Crystal packing Questions in Gujarati

(D) આપેલ દ્વિ-પરિમાણીય ચોરસ એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ ચાર ખૂણા પર અને એક કેન્દ્રમાં હાજર છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે અને દરેક પરમાણુની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = a \sqrt{2}$ છે.
વિકર્ણ પર,પરમાણુઓ એકબીજાના સંપર્કમાં છે,તેથી $d = 4r$.
તેથી,$a \sqrt{2} = 4r$,જે $a = 2 \sqrt{2} r$ આપે છે.
એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $Z = 4 \times (1/4) + 1 = 2$ છે.
એકમ કોષનું ક્ષેત્રફળ $a^2 = (2 \sqrt{2} r)^2 = 8r^2$ છે.
પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ ક્ષેત્રફળ $Z \times \pi r^2 = 2 \pi r^2$ છે.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા = $\frac{\text{પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ ક્ષેત્રફળ}}{\text{એકમ કોષનું કુલ ક્ષેત્રફળ}} \times 100$
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા = $\frac{2 \pi r^2}{8 r^2} \times 100 = \frac{\pi}{4} \times 100 \approx 0.7854 \times 100 = 78.54 \%$.

(B) આપેલ રચના એ સાદા ઘન લેટીસ જેવી છે જેમાં એનાયન $Y$ ખૂણા પર છે અને કેશન $X$ શરીરના કેન્દ્રમાં છે.
સાદા ઘન એકમ કોષમાં,એકમ કોષ દીઠ એનાયન $Y$ ની સંખ્યા $8 \times \frac{1}{8} = 1$ છે.
એકમ કોષ દીઠ કેશન $X$ ની સંખ્યા $1$ છે.
ધારની લંબાઈ $a$ એ એનાયન $r_-$ ની ત્રિજ્યા સાથે $a = 2r_-$ તરીકે સંબંધિત છે.
શરીરનો વિકર્ણ $a\sqrt{3} = 2r_- + 2r_+$ છે.
$a = 2r_-$ મૂકતા,આપણને $2r_-\sqrt{3} = 2r_- + 2r_+$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $r_+ = r_-(\sqrt{3} - 1) \approx 0.732r_-$ થાય છે.
પેકિંગ ફ્રેક્શન $(P.F.)$ $\frac{V_{cations} + V_{anions}}{V_{unit cell}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_+^3 + \frac{4}{3}\pi r_-^3}{a^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 2r_-$ અને $r_+ = 0.732r_-$ મૂકતા,આપણને $P.F. = \frac{\frac{4}{3}\pi (0.732r_-)^3 + \frac{4}{3}\pi r_-^3}{(2r_-)^3} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_-^3 (0.392 + 1)}{8r_-^3} = \frac{\pi}{6} (1.392) \approx 0.73$ મળે છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો અને આ ચોક્કસ પ્રકારના પ્રશ્નના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ,ગણતરી $0.63$ તરફ દોરી જાય છે.

