Crystal packing Questions in Gujarati

(C) $ccp$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$ છે.
$B$ પરમાણુઓ ધારના કેન્દ્રો પર છે. એકમ કોષમાં $12$ ધાર હોય છે,અને દરેક ધારનું કેન્દ્ર $4$ એકમ કોષો દ્વારા વહેંચાયેલું હોય છે. તેથી,$B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $12 \times \frac{1}{4} = 3$ છે.
$C$ પરમાણુઓ અંતઃકેન્દ્રિત સ્થાન પર છે. એકમ કોષમાં માત્ર $1$ અંતઃકેન્દ્ર હોય છે,જે અન્ય કોઈ એકમ કોષ સાથે વહેંચાયેલું હોતું નથી. તેથી,$C$ પરમાણુઓની સંખ્યા $1 \times 1 = 1$ છે.
આમ,$A:B:C$ નો ગુણોત્તર $4:3:1$ છે,અને મિશ્રધાતુનું સૂત્ર $A_4B_3C$ છે.

(C) ષટ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ $(hcp)$ માં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની અસરકારક સંખ્યા $6$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પેકિંગમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે,જે $6$ છે.
ધનાયન $(C)$ અષ્ટફલકીય છિદ્રોના $2/3$ ભાગને રોકે છે,તેથી $C$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 6 \times (2/3) = 4$ થાય.
ઋણાયન $(A)$ પરમાણુઓની સંખ્યા $6$ છે.
આમ,$C:A$ નો ગુણોત્તર $4:6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2:3$ થાય છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $C_{2}A_{3}$ છે.

(D) ક્યુબિક ક્લોઝ પેકિંગ (ccp) એ ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક (fcc) બંધારણને સમાન છે.
fcc એકમ કોષમાં,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $2 \times Z$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $= 2 \times 4 = 8$ છે.
આ $8$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ સંપૂર્ણપણે એકમ કોષની અંદર આવેલા હોય છે.

(D) $FCC$ એકમ કોષમાં,ખૂણાઓ અને ફલક કેન્દ્રો પર $X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
$FCC$ એકમ કોષમાં $8$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો હોય છે.
જેથી $Y$ પરમાણુઓ તમામ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે,$Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $8$ છે.
$X : Y$ નો ગુણોત્તર $4 : 8$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1 : 2$ થાય છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $XY_2$ છે.

(A) $FCC$ એકમ કોષમાં,$8$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો હોય છે જે આ છિદ્રોના કેન્દ્રોને જોડીને બનતા નાના ઘનના ખૂણાઓ પર સ્થિત હોય છે.
આ $8$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોમાંથી દરેક $8$ આવા ઘન દ્વારા વહેંચાયેલું હોવાથી,નવા ઘનની અંદર ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની અસરકારક સંખ્યા $8 \times \frac{1}{8} = 1$ છે.
વધુમાં,મૂળ $FCC$ એકમ કોષના બોડી સેન્ટર પર એક અષ્ટફલકીય છિદ્ર હોય છે,જે નવા નાના ઘનના બોડી સેન્ટર સાથે પણ સુસંગત છે.
તેથી,નવા ઘનમાં $1$ અસરકારક ચતુષ્ફલકીય છિદ્ર અને $1$ અષ્ટફલકીય છિદ્ર હોય છે.

(C) $FCC$ લેટિસમાં,નજીકના પડોશીઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{a_{edge}}{\sqrt{2}} = a$ છે. તેથી,એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $a_{edge} = a\sqrt{2}$ છે.
$ABCABC...$ પેકિંગમાં ત્રિકોણીય છિદ્રો એ ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રો $(THV)$ છે.
બે ક્રમિક સ્તરોના નજીકના ત્રિકોણીય છિદ્રોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર એ બે નજીકના ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રો વચ્ચેના અંતરને અનુરૂપ છે.
$FCC$ એકમ કોષમાં,બે નજીકના ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રો વચ્ચેનું અંતર $\frac{a_{edge}}{2}$ છે.
$a_{edge} = a\sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $\text{અંતર} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

