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Rate of decay and Half-life Questions in Hindi
Class 12 Chemistry · Nuclear Chemistry · Rate of decay and Half-life
179+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 27 of 179 questions in Hindi
151
MediumMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु $200 \ days$ है। $83 \ days$ के बाद शेष मूल सक्रियता का प्रतिशत $....$ है। (निकटतम पूर्णांक)
(दिया गया है: $\text{antilog } 0.125 = 1.333$,$\text{antilog } 0.693 = 4.93$)
(दिया गया है: $\text{antilog } 0.125 = 1.333$,$\text{antilog } 0.693 = 4.93$)
A
$91$
B
$85$
C
$75$
D
$750$
Solution
(C) क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{200} \approx 0.003465 \ day^{-1}$ है।
समय $t$ पर सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{A}{A_0} = e^{-\lambda t} = e^{-(0.693/200) \times 83} = e^{-0.2877}$ है।
वैकल्पिक रूप से,सूत्र $A = A_0 (1/2)^{t/t_{1/2}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{A}{A_0} = (0.5)^{83/200} = (0.5)^{0.415}$ है।
दोनों तरफ $\log$ लेने पर: $\log(\frac{A}{A_0}) = 0.415 \times \log(0.5) = 0.415 \times (-0.301) \approx -0.1249$ है।
$\frac{A}{A_0} = \text{antilog}(-0.1249) = 10^{-0.1249} \approx 0.75$ है।
शेष प्रतिशत = $0.75 \times 100 = 75 \ \%$ है।
समय $t$ पर सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{A}{A_0} = e^{-\lambda t} = e^{-(0.693/200) \times 83} = e^{-0.2877}$ है।
वैकल्पिक रूप से,सूत्र $A = A_0 (1/2)^{t/t_{1/2}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{A}{A_0} = (0.5)^{83/200} = (0.5)^{0.415}$ है।
दोनों तरफ $\log$ लेने पर: $\log(\frac{A}{A_0}) = 0.415 \times \log(0.5) = 0.415 \times (-0.301) \approx -0.1249$ है।
$\frac{A}{A_0} = \text{antilog}(-0.1249) = 10^{-0.1249} \approx 0.75$ है।
शेष प्रतिशत = $0.75 \times 100 = 75 \ \%$ है।
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MediumMCQ
$30 \ years$ की अर्ध-आयु वाले रेडियोधर्मी तत्व $X$ का $1 \, \mu g$ एक बढ़ते हुए पेड़ द्वारा अवशोषित किया जाता है। $100 \ years$ के बाद पेड़ में शेष $X$ की मात्रा $n \times 10^{-1} \, \mu g$ है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए। $[Given : \ln 10 = 2.303 ; \log 2 = 0.30]$
A
$0$
B
$2$
C
$1$
D
$3$
Solution
(C) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है: $N_t = N_0 \times (1/2)^{t/t_{1/2}}$.
दिया गया है: $N_0 = 1 \, \mu g$,$t_{1/2} = 30 \ years$,$t = 100 \ years$.
$N_t = 1 \times (1/2)^{100/30} = (1/2)^{10/3}$.
दोनों तरफ $\log$ लेने पर: $\log N_t = \frac{10}{3} \log(0.5) = \frac{10}{3} \times (-0.30) = -1$.
$N_t = 10^{-1} \, \mu g$.
$n \times 10^{-1} \, \mu g$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $N_0 = 1 \, \mu g$,$t_{1/2} = 30 \ years$,$t = 100 \ years$.
$N_t = 1 \times (1/2)^{100/30} = (1/2)^{10/3}$.
दोनों तरफ $\log$ लेने पर: $\log N_t = \frac{10}{3} \log(0.5) = \frac{10}{3} \times (-0.30) = -1$.
$N_t = 10^{-1} \, \mu g$.
$n \times 10^{-1} \, \mu g$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 1$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
${ }^{227}Ac$ की रेडियोधर्मी क्षय के लिए अर्ध-आयु $22 \, \text{वर्ष}$ है। क्षय दो समानांतर पथों का अनुसरण करता है: ${ }^{227}Ac \longrightarrow { }^{227}Th$ और ${ }^{227}Ac \longrightarrow { }^{223}Fr$। यदि दो संतति न्यूक्लाइड्स का प्रतिशत क्रमशः $2.0$ और $98.0$ है,तो ${ }^{227}Ac \longrightarrow { }^{227}Th$ पथ के लिए क्षय स्थिरांक ($year^{-1}$ में) किसके निकटतम है?
A
$6.3 \times 10^{-2}$
B
$63 \times 10^{-3}$
C
$6.3 \times 10^{-1}$
D
$6.3 \times 10^{-4}$
Solution
(D) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है। कुल क्षय स्थिरांक $k$,अर्ध-आयु $t_{1/2}$ से $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ द्वारा संबंधित है।
दिया गया है $t_{1/2} = 22 \, \text{वर्ष}$,इसलिए $k = \frac{0.693}{22} \, year^{-1}$।
क्षय दो समानांतर पथों के माध्यम से होता है जिनके दर स्थिरांक $k_1$ और $k_2$ हैं। कुल दर स्थिरांक $k = k_1 + k_2$ है।
शाखाओं के अंश प्रतिशत में दिए गए हैं: $\frac{k_1}{k} = \frac{2.0}{100} = 0.02$ और $\frac{k_2}{k} = \frac{98.0}{100} = 0.98$।
हमें $k_1$ ज्ञात करना है। शाखा अंश से,$k_1 = 0.02 \times k$।
$k$ का मान रखने पर: $k_1 = 0.02 \times \frac{0.693}{22} = 0.02 \times 0.0315 = 0.00063 = 6.3 \times 10^{-4} \, year^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।
दिया गया है $t_{1/2} = 22 \, \text{वर्ष}$,इसलिए $k = \frac{0.693}{22} \, year^{-1}$।
क्षय दो समानांतर पथों के माध्यम से होता है जिनके दर स्थिरांक $k_1$ और $k_2$ हैं। कुल दर स्थिरांक $k = k_1 + k_2$ है।
शाखाओं के अंश प्रतिशत में दिए गए हैं: $\frac{k_1}{k} = \frac{2.0}{100} = 0.02$ और $\frac{k_2}{k} = \frac{98.0}{100} = 0.98$।
हमें $k_1$ ज्ञात करना है। शाखा अंश से,$k_1 = 0.02 \times k$।
$k$ का मान रखने पर: $k_1 = 0.02 \times \frac{0.693}{22} = 0.02 \times 0.0315 = 0.00063 = 6.3 \times 10^{-4} \, year^{-1}$।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।
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MediumMCQ
तीन रेडियोधर्मी प्रजातियों $A$,$B$ और $C$ के क्षय प्रोफाइल नीचे दिए गए हैं:
ये प्रोफाइल दर्शाते हैं कि क्षय स्थिरांक $k_A$,$k_B$ और $k_C$ किस क्रम का पालन करते हैं?
