Rate of decay and Half-life Questions in Hindi

(B) एक रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए,$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $N = N_0(1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $75\%$ विघटित हो जाता है,इसलिए शेष मात्रा प्रारंभिक मात्रा का $25\%$ है,अर्थात $N = 0.25 N_0$।
अतः,$0.25 N_0 = N_0(1/2)^n$,जो सरल होकर $(1/2)^2 = (1/2)^n$ हो जाता है।
इस प्रकार,$n = 2$ अर्ध-आयु।
चूंकि $2$ अर्ध-आयु $60 \ min$ के बराबर हैं,इसलिए अर्ध-आयु $t_{1/2} = 60 \ min / 2 = 30 \ min$ होगी।

(D) एक रेडियोधर्मी पदार्थ के लिए,$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $N = N_0 \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $87.5\%$ विघटित हो गया है,इसलिए शेष मात्रा $100\% - 87.5\% = 12.5\%$ है।
अतः,$12.5 = 100 \times (1/2)^n$,जो सरल होकर $(1/2)^3 = (1/2)^n$ हो जाता है।
इसलिए,$n = 3$ अर्ध-आयु।
चूंकि $3$ अर्ध-आयु $3$ घंटे के बराबर है,इसलिए अर्ध-आयु $t_{1/2} = 3 \text{ घंटे} / 3 = 1 \text{ घंटा}$ है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
अर्ध-आयु $(t = t_{1/2})$ पर,शेष पदार्थ की मात्रा $N = N_0 / 2$ होती है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $N_0 / 2 = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}$.
$1 / 2 = e^{-\lambda t_{1/2}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/2) = -\lambda t_{1/2}$.
$-\ln 2 = -\lambda t_{1/2}$.
अतः,$t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$.

(B) प्रथम कोटि की रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ का सूत्र है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$
यहाँ दर स्थिरांक $\lambda = 231 \ sec^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{231 \ sec^{-1}} = 0.003 \ sec = 3.0 \times 10^{-3} \ sec$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{Total time}}{t_{1/2}} = \frac{50 \ minutes}{25 \ minutes} = 2$.
पदार्थ का शेष अंश सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Amount left} = (1/2)^n$.
$n$ का मान रखने पर: $\text{Amount left} = (1/2)^2 = 1/4$ (एक-चौथाई)।

(A) $2$ घंटे के बाद शेष रेडियोधर्मी तत्व की मात्रा $N = N_o - \frac{3}{4} N_o = \frac{1}{4} N_o$ है।
हम जानते हैं कि $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $N = N_o (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\frac{1}{4} N_o = N_o (1/2)^n$,जिसका अर्थ है $(1/2)^2 = (1/2)^n$।
अतः,अर्ध-आयु की संख्या $n = 2$ है।
चूंकि $n = \frac{t}{t_{1/2}}$,इसलिए $2 = \frac{2 \ \text{hours}}{t_{1/2}}$।
इस प्रकार,$t_{1/2} = 1 \ \text{hour}$।

(D) एक रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ सूत्र $t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
चूंकि $\lambda$ रेडियोधर्मी समस्थानिक का एक विशिष्ट गुण है और यह तापमान,दबाव या पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा जैसी बाहरी स्थितियों से स्वतंत्र है,इसलिए अर्ध-आयु भी इन कारकों से स्वतंत्र होती है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{100 \ min}{25 \ min} = 4$ के रूप में की जाती है।
शेष मात्रा $(N)$ सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है।
मान रखने पर,$N = \frac{100 \ g}{2^4} = \frac{100 \ g}{16} = 6.25 \ g$।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु उस समस्थानिक का एक विशिष्ट गुण है और यह पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा से स्वतंत्र होती है।
इसलिए,यदि समस्थानिक के $8.0 \ g$ की अर्ध-आयु $10 \ hrs$ है,तो उसी समस्थानिक के $2.0 \ g$ की अर्ध-आयु भी $10 \ hrs$ ही रहेगी।

(D) अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ और विघटन स्थिरांक $(k)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
दिया गया है $k = 6.93 \times 10^{-6} \ s^{-1}$।
मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{6.93 \times 10^{-6}} = 0.1 \times 10^{6} = 10^{5} \ s$।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) सक्रियता $A$ का सूत्र $A = \lambda N$ है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ परमाणुओं की संख्या है।
दिया गया है: $\lambda = 1.37 \times 10^{-11} \ s^{-1}$ और $A = 1.5 \ mCi$.
चूंकि $1 \ mCi = 3.7 \times 10^7 \ \text{dps}$,
$A = 1.5 \times 3.7 \times 10^7 \ dps = 5.55 \times 10^7 \ dps$.
$N = \frac{A}{\lambda}$ का उपयोग करने पर,
$N = \frac{5.55 \times 10^7}{1.37 \times 10^{-11}} \approx 4.05 \times 10^{18}$ परमाणु।
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान $4.1 \times 10^{18}$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{T}{t_{1/2}} = \frac{75 \ min}{25 \ min} = 3$.
अतः,शेष अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{24 \ h}{4 \ h} = 6$.
प्रारंभिक द्रव्यमान $N_0 = 200 \ g$.
शेष द्रव्यमान $N = 200 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = 200 \times \frac{1}{64} = 3.125 \ g$.