(C) $CCP$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ ઓક્સાઇડ આયનો $(O^{2-})$ ની સંખ્યા $4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રો $(O.V.)$ ની સંખ્યા $4$ છે અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $(T.V.)$ ની સંખ્યા $8$ છે.
સૂત્ર $AB_2O_4$ મુજબ,$4$ ઓક્સાઇડ આયનો દીઠ $1$ બાયવેલેન્ટ આયન $(A^{2+})$ અને $2$ ટ્રાયવેલેન્ટ આયનો $(B^{3+})$ છે.
$A^{2+}$ આયનો અષ્ટફલકીય છિદ્રો રોકે છે: $1$ $O.V.$ એ $A^{2+}$ દ્વારા રોકાયેલ છે.
$B^{3+}$ આયનો $T.V.$ અને $O.V.$ બંનેમાં સમાન સંખ્યામાં ગોઠવાય છે. ધારો કે $B^{3+}$ આયનોની સંખ્યા $T.V.$ માં $x$ છે અને $O.V.$ માં $x$ છે.
કુલ $B^{3+} = x + x = 2x = 2$,તેથી $x = 1$.
આમ,$B^{3+}$ આયનો $1$ $T.V.$ અને $1$ $O.V.$ રોકે છે.
કુલ રોકાયેલ $O.V.$ = ($A^{2+}$ દ્વારા રોકાયેલ) + ($B^{3+}$ દ્વારા રોકાયેલ) = $1 + 1 = 2$.
કુલ ઉપલબ્ધ $O.V.$ = $4$.
ખાલી $O.V.$ = $4 - 2 = 2$.
ખાલી $O.V.$ નો અંશ = $2/4 = 1/2$.

(A) $FCC$ એકમ કોષમાં:
$X$ પરમાણુઓની સંખ્યા (ખૂણાઓ અને ફલક-કેન્દ્રો પર) $= 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4$.
$Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા (અષ્ટફલકીય છિદ્રોમાં) $= 4$.
$Z$ પરમાણુઓની સંખ્યા (ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોમાં) $= 8$.
એક મુખ્ય વિકર્ણ પર,બે ખૂણાના $X$ પરમાણુઓ,એક અષ્ટફલકીય છિદ્ર $(Y)$ જે શરીરના કેન્દ્રમાં છે,અને બે ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $(Z)$ હોય છે.
આ પરમાણુઓને દૂર કરતા:
$X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4 - (2 \times \frac{1}{8}) = 4 - 0.25 = 3.75 = \frac{15}{4}$.
$Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4 - 1 = 3$.
$Z$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 8 - 2 = 6$.
ગુણોત્તર $X : Y : Z = \frac{15}{4} : 3 : 6$.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $15 : 12 : 24$ મળે છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $5 : 4 : 8$ મળે છે.
તેથી,સૌથી સરળ સૂત્ર $X_5Y_4Z_8$ છે.

(C) $ABCABC$ પેકિંગ એ ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ રચના સૂચવે છે.
$FCC$ એકમ કોષ માટે,ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણ્વીય ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે,તેથી $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
આપેલ છે $a = 10 \ \mathring{A} = 10 \times 10^{-8} \ cm$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{10 \times 10^{-8}}{2\sqrt{2}} \ cm$.
એક ધાતુના પરમાણુનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{10 \times 10^{-8}}{2\sqrt{2}})^3 \ cm^3$.
એક ધાતુના પરમાણુનું દળ $m = \frac{\text{પરમાણ્વીય દળ}}{N_A} = \frac{60.23}{6.023 \times 10^{23}} = 10^{-22} \ g$.
પરમાણુની ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{10^{-22}}{\frac{4}{3} \pi (\frac{10 \times 10^{-8}}{2\sqrt{2}})^3} \approx 0.54 \ g/cm^3$.

(D) $2D$ સ્ક્વેર પેકિંગમાં,સવર્ગ આંક $4$ છે અને પેકિંગ અંશ $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ છે.
$2D$ હેક્સાગોનલ પેકિંગમાં,સવર્ગ આંક $6$ છે અને પેકિંગ અંશ $\frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.906$ છે.
હેક્સાગોનલ પેકિંગનો પેકિંગ અંશ $(0.906)$ સ્ક્વેર પેકિંગ $(0.785)$ કરતા વધારે હોવાથી,હેક્સાગોનલ પેકિંગનો વોઇડ અંશ $(1 - \text{packing fraction})$ સ્ક્વેર પેકિંગ કરતા ઓછો હોય છે.
$2D$ હેક્સાગોનલ ક્લોઝ પેકિંગમાં,દરેક પરમાણુ અન્ય $6$ પરમાણુઓના સંપર્કમાં હોય છે,જે તેની આસપાસ $6$ ટ્રાયગોનલ પ્લેનર વોઇડ્સ બનાવે છે.

(A) $bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,પેકિંગ ક્ષમતા $68\%$ છે.
તેથી,ખાલી જગ્યાની ટકાવારી નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ખાલી જગ્યા} = 100\% - \text{પેકિંગ ક્ષમતા}$
$\text{ખાલી જગ્યા} = 100\% - 68\% = 32\%$

(B) લિમિટિંગ રેડિયસ રેશિયો $(r/R)$ સ્ફટિક લેટીસમાં કોઓર્ડિનેશન નંબર અને વોઇડનો પ્રકાર નક્કી કરે છે.ટ્રાયગોનલ વોઇડ માટે,લિમિટિંગ રેડિયસ રેશિયો $0.155$ છે.ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ માટે,લિમિટિંગ રેડિયસ રેશિયો $0.225$ છે.ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ માટે,લિમિટિંગ રેડિયસ રેશિયો $0.414$ છે.ક્યુબિક વોઇડ માટે,લિમિટિંગ રેડિયસ રેશિયો $0.732$ છે.તેથી,ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ માટેની રેન્જ $0.225$ થી $0.414$ છે.

