \frac{2}{3} : 1 = 2 : 3$ છે.
આમ,ફેરિક ઓક્સાઇડનું સૂત્ર $Fe_{2}O_{3}$ છે.

(C) સામાન્ય ઘન સ્ફટિક લેટીસમાં,એકમ કોષનો દરેક ખૂણો $8$ પાસપાસેના એકમ કોષો દ્વારા વહેંચાયેલ હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે દરેક ખૂણાનું બિંદુ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં તે બિંદુએ મળતા $8$ ઘન માટે સામાન્ય હોય છે.

(B) સ્ફટિક રસાયણવિજ્ઞાનમાં,ખુલ્લી રચના એટલે એવી સ્ફટિક લેટીસ ગોઠવણી જેમાં પરમાણુઓ કુલ ઉપલબ્ધ કદનો પ્રમાણમાં નાનો ભાગ રોકે છે.
આ સામાન્ય રીતે ઓછી પેકિંગ કાર્યક્ષમતા ધરાવતી રચનાઓમાં જોવા મળે છે,જેમ કે સાદી ઘન $(sc)$ લેટીસ,જેમાં પેકિંગ અંશ માત્ર $52.4\%$ જેટલો હોય છે.
આવી રચનાઓમાં,ઘટક કણો વચ્ચે નોંધપાત્ર પ્રમાણમાં ખાલી જગ્યા (voids) હોય છે.

(A) $fcc$ નું પૂર્ણ નામ $Face-centered \ cubic$ એકમ કોષ છે. આ પ્રકારના એકમ કોષમાં,ઘટક કણો બધા ખૂણાઓ પર અને ઘનના દરેક ફલકના કેન્દ્રમાં હાજર હોય છે.

(N/A) એક પરિમાણમાં ગોળાઓને માત્ર એક જ રીતે ગોઠવી શકાય છે,એટલે કે તેમને એક હરોળમાં એકબીજાને સ્પર્શતા ગોઠવવા.
એક પરિમાણમાં ગોળાઓનું ક્લોઝ પેકિંગ:
આ ગોઠવણીમાં,દરેક ગોળો તેના બે પડોશીઓના સંપર્કમાં હોય છે. કણના નજીકના પડોશીઓની સંખ્યાને સવર્ગ આંક (coordination number) કહેવામાં આવે છે. આમ,એક પરિમાણીય ગોઠવણીમાં,સવર્ગ આંક $2$ છે.
બે પરિમાણમાં ક્લોઝ પેકિંગ બે રીતે કરી શકાય છે:
$(i)$ ચોરસ ક્લોઝ પેકિંગ,$(ii)$ ષટ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ $(HCP)$.
$(i)$ ચોરસ ક્લોઝ પેકિંગ: આમાં,બીજી હરોળના ગોળાઓ પ્રથમ હરોળના ગોળાઓની બરાબર ઉપર એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી આ બે હરોળના ગોળાઓ આડા અને ઊભા બંને રીતે એક જ લાઈનમાં રહે.
જો પ્રથમ હરોળને $A$ પ્રકારની હરોળ કહેવામાં આવે,તો બીજી હરોળ પણ પ્રથમ જેવી જ હોવાથી તે પણ $A$ પ્રકારની જ હોય છે અને તેથી વધુ હરોળ મૂકવાથી $AAAA...$ પ્રકારની ગોઠવણી મળે છે.
આ ગોઠવણીમાં,દરેક ગોળો તેના ચાર પડોશીઓના સંપર્કમાં હોય છે અને તેથી ગોળાનો સવર્ગ આંક $4$ છે.
જો ચાર નજીકના પડોશીઓના કેન્દ્રોને જોડવામાં આવે તો ચોરસ બને છે,તેથી તેને ચોરસ ક્લોઝ પેકિંગ કહેવામાં આવે છે.
$(ii)$ ષટ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ $(HCP)$:
આમાં,બીજી હરોળના ગોળાઓ પ્રથમ હરોળના ગોળાઓ વચ્ચેની ખાલી જગ્યામાં (depressions) ગોઠવાય છે.
જો પ્રથમ હરોળના ગોળાઓને $A$ પ્રકારના કહેવામાં આવે,તો બીજી હરોળના ગોળાઓને $B$ પ્રકારના કહી શકાય. ત્રીજી હરોળના ગોળાઓ બીજી હરોળના ગોળાઓની ખાલી જગ્યામાં એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી પ્રથમ અને ત્રીજી હરોળના ગોળાઓ આડા અને ઊભા એક જ લાઈનમાં રહે.
ત્રીજી હરોળ પ્રથમ હરોળ જેવી જ હોવાથી તેને $A$ પ્રકાર કહેવાય છે. આમ,આપણને $ABABAB...$ પ્રકારની ગોઠવણી મળે છે.
આ ગોઠવણીમાં દરેક ગોળો તેના છ પડોશીઓના સંપર્કમાં હોય છે અને આમ બે પરિમાણમાં સવર્ગ આંક $6$ છે. આ છ ગોળાઓના કેન્દ્રો નિયમિત ષટ્કોણના ખૂણાઓ પર હોય છે,તેથી આ પેકિંગને દ્વિ-પરિમાણીય ષટ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) ત્રિ-પરિમાણીય રચનાઓ દ્વિ-પરિમાણીય સ્તરોને એકબીજાની ઉપર ગોઠવીને મેળવવામાં આવે છે.
સરળ ઘન લેટીસ $AAA \dots$ ગોઠવણી દ્વારા રચાય છે.
આ પ્રકારની ગોઠવણીમાં,બીજા ચોરસ ક્લોઝ-પેક્ડ સ્તરને પ્રથમ ચોરસ ક્લોઝ-પેક્ડ સ્તરની બરાબર ઉપર એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી પ્રથમ અને બીજા સ્તરના ગોળાઓ આડા અને ઊભા બંને રીતે એક જ સંરેખણમાં હોય. તેવી જ રીતે,વધુ સ્તરો એકબીજાની ઉપર મૂકી શકાય છે.
જો પ્રથમ સ્તરમાં ગોળાઓની ગોઠવણીને $A$ પ્રકાર કહેવામાં આવે,તો તમામ સ્તરો સમાન ગોઠવણી ધરાવે છે. આમ,આ લેટીસ $AAAAA \dots$ પ્રકારની ગોઠવણી ધરાવે છે અને આ રીતે ઉત્પન્ન થયેલ લેટીસ એ સાદો ઘન એકમ કોષ અથવા આદિમ ઘન એકમ કોષ છે. દરેક ગોળાનો સવર્ગ આંક (coordination number) $6$ છે.

