Crystal packing Questions in Gujarati

(B) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ ફલકના વિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારો કે $a$ એ એકમ કોષની ધારની લંબાઈ છે અને $r$ એ પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા છે.
ફલકના વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિકર્ણ પર ચાર પરમાણ્વીય ત્રિજ્યાઓ હોય છે (દરેક ખૂણાના પરમાણુમાંથી એક ત્રિજ્યા અને ફલક-કેન્દ્રિત પરમાણુનો સંપૂર્ણ વ્યાસ),તેથી $4r = a\sqrt{2}$.
તેથી,$r = \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.

(B) અષ્ટફલકીય છિદ્રમાં,છિદ્રની ત્રિજ્યા $(r_v)$ અને ગોળાની ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ છિદ્રની ભૂમિતિ દ્વારા નક્કી થાય છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્ર માટે,સંબંધ $r_v + r = r \sqrt{2}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $r_v = r(\sqrt{2} - 1)$ મળે છે.
કારણ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,તેથી $r_v = r(1.414 - 1) = 0.414r$.

(C) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $(Z)$ $= 4$ છે.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા એકમ કોષમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
તેથી,$\text{ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા} = 2 \times Z = 2 \times 4 = 8$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) $ABC ABC......$ ક્લોઝ પેકિંગની ભાત ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ $(ccp)$ બંધારણને અનુરૂપ છે,જે ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ લેટીસ સમાન છે.

(D) $ABC ABC ABC ...$ ભાત એ ઘન સંવૃત પેકિંગ $(ccp)$ અથવા ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ લેટીસ રચના દર્શાવે છે.
આ ગોઠવણીમાં,ત્રીજું સ્તર બીજા સ્તરના અવકાશમાં એવી રીતે ગોઠવાય છે કે તે પ્રથમ કે બીજા સ્તર સાથે સંરેખિત થતું નથી,જે ત્રણ સ્તરોનો પુનરાવર્તિત ક્રમ બનાવે છે.

(C) હેક્સાગોનલ ક્લોઝ પેક્ડ $(HCP)$ રચનામાં,ત્રીજા સ્તરના ગોળાઓ પ્રથમ સ્તરના ગોળાઓની બરાબર ઉપર ગોઠવાયેલા હોય છે.
આના પરિણામે સ્તરોની પુનરાવર્તિત ભાત મળે છે જેને $ABAB...$ ભાત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,હેક્સાગોનલ ક્લોઝ પેક્ડ ગોઠવણી માટેનું સાચું વર્ણન $ABAB AB$ છે.

(B) ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ $(ccp)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
લેટીસમાં દરેક પરમાણુ બે ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ (છિદ્રો) બનાવે છે.
તેથી,ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રોની સંખ્યા $4 \times 2 = 8$ છે.
ક્લોઝ-પેક્ડ પરમાણુઓ અને ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રોનો ગુણોત્તર $4 : 8$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1 : 2$ થાય છે.

(C) $CCP$ (ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ) ગોઠવણીમાં,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે,જ્યારે ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
ધારો કે $CCP$ ગોઠવણીમાં $Z$ પરમાણુઓની સંખ્યા $n$ છે.
તો,ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2n$ થશે.
જેহেতু $X$ પરમાણુઓ તમામ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $2n$ છે.
$X:Z$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $2n:n$ છે,જે $2:1$ માં સરળ બને છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $X_2Z$ છે.

(B) ષટ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ $(HCP)$ રચનાનો સવર્ગ આંક (coordination number) $12$ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$Mg$ (મેગ્નેશિયમ) $HCP$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે,જેનો સવર્ગ આંક પણ $12$ છે.
$Na$ (સોડિયમ) બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(BCC)$ રચનામાં અને $Al$ (એલ્યુમિનિયમ) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ રચનામાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.

(A) $FCC$ એકમ કોષ માટે, ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે।
આપેલ છે કે $a = 620 \ pm$.
તેથી, $r = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{620}{2 \times 1.414} = 219.23 \ pm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $219.85 \ pm$ છે.

(C) ક્લોઝ પેક રચનામાં (જેમ કે $ccp$ અથવા $hcp$),જો ઘટક કણોની સંખ્યા $N$ હોય,તો અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $N$ થાય છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N$ થાય છે.
તેથી,ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.