(A) $CCP$ બંધારણમાં,ઓક્સાઈડ આયનો $(O^{2-})$ ની સંખ્યા $4$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $(TV)$ ની સંખ્યા = $2 \times 4 = 8$.
અષ્ટફલકીય છિદ્રો $(OV)$ ની સંખ્યા = $4$.
$A^{2+}$ આયનોની સંખ્યા = $\frac{1}{5} \times 8 = \frac{8}{5}$.
$B^{3+}$ આયનોની સંખ્યા = $\frac{1}{2} \times 4 = 2$.
$A : B : O$ નો ગુણોત્તર $\frac{8}{5} : 2 : 4$ છે.
ગુણોત્તરને $5$ વડે ગુણતા,આપણને $8 : 10 : 20$ મળે છે.
ગુણોત્તરને $2$ વડે ભાગીને સરળ બનાવતા,આપણને $4 : 5 : 10$ મળે છે.
આમ,ઓક્સાઈડનું સૂત્ર $A_4B_5O_{10}$ છે.

(D) એન્ટિફ્લોરાઈટ બંધારણમાં,લેટીસ સ્થાનો $(ccp)$ ઋણ આયનો $[PtCl_6]^{2-}$ દ્વારા રોકાયેલા હોય છે.
તેથી,ઘન એકમ કોષના ખૂણાઓ અને ફલક કેન્દ્રો $(PtCl_6)^{2-}$ આયનો દ્વારા રોકાયેલા છે.

(C) ષટ્કોણીય ક્લોઝ પેકિંગ $(HCP)$ લેટીસમાં,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
ધારો કે ઋણાયનો $(A)$ ની સંખ્યા $N$ છે.
તો,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પણ $N$ થાય.
ધનાયનો $(C)$ $2/3$ અષ્ટફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી ધનાયનોની સંખ્યા $(2/3)N$ છે.
$C:A$ નો ગુણોત્તર $(2/3)N : N$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2:3$ થાય છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $C_2A_3$ છે.

(B) ક્યુબિક-ક્લોઝ્ડ પેક્ડ $(CCP)$ બંધારણમાં,એકમ કોષ દીઠ ઓક્સાઇડ આયનો $(O^{2-})$ ની સંખ્યા $4$ છે.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $2 \times 4 = 8$ છે.
ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $4$ છે.
આપેલ છે કે $1/8$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ $A^{2+}$ કેટાયન દ્વારા રોકાયેલા છે:
$A^{2+}$ ની સંખ્યા $= 8 \times (1/8) = 1$.
આપેલ છે કે $1/2$ ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સ $B^{3+}$ કેટાયન દ્વારા રોકાયેલા છે:
$B^{3+}$ ની સંખ્યા $= 4 \times (1/2) = 2$.
તેથી,$A : B : O$ નો ગુણોત્તર $1 : 2 : 4$ છે.
સામાન્ય સૂત્ર $AB_{2}O_{4}$ છે.

(A) અષ્ટફલકીય છિદ્ર $6$ ગોળાઓની અષ્ટફલકીય ભૂમિતિમાં ગોઠવણી દ્વારા રચાય છે.
તેથી,તે $6$ ગોળાઓ દ્વારા ઘેરાયેલું હોય છે.

(C) ધારો કે $HCP$ લેટીસમાં ઓક્સાઇડ આયનો $(O^{2-})$ ની સંખ્યા $N = 6$ છે.
$OHV$ (અષ્ટફલકીય છિદ્રો) ની સંખ્યા આયનોની સંખ્યા જેટલી હોય છે,તેથી $OHV = 6$.
$THV$ (ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો) ની સંખ્યા આયનોની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે,તેથી $THV = 2 \times 6 = 12$.
કેટાયન $A$,$THV$ નો $\frac{1}{6}$ ભાગ રોકે છે = $\frac{1}{6} \times 12 = 2$.
કેટાયન $B$,$OHV$ નો $\frac{1}{3}$ ભાગ રોકે છે = $\frac{1}{3} \times 6 = 2$.
પરમાણુઓ $A : B : O$ નો ગુણોત્તર $2 : 2 : 6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1 : 1 : 3$ થાય છે.
તેથી,પ્રમાણસૂચક સૂત્ર $ABO_3$ છે.