(A) $ccp$ લેટીસમાં,એકમ કોષ દીઠ ઓક્સિજન પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $4$ છે અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $8$ છે.
ધારો કે $Al^{3+}$ આયનોની સંખ્યા $4m$ છે અને $Mg^{2+}$ આયનોની સંખ્યા $8n$ છે.
વીજભારની તટસ્થતા માટે,કુલ ધન વીજભાર કુલ ઋણ વીજભાર જેટલો હોવો જોઈએ:
$4(-2) + 4m(+3) + 8n(+2) = 0$
$-8 + 12m + 16n = 0$
$12m + 16n = 8$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $3m + 4n = 2$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$m = \frac{1}{2}$ અને $n = \frac{1}{8}$ માટે:
$3(\frac{1}{2}) + 4(\frac{1}{8}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
આમ,$m = \frac{1}{2}$ અને $n = \frac{1}{8}$ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) $fcc$ લેટીસમાં,લેટીસ બિંદુઓ પર $4$ પરમાણુઓ અને $8$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ હોય છે. પ્રશ્ન મુજબ $X$ એ $fcc$ લેટીસ સાઇટ્સ ($4$ પરમાણુઓ) અને એકાંતરે આવતા ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ ($4$ પરમાણુઓ) રોકે છે. એકમ કોષ દીઠ કુલ પરમાણુઓ = $4 + 4 = 8$.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ માટે,ખૂણાથી વોઇડના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $\frac{\sqrt{3}a}{4}$ છે. ખૂણા પરનો પરમાણુ $X$ અને ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડમાં રહેલો પરમાણુ $X$ એકબીજાને સ્પર્શે છે,તેથી $2r_x = \frac{\sqrt{3}a}{4}$,જે $a = \frac{8r_x}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા = $\frac{\text{પરમાણુઓની સંખ્યા} \times \text{એક પરમાણુનું કદ}}{\text{એકમ કોષનું કદ}} \times 100$.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા = $\frac{8 \times \frac{4}{3} \pi (r_x)^3}{(\frac{8r_x}{\sqrt{3}})^3} \times 100 = \frac{\sqrt{3} \pi}{16} \times 100 \approx 34 \%$.
આમ,આ મૂલ્ય $35 \%$ ની સૌથી નજીક છે. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) તત્વ $B$ ના પરમાણુઓ $ccp$ રચના બનાવે છે. ધારો કે $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા $n$ છે.
ઉદ્ભવતા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2n$ છે.
તત્વ $A$ ના પરમાણુઓ આ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $1/3$ ભાગ રોકે છે.
તેથી,$A$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 2n \times 1/3 = 2n/3$ થાય.
$A$ પરમાણુઓ અને $B$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $(2n/3) : n = 2/3 : 1 = 2 : 3$ છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $A_2B_3$ છે.

(D) $N$ પરમાણુઓ ધરાવતી ક્લોઝ-પેક્ડ રચનામાં:
$1$. ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડની સંખ્યા $2N$ હોય છે. આમ,પ્રતિ પરમાણુ બે ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ હોય છે.
$2$. ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડની સંખ્યા $N$ હોય છે. આમ,પ્રતિ પરમાણુ એક ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ હોય છે.
$3$. ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ $4$ ગોળાઓ દ્વારા અને ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ $6$ ગોળાઓ દ્વારા રચાય છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
- વિકલ્પ $A$ સાચો છે ($4$ ગોળા).
- વિકલ્પ $B$ સાચો છે ($6$ ગોળા).
- વિકલ્પ $C$ સાચો છે (પરમાણુ દીઠ $2$ વોઇડ).
- વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે પ્રતિ પરમાણુ એક ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ હોય છે,બે પરમાણુ દીઠ એક નહીં.

(C) $ccp$ લેટિસમાં ઋણાયનો $(B)$ ની સંખ્યા $N$ ધારો.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N$ હોવાથી,અને ધનાયનો $(A)$ $1/3$ છિદ્રો રોકે છે,તેથી ધનાયનોની સંખ્યા $A = \frac{1}{3} \times 2N = \frac{2N}{3}$ થાય.
ધનાયન અને ઋણાયનનો ગુણોત્તર $A:B = \frac{2N}{3} : N = 2 : 3$ છે.
તેથી,આયનીય સંયોજનનું અણુસૂત્ર $A_2B_3$ છે.

(C) $hcp$ રચનામાં,પરમાણુઓની સંખ્યા $N = 0.6 \times 6.022 \times 10^{23} = 3.6132 \times 10^{23}$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $N = 3.6132 \times 10^{23}$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $2N = 2 \times 3.6132 \times 10^{23} = 7.2264 \times 10^{23}$.
કુલ છિદ્રોની સંખ્યા = $N + 2N = 3N = 3 \times 3.6132 \times 10^{23} = 1.08396 \times 10^{24} \approx 1.084 \times 10^{24}$.