ये प्रोफाइल दर्शाते हैं कि क्षय स्थिरांक $k_A$,$k_B$ और $k_C$ किस क्रम का पालन करते हैं?
A
$k_A > k_B > k_C$
B
$k_A > k_C > k_B$
C
$k_B > k_A > k_C$
D
$k_C > k_B > k_A$
Solution
(D)
रेडियोधर्मी क्षय $1^{st}$ कोटि की गतिज ऊर्जा का पालन करता है।
समय $t$ पर सांद्रता $C_t = C_0 e^{-kt}$ द्वारा दी जाती है।
सांद्रता में दी गई कमी के लिए,लिया गया समय $t$ क्षय स्थिरांक $k$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात $k \propto \frac{1}{t}$)।
ग्राफ से,प्रजाति $C$ सबसे तेजी से क्षय होती है (सबसे कम समय में कम सांद्रता तक पहुँचती है),उसके बाद $B$,और फिर $A$ (जो सबसे धीमी गति से क्षय होती है)।
इसलिए,क्षय स्थिरांक $k_C > k_B > k_A$ क्रम का पालन करते हैं।
रेडियोधर्मी क्षय $1^{st}$ कोटि की गतिज ऊर्जा का पालन करता है।
समय $t$ पर सांद्रता $C_t = C_0 e^{-kt}$ द्वारा दी जाती है।
सांद्रता में दी गई कमी के लिए,लिया गया समय $t$ क्षय स्थिरांक $k$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात $k \propto \frac{1}{t}$)।
ग्राफ से,प्रजाति $C$ सबसे तेजी से क्षय होती है (सबसे कम समय में कम सांद्रता तक पहुँचती है),उसके बाद $B$,और फिर $A$ (जो सबसे धीमी गति से क्षय होती है)।
इसलिए,क्षय स्थिरांक $k_C > k_B > k_A$ क्रम का पालन करते हैं।
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DifficultMCQ
$2 \, \text{hours}$ के बाद,एक निश्चित रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा मूल मात्रा के $1/16$ भाग तक कम हो जाती है (क्षय प्रक्रिया प्रथम-कोटि की गतिज का पालन करती है)। रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $...... \, \text{min}$ है।
A
$15$
B
$30$
C
$45$
D
$60$
Solution
(B) प्रथम-कोटि की अभिक्रिया के लिए,$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $N = N_0 \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि पदार्थ मूल मात्रा के $1/16$ तक कम हो जाता है,इसलिए $1/16 = (1/2)^n$।
चूंकि $1/16 = (1/2)^4$,इसलिए $n = 4$ अर्ध-आयु प्राप्त होती है।
कुल समय $2 \, \text{hours} = 120 \, \text{min}$ है।
अतः,$4 \times t_{1/2} = 120 \, \text{min}$।
$t_{1/2} = 120 / 4 = 30 \, \text{min}$।
यह दिया गया है कि पदार्थ मूल मात्रा के $1/16$ तक कम हो जाता है,इसलिए $1/16 = (1/2)^n$।
चूंकि $1/16 = (1/2)^4$,इसलिए $n = 4$ अर्ध-आयु प्राप्त होती है।
कुल समय $2 \, \text{hours} = 120 \, \text{min}$ है।
अतः,$4 \times t_{1/2} = 120 \, \text{min}$।
$t_{1/2} = 120 / 4 = 30 \, \text{min}$।
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DifficultMCQ
रेडियोआइसोटोपिक ब्रोमीन $-82$ की अर्ध-आयु $36 \ hours$ है। एक दिन बाद शेष बचा अंश . . . . . . $\times 10^{-2}$ है। (दिया है: $\text{antilog } 0.2006 = 1.587$)
A
$41$
B
$52$
C
$63$
D
$36$
Solution
(C) रेडियोधर्मी क्षय $1^{st}$ कोटि की गतिज ऊर्जा का पालन करता है।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = 36 \ hours$.
क्षय स्थिरांक $K = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{36} = 0.01925 \ hr^{-1}$.
$1^{st}$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$\ln \frac{N_0}{N_t} = Kt$,जहाँ $N_t/N_0$ शेष बचा अंश है।
$\log \frac{N_0}{N_t} = \frac{Kt}{2.303}$.
यहाँ $t = 1 \ day = 24 \ hours$.
$\log \frac{N_0}{N_t} = \frac{0.01925 \times 24}{2.303} = \frac{0.462}{2.303} \approx 0.2006$.
$\frac{N_0}{N_t} = \text{antilog } (0.2006) = 1.587$.
शेष बचा अंश $\frac{N_t}{N_0} = \frac{1}{1.587} \approx 0.6301$.
अतः,शेष बचा अंश $63.01 \times 10^{-2} \approx 63 \times 10^{-2}$ है।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = 36 \ hours$.
क्षय स्थिरांक $K = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{36} = 0.01925 \ hr^{-1}$.
$1^{st}$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$\ln \frac{N_0}{N_t} = Kt$,जहाँ $N_t/N_0$ शेष बचा अंश है।
$\log \frac{N_0}{N_t} = \frac{Kt}{2.303}$.
यहाँ $t = 1 \ day = 24 \ hours$.