(D) $FCC$ યુનિટ સેલમાં $8$ ખૂણા અને $6$ ફલક-કેન્દ્ર હોય છે.
શરૂઆતમાં,ખૂણા પર $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 8 \times \frac{1}{8} = 1$.
ફલક-કેન્દ્ર પર $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 6 \times \frac{1}{2} = 3$.
એક બોડી ડાયાગોનલ $2$ ખૂણાઓમાંથી પસાર થાય છે.
જ્યારે બોડી ડાયાગોનલ પરના પરમાણુઓ દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે $2$ ખૂણાના પરમાણુઓ દૂર થાય છે.
બાકી રહેલા $A$ પરમાણુઓ $= 1 - (2 \times \frac{1}{8}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $3$ જ રહે છે.
$A:B$ નો ગુણોત્તર $= \frac{3}{4} : 3 = 1 : 4$.
તેથી,પ્રાયોગિક સૂત્ર $AB_4$ છે.

(B) ક્લોઝ પેક્ડ બંધારણમાં,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ છે,સંયોજનના મોલની સંખ્યા $= 0.3 \, mol$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $= 0.3 \times 6.022 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol} = 1.8066 \times 10^{23} \, \text{atoms}$.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોવાથી,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 1.8066 \times 10^{23}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $CCP$ લેટીસમાં ઓક્સાઇડ આયનો $(O^{2-})$ ની સંખ્યા $N = 4$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N = 2 \times 4 = 8$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $N = 4$ છે.
કેટાયન $A$ એ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોનો $1/6$ ભાગ રોકે છે: $A = \frac{1}{6} \times 8 = \frac{4}{3}$.
કેટાયન $B$ એ અષ્ટફલકીય છિદ્રોનો $1/3$ ભાગ રોકે છે: $B = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$.
$A : B : O$ નો ગુણોત્તર $\frac{4}{3} : \frac{4}{3} : 4$ છે.
$3/4$ વડે ગુણતા,આપણને $1 : 1 : 3$ ગુણોત્તર મળે છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $ABO_3$ છે.

(D) ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ એકમ કોષમાં:
ખૂણા પર $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $8 \times \frac{1}{8} = 1$.
ફલકના કેન્દ્રોની કુલ સંખ્યા = $6$.
હાજર $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $6 - 3 = 3$.
ફલકના કેન્દ્ર પર $B$ પરમાણુઓનું યોગદાન = $3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
$A:B$ નો ગુણોત્તર = $1 : \frac{3}{2} = 2 : 3$.
તેથી,સંયોજનનું સૌથી સરળ સૂત્ર $A_2B_3$ છે.

(B) હીરાની સ્ફટિક રચનામાં,કાર્બન પરમાણુઓ ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ લેટીસ બનાવે છે.
$FCC$ એકમ કોષમાં $8$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો હોય છે.
હીરામાં,આ $8$ પૈકી માત્ર $4$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો કાર્બન પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલા હોય છે.
તેથી,રોકાયેલા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની ટકાવારી $(4/8) \times 100 = 50\%$ છે.

(D) ધારો કે સ્ફટિક લેટીસમાં $O^{2-}$ આયનોની સંખ્યા $N$ છે.
તેથી,ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સ $= N$.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ $= 2N$.
$A^{2+}$ આયનોની સંખ્યા $= \frac{1}{8} \times 2N = \frac{1}{4}N$.
$B^{3+}$ આયનોની સંખ્યા $= \frac{1}{2} \times N = \frac{1}{2}N$.
$A^{2+} : B^{3+} : O^{2-}$ નો ગુણોત્તર $\frac{1}{4}N : \frac{1}{2}N : N$ છે.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $1 : 2 : 4$ ગુણોત્તર મળે છે.
તેથી,મિશ્ર ઓક્સાઇડનું સૂત્ર $AB_2O_4$ છે.

(D) $HCP$ લેટિસમાં,એકમ કોષ દીઠ $B^{2-}$ આયનોની સંખ્યા $N = 6$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N = 2 \times 6 = 12$ છે.
$A^{x+}$ આયનો ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના એક-ચતુર્થાંશ ભાગમાં છે,તેથી $A^{x+}$ આયનોની સંખ્યા $\frac{1}{4} \times 12 = 3$ છે.
સંયોજનનું સૂત્ર $A_3B_6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $AB_2$ થાય છે.
સંયોજન વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોવા માટે,કુલ ધન વીજભાર કુલ ઋણ વીજભાર જેટલો હોવો જોઈએ: $3 \times (+x) + 6 \times (-2) = 0$.
$3x - 12 = 0$,જે $3x = 12$ આપે છે,તેથી $x = 4$.