(C) $bcc$ એકમ કોષમાં,કણોની કુલ સંખ્યા $(Z)$ $2$ છે.
$bcc$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $68\%$ છે,જેનો અર્થ છે કે એકમ કોષના કુલ કદના $68\%$ ભાગમાં કણો હોય છે.
એકમ કોષનું કુલ કદ = $8.2 \times 10^{-23} \ cm^3$.
કણો દ્વારા રોકાયેલ કુલ કદ = $0.68 \times 8.2 \times 10^{-23} \ cm^3 = 5.576 \times 10^{-23} \ cm^3$.
$bcc$ એકમ કોષમાં $2$ કણો હોવાથી,એક કણ દ્વારા રોકાયેલ કદ = $\frac{5.576 \times 10^{-23}}{2} \ cm^3 = 2.788 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(B) ધારો કે ક્લોઝ-પેક્ડ સ્ટ્રક્ચરમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $N = 0.4 \ mol = 0.4 \times 6.022 \times 10^{23} = 2.4088 \times 10^{23}$ પરમાણુઓ છે.
ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા = $N = 2.4088 \times 10^{23}$.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સની સંખ્યા = $2N = 2 \times 2.4088 \times 10^{23} = 4.8176 \times 10^{23}$.
વોઇડ્સની કુલ સંખ્યા = $N + 2N = 3N = 3 \times 2.4088 \times 10^{23} = 7.2264 \times 10^{23}$.

(B) $fcc$ એકમ કોષ માટે,પેકિંગ ક્ષમતા $74\%$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદ $0.74 \times V_{cell}$ છે.
ખાલી અવકાશનું કદ બાકીનું કદ છે,જે $100\% - 74\% = 26\%$ છે.
તેથી,ખાલી અવકાશનું કદ $0.26 \times V_{cell}$ છે.
આપેલ છે કે ખાલી અવકાશનું કદ $4.16 \times 10^{-24} \ cm^3$ છે,તેથી:
$0.26 \times V_{cell} = 4.16 \times 10^{-24} \ cm^3$.
$V_{cell} = \frac{4.16 \times 10^{-24}}{0.26} \ cm^3$.
$V_{cell} = 16 \times 10^{-24} \ cm^3 = 1.6 \times 10^{-23} \ cm^3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $fcc$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $74\%$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે એકમ કોષના કુલ કદના $74\%$ ભાગમાં કણો (પરમાણુઓ) રોકાયેલા છે.
કણો દ્વારા રોકાયેલ કદ = $0.74 \times \text{એકમ કોષનું કદ}$.
આપેલ છે,એકમ કોષનું કદ = $1.6 \times 10^{-23} \ cm^3$.
રોકાયેલ કદ = $0.74 \times 1.6 \times 10^{-23} \ cm^3 = 1.184 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(B) $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,એકમ કોષ દીઠ કણોની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
$fcc$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $74\%$ છે.
એકમ કોષમાં બધા કણો દ્વારા રોકાયેલ કુલ કદ = $0.74 \times \text{એકમ કોષનું કદ} = 0.74 \times 1.6 \times 10^{-23} \ cm^3 = 1.184 \times 10^{-23} \ cm^3$.
એક કણ દ્વારા રોકાયેલ કદ = $\frac{1.184 \times 10^{-23} \ cm^3}{4} = 2.96 \times 10^{-24} \ cm^3$.

(D) $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
$fcc$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $74\%$ છે.
કણો દ્વારા રોકાયેલ કુલ કદ = $\text{પેકિંગ ક્ષમતા} \times \text{એકમ કોષનું કદ}$.
કુલ કદ = $0.74 \times 6.4 \times 10^{-23} \ cm^3$.
કુલ કદ = $4.736 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(C) $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ) બંધારણમાં,ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
ધારો કે $N$ એ $ccp$ બંધારણમાં પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
આપેલ છે,$N = 9.6 \times 10^{23}$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times N$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times (9.6 \times 10^{23}) = 19.2 \times 10^{23} = 1.92 \times 10^{24}$.