$\log \frac{N_0}{N_t} = \frac{0.01925 \times 24}{2.303} = \frac{0.462}{2.303} \approx 0.2006$.
$\frac{N_0}{N_t} = \text{antilog } (0.2006) = 1.587$.
शेष बचा अंश $\frac{N_t}{N_0} = \frac{1}{1.587} \approx 0.6301$.
अतः,शेष बचा अंश $63.01 \times 10^{-2} \approx 63 \times 10^{-2}$ है।
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DifficultMCQ
लकड़ी के एक टुकड़े में $\frac{{}^{14}C}{{}^{12}C}$ का अनुपात वायुमंडल का $\frac{1}{8}$ भाग है। यदि ${}^{14}C$ की अर्ध-आयु $5730 \text{ वर्ष}$ है,तो लकड़ी के नमूने की आयु $.....$ वर्ष है।
A
$17160$
B
$17170$
C
$17180$
D
$17190$
Solution
(D) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है: $\lambda t = \ln \frac{N_0}{N_t}$.
दिया गया है कि लकड़ी के नमूने में अनुपात वायुमंडलीय अनुपात का $\frac{1}{8}$ है,इसलिए $\frac{N_t}{N_0} = \frac{1}{8}$,जिसका अर्थ है $\frac{N_0}{N_t} = 8$.
संबंध $t = \frac{t_{1/2}}{0.693} \ln \frac{N_0}{N_t}$ का उपयोग करने पर.
चूंकि $\ln 8 = \ln 2^3 = 3 \ln 2$,हमें $\lambda t = 3 \ln 2$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \times t = 3 \ln 2$.
अतः,$t = 3 \times t_{1/2} = 3 \times 5730 \text{ वर्ष} = 17190 \text{ वर्ष}$.
दिया गया है कि लकड़ी के नमूने में अनुपात वायुमंडलीय अनुपात का $\frac{1}{8}$ है,इसलिए $\frac{N_t}{N_0} = \frac{1}{8}$,जिसका अर्थ है $\frac{N_0}{N_t} = 8$.
संबंध $t = \frac{t_{1/2}}{0.693} \ln \frac{N_0}{N_t}$ का उपयोग करने पर.
चूंकि $\ln 8 = \ln 2^3 = 3 \ln 2$,हमें $\lambda t = 3 \ln 2$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \times t = 3 \ln 2$.
अतः,$t = 3 \times t_{1/2} = 3 \times 5730 \text{ वर्ष} = 17190 \text{ वर्ष}$.
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Advanced
कार्बन-$14$ का उपयोग कार्बनिक पदार्थों की आयु निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह प्रक्रिया ऊपरी वायुमंडल में न्यूट्रॉन कैप्चर द्वारा $^{14}C$ के निर्माण पर आधारित है।
${ }_{7}^{14}N + { }_{0}n^1 \rightarrow { }_{6}^{14}C + { }_{1}H^1$
$^{14}C$ प्रकाश संश्लेषण के दौरान जीवित जीवों द्वारा अवशोषित किया जाता है। जीवित जीवों में $^{14}C$ की मात्रा स्थिर रहती है। एक बार जब पौधा या जानवर मर जाता है,तो कार्बन डाइऑक्साइड का सेवन बंद हो जाता है और मृत शरीर में $^{14}C$ का स्तर इसके क्षय के कारण गिर जाता है।
${ }_{6}^{14}C \rightarrow { }_{7}^{14}N + \beta^{-}$
$^{14}C$ की अर्ध-आयु $5770$ वर्ष है। क्षय स्थिरांक $(\lambda)$ की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$।
मृत पदार्थ की $\beta^{-}$ गतिविधि की तुलना अभी भी परिसंचरण में मौजूद कार्बन के साथ करने से सामग्री के जीवित चक्र से अलग होने की अवधि को मापा जा सकता है। हालाँकि,यह विधि $30,000$ वर्षों से अधिक की अवधि के लिए सटीक नहीं रहती है। जीवित पदार्थ में $^{14}C$ और $^{12}C$ का अनुपात $1 : 10^{12}$ है।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?
$(A)$ जीवित जीवों में,वायुमंडल से $^{14}C$ का परिसंचरण अधिक होता है इसलिए जीव में कार्बन की मात्रा स्थिर रहती है।
$(B)$ कार्बन डेटिंग का उपयोग पृथ्वी की पपड़ी और चट्टानों की आयु ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
$(C)$ ब्रह्मांडीय विकिरण के कारण रेडियोधर्मी अवशोषण रेडियोधर्मी क्षय की दर के बराबर होता है,इसलिए जीवित जीवों में कार्बन की मात्रा स्थिर रहती है।
$(D)$ मृत जीवों में $^{14}C$ की सांद्रता निर्धारित करने के लिए कार्बन डेटिंग का उपयोग नहीं किया जा सकता है।
$2.$ जीवाश्म की आयु के सार्थक निर्धारण के लिए उसकी आयु क्या होनी चाहिए?