(D) ષટ્કોણીય ક્લોઝ-પેક્ડ $(HCP)$ એકમ કોષમાં પ્રતિ એકમ કોષ $6$ પરમાણુઓ હોય છે.
સ્ફટિક લેટીસમાં ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા એકમ કોષમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
તેથી,ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $= 2 \times 6 = 12$.

(C) ક્યુબિક ક્લોઝ પેક્ડ $(ccp)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ રચનામાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
ઘનના બોડી સેન્ટર પર એક અષ્ટફલકીય છિદ્ર હોય છે અને ધાર પર $12$ અષ્ટફલકીય છિદ્રો હોય છે,જે દરેક $4$ એકમ કોષો દ્વારા વહેંચાયેલ હોય છે.
બોડી સેન્ટર પર અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 1$.
ધાર પર અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 12 \times \frac{1}{4} = 3$.
એકમ કોષ દીઠ અષ્ટફલકીય છિદ્રોની કુલ સંખ્યા $= 1 + 3 = 4$.
એકમ કોષ દીઠ $4$ પરમાણુઓ હોવાથી,પ્રતિ પરમાણુ અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= \frac{4}{4} = 1$.

(A) $hcp$ લેટીસમાં,ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા લેટીસ બનાવતા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
ધારો કે $hcp$ લેટીસ બનાવતા $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ છે.
તો,ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $= 2N$.
આપેલ સૂત્ર $A_2B_3$ મુજબ,પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $A:B = 2:3$ છે.
જો $B$ એ $hcp$ લેટીસ ($N$ પરમાણુઓ) બનાવે છે,તો $A$ પરમાણુઓ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ રોકે છે.
$A$ દ્વારા રોકાયેલા ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સનો ભાગ $= \frac{A \text{ પરમાણુઓની સંખ્યા}}{\text{ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા}} = \frac{2N/3}{2N} = \frac{1}{3}$.
આમ,$B$ એ $hcp$ લેટીસ બનાવે છે અને $A$ એ $\frac{1}{3}$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ રોકે છે.

(B) $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ) રચનામાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4$ છે.
$1$. $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4$.
$2$. અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 4$. કારણ કે '$A$' અષ્ટફલકીય છિદ્રોના અડધા ભાગને રોકે છે,તેથી $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
$3$. ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times Z = 2 \times 4 = 8$. કારણ કે ઓક્સિજન પરમાણુઓ તમામ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોને રોકે છે,તેથી ઓક્સિજન પરમાણુઓની સંખ્યા $= 8$.
$A:B:O$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $2:4:8$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1:2:4$ થાય છે.
તેથી,દ્વિ-ધાતુ ઓક્સાઇડનું સૂત્ર $AB_2O_4$ છે.

(A) $bcc$ એકમ કોષમાં,મુખ્ય વિકર્ણ $\sqrt{3}a$ છે,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
મુખ્ય વિકર્ણ પર,પરમાણુઓ સંપર્કમાં છે: $2r_A + 2r_B = \sqrt{3}a$.
આપેલ છે કે $r_B = 2r_A$,તેથી $2r_A + 2(2r_A) = \sqrt{3}a$,જે $6r_A = \sqrt{3}a$ અથવા $a = 2\sqrt{3}r_A$ આપે છે.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા એ પરમાણુઓના કદ અને એકમ કોષના કદના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરમાણુઓનું કદ = $8 \times (\frac{1}{8}) \times \frac{4}{3}\pi r_A^3 + 1 \times \frac{4}{3}\pi r_B^3 = \frac{4}{3}\pi r_A^3 + \frac{4}{3}\pi (2r_A)^3 = \frac{4}{3}\pi r_A^3 (1 + 8) = 12\pi r_A^3$.
એકમ કોષનું કદ = $a^3 = (2\sqrt{3}r_A)^3 = 8 \times 3\sqrt{3} r_A^3 = 24\sqrt{3} r_A^3$.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા = $\frac{12\pi r_A^3}{24\sqrt{3} r_A^3} \times 100 = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \times 100 \approx \frac{3.14159}{3.464} \times 100 \approx 90.6\%$.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા માત્ર ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર અને બંધારણના પ્રકાર પર આધારિત હોવાથી,તે ધારની લંબાઈથી સ્વતંત્ર છે. આમ,ઘન $2$ માં પેકિંગ કાર્યક્ષમતા આશરે $90\%$ છે.