(C) જ્યારે એક સ્તરના એકબીજાના સંપર્કમાં રહેલા ત્રણ ગોળાઓ દ્વારા બનતી ખાલી જગ્યામાં એક ગોળો મૂકવામાં આવે ત્યારે ચતુષ્ફલકીય છિદ્ર રચાય છે.
આમ,આ છિદ્ર $4$ ગોળાઓ દ્વારા ઘેરાયેલું હોય છે જે નિયમિત ચતુષ્ફલકના ખૂણાઓ પર ગોઠવાયેલા હોય છે.
તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે છિદ્ર ચાર ગોળાઓ દ્વારા ચતુષ્ફલકીય ગોઠવણીમાં ઘેરાયેલું હોય છે.

(C) સ્ફટિક રચનાઓમાં,ક્લોઝ-પેક્ડ રચનાઓ એવી હોય છે જેમાં પરમાણુઓ ખાલી જગ્યા ઘટાડવા માટે શક્ય તેટલી કાર્યક્ષમ રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે.
$hcp$ (હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ),$ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ),અને $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એ તમામ $74\%$ પેકિંગ કાર્યક્ષમતા ધરાવતી ક્લોઝ-પેક્ડ રચનાઓના ઉદાહરણો છે.
$bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) ની પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $68\%$ છે,જે ક્લોઝ-પેક્ડ રચનાઓ કરતા ઓછી છે.
તેથી,$bcc$ ને ક્લોઝ-પેક્ડ રચના ગણવામાં આવતી નથી.

(B) ફલકકેન્દ્રિત ઘનીય $(FCC)$ એકમકોષમાં,પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારો કે એકમકોષની ધારની લંબાઈ $a$ છે અને પરમાણુની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ફલક વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{2}a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ પર સ્પર્શતા હોવાથી,ફલક વિકર્ણની લંબાઈ $4r$ જેટલી થાય છે (દરેક ખૂણાના પરમાણુમાંથી એક ત્રિજ્યા અને ફલક-કેન્દ્રિત પરમાણુમાંથી બે ત્રિજ્યા).
તેથી,$\sqrt{2}a = 4r$.
$a$ માટે ઉકેલતા,આપણને $a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$ મળે છે.

(A) $ABAB...$ પ્રકારના પેકિંગમાં,ત્રીજું સ્તર પ્રથમ સ્તરની બરાબર ઉપર ગોઠવાય છે,જે હેક્ઝાગોનલ ક્લોઝ પેકિંગ $(hcp)$ રચના આપે છે.
$ABCABC...$ પ્રકારના પેકિંગમાં,ચોથું સ્તર પ્રથમ સ્તરની બરાબર ઉપર ગોઠવાય છે,જે ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ $(ccp)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ રચના આપે છે.
તેથી,$ABAB...$ એ $hcp$ છે અને $ABCABC...$ એ $ccp$ છે.

(C) $ccp$ અથવા $fcc$ લેટિસમાં,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટિસમાં હાજર ગોળાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
જો ગોળાઓની સંખ્યા $N$ હોય,તો અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $N$ થાય.

(A) $bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં પેકિંગ ક્ષમતા $68\%$ છે.
ખાલી જગ્યા (વોઇડ સ્પેસ) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ખાલી જગ્યા} = 100\% - \text{પેકિંગ ક્ષમતા}$
$\text{ખાલી જગ્યા} = 100\% - 68\% = 32\%$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ક્લોઝ-પેક્ડ રચનામાં,જો પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ હોય,તો અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $N$ અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N$ હોય છે.
તેથી,પ્રતિ એક પરમાણુ દીઠ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રની સંખ્યા $2N / N = 2$ થાય છે.

(C) ક્લોઝ પેક રચનામાં,ચતુષ્ફલકીય ખાલી જગ્યાની ત્રિજ્યા $(r_t)$ અને ગોળાની ત્રિજ્યા $(R)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r_t = 0.225R$ છે.
અષ્ટફલકીય ખાલી જગ્યાની ત્રિજ્યા $(r_o)$ અને ગોળાની ત્રિજ્યા $(R)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r_o = 0.414R$ છે.
બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$0.414R > 0.225R$,જેનો અર્થ છે કે અષ્ટફલકીય ખાલી જગ્યાનું કદ ચતુષ્ફલકીય ખાલી જગ્યા કરતા મોટું હોય છે.