$(A)$ $6$ वर्ष
$(B)$ $6000$ वर्ष
$(C)$ $60,000$ वर्ष
$(D)$ इसका उपयोग किसी भी आयु की गणना के लिए किया जा सकता है।
$3.$ एक परमाणु विस्फोट हुआ है जिसके कारण आसपास के क्षेत्रों में $^{14}C$ की सांद्रता में वृद्धि हुई है। आसपास के क्षेत्रों में $^{14}C$ की सांद्रता $C_1$ है और दूर के क्षेत्रों में $C_2$ है। यदि जीवाश्म की आयु क्रमशः उन स्थानों पर $T_1$ और $T_2$ निर्धारित की जाती है,तो:
$(A)$ विस्फोट वाले स्थान पर जीवाश्म की आयु बढ़ जाएगी और $T_1 - T_2 = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{C_1}{C_2}$
$(B)$ विस्फोट वाले स्थान पर जीवाश्म की आयु कम हो जाएगी और $T_1 - T_2 = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{C_1}{C_2}$
$(C)$ जीवाश्म की आयु समान निर्धारित की जाएगी।
$(D)$ $\frac{T_1}{T_2} = \frac{C_1}{C_2}$
${ }_{7}^{14}N + { }_{0}n^1 \rightarrow { }_{6}^{14}C + { }_{1}H^1$
$^{14}C$ प्रकाश संश्लेषण के दौरान जीवित जीवों द्वारा अवशोषित किया जाता है। जीवित जीवों में $^{14}C$ की मात्रा स्थिर रहती है। एक बार जब पौधा या जानवर मर जाता है,तो कार्बन डाइऑक्साइड का सेवन बंद हो जाता है और मृत शरीर में $^{14}C$ का स्तर इसके क्षय के कारण गिर जाता है।
${ }_{6}^{14}C \rightarrow { }_{7}^{14}N + \beta^{-}$
$^{14}C$ की अर्ध-आयु $5770$ वर्ष है। क्षय स्थिरांक $(\lambda)$ की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$।
मृत पदार्थ की $\beta^{-}$ गतिविधि की तुलना अभी भी परिसंचरण में मौजूद कार्बन के साथ करने से सामग्री के जीवित चक्र से अलग होने की अवधि को मापा जा सकता है। हालाँकि,यह विधि $30,000$ वर्षों से अधिक की अवधि के लिए सटीक नहीं रहती है। जीवित पदार्थ में $^{14}C$ और $^{12}C$ का अनुपात $1 : 10^{12}$ है।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?
$(A)$ जीवित जीवों में,वायुमंडल से $^{14}C$ का परिसंचरण अधिक होता है इसलिए जीव में कार्बन की मात्रा स्थिर रहती है।
$(B)$ कार्बन डेटिंग का उपयोग पृथ्वी की पपड़ी और चट्टानों की आयु ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
$(C)$ ब्रह्मांडीय विकिरण के कारण रेडियोधर्मी अवशोषण रेडियोधर्मी क्षय की दर के बराबर होता है,इसलिए जीवित जीवों में कार्बन की मात्रा स्थिर रहती है।
$(D)$ मृत जीवों में $^{14}C$ की सांद्रता निर्धारित करने के लिए कार्बन डेटिंग का उपयोग नहीं किया जा सकता है।
$2.$ जीवाश्म की आयु के सार्थक निर्धारण के लिए उसकी आयु क्या होनी चाहिए?
$(A)$ $6$ वर्ष
$(B)$ $6000$ वर्ष
$(C)$ $60,000$ वर्ष
$(D)$ इसका उपयोग किसी भी आयु की गणना के लिए किया जा सकता है।
$3.$ एक परमाणु विस्फोट हुआ है जिसके कारण आसपास के क्षेत्रों में $^{14}C$ की सांद्रता में वृद्धि हुई है। आसपास के क्षेत्रों में $^{14}C$ की सांद्रता $C_1$ है और दूर के क्षेत्रों में $C_2$ है। यदि जीवाश्म की आयु क्रमशः उन स्थानों पर $T_1$ और $T_2$ निर्धारित की जाती है,तो:
$(A)$ विस्फोट वाले स्थान पर जीवाश्म की आयु बढ़ जाएगी और $T_1 - T_2 = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{C_1}{C_2}$
$(B)$ विस्फोट वाले स्थान पर जीवाश्म की आयु कम हो जाएगी और $T_1 - T_2 = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{C_1}{C_2}$
$(C)$ जीवाश्म की आयु समान निर्धारित की जाएगी।
$(D)$ $\frac{T_1}{T_2} = \frac{C_1}{C_2}$
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AdvancedMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु निर्धारित करने के लिए,एक छात्र $\ln|dN(t)/dt|$ बनाम $t$ का ग्राफ प्लॉट करता है। यहाँ $dN(t)/dt$ समय $t$ पर रेडियोधर्मी क्षय की दर है। यदि इस तत्व के रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या $4.16 \ \text{years}$ के बाद $p$ के कारक से कम हो जाती है,तो $p$ का मान क्या है?
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
$8$
Solution
(D) रेडियोधर्मी क्षय की दर $|dN/dt| = \lambda N = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln|dN/dt| = \ln(\lambda N_0) - \lambda t$.
इसे सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ग्राफ का ढलान $-\lambda$ है।
दिए गए ग्राफ से,हमें $\lambda = 0.5 \ \text{year}^{-1}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \ln(2) / \lambda \approx 0.693 / 0.5 = 1.386 \ \text{years}$ है।
$t = 4.16 \ \text{years}$ के बाद,शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 / p$ है।
चूंकि $4.16 / 1.386 = 3$,व्यतीत समय $3 \ t_{1/2}$ है।
अतः,$N = N_0 / 2^3 = N_0 / 8$.
इसलिए,$p = 8$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln|dN/dt| = \ln(\lambda N_0) - \lambda t$.
इसे सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ग्राफ का ढलान $-\lambda$ है।
दिए गए ग्राफ से,हमें $\lambda = 0.5 \ \text{year}^{-1}$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \ln(2) / \lambda \approx 0.693 / 0.5 = 1.386 \ \text{years}$ है।
$t = 4.16 \ \text{years}$ के बाद,शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 / p$ है।
चूंकि $4.16 / 1.386 = 3$,व्यतीत समय $3 \ t_{1/2}$ है।
अतः,$N = N_0 / 2^3 = N_0 / 8$.
इसलिए,$p = 8$.
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EasyMCQ
एक निश्चित न्यूक्लाइड की अर्ध-आयु $30 \ min$ है। यदि $600$ परमाणुओं वाले एक नमूने को $90 \ min$ तक क्षय होने दिया जाए,तो कितने परमाणु शेष रहेंगे?
A
$200$ परमाणु
B
$450$ परमाणु
C
$75$ परमाणु
D
$150$ परमाणु
Solution
(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{total time}}{\text{half-life period}} = \frac{90 \ min}{30 \ min} = 3$.
शेष परमाणुओं की संख्या $(N)$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$.
मान रखने पर: $N = 600 \times (\frac{1}{2})^3$.