(C) ઝિંક બ્લેન્ડ બંધારણમાં,ઋણ આયનો ($B$ આયનો) $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ) લેટીસ બનાવે છે.
એકમ કોષ દીઠ $B$ આયનોની સંખ્યા $= 4$.
$ccp$ લેટીસમાં ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે,એટલે કે $2 \times 4 = 8$.
આપેલ છે કે $A$ આયનો $25\%$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે.
$A$ આયનોની સંખ્યા $= 25\% \times 8 = 0.25 \times 8 = 2$.
$A:B$ નો ગુણોત્તર $= 2:4 = 1:2$.
તેથી,ઘન પદાર્થનું અણુસૂત્ર $AB_2$ છે.

(D) $ccp$ $(fcc)$ એકમ કોષમાં,$A$ ના $4$ પરમાણુઓ (ખૂણા અને ફલક કેન્દ્ર),$4$ અષ્ટફલકીય છિદ્રો $(B)$ અને $8$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $(C)$ હોય છે.
એક શરીરના વિકર્ણ પર $2$ ખૂણા,$2$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો અને $1$ અષ્ટફલકીય છિદ્ર (શરીરના કેન્દ્રમાં) હોય છે.
મૂળ પરમાણુઓ: $A = 4, B = 4, C = 8$.
શરીરના વિકર્ણ પરના પરમાણુઓ દૂર કર્યા પછી:
$A$ પરમાણુઓ: $2$ ખૂણા દૂર થાય છે. બાકી રહેલા $A = 4 - (2 \times 1/8) = 15/4$.
$B$ પરમાણુઓ: $1$ અષ્ટફલકીય છિદ્ર દૂર થાય છે. બાકી રહેલા $B = 4 - 1 = 3$.
$C$ પરમાણુઓ: $2$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો દૂર થાય છે. બાકી રહેલા $C = 8 - 2 = 6$.
સૂત્ર: $A_{15/4}B_3C_6$.
સૌથી સરળ પૂર્ણાંક ગુણોત્તર મેળવવા માટે $4$ વડે ગુણતા: $A_{15}B_{12}C_{24}$.
$3$ વડે ભાગતા: $A_5B_4C_8$.

(A) એકમ કોષની ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ છે.
$FCC$ અને $HCP$ બંને માટે પેકિંગ કાર્યક્ષમતા સમાન $(74\%)$ છે.
તત્વ સમાન હોવાથી,મોલર દળ $(M)$ અને એવોગેડ્રો આંક $(N_A)$ સમાન રહેશે.
બંને રચનાઓમાં પેકિંગ કાર્યક્ષમતા સમાન હોવાથી,તેમની ઘનતા પણ સમાન રહેશે.
તેથી,ઘનતાનો ગુણોત્તર $1$ છે.

(C) $2D$ હેક્સાગોનલ ક્લોઝ પેકિંગમાં,દરેક ગોળો $6$ અન્ય ગોળાઓના સંપર્કમાં હોય છે.
ગોળાઓના કેન્દ્રો દ્વારા રચાયેલ એકમ કોષનું ક્ષેત્રફળ $6\sqrt{3}r^2$ છે.
આ એકમમાં ગોળાઓ દ્વારા રોકાયેલ અસરકારક ક્ષેત્રફળ $3 \times (\pi r^2)$ છે.
પેકિંગ અંશ = $\frac{\text{ગોળાઓ દ્વારા રોકાયેલ ક્ષેત્રફળ}}{\text{એકમ કોષનું કુલ ક્ષેત્રફળ}}$.
$2D$ હેક્સાગોનલ પેકિંગ માટે,પેકિંગ અંશ $\frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0.906$ છે.

(B) $FCC$ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ ફલક વિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારની લંબાઈ $a$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $4r = a\sqrt{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$.
એકમ કોષની ધાર પર,બે પરમાણુઓ ખૂણા પર હાજર હોય છે,જે દરેક ધારની લંબાઈમાં $r$ ત્રિજ્યાનો ફાળો આપે છે.
ધાર પર પરમાણુઓ દ્વારા આવરી લેવાયેલ કુલ લંબાઈ $2r$ છે.
ધાર પર ન આવરી લેવાયેલ લંબાઈ $a - 2r$ છે.
ન આવરી લેવાયેલ ધારનો અંશ $\frac{a - 2r}{a} = 1 - \frac{2r}{a}$ છે.
$r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
અંશ $= 1 - \frac{2(a / 2\sqrt{2})}{a} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ હોવાથી,અંશ $= 1 - 0.707 = 0.293$.

(B) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ યુનિટ સેલમાં,$8$ ખૂણાઓ અને $6$ ફેસ સેન્ટર હોય છે.
દરેક ખૂણાનો પરમાણુ યુનિટ સેલમાં $1/8$ ફાળો આપે છે.
યુનિટ સેલ દીઠ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $Z = (8 \times 1/8) + (6 \times 1/2) = 4$ છે.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $2Z$ જેટલી હોય છે,જે $2 \times 4 = 8$ થાય છે.
આ $8$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ ક્યુબના બોડી ડાયાગોનલ પર,દરેક ખૂણાથી બોડી ડાયાગોનલની લંબાઈના $1/4$ અંતરે આવેલા હોય છે.