(A) $hcp$ (ષટ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ) અને $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ) બંને બંધારણોમાં,ગોળાઓ શક્ય તેટલી કાર્યક્ષમ રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે.
$hcp$ અને $ccp$ બંને માટે પેકિંગ ક્ષમતા $74\%$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કુલ કદના $74\%$ ભાગમાં ગોળાઓ રોકાયેલા છે,જ્યારે બાકીનો $26\%$ ભાગ ખાલી જગ્યા (voids) છે.

(A) ધારો કે $ccp$ લેટાઈસમાં $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $n$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2n$.
$X$ પરમાણુઓ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોનો $2/3$ ભાગ રોકે છે,તેથી $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{2}{3} \times 2n = \frac{4n}{3}$.
$X:Y$ નો ગુણોત્તર $= \frac{4n}{3} : n = 4:3$.
તેથી,સંયોજનનું અણુસૂત્ર $X_4Y_3$ છે.

(B) ક્લોઝ પેક્ડ બંધારણમાં (જેમ કે $fcc$ અથવા $ccp$ જે $ABCABC$ સ્ટેકિંગ ક્રમ અનુસરે છે),એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $z = 4$ હોય છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા હંમેશા એકમ કોષમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
તેથી,ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $2 \times z = 2z$.

(A) સાદા ઘન $(SC)$ એકમકોષ માટે,ધારીની લંબાઈ $a$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ છે,તેથી $r = \frac{a}{2}$.
અંતઃકેન્દ્રિત ઘન $(BCC)$ એકમકોષ માટે,સંબંધ $\sqrt{3}a = 4r$ છે,તેથી $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$.
ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ એકમકોષ માટે,સંબંધ $\sqrt{2}a = 4r$ છે,તેથી $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{a}{2} : \frac{\sqrt{3}a}{4} : \frac{a}{2\sqrt{2}}$ થાય.

(C) હેકઝાગોનલ ક્લોઝ પેક $(HCP)$ રચનામાં,ગોળાઓ $ABABAB...$ ભાત (pattern) માં ગોઠવાયેલા હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ત્રીજું સ્તર પ્રથમ સ્તર જેવું જ હોય છે,ચોથું સ્તર બીજા સ્તર જેવું જ હોય છે,અને આ રીતે આગળ વધે છે.
તેની સામે,$ABCABC...$ ભાત એ ક્યુબિક ક્લોઝ પેક $(CCP)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ રચના દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે $HCP$ લેટિસમાં $B$ તત્વના પરમાણુઓની સંખ્યા $n$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2n$ હોય છે,અને $A$ તત્વ આ છિદ્રોનો $2/3$ ભાગ રોકે છે:
$A$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $= \frac{2}{3} \times 2n = \frac{4n}{3}$.
$A:B$ નો ગુણોત્તર $= \frac{4n}{3} : n = 4:3$.
તેથી,સંયોજનનું અણુસૂત્ર $A_4B_3$ થશે.

(A) ક્યુબિક ક્લોઝ પેક $(CCP)$ બંધારણમાં પેકિંગ ક્ષમતા $74\%$ હોય છે. તેથી,ખાલી જગ્યાની ટકાવારી $100\% - 74\% = 26\%$ થાય છે.
અંત: કેન્દ્રિત ઘન $(BCC)$ બંધારણમાં પેકિંગ ક્ષમતા $68\%$ હોય છે. તેથી,ખાલી જગ્યાની ટકાવારી $100\% - 68\% = 32\%$ થાય છે.
આમ,ખાલી જગ્યાની ટકાવારી અનુક્રમે $26\%$ અને $32\%$ છે.

(C) ચતુષ્ફલકીય છિદ્ર એ $4$ ગોળાઓની ચતુષ્ફલકીય ગોઠવણી દ્વારા રચાય છે.
આ $4$ ગોળાઓ છિદ્રના સીધા સંપર્કમાં હોય છે,તેથી ચતુષ્ફલકીય છિદ્રનો સવર્ગ આંક (coordination number) $4$ છે.