$N = 600 \times \frac{1}{8} = 75 \ \text{atoms}$.
शेष परमाणुओं की संख्या $(N)$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$.
मान रखने पर: $N = 600 \times (\frac{1}{2})^3$.
$N = 600 \times \frac{1}{8} = 75 \ \text{atoms}$.
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MediumMCQ
रेडियोधर्मी प्रक्रियाएं किस प्रकार की अभिक्रिया कोटि (reaction order) का पालन करती हैं?
A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$1.5$
Solution
(B) सभी रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रियाएं प्रथम कोटि की बलगतिकी (first-order kinetics) का पालन करती हैं क्योंकि क्षय की दर उस समय उपस्थित रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या के सीधे समानुपाती होती है।
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MediumMCQ
रेडियोधर्मी विघटन के लिए क्षय स्थिरांक की इकाई क्या है?
A
समय
B
$\min^{-2}$
C
समय$^{-1}$
D
समय $\text{mol}^{-1}$
Solution
(C) रेडियोधर्मी विघटन प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है।
दर नियम $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{N_0}{N}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k$ क्षय स्थिरांक (या विघटन स्थिरांक) है।
चूंकि समय $t$ की इकाई हर (denominator) में है,इसलिए $k$ की इकाई $\text{समय}^{-1}$ (जैसे $\text{s}^{-1}$,$\text{min}^{-1}$ या $\text{year}^{-1}$) होती है।
दर नियम $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{N_0}{N}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k$ क्षय स्थिरांक (या विघटन स्थिरांक) है।
चूंकि समय $t$ की इकाई हर (denominator) में है,इसलिए $k$ की इकाई $\text{समय}^{-1}$ (जैसे $\text{s}^{-1}$,$\text{min}^{-1}$ या $\text{year}^{-1}$) होती है।
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DifficultMCQ
$t_{1/2} = 3 \ days$ वाले एक रेडियोधर्मी समस्थानिक (isotope) को $12 \ days$ के बाद मापा गया। यदि कंटेनर में $3 \ g$ समस्थानिक शेष है,तो समस्थानिक का प्रारंभिक वजन क्या था ($g$ में)?
A
$12$
B
$24$
C
$36$
D
$48$
Solution
(D) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{T}{t_{1/2}} = \frac{12 \ days}{3 \ days} = 4$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = N_0 \times (1/2)^n$.
यहाँ $N = 3 \ g$ और $n = 4$ दिया गया है:
$3 = N_0 \times (1/2)^4$.
$3 = N_0 \times (1/16)$.
$N_0 = 3 \times 16 = 48 \ g$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = N_0 \times (1/2)^n$.
यहाँ $N = 3 \ g$ और $n = 4$ दिया गया है:
$3 = N_0 \times (1/2)^4$.
$3 = N_0 \times (1/16)$.
$N_0 = 3 \times 16 = 48 \ g$.
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EasyMCQ
एक रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $15$ मिनट है। $1$ घंटे के बाद $50$ ग्राम पदार्थ में से इस रेडियोधर्मी पदार्थ का कितना ग्राम क्षय हो जाएगा?
A
$37.5$
B
$25$
C
$43.75$
D
$46.875$
Solution
(D) दिया गया है: $t_{1/2} = 15 \text{ मिनट}$,$N_0 = 50 \text{ g}$,$t = 1 \text{ घंटा} = 60 \text{ मिनट}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{60}{15} = 4$.
शेष मात्रा $N = \frac{N_0}{2^n} = \frac{50}{2^4} = \frac{50}{16} = 3.125 \text{ g}$.
क्षयित मात्रा $= N_0 - N = 50 - 3.125 = 46.875 \text{ g}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{60}{15} = 4$.
शेष मात्रा $N = \frac{N_0}{2^n} = \frac{50}{2^4} = \frac{50}{16} = 3.125 \text{ g}$.
क्षयित मात्रा $= N_0 - N = 50 - 3.125 = 46.875 \text{ g}$.
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EasyMCQ
$15$ दिनों की अर्ध-आयु वाले $2 \text{ g}$ रेडियोधर्मी नमूने का संश्लेषण $1$ जनवरी $2009$ को किया गया था। $1$ मार्च $2009$ को शेष बचे नमूने की मात्रा (दोनों दिनों को शामिल करते हुए) क्या है ($\text{ g}$ में)?
A
$0$
B
$0.125$
C
$1$
D
$0.5$
Solution
(B) $1$ जनवरी से $1$ मार्च $2009$ तक का कुल समय (दोनों दिनों को शामिल करते हुए) $= 31 \text{ (जनवरी)} + 28 \text{ (फरवरी)} + 1 \text{ (मार्च)} = 60 \text{ दिन}$.
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ $= \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{60}{15} = 4$.
शेष बची मात्रा $(N)$ $= N_0 \times (\frac{1}{2})^n = 2 \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{2}{16} = 0.125 \text{ g}$.
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ $= \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{60}{15} = 4$.
शेष बची मात्रा $(N)$ $= N_0 \times (\frac{1}{2})^n = 2 \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{2}{16} = 0.125 \text{ g}$.
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DifficultMCQ
दो रेडियोधर्मी न्यूक्लाइड्स $A$ और $B$ की अर्ध-आयु क्रमशः $1 \ min$ और $2 \ min$ है। $A$ और $B$ के समान भार अलग-अलग लिए जाते हैं और उन्हें $4 \ min$ तक विघटित होने दिया जाता है। विघटित हुए $A$ और $B$ के भार का अनुपात क्या होगा?