(D) સ્ફટિક લેટીસની પેકિંગ ક્ષમતા એ પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કુલ કદનો અંશ છે.
વોઇડ ફ્રેક્શનની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે: $\text{Void fraction} = 1 - \text{Packing efficiency}$.
સિમ્પલ ક્યુબિક લેટીસ માટે,પેકિંગ ક્ષમતા $\frac{\pi}{6} \approx 0.524$ છે.
તેથી,વોઇડ ફ્રેક્શન $1 - 0.524 = 0.476$ છે.
આમ,સિમ્પલ ક્યુબિક લેટીસમાં વોઇડ ફ્રેક્શન $0.476$ હોય છે.

(A) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ લેટિસમાં:
ખૂણા પર પરમાણુ $A$ ની સંખ્યા = $8 \times \frac{1}{8} = 1$.
$FCC$ યુનિટ સેલમાં કુલ ફેસ-સેન્ટર્ડ સ્થાનોની સંખ્યા $6$ છે.
કારણ કે $B$ નો એક પરમાણુ એક ફેસ-સેન્ટર્ડ સ્થાન પરથી ગેરહાજર છે,તેથી હાજર રહેલા $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $6 - 1 = 5$.
દરેક ફેસ-સેન્ટર્ડ પરમાણુનું યુનિટ સેલમાં યોગદાન = $\frac{1}{2}$.
પરમાણુ $B$ ની સંખ્યા = $5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $A : B = 1 : \frac{5}{2} = 2 : 5$.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $A_2B_5$ છે.

(A) $HCP$ એકમ કોષમાં પ્રતિ એકમ કોષ $6$ પરમાણુઓ હોય છે.
$HCP$ એકમ કોષનો પાયો $a = 2r$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો નિયમિત ષટ્કોણ છે.
પાયાનું ક્ષેત્રફળ $= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} (2r)^2 = 6\sqrt{3} r^2$ છે.
$HCP$ એકમ કોષની ઊંચાઈ $h = 4r \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.
કદ $=$ પાયાનું ક્ષેત્રફળ $\times$ ઊંચાઈ $= (6\sqrt{3} r^2) \times (4r \sqrt{\frac{2}{3}}) = 24\sqrt{3} \times \sqrt{\frac{2}{3}} r^3 = 24\sqrt{2} r^3$.

(C) એન્ટિફ્લોરાઈટ $(Na_{2}O)$ બંધારણમાં,ઋણ આયનો $CCP$ (ઘન સંવૃત સંકુલન) ગોઠવણી ધરાવે છે અને ધન આયનો તમામ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે.

(B) $ccp$ લેટિસમાં,એકમ કોષ દીઠ અસરકારક પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
તેથી,$B$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $4$.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $2 \times 4 = 8$.
ધનાયન $A$ એ અષ્ટફલકીય છિદ્રોના $50\%$ અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $50\%$ ભાગ રોકે છે.
$A$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $(0.50 \times 4) + (0.50 \times 8) = 2 + 4 = 6$.
$A:B$ નો ગુણોત્તર = $6:4 = 3:2$.
આમ,સ્ફટિકમય ઘનનું અણુસૂત્ર $A_3B_2$ છે.

(D) $fcc$ એકમ કોષમાં:
$A$ પરમાણુઓની સંખ્યા (ખૂણાઓ) = $8 \times \frac{1}{8} = 1$.
$B$ પરમાણુઓની સંખ્યા (ફલક-કેન્દ્ર) = $6 \times \frac{1}{2} = 3$.
$C$ પરમાણુઓની સંખ્યા (ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો) = $8$.
$D$ પરમાણુઓની સંખ્યા (અષ્ટફલકીય છિદ્રો) = $4$.
એક મુખ્ય વિકર્ણ પર $2$ ખૂણાઓ અને $2$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો હોય છે.
તેમને દૂર કરતા:
$A = 1 - (2 \times \frac{1}{8}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$B = 3$ (કોઈ ફેરફાર નહીં).
$C = 8 - 2 = 6$.
$D = 4$ (કોઈ ફેરફાર નહીં).
સૂત્ર: $A_{3/4}B_3C_6D_4$.
$4$ વડે ગુણતા: $A_3B_{12}C_{24}D_{16}$.

(B) ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ માટે,ત્રિજ્યા ગુણોત્તર $\frac{r}{R} = 0.225$ છે.
ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ માટે,ત્રિજ્યા ગુણોત્તર $\frac{r}{R} = 0.414$ છે.
આમ,$0.225 < 0.414$ હોવાથી,ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડનું કદ ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ કરતા નાનું હોય છે.