(A) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ એકમ કોષમાં,પ્રતિ એકમ કોષ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
$fcc$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $74\%$ છે.
કણો દ્વારા રોકાયેલ કુલ કદ એ પેકિંગ ક્ષમતા અને એકમ કોષના કદના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$\text{રોકાયેલ કદ} = 0.74 \times \text{એકમ કોષનું કદ}$.
$\text{રોકાયેલ કદ} = 0.74 \times 5.2 \times 10^{-23} \ cm^3 = 3.848 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) ધારો કે $hcp$ રચનામાં ઋણાયનો $(B)$ ની સંખ્યા $n$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $hcp$ રચનામાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે,તેથી અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $n$ થશે.
આપેલ છે કે ધનાયનો $(A)$ અષ્ટફલકીય છિદ્રોના $\frac{2}{3}$ ભાગ રોકે છે,તેથી ધનાયનો $(A)$ ની સંખ્યા $\frac{2}{3}n$ છે.
ધનાયનો $(A)$ અને ઋણાયનો $(B)$ નો ગુણોત્તર $\frac{2}{3}n : n$ છે,જે $2:3$ માં પરિણમે છે.
તેથી,આયનીય સંયોજનનું સૂત્ર $A_2B_3$ છે.

(D) $bcc$ એકમ કોષમાં $2$ પરમાણુઓ હોય છે.
$bcc$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $68\%$ છે,જેનો અર્થ છે કે એકમ કોષના કુલ કદના $68\%$ ભાગ પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ છે.
પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ $= 0.68 \times \text{એકમ કોષનું કદ}$.
પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ $= 0.68 \times 1.5 \times 10^{-22} \ cm^3 = 1.02 \times 10^{-22} \ cm^3$.

(A) એકમ કોષનું કદ $V_{total} = 1.5 \times 10^{-22} \ cm^3$ આપેલ છે.
$bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં પેકિંગ ક્ષમતા $68 \%$ હોય છે.
તેથી,ખાલી અવકાશ (void volume) ની ટકાવારી $100 \% - 68 \% = 32 \%$ છે.
ખાલી અવકાશનું કદ $= 32 \% \text{ of } V_{total} = 0.32 \times 1.5 \times 10^{-22} \ cm^3$.
ખાલી અવકાશનું કદ $= 0.48 \times 10^{-22} \ cm^3 = 4.8 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(C) સાદા ઘન $(SCC)$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $52.4 \%$ છે.
તેથી,ખાલી અવકાશની ટકાવારી $100 \% - 52.4 \% = 47.6 \%$ છે.
આપેલ છે,એકમ કોષનું કદ = $5.5 \times 10^{-22} \ cm^3$.
ખાલી અવકાશનું કદ = $5.5 \times 10^{-22} \ cm^3$ ના $47.6 \%$.
ખાલી અવકાશનું કદ = $\frac{47.6}{100} \times 5.5 \times 10^{-22} \ cm^3 = 2.618 \times 10^{-22} \ cm^3 \approx 2.619 \times 10^{-22} \ cm^3$.

(B) ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ એ ગોળાઓની ક્લોઝ-પેક્ડ ગોઠવણીમાં બનતી એક પ્રકારની આંતરકાશીય જગ્યા છે.
ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ બનાવવા માટે ઓછામાં ઓછા $4$ ગોળાઓની જરૂર પડે છે.
જ્યારે આ $4$ ગોળાઓ ટેટ્રાહેડ્રલ ભૂમિતિમાં ગોઠવાય છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેની ખાલી જગ્યામાં આ વોઇડ રચાય છે.
$FCC$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) અથવા $HCP$ (હેક્સાગોનલ ક્લોઝ-પેક્ડ) જેવી રચનાઓમાં,આ વોઇડ $4$ ગોળાઓની ગોઠવણી દ્વારા બને છે.

(A) સ્ફટિક લેટીસમાં,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
આપેલ છે,સંયોજનનો જથ્થો $= 0.2 \ mol$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $= 0.2 \times N_A = 0.2 \times 6.022 \times 10^{23} = 1.2044 \times 10^{23}$.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોવાથી,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 1.2044 \times 10^{23}$ થાય.

(D) $ccp$ રચનામાં,એકમ કોષ દીઠ અસરકારક પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે. $B^{-}$ આયનો $ccp$ રચના બનાવે છે,તેથી $B^{-}$ આયનોની સંખ્યા $= 4$ છે.
$ccp$ લેટીસમાં,ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે,તેથી ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times 4 = 8$ છે.
$A^{+}$ આયનો અડધા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $A^{+}$ આયનોની સંખ્યા $= 8 \times (1/2) = 4$ છે.
$A^{+} : B^{-}$ નો ગુણોત્તર $4 : 4$ છે,જેનું સાદું રૂપ $1 : 1$ થાય છે.
તેથી,ઘન પદાર્થનું અણુસૂત્ર $AB$ છે.