A
$1:1$
B
$5:4$
C
$1:2$
D
$1:3$
Solution
(B) के लिए,$t_{1/2} = 1 \ min$। $4 \ min$ ($4$ अर्ध-आयु) के बाद,$A$ का शेष भाग $(1/2)^4 = 1/16$ है।
अतः,विघटित हुए $A$ का भाग $1 - 1/16 = 15/16$ है।
$B$ के लिए,$t_{1/2} = 2 \ min$। $4 \ min$ ($2$ अर्ध-आयु) के बाद,$B$ का शेष भाग $(1/2)^2 = 1/4$ है।
अतः,विघटित हुए $B$ का भाग $1 - 1/4 = 3/4$ है।
$A$ और $B$ के विघटित भार का अनुपात $(15/16) : (3/4) = 15/16 : 12/16 = 15:12 = 5:4$ है।
अतः,विघटित हुए $A$ का भाग $1 - 1/16 = 15/16$ है।
$B$ के लिए,$t_{1/2} = 2 \ min$। $4 \ min$ ($2$ अर्ध-आयु) के बाद,$B$ का शेष भाग $(1/2)^2 = 1/4$ है।
अतः,विघटित हुए $B$ का भाग $1 - 1/4 = 3/4$ है।
$A$ और $B$ के विघटित भार का अनुपात $(15/16) : (3/4) = 15/16 : 12/16 = 15:12 = 5:4$ है।
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DifficultMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व के $10 \ g$ का $2.303 \ \text{minutes}$ में $1 \ g$ में विघटन हो जाता है। उस रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु (मिनटों में) क्या है?
A
$1 / 0.693$
B
$6.93$
C
$1$
D
$0.693$
Solution
(D) रेडियोधर्मी विघटन प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$
दिया गया है $a = 10 \ g$,$(a-x) = 1 \ g$,और $t = 2.303 \ \text{min}$.
$k = \frac{2.303}{2.303} \log \frac{10}{1} = 1 \ \text{min}^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ द्वारा दी जाती है।
$t_{1/2} = \frac{0.693}{1} = 0.693 \ \text{min}$.
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$
दिया गया है $a = 10 \ g$,$(a-x) = 1 \ g$,और $t = 2.303 \ \text{min}$.
$k = \frac{2.303}{2.303} \log \frac{10}{1} = 1 \ \text{min}^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ द्वारा दी जाती है।
$t_{1/2} = \frac{0.693}{1} = 0.693 \ \text{min}$.
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DifficultMCQ
${}^{14}C$ के $\beta$-उत्सर्जन द्वारा क्षय के लिए अर्ध-आयु $5730 \ yr$ है। $22920 \ yr$ पुराने नमूने में ${}^{14}C$ का क्षयित अंश क्या होगा?
A
$\frac{1}{8}$
B
$\frac{1}{16}$
C
$\frac{7}{8}$
D
$\frac{15}{16}$
Solution
(D) अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{22920}{5730} = 4$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष ${}^{14}C$ की मात्रा: $N = N_0 (\frac{1}{2})^n = N_0 (\frac{1}{2})^4 = \frac{N_0}{16}$.
क्षयित ${}^{14}C$ का अंश: $\text{Decayed fraction} = \frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष ${}^{14}C$ की मात्रा: $N = N_0 (\frac{1}{2})^n = N_0 (\frac{1}{2})^4 = \frac{N_0}{16}$.
क्षयित ${}^{14}C$ का अंश: $\text{Decayed fraction} = \frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
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MediumMCQ
यदि समय $t$ पर $n_t$ रेडियोएक्टिव परमाणु उपस्थित हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक स्थिर रहेगा?
A
$n_t / t$
B
$\ln(n_t / t)$
C
$\frac{d \ln n_t}{d t}$
D
$t n_t$
Solution
(C) यदि $n_t$ समय $t$ पर उपस्थित रेडियोएक्टिव परमाणुओं की संख्या है,तो रेडियोएक्टिव क्षय का नियम इस प्रकार है:
$n_t = n_0 e^{-\lambda t}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln n_t = \ln n_0 - \lambda t$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d t} (\ln n_t) = -\lambda$
चूंकि $\lambda$ (क्षय स्थिरांक) एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{d \ln n_t}{d t}$ स्थिर रहेगा।
$n_t = n_0 e^{-\lambda t}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln n_t = \ln n_0 - \lambda t$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d t} (\ln n_t) = -\lambda$
चूंकि $\lambda$ (क्षय स्थिरांक) एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{d \ln n_t}{d t}$ स्थिर रहेगा।
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MediumMCQ
यदि एक रेडियोआइसोटोप के मामले में अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ और क्षय स्थिरांक $(\lambda)$ का मान परिमाण में समान है,तो उनका मान क्या होना चाहिए?
A
$0.693 / 2$
B
$(0.693)^{1/2}$
C
$(0.693)^2$
D
$0.693$
Solution
(B) अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ और क्षय स्थिरांक $(\lambda)$ के बीच का संबंध है: $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$.
दिया गया है कि परिमाण समान हैं,मान लीजिए $T_{1/2} = \lambda = x$.
समीकरण में मान रखने पर: $x = \frac{0.693}{x}$.
यह सरल होकर बनता है: $x^2 = 0.693$.
अतः,$x = \sqrt{0.693} = (0.693)^{1/2}$.
दिया गया है कि परिमाण समान हैं,मान लीजिए $T_{1/2} = \lambda = x$.
समीकरण में मान रखने पर: $x = \frac{0.693}{x}$.
यह सरल होकर बनता है: $x^2 = 0.693$.
अतः,$x = \sqrt{0.693} = (0.693)^{1/2}$.
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MediumMCQ
${}_{53}I^{125}$ की अर्ध-आयु $60$ दिन है। $180$ दिनों के बाद रेडियोधर्मिता कितनी होगी ($\%$ में)?
A
$25$
B
$12.5$
C
$33.3$
D
$3.0$
Solution
(B) माना प्रारंभिक रेडियोधर्मिता $N_0 = 100 \%$ है।
दिया गया है,अर्ध-आयु $(t_{1/2}) = 60$ दिन।
कुल समय $(T) = 180$ दिन।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$n = \frac{T}{t_{1/2}} = \frac{180}{60} = 3$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष रेडियोधर्मिता $(N)$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$.
मान रखने पर:
$N = 100 \% \times (\frac{1}{2})^3 = 100 \% \times \frac{1}{8} = 12.5 \%$.