(B) $FCC$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે,તેથી $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે,જે $2 \times 4 = 8$ છે.
$C$ ના પરમાણુઓ $25\%$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $C$ પરમાણુઓની સંખ્યા $8 \times 0.25 = 2$ છે.
$A:B:C$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $4:4:2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2:2:1$ થાય છે.
તેથી,અણુસૂત્ર $A_2B_2C$ છે.

(C) $bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ $2$ છે.
પેકિંગ ક્ષમતા $(P.E.)$ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$P.E. = \frac{n \times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}$
$bcc$ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P.E. = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^3} = \frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\frac{64r^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{8\pi}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{64} = \frac{\sqrt{3}\pi}{8}$
$P.E. \approx 0.68$ અથવા $68\%$.

(B) સ્ફટિક લેટાઈસમાં,જો ક્લોઝ-પેક્ડ પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ હોય,તો અષ્ટફલકીય જગ્યાઓની સંખ્યા $N$ અને ચતુષ્ફલકીય જગ્યાઓની સંખ્યા $2N$ હોય છે.
તેથી,પ્રતિ પરમાણુ ચતુષ્ફલકીય જગ્યાઓની સંખ્યા $\frac{2N}{N} = 2$ થાય છે.

(D) $HCP$ અથવા $CCP$ રચનાઓમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની અસરકારક સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
એક પરમાણુનું કદ $\frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
તેથી,એકમ કોષમાં પરમાણુઓ દ્વારા રોકાતું કુલ કદ $Z \times \text{એક પરમાણુનું કદ} = 4 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{16\pi r^3}{3}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) દ્વિ-પરિમાણીય સ્તરમાં,પરમાણુઓને બે રીતે ગોઠવી શકાય છે:
$1$. ચતુષ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ: દરેક ગોળો અન્ય ચાર ગોળાના સંપર્કમાં હોય છે.
$2$. હેકઝાગોનલ ક્લોઝ પેકિંગ: દરેક ગોળો અન્ય છ ગોળાના સંપર્કમાં હોય છે.
હેકઝાગોનલ ક્લોઝ પેકિંગ વધુ કાર્યક્ષમ છે કારણ કે તે ચતુષ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ $(78.5\%)$ ની તુલનામાં વધુ જગ્યા $(90.6\%)$ રોકે છે,જે તેને સ્તરમાં એકરૂપ ગોઠવણી માટે સૌથી યોગ્ય બનાવે છે.

(C) ધારો કે $ccp$ ગોઠવણીમાં $Q$ પરમાણુઓની સંખ્યા $n$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2n$ જેટલી હોય છે.
ત્યારબાદ,બધા જ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $P$ પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલા હોવાથી,$P$ પરમાણુઓની સંખ્યા $2n$ થશે.
$P:Q$ નો ગુણોત્તર $2n:n$ એટલે કે $2:1$ છે.
તેથી,પદાર્થનું સૂત્ર $P_2Q$ છે.

(A) $hcp$ (ષટ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ) અને $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ) બંને રચનાઓમાં પેકિંગ ક્ષમતા $74\%$ હોય છે.
તેથી,ખાલી જગ્યાની ટકાવારી નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{Void space} = 100\% - 74\% = 26\%$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $CCP$ બંધારણમાં $8$ ખૂણા અને $6$ ફલક કેન્દ્રો હોય છે.
શરૂઆતમાં ખૂણા પર $A$ પરમાણુની સંખ્યા $= 8 \times \frac{1}{8} = 1$.
$A$ ના $2$ પરમાણુ ખૂણા પરથી દૂર થતા,$A$ પરમાણુની અસરકારક સંખ્યા $= 1 - (2 \times \frac{1}{8}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
ફલક કેન્દ્રો પર $B$ પરમાણુની સંખ્યા $= 6 \times \frac{1}{2} = 3$.
ગુણોત્તર $A:B = \frac{3}{4} : 3 = 3:12 = 1:4$.
તેથી,અણુસૂત્ર $AB_4$ છે.

(B) જુદા જુદા સ્ફટિક લેટાઈસની પેકિંગ ક્ષમતા નીચે મુજબ છે:
$1$. સાદો ઘન $(SC)$: $52.4\%$
$2$. અંત: કેન્દ્રિત ઘન $(BCC)$: $68\%$
$3$. ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$: $74\%$
તેથી,ફલક કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ લેટાઈસમાં પેકિંગ ક્ષમતા મહત્તમ હોય છે.