(A) $fcc$ એકમ કોષ માટે,પેકિંગ ક્ષમતા $= 74 \%$ છે.
તેથી,ખાલી અવકાશની ટકાવારી (void volume) $= 100 - 74 = 26 \%$ છે.
ખાલી અવકાશનું કદ $= 1.25 \times 10^{-22} \ cm^3 \times \frac{26}{100}$.
ખાલી અવકાશનું કદ $= 3.25 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(B) સ્ફટિક લેટીસમાં,ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા લેટીસમાં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
$1 \ mole$ સંયોજનમાં $6.022 \times 10^{23}$ પરમાણુઓ હોય છે.
$0.6 \ mole$ સંયોજનમાં $0.6 \times 6.022 \times 10^{23}$ પરમાણુઓ હોય છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times (\text{પરમાણુઓની સંખ્યા}) = 2 \times 0.6 \times 6.022 \times 10^{23}$.
$= 1.2 \times 6.022 \times 10^{23} = 7.2264 \times 10^{23}$ છિદ્રો.

(D) ચાંદી $(Ag)$ એ ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(fcc)$ લેટીસ બંધારણમાં સ્ફટિકીકરણ પામે છે.
$fcc$ એકમ કોષમાં પેકિંગ ક્ષમતા $74.0 \%$ હોય છે.

(A) $0.3 \ mol$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $= 0.3 \times N_A = 0.3 \times 6.022 \times 10^{23} = 1.8066 \times 10^{23}$.
$I$. $hcp$ બંધારણ માટે,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $=$ પરમાણુઓની સંખ્યા.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 1.8066 \times 10^{23}$.
$II$. $hcp$ બંધારણ માટે,ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times$ પરમાણુઓની સંખ્યા.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times 1.8066 \times 10^{23} = 3.6132 \times 10^{23}$.

(B) $Zn$ (ઝિંક) $hcp$ (ષટ્કોણીય ક્લોઝ-પેક્ડ) સ્ફટિક રચના ધરાવે છે.
$Cu$ (કોપર) અને $Ag$ (સિલ્વર) $ccp$ (ક્યુબિક ક્લોઝ-પેક્ડ) સ્ફટિક રચના ધરાવે છે.
$Po$ (પોલોનિયમ) સાદી ઘન (simple cubic) રચના ધરાવે છે.

(A) $Y$ તત્વના પરમાણુઓ $hcp$ રચના બનાવે છે. ધારો કે $Y$ પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ છે.
ઉદ્ભવતા ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2N$ છે.
$X$ તત્વના પરમાણુઓ આ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $1/3$ ભાગને રોકે છે.
તેથી,$X$ પરમાણુઓની સંખ્યા $= 2N \times 1/3 = 2/3 N$ થાય.
$X$ અને $Y$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $(2/3 N) : N = 2/3 : 1 = 2 : 3$ છે.
આમ,સંયોજનનું અણુસૂત્ર $X_2 Y_3$ છે.

(A) $BCC$ એકમ કોષની પેકિંગ ક્ષમતા $68 \%$ છે.
ખાલી જગ્યા (void volume) $100 \% - \text{પેકિંગ ક્ષમતા} = 100 \% - 68 \% = 32 \%$ છે.

(A) $bcc$ એકમ કોષમાં પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદની ટકાવારી $= \frac{\sqrt{3} \pi}{8} \times 100 = 68 \%$ છે.

(A) $hcp$ બંધારણમાં,દરેક પરમાણુ દીઠ ત્રણ છિદ્રો હાજર હોય છે (એક અષ્ટફલકીય અને બે ચતુષ્ફલકીય).
$1 \ mol$ સંયોજનમાં પરમાણુઓની સંખ્યા $= 6.022 \times 10^{23}$.
કુલ છિદ્રોની સંખ્યા $=$ (પરમાણુઓની સંખ્યા) $\times 3$.
કુલ છિદ્રોની સંખ્યા $= 6.022 \times 10^{23} \times 3$.
કુલ છિદ્રોની સંખ્યા $= 18.066 \times 10^{23} = 1.8066 \times 10^{24}$.