अतः,$180$ दिनों के बाद रेडियोधर्मिता $12.5 \%$ होगी।
दिया गया है,अर्ध-आयु $(t_{1/2}) = 60$ दिन।
कुल समय $(T) = 180$ दिन।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$n = \frac{T}{t_{1/2}} = \frac{180}{60} = 3$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष रेडियोधर्मिता $(N)$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$.
मान रखने पर:
$N = 100 \% \times (\frac{1}{2})^3 = 100 \% \times \frac{1}{8} = 12.5 \%$.
अतः,$180$ दिनों के बाद रेडियोधर्मिता $12.5 \%$ होगी।
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MediumMCQ
$C^{14}$ की अर्ध-आयु $5760 \ years$ है। $C^{14}$ के $200 \ mg$ नमूने के लिए,इसे $25 \ mg$ में बदलने में लगा समय है ($years$ में)
A
$11520$
B
$23040$
C
$5760$
D
$17280$
Solution
(D) दिया गया है: $C^{14}$ की अर्ध-आयु,$t_{1/2} = 5760 \ years$।
प्रारंभिक मात्रा,$N_0 = 200 \ mg$।
अंतिम मात्रा,$N_t = 25 \ mg$।
रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की गतिज ऊर्जा का पालन करता है।
हम संबंध का उपयोग कर सकते हैं: $N_t = N_0 \times (1/2)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$25 = 200 \times (1/2)^n$
$1/8 = (1/2)^n$
$(1/2)^3 = (1/2)^n$
इसलिए,$n = 3$।
कुल समय $t = n \times t_{1/2} = 3 \times 5760 \ years = 17280 \ years$।
प्रारंभिक मात्रा,$N_0 = 200 \ mg$।
अंतिम मात्रा,$N_t = 25 \ mg$।
रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की गतिज ऊर्जा का पालन करता है।
हम संबंध का उपयोग कर सकते हैं: $N_t = N_0 \times (1/2)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$25 = 200 \times (1/2)^n$
$1/8 = (1/2)^n$
$(1/2)^3 = (1/2)^n$
इसलिए,$n = 3$।
कुल समय $t = n \times t_{1/2} = 3 \times 5760 \ years = 17280 \ years$।
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MediumMCQ
एक पुरातात्विक नमूने से लकड़ी के एक टुकड़े में $^{14}C$ की मात्रा $5.0 \text{ counts min}^{-1} \text{ g}^{-1}$ है,जबकि लकड़ी के एक ताज़ा नमूने में यह $15.0 \text{ counts min}^{-1} \text{ g}^{-1}$ है। यदि $^{14}C$ की अर्ध-आयु $5770 \text{ yr}$ है,तो पुरातात्विक नमूने की आयु क्या है?
A
$8,500 \text{ yr}$
B
$9,200 \text{ yr}$
C
$10,000 \text{ yr}$
D
$11,000 \text{ yr}$
Solution
(B) दिया गया है:
प्रारंभिक सक्रियता $(A_0)$ = $15.0 \text{ counts min}^{-1} \text{ g}^{-1}$
अंतिम सक्रियता $(A)$ = $5.0 \text{ counts min}^{-1} \text{ g}^{-1}$
अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ = $5770 \text{ yr}$
नमूने की आयु $(t)$ ज्ञात करने का सूत्र:
$t = \frac{2.303}{\lambda} \log\left(\frac{A_0}{A}\right)$
जहाँ $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$
$t = \frac{2.303 \times 5770}{0.693} \log\left(\frac{15.0}{5.0}\right)$
$t = \frac{2.303 \times 5770}{0.693} \log(3)$
$\log(3) \approx 0.4771$ का उपयोग करने पर,
$t = \frac{2.303 \times 5770 \times 0.4771}{0.693} \approx 9148 \text{ yr}$
निकटतम मान $9,200 \text{ yr}$ है।
प्रारंभिक सक्रियता $(A_0)$ = $15.0 \text{ counts min}^{-1} \text{ g}^{-1}$
अंतिम सक्रियता $(A)$ = $5.0 \text{ counts min}^{-1} \text{ g}^{-1}$
अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ = $5770 \text{ yr}$
नमूने की आयु $(t)$ ज्ञात करने का सूत्र:
$t = \frac{2.303}{\lambda} \log\left(\frac{A_0}{A}\right)$
जहाँ $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$
$t = \frac{2.303 \times 5770}{0.693} \log\left(\frac{15.0}{5.0}\right)$
$t = \frac{2.303 \times 5770}{0.693} \log(3)$
$\log(3) \approx 0.4771$ का उपयोग करने पर,
$t = \frac{2.303 \times 5770 \times 0.4771}{0.693} \approx 9148 \text{ yr}$
निकटतम मान $9,200 \text{ yr}$ है।
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MediumMCQ
एक नमूने $(Z=22)$ की रेडियोधर्मिता $10 \ years$ के बाद $90 \%$ कम हो जाती है। नमूने की अर्ध-आयु (half-life) क्या होगी ($years$ में)?
A
$5$
B
$2$
C
$3$
D
$10$
Solution
(C) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है। क्षय स्थिरांक $\lambda$ इस प्रकार है: $\lambda = \frac{2.303}{t} \log \frac{N_0}{N_t}$.
रेडियोधर्मिता $90 \%$ कम हो जाती है,इसलिए शेष मात्रा $N_t = N_0 - 0.90 N_0 = 0.10 N_0$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{2.303}{10} \log \frac{N_0}{0.10 N_0} = \frac{2.303}{10} \log(10) = \frac{2.303}{10} \times 1 = 0.2303 \ year^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2}$ इस प्रकार है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{0.2303} \approx 3.01 \ years$.
अतः,अर्ध-आयु लगभग $3 \ years$ है।
रेडियोधर्मिता $90 \%$ कम हो जाती है,इसलिए शेष मात्रा $N_t = N_0 - 0.90 N_0 = 0.10 N_0$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{2.303}{10} \log \frac{N_0}{0.10 N_0} = \frac{2.303}{10} \log(10) = \frac{2.303}{10} \times 1 = 0.2303 \ year^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2}$ इस प्रकार है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{0.2303} \approx 3.01 \ years$.