(B) $hcp$ (હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ) બંધારણ $Mg$,$Zn$,$Be$ અને $Ti$ જેવી ધાતુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$Al$,$Cu$ અને $Ni$ એ $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) અથવા $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ) બંધારણમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
તેથી,$Mg$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આ એકમ કોષ દ્વિ-પરિમાણીય ચોરસ છે જેમાં એક પરમાણુ કેન્દ્રમાં અને ચાર પરમાણુ ખૂણાઓ પર છે.
પરમાણુઓની સંખ્યા $(n)$ = $1 + (4 \times \frac{1}{4}) = 2$.
ચોરસનો વિકર્ણ $(d)$ = $4r$,જ્યાં $r$ એ પરમાણુની ત્રિજ્યા છે.
$d = \sqrt{2}a = 4r$,તેથી $a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r$.
પેકિંગ ક્ષમતા $(P.E.)$ = $\frac{\text{પરમાણુઓનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{એકમ કોષનું ક્ષેત્રફળ}} \times 100$.
$P.E. = \frac{n \times \pi r^2}{a^2} \times 100 = \frac{2 \times \pi r^2}{(2\sqrt{2}r)^2} \times 100$.
$P.E. = \frac{2\pi r^2}{8r^2} \times 100 = \frac{\pi}{4} \times 100 \approx 78.54\%$.

(B) $AB AB AB$ સ્તરોની શ્રેણી હેક્સાગોનલ ક્લોઝ પેકિંગ $(HCP)$ ને અનુરૂપ છે.
$HCP$ (તેમજ $CCP/FCC$) માં,પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $74\%$ હોય છે.
ખાલી જગ્યાની ટકાવારી (void volume) $100\% - \text{પેકિંગ કાર્યક્ષમતા}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
ખાલી જગ્યા $= 100\% - 74\% = 26\%$.

(C) $bcc$ લેટિસની પેકિંગ ક્ષમતા $68\%$ છે.
ખાલી જગ્યાની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $100\% - \text{પેકિંગ ક્ષમતા} = 100\% - 68\% = 32\%$.

(A) ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ $(CCP)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ રચનામાં,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા તે એકમ કોષમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
જો એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ હોય,તો અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $N$ થાય છે.
તેથી,પ્રતિ પરમાણુ અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $\frac{N}{N} = 1$ થાય છે.

(D) $ccp$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ ઓક્સાઈડ આયનો $(O^{2-})$ ની સંખ્યા $4$ છે.
$ccp$ બંધારણ માટે,ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2 \times 4 = 8$ અને અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $4$ છે.
આપેલ છે કે $A$ આયનો ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોનો $\frac{1}{4}$ ભાગ રોકે છે,તેથી $A$ આયનોની સંખ્યા $= \frac{1}{4} \times 8 = 2$ છે.
આપેલ છે કે $B$ આયનો બધા જ અષ્ટફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $B$ આયનોની સંખ્યા $= 4$ છે.
$A : B : O$ નો ગુણોત્તર $2 : 4 : 4$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1 : 2 : 2$ થાય છે.
તેથી,ઓક્સાઈડનું સૂત્ર $AB_2O_2$ છે.

(D) $bcc$ યુનિટ સેલમાં,પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 2$ છે.
યુનિટ સેલમાં પરમાણુઓનું કદ $(v) = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$bcc$ બંધારણ માટે,ત્રિજ્યા $(r)$ અને ધારની લંબાઈ $(a)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ છે.
કદના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $v = 2 \times \frac{4}{3} \pi (\frac{\sqrt{3}}{4} a)^3 = \frac{\sqrt{3}}{8} \pi a^3 \approx 0.68 a^3$.
યુનિટ સેલનું કદ $(V) = a^3$.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા (રોકાયેલ કદની ટકાવારી) $= \frac{v}{V} \times 100 = 68 \%$.
તેથી,ખાલી જગ્યાની ટકાવારી $= 100 \% - 68 \% = 32 \%$.

(A) સાદા ઘન એકમ કોષ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $1$ છે.
ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ અથવા $r = \frac{a}{2}$ છે.
એક પરમાણુનું કદ $V_{atom} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{a}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{6}$ છે.
પેકિંગ ફ્રેક્શન એ પરમાણુઓના કદ અને એકમ કોષના કુલ કદ $(a^3)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$\text{Packing Fraction} = \frac{Z \times V_{atom}}{a^3} = \frac{1 \times \frac{\pi a^3}{6}}{a^3} = \frac{\pi}{6}$.