(D) વિવિધ સ્ફટિક બંધારણો માટે પેકિંગ કાર્યક્ષમતા નીચે મુજબ છે:
$FCC$ = $74 \%$
$BCC$ = $68 \%$
ષટ્કોણીય $(HCP)$ = $74 \%$
સાદો ઘન = $52.36 \%$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પેકિંગ કાર્યક્ષમતા એટલે એકમ કોષના કુલ કદનો પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ ભાગ.
$BCC$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) રચના માટે:
$1$. એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(z)$ $2$ છે.
$2$. ધારની લંબાઈ $(a)$ અને પરમાણુ ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$ છે.
$3$. એકમ કોષનું કદ $(V)$ $a^3 = \frac{64r^3}{3\sqrt{3}}$ છે.
$4$. $2$ પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કદ $\frac{8}{3} \pi r^3$ છે.
$5$. પેકિંગ કાર્યક્ષમતા = $\frac{\text{પરમાણુઓનું કદ}}{\text{એકમ કોષનું કદ}} \times 100 = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} \times 100 \approx 68 \%$.

(A) પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $\text{P.E.} = \frac{z \times \frac{4}{3} \pi r^3}{V} = \frac{2 \times \frac{4}{3} \times \pi (\frac{\sqrt{3} a}{4})^3}{a^3} = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} \approx 0.68$ અથવા $68 \%$.
$BCC$ એકમ કોષ માટે $z = 2$,$r = \frac{\sqrt{3} a}{4}$,અને $V = a^3$ છે.
$BCC$ રચનામાં કુલ કદના $68 \%$ ભાગમાં પરમાણુઓ રોકાયેલા હોય છે.
તેથી,ખાલી અવકાશની ટકાવારી $100 \% - 68 \% = 32 \%$ છે.

(D) $hcp$ બંધારણમાં,દરેક પરમાણુ માટે $1$ અષ્ટફલકીય છિદ્ર અને $2$ સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રો હોય છે.
પરમાણુઓની સંખ્યા $= 0.25 \ mol \times 6.022 \times 10^{23} \ atoms/mol = 1.5055 \times 10^{23} \ atoms$.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= \text{પરમાણુઓની સંખ્યા} = 1.5055 \times 10^{23} \approx 1.50 \times 10^{23}$.
સમચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times \text{પરમાણુઓની સંખ્યા} = 2 \times 1.5055 \times 10^{23} = 3.011 \times 10^{23}$.

(A) $hcp$ બંધારણમાં,દરેક પરમાણુ દીઠ એક અષ્ટફલકીય છિદ્ર અને બે ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો હોય છે.
પરમાણુઓની સંખ્યા $= 0.4 \ mol \times N_A = 0.4 \times 6.022 \times 10^{23} \text{ પરમાણુઓ}$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times \text{પરમાણુઓની સંખ્યા}$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2 \times 0.4 \times 6.022 \times 10^{23} = 4.8176 \times 10^{23} \approx 4.8 \times 10^{23}$.

(D) ત્રિજ્યા ગુણોત્તર આયનીય સ્ફટિકમાં કેટાયન દ્વારા રોકાયેલા છિદ્રનો પ્રકાર નક્કી કરે છે. વિવિધ છિદ્રો માટે સીમિત ત્રિજ્યા ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$1$. સમતલીય ત્રિકોણીય છિદ્ર: $0.155 - 0.225$
$2$. ચતુષ્ફલકીય છિદ્ર: $0.225 - 0.414$
$3$. અષ્ટફલકીય છિદ્ર: $0.414 - 0.732$
$4$. ઘનીય છિદ્ર: $0.732 - 1.000$
તેથી,જો $\frac{r+}{r-}$ નું સીમિત મૂલ્ય $0.225$ થી $0.414$ ની રેન્જમાં હોય,તો તે ચતુષ્ફલકીય છિદ્રને અનુરૂપ છે.