अतः,अर्ध-आयु लगभग $3 \ years$ है।
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DifficultMCQ
एक रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु $10 \ \text{hours}$ है। $1 \ \text{g-atom}$ के नमूने में $4 \ \text{hours}$ बाद कितना शेष रहेगा?
A
$45.6 \times 10^{23} \ \text{atoms}$
B
$4.56 \times 10^{23} \ \text{atoms}$
C
$4.56 \times 10^{21} \ \text{atoms}$
D
$4.56 \times 10^{20} \ \text{atoms}$
Solution
(B) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है। क्षय स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{10} \ h^{-1}$ है।
प्रथम कोटि के समाकलित वेग समीकरण का उपयोग करते हुए: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{N_0}{N_t}$.
दिया गया है $N_0 = 1 \ \text{g-atom}$,$t = 4 \ h$,और $k = 0.0693 \ h^{-1}$।
$0.0693 = \frac{2.303}{4} \log \frac{1}{N_t} \implies \log \frac{1}{N_t} = \frac{0.0693 \times 4}{2.303} \approx 0.12036$.
$\log N_t = -0.12036 = \bar{1}.87964 \implies N_t = 10^{-0.12036} \approx 0.7579 \ \text{g-atoms}$.
परमाणुओं की संख्या $= N_t \times N_A = 0.7579 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 4.56 \times 10^{23} \ \text{atoms}$।
प्रथम कोटि के समाकलित वेग समीकरण का उपयोग करते हुए: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{N_0}{N_t}$.
दिया गया है $N_0 = 1 \ \text{g-atom}$,$t = 4 \ h$,और $k = 0.0693 \ h^{-1}$।
$0.0693 = \frac{2.303}{4} \log \frac{1}{N_t} \implies \log \frac{1}{N_t} = \frac{0.0693 \times 4}{2.303} \approx 0.12036$.
$\log N_t = -0.12036 = \bar{1}.87964 \implies N_t = 10^{-0.12036} \approx 0.7579 \ \text{g-atoms}$.
परमाणुओं की संख्या $= N_t \times N_A = 0.7579 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 4.56 \times 10^{23} \ \text{atoms}$।
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DifficultMCQ
${}^{65}Zn$ की अर्ध-आयु $245 \ days$ है। $x$ दिनों के बाद,मूल सक्रियता का $75\%$ शेष रहता है। दिनों में $x$ का मान . . . . . . है। (निकटतम पूर्णांक)
(दिया गया है $: \log 3=0.4771$ और $\log 2=0.3010$ )
(दिया गया है $: \log 3=0.4771$ और $\log 2=0.3010$ )
A
$102$
B
$122$
C
$245$
D
$61$
Solution
(A) क्षय स्थिरांक $K = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{245} \ days^{-1}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t = \frac{1}{K} \ln \frac{A_0}{A_t}$ है।
$75\%$ सक्रियता शेष रहती है,इसलिए $\frac{A_0}{A_t} = \frac{4}{3}$ है।
मान रखने पर: $x = \frac{245}{\ln 2} \ln \frac{4}{3} = 245 \times \frac{\log(4/3)}{\log 2}$.
$x = 245 \times \frac{2 \log 2 - \log 3}{\log 2} = 245 \times \frac{2(0.3010) - 0.4771}{0.3010} \approx 101.66 \ days$.
निकटतम पूर्णांक में,$x = 102$।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t = \frac{1}{K} \ln \frac{A_0}{A_t}$ है।
$75\%$ सक्रियता शेष रहती है,इसलिए $\frac{A_0}{A_t} = \frac{4}{3}$ है।
मान रखने पर: $x = \frac{245}{\ln 2} \ln \frac{4}{3} = 245 \times \frac{\log(4/3)}{\log 2}$.
$x = 245 \times \frac{2 \log 2 - \log 3}{\log 2} = 245 \times \frac{2(0.3010) - 0.4771}{0.3010} \approx 101.66 \ days$.
निकटतम पूर्णांक में,$x = 102$।
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DifficultMCQ
$^{14}C$ के रेडियोधर्मी क्षय के लिए अर्ध-आयु $5730 \text{ वर्ष}$ है। लकड़ी युक्त एक पुरातात्विक अवशेष में जीवित पेड़ में पाए जाने वाले $^{14}C$ का केवल $80\%$ ही मौजूद है। नमूने की आयु $(t)$ के लिए सही सूत्र कौन सा है?
A
$t = \frac{0.3}{5730} \log \frac{20}{100}$
B
$t = \frac{5730}{0.3} \log \frac{100}{80}$
C
$t = \frac{0.3}{5730} \log \frac{100}{20}$
D
$t = \frac{5730}{0.3} \log \frac{80}{100}$
Solution
(B) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[N]_0}{[N]_t}$.
रेडियोधर्मी क्षय के लिए,दर स्थिरांक $k$,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ से $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ के रूप में संबंधित है।
यहाँ $t_{1/2} = 5730 \text{ वर्ष}$,$[N]_0 = 100$,और $[N]_t = 80$ दिया गया है।
इन मानों को प्रथम कोटि के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[N]_0}{[N]_t} = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \log \frac{100}{80}$.
चूंकि $\frac{2.303}{0.693} \approx \frac{1}{0.3}$,इसलिए समीकरण $t = \frac{5730}{0.3} \log \frac{100}{80}$ में सरल हो जाता है।
रेडियोधर्मी क्षय के लिए,दर स्थिरांक $k$,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ से $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ के रूप में संबंधित है।
यहाँ $t_{1/2} = 5730 \text{ वर्ष}$,$[N]_0 = 100$,और $[N]_t = 80$ दिया गया है।
इन मानों को प्रथम कोटि के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[N]_0}{[N]_t} = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \log \frac{100}{80}$.
चूंकि $\frac{2.303}{0.693} \approx \frac{1}{0.3}$,इसलिए समीकरण $t = \frac{5730}{0.3} \log \frac{100}{80}$ में सरल हो जाता है।
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View SolutionNuclear Chemistry — Rate of decay and Half-life · Frequently Asked Questions
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