(A) ધારો કે $ccp$ લેટીસમાં $Y$ તત્વના પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $2n = 2 \times 4 = 8$ છે.
$X$ તત્વ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સના $2/3$ ભાગ રોકે છે,તેથી $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 8 \times \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$ છે.
$X:Y$ નો ગુણોત્તર $\frac{16}{3} : 4$ છે.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $16:12$ ગુણોત્તર મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4:3$ થાય છે.
તેથી,સંયોજનનું અણુસૂત્ર $X_4Y_3$ છે.

(B) પેકિંગ ફ્રેક્શન એટલે એકમ કોષના કુલ કદમાં ગોળાઓ દ્વારા રોકાયેલ કદનો ગુણોત્તર.
$ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ) માટે પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $74 \%$ છે,તેથી ખાલી જગ્યા $100 \% - 74 \% = 26 \%$ છે.
$bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) માટે પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $68 \%$ છે,તેથી ખાલી જગ્યા $100 \% - 68 \% = 32 \%$ છે.
તેથી,$ccp$ અને $bcc$ માં ખાલી જગ્યાની ટકાવારી અનુક્રમે $26 \%$ અને $32 \%$ છે.

(D) ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારો કે પરમાણુઓની ત્રિજ્યા $r$ છે અને એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $a$ છે.
ઘનનો ફલક વિકર્ણ $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ પર સ્પર્શતા હોવાથી,ફલક વિકર્ણની લંબાઈ $4r$ જેટલી થાય છે.
તેથી,$4r = \sqrt{2} a$,જે $r = \frac{\sqrt{2} a}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ આપે છે.
બે પરમાણુઓ વચ્ચેનું સૌથી નજીકનું અંતર તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે,જે $2r$ છે.
આમ,$2r = 2 \times \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(A) $ABABAB$ પ્રકારનું પેકિંગ હેક્સાગોનલ ક્લોઝ પેકિંગ $(HCP)$ દર્શાવે છે।
$HCP$ માટે, એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $6$ છે।
$HCP$ એકમ કોષનું કદ $V = 24\sqrt{2} \cdot r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે $r = 100\sqrt{2} \ pm = \sqrt{2} \times 10^{-8} \ cm$.
$V = 24\sqrt{2} \times (\sqrt{2} \times 10^{-8})^3 = 96 \times 10^{-24} \ cm^3$.
ઘનતાના સૂત્ર $d = \frac{Z \cdot M}{N_A \cdot V}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5.0 = \frac{6 \cdot M}{6 \times 10^{23} \times 96 \times 10^{-24}}$.
$M = 48 \ g/mol$.

(C) $1$. ખૂણાઓ પર $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $8 \times \frac{1}{8} = 1$.
$2$. ફલક-કેન્દ્રો પર $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $6 \times \frac{1}{2} = 3$.
$3$. ધારના કેન્દ્રો પર $C$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $12 \times \frac{1}{4} = 3$.
$4$. $A$ અને $B$ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $1 + 3 = 4$ છે. $4$ પરમાણુઓ દ્વારા રચાયેલા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2 \times 4 = 8$ છે. તેથી,$D = 8$.
$5$. $A:B:C:D$ નો ગુણોત્તર $1:3:3:8$ છે.
$6$. સંયોજનનું સૂત્ર $AB_3C_3D_8$ છે.

(B) ધારો કે $hcp$ લેટીસમાં $O^{2-}$ આયનોની સંખ્યા $n$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $(OHV)$ લેટીસ બિંદુઓની સંખ્યા જેટલી હોવાથી,$OHV$ ની સંખ્યા $= n$ થશે.
ધાતુના આયનો અષ્ટફલકીય છિદ્રોના $2/3$ ભાગ રોકે છે,તેથી ધાતુના આયનોની સંખ્યા $= \frac{2}{3}n$ થશે.
ધાતુના આયનો અને ઓક્સાઈડ આયનોનો ગુણોત્તર $M:O = \frac{2}{3}n : n = 2:3$ છે.
તેથી,ઓક્સાઈડનું સૌથી સરળ સૂત્ર $M_2O_3$ છે.