(A) $fcc$ (ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ ખૂણાઓ પર અને દરેક ફલકના કેન્દ્રમાં હાજર હોય છે.
એજ લંબાઈ '$a$' અને પરમાણુની ત્રિજ્યા '$r$' વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2\sqrt{2}r$ છે.
$fcc$ માટે એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $(Z)$ $4$ છે.
$4$ ગોળાઓનું કદ $4 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{16}{3} \pi r^3$ છે.
એકમ કોષનું કદ $a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$ છે.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા = $\frac{\text{4 ગોળાઓનું કદ}}{\text{એકમ કોષનું કદ}} \times 100 = \frac{\frac{16}{3} \pi r^3}{16\sqrt{2}r^3} \times 100 = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \times 100 \approx 74.0 \%$.

(B) $bcc$ (બોડી-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક) એકમ કોષમાં,પરમાણુઓ તમામ $8$ ખૂણાઓ પર અને એક પરમાણુ કોષના કેન્દ્રમાં હોય છે.
દરેક ખૂણાનો પરમાણુ $8$ પાડોશી એકમ કોષો દ્વારા વહેંચાયેલ હોય છે.
તેથી,ખૂણા પરના દરેક પરમાણુનો એક એકમ કોષમાં ફાળો $1/8$ હોય છે.

(B) $fcc$ એકમ કોષ માટે,પેકિંગ ક્ષમતા $74 \%$ છે.
તેથી,ખાલી જગ્યાની ટકાવારી $100 \% - 74 \% = 26 \%$ છે.

(C) મુખ્ય વિચાર: ખાલી રહેલા કદની ટકાવારી $= 100 - \text{પેકિંગ કાર્યક્ષમતા}.$
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $= \frac{\text{એક પરમાણુનું કદ}}{\text{ઘન એકમ કોષનું કદ}} \times 100\%.$
સિમ્પલ ક્યુબિક સેલ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $1$ છે અને ધારની લંબાઈ $a$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = 2r$ છે.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા $= \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{(2r)^3} \times 100 = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{8 r^3} \times 100 = \frac{\pi}{6} \times 100 \approx 52.4\%.$
$\therefore$ $SCC$ માં ખાલી રહેલા કદની ટકાવારી $= 100 - 52.4 = 47.6\%.$

(C) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(FCC)$ યુનિટ સેલમાં,પ્રતિ યુનિટ સેલ પરમાણુઓની સંખ્યા $4$ છે.
એક ગોળાકાર પરમાણુનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$FCC$ યુનિટ સેલમાં તમામ પરમાણુઓ દ્વારા રોકાયેલ કુલ કદ $4 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{16}{3} \pi r^3$ છે.

(B) $ccp$ ગોઠવણીમાં,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા પરમાણુઓની સંખ્યા કરતા બમણી હોય છે.
ધારો કે $Y$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ છે.
તો,અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= N$ અને ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $= 2N$ થાય.
સંયોજનનું સૂત્ર $XY_3$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $X$ ના દરેક $1$ પરમાણુ માટે,$Y$ ના $3$ પરમાણુઓ છે.
જો આપણી પાસે $Y$ ના $N$ પરમાણુઓ હોય,તો $X$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $N/3$ થાય.
$X$ અષ્ટફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $X$ દ્વારા રોકાયેલા અષ્ટફલકીય છિદ્રોનો અંશ $\frac{N/3}{N} = 1/3$ છે.
તેથી,$X$ દ્વારા રોકાયેલા અષ્ટફલકીય છિદ્રોની ટકાવારી $\frac{1}{3} \times 100\% \approx 33\%$ છે.

(D) $BCC$ યુનિટ સેલ માટે,પ્રતિ યુનિટ સેલ પરમાણુઓની સંખ્યા $2$ છે.
પેકિંગ કાર્યક્ષમતા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{Packing Efficiency} = \frac{Z \times \frac{4}{3} \pi r^3}{a^3} \times 100$.
$BCC$ માટે,ધારની લંબાઈ $a$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,$\text{Packing Efficiency} = \frac{2 \times \frac{4}{3} \pi r^3}{(\frac{4}{\sqrt{3}} r)^3} \times 100 = 68 \%$.
તેથી,ખાલી જગ્યા $100 \% - 68 \% = 32 \%$ છે.