(N/A) $1$. સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રો: જ્યારે બીજા સ્તરના ગોળાઓને પ્રથમ સ્તરના અવનમન (depressions) માં એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે કે જેથી તેઓ પ્રથમ સ્તરના ત્રિકોણીય છિદ્રોને ઢાંકે,ત્યારે સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રચાય છે. આ છિદ્રો $4$ ગોળાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા હોય છે અને તેમના કેન્દ્રો એક સમચતુષ્ફલક બનાવે છે.
$2$. અષ્ટફલકીય છિદ્રો: જ્યારે બીજા સ્તરના ત્રિકોણીય છિદ્રો પ્રથમ સ્તરના ત્રિકોણીય છિદ્રોની ઉપર આવે અને આ છિદ્રોના ત્રિકોણીય આકારો એકબીજા પર સંપાત ન થાય,ત્યારે અષ્ટફલકીય છિદ્રો રચાય છે. આ છિદ્રો $6$ ગોળાઓ દ્વારા ઘેરાયેલા હોય છે અને તેમના કેન્દ્રો એક અષ્ટફલક બનાવે છે.

(C) જ્યારે આપણે પ્રથમ સ્તર પર બીજું સ્તર એવી રીતે ગોઠવીએ કે જેથી બીજા સ્તરના ગોળાઓ પ્રથમ સ્તરના ખાડાઓમાં ગોઠવાય,ત્યારે છિદ્રો રચાય છે.
- જ્યારે બીજા સ્તરનો ગોળો પ્રથમ સ્તરના ત્રિકોણીય છિદ્રની ઉપર ગોઠવાય ત્યારે $Tetrahedral$ (સમચતુષ્ફલકીય) છિદ્રો રચાય છે.
- જ્યારે પ્રથમ સ્તર અને બીજા સ્તરના ત્રિકોણીય છિદ્રો એવી રીતે ગોઠવાય કે જે એકબીજા પર ન આવે,ત્યારે $6$ ગોળાઓ દ્વારા ઘેરાયેલી જગ્યા એટલે કે $Octahedral$ (અષ્ટફલકીય) છિદ્રો રચાય છે.
- આમ,$3D$ સંવૃત સંકુલિત રચનામાં સમચતુષ્ફલકીય અને અષ્ટફલકીય બંને છિદ્રો રચાય છે.

(A) જ્યારે ત્રીજું સ્તર બીજા સ્તર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બે શક્યતાઓ રહેલી છે:
- $(i)$ સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રોને ઢાંકવા: જ્યારે ત્રીજા સ્તરના ગોળાઓ બીજા સ્તરના સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રોને ઢાંકે છે,ત્યારે ત્રીજા સ્તરના ગોળાઓ પ્રથમ સ્તરના ગોળાઓ સાથે બરાબર રીતે ગોઠવાય છે. ગોળાઓની આ ભાત એકાંતરે પુનરાવર્તિત થાય છે અને તેને $ABAB$ ભાત તરીકે લખવામાં આવે છે. આ રચનાને હેક્ઝાગોનલ ક્લોઝ પેક્ડ $(hcp)$ રચના કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ: $Zn$ અને $Mg$ ધાતુઓ આ રચના દર્શાવે છે.
- $(ii)$ અષ્ટફલકીય છિદ્રોને ઢાંકવા: જ્યારે ત્રીજા સ્તરના ગોળાઓ બીજા સ્તરના અષ્ટફલકીય છિદ્રોને ઢાંકે છે,ત્યારે ત્રીજા સ્તરના ગોળાઓ પ્રથમ કે બીજા સ્તરના ગોળાઓ સાથે ગોઠવાતા નથી. આ ગોઠવણીને પ્રકાર $C$ કહેવામાં આવે છે.
- જ્યારે ચોથું સ્તર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળાઓ પ્રથમ સ્તર સાથે બરાબર રીતે ગોઠવાય છે. સ્તરોની આ ભાતને $ABCABC...$ તરીકે લખવામાં આવે છે.
- આને ક્યુબિક ક્લોઝ પેક્ડ $(ccp)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ રચના કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ: $Cu$ અને $Ag$ જેવી ધાતુઓ આ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
- બંને પ્રકારના ક્લોઝ પેકિંગ અત્યંત કાર્યક્ષમ છે અને સ્ફટિકના $74 \%$ અવકાશને રોકે છે. અહીં,દરેક ગોળો $12$ અન્ય ગોળાઓના સંપર્કમાં હોય છે. તેથી,બંને રચનાઓમાં સવર્ગ આંક $12$ છે.