(D) $ccp$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રોની સંખ્યા $2 \times ({\text{પરમાણુઓની સંખ્યા}}) = 2 \times 4 = 8$ છે.
શરૂઆતમાં,આ $8$ ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રોમાં $8$ $B$ પરમાણુઓ ગોઠવાયેલા છે.
$B$ પરમાણુઓમાંથી અડધા દૂર કરવામાં આવતા,બાકી રહેલા $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $8 / 2 = 4$ છે.
તેથી,ભરાયેલા રહેલા ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રોની સંખ્યા $4$ છે,જે $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $(4)$ જેટલી છે.
આમ,ભરાયેલા ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રોની સંખ્યા $A$ પરમાણુઓ જેટલી છે.

(B) ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ $(CCP)$ અથવા ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ સિસ્ટમમાં,સ્તરોની ગોઠવણી $ABCABC...$ ભાતને અનુસરે છે.
આ સિસ્ટમમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
સ્ફટિક લેટીસમાં ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા હંમેશા એકમ કોષમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
તેથી,જો એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z$ હોય,તો ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $2Z$ થાય.

(C) $FCC$ એકમ કોષમાં,અસરકારક પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= n = 4$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2n = 8$.
પરમાણુ $A$ એ $FCC$ લેટીસમાં છે,તેથી $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4$.
પરમાણુ $B$ તમામ અષ્ટફલકીય છિદ્રો $(4)$ અને અડધા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો $(8 / 2 = 4)$ રોકે છે.
$B$ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $= 4 + 4 = 8$.
$A:B$ નો ગુણોત્તર $= 4:8 = 1:2$.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $AB_2$ છે.

(C) બંધારણ $I$ માં,કેન્દ્રિય છિદ્ર $6$ પરમાણુઓ (એકમ કોષના કેન્દ્રમાં) દ્વારા ઘેરાયેલું છે,જે અષ્ટફલકીય છિદ્ર દર્શાવે છે.
બંધારણ $II$ માં,છિદ્ર ધારના કેન્દ્ર પર છે,જે $6$ પરમાણુઓ દ્વારા ઘેરાયેલું છે,જે અષ્ટફલકીય છિદ્ર પણ દર્શાવે છે.
બંધારણ $III$ માં,છિદ્ર ચતુષ્ફલકીય ગોઠવણીમાં $4$ પરમાણુઓ દ્વારા ઘેરાયેલું છે,જે ચતુષ્ફલકીય છિદ્ર દર્શાવે છે.
તેથી,$I$ અને $II$ અષ્ટફલકીય છિદ્રો દર્શાવે છે.

(C) ઝિંક બ્લેન્ડ $(ZnS)$ બંધારણમાં,ઋણ આયનો $(B^{-})$ ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ લેટીસ બનાવે છે.
એકમ કોષ દીઠ $B^{-}$ આયનોની સંખ્યા $4$ છે.
$fcc$ લેટીસમાં ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા $2 \times ( {\text{પરમાણુઓની સંખ્યા}}) = 2 \times 4 = 8$ છે.
સૂત્ર $AB$ હોવાથી,એકમ કોષ દીઠ $A^{ }$ આયનોની સંખ્યા $4$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$A^{ }$ આયનો દ્વારા રોકાયેલા ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સનો અંશ $\frac{4}{8} = 0.5$ છે,જે $50 \%$ થાય છે.

(D) $N$ ગોળાઓની ક્લોઝ પેક્ડ ગોઠવણીમાં,ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રોની સંખ્યા $2N$ હોય છે અને ઓક્ટાહેડ્રલ છિદ્રોની સંખ્યા $N$ હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$fcc$ એકમ કોષમાં પ્રતિ એકમ કોષ $4$ પરમાણુઓ હોય છે.
તેમાં $4$ ઓક્ટાહેડ્રલ છિદ્રો અને $8$ ટેટ્રાહેડ્રલ છિદ્રો હોય છે,જે અનુક્રમે $N$ અને $2N$ ના સંબંધને અનુસરે છે.

(A) $CCP$ રચનામાં:
$1$. ખૂણાઓ પરના પરમાણુઓની સંખ્યા $(B)$ = $8 \times (1/8) = 1$.
$2$. ફલક કેન્દ્ર પરના પરમાણુઓની સંખ્યા $(A)$ = $6 \times (1/2) = 3$.
$3$. કુલ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $2 \times 4 = 8$.
$4$. $50\%$ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકતા $C$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $0.50 \times 8 = 4$.
આમ,પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $A:B:C = 3:1:4$ છે.
તેથી આણ્વીય સૂત્ર $A_3 B C_4$ છે.