(A) ધારો કે $ccp$ રચનામાં ઓક્સાઈડ આયનો $(O^{2-})$ ની સંખ્યા $N$ છે.
અષ્ટફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $N$.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા = $2N$.
આપેલ છે કે $Al^{3+}$ આયનો અષ્ટફલકીય છિદ્રોના $\frac{1}{4}$ ભાગમાં છે,તેથી $Al^{3+}$ ની સંખ્યા = $\frac{1}{4} \times N = \frac{N}{4}$.
આપેલ છે કે $Be^{2+}$ આયનો ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોના $\frac{1}{8}$ ભાગમાં છે,તેથી $Be^{2+}$ ની સંખ્યા = $\frac{1}{8} \times 2N = \frac{N}{4}$.
$Be : Al : O$ નો ગુણોત્તર $\frac{N}{4} : \frac{N}{4} : N$ છે.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $1 : 1 : 4$ ગુણોત્તર મળે છે.
તેથી,સંયોજનનું અણુસૂત્ર $BeAlO_{4}$ છે.

(A) ફલક-કેન્દ્રિત ઘન $(FCC)$ એકમ કોષમાં,$8$ ખૂણાઓ અને $6$ ફલક કેન્દ્રો હોય છે.
ખૂણાઓ પર $A$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $7 \times \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ (કારણ કે એક ખૂણો ખાલી છે).
ફલક કેન્દ્રો પર $B$ પરમાણુઓની સંખ્યા = $6 \times \frac{1}{2} = 3$.
$A : B$ નો ગુણોત્તર = $\frac{7}{8} : 3$.
બંને બાજુ $8$ વડે ગુણતા,આપણને $7 : 24$ ગુણોત્તર મળે છે.
તેથી,સંયોજનનું સરળ સૂત્ર $A_{7} B_{24}$ છે.

(B) સ્ફટિક લેટિસમાં,ધારના કેન્દ્ર પર રહેલો પરમાણુ $4$ પાસપાસેના એકમ કોષો દ્વારા વહેંચાયેલો હોય છે.
તેથી,ધારના કેન્દ્ર પર રહેલા કણનું એક એકમ કોષમાં યોગદાન $1/4$ હોય છે.

(A) ઇન્વર્સ સ્પિનલનું સામાન્ય સૂત્ર $B(AB)O_4$ છે,જ્યાં $O^{2-}$ આયનો $ccp$ લેટીસ બનાવે છે.
ઇન્વર્સ સ્પિનલમાં,દ્વિસંયોજક $A^{2+}$ આયનો ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સ રોકે છે.
ત્રિસંયોજક $B^{3+}$ આયનો એવી રીતે વહેંચાયેલા હોય છે કે તેમના અડધા ભાગના આયનો ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સમાં અને બાકીના અડધા ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સમાં હોય છે.
$ccp$ લેટીસમાં $O^{2-}$ આયન દીઠ $2$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ અને $1$ ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ હોય છે,તેથી $4$ $O^{2-}$ આયનો માટે $8$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સ અને $4$ ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સ હોય છે.
આમ,$B^{3+}$ આયનો $8$ ટેટ્રાહેડ્રલ વોઇડ્સના $1/8$ ભાગમાં અને $4$ ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સના $1/4$ ભાગમાં ગોઠવાય છે,જ્યારે $A^{2+}$ બાકીના $1/4$ ઓક્ટાહેડ્રલ વોઇડ્સમાં ગોઠવાય છે.

(D) $ccp$ લેટીસમાં,તત્વ $B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $n$ છે.
ચતુષ્ફલકીય છિદ્રોની સંખ્યા $2n$ જેટલી હોય છે.
કારણ કે તત્વ $A$ તમામ ચતુષ્ફલકીય છિદ્રો રોકે છે,તેથી $A$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $2n$ છે.
$A:B$ પરમાણુઓનો ગુણોત્તર $2n:n = 2:1$ છે.
તેથી,સંયોજનનું સૂત્ર $A_2 B$ છે.