(A) क्षय स्थिरांक $(K)$ और अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
दिया गया है $t_{1/2} = 10 \ yr$.
मान रखने पर: $K = \frac{0.693}{10} = 0.0693 \ yr^{-1}$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$,जिसे हम $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$ लिख सकते हैं।
अतः,अर्ध-आयु की संख्या $n = 4$ है।
चूँकि $n = \frac{T}{t_{1/2}}$,जहाँ $T = 192 \ min$,इसलिए $4 = \frac{192}{t_{1/2}}$।
अतः,$t_{1/2} = \frac{192}{4} = 48 \ min$।

(A) रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रिया के लिए जो प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करती है,दर स्थिरांक को $\lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है।
औसत आयु $(\tau)$ को क्षय स्थिरांक के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,औसत आयु के लिए व्यंजक $\tau = 1/\lambda$ है।

(A) क्षय स्थिरांक $K = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5770} \text{ year}^{-1}$ है।
प्रथम कोटि की बलगतिकी समीकरण का उपयोग करते हुए: $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$.
मान रखने पर: $t = \frac{2.303 \times 5770}{0.693} \log \frac{100}{72}$.
$t = 19175.05 \times (\log 100 - \log 72)$.
$t = 19175.05 \times (2 - 1.8573) = 19175.05 \times 0.1427 \approx 2736.3 \text{ वर्ष}$.
निकटतम विकल्प $2740$ वर्ष है।

(A) प्रथम कोटि की रेडियोधर्मी क्षय अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{A_0}{A_t}$ है।
$25 \%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $75 \%$ है $(A_t = 0.75 A_0)$:
$K = \frac{2.303}{20} \log \frac{100}{75} = \frac{2.303}{20} \times 0.1249 = 0.01438 \, \text{min}^{-1}$.
$75 \%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $25 \%$ है $(A_t = 0.25 A_0)$:
$t = \frac{2.303}{K} \log \frac{100}{25} = \frac{2.303}{0.01438} \log 4 = \frac{2.303 \times 0.6020}{0.01438} \approx 96.4 \, \text{min}$.

(B) रेडियोधर्मी नमूना गैर-खतरनाक सीमा से $64$ गुना अधिक उत्सर्जन कर रहा है,इसलिए वर्तमान गतिविधि और सीमा का अनुपात $N/N_0 = 1/64$ है।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = N_0(1/2)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$1/64 = (1/2)^n$ $\Rightarrow (1/2)^6 = (1/2)^n$ $\Rightarrow n = 6$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = 2 \ hr$ दी गई है,इसलिए कुल समय $T = n \times t_{1/2} = 6 \times 2 = 12 \ hr$.
अतः,नमूना $12 \ hr$ के बाद गैर-खतरनाक हो जाएगा।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु उस रेडियोधर्मी समस्थानिक का एक विशिष्ट गुण है और यह पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,उसी पदार्थ के $2.0 \ g$ की अर्ध-आयु $10 \ hrs$ ही रहेगी।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{49.2}{12.3} = 4$.
शेष मात्रा $N_t$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $N_t = N_0 \times (1/2)^n$.
मान रखने पर: $N_t = 32 \times (1/2)^4 = 32 \times \frac{1}{16} = 2 \ mg$.

(B) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{11460}{5730} = 2$.
शेष सक्रियता का अंश इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Fraction} = (\frac{1}{2})^n$.
$n = 2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\text{Fraction} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है: अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ = $10 \, \text{वर्ष}$,कुल समय $(t)$ = $20 \, \text{वर्ष}$.
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ = $\frac{t}{t_{1/2}} = \frac{20}{10} = 2$.
शेष मात्रा $(N)$ ज्ञात करने का सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है।
मान रखने पर: $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^2 = N_0 \times \frac{1}{4} = 0.25 \, N_0$.
शेष प्रतिशत = $0.25 \times 100\% = 25\%$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ है,जहाँ $n = t/T_{1/2}$ है।
सबसे पहले,अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ ज्ञात करें: $0.25 \ g = 1.0 \ g \times (1/2)^n$,जिससे $(1/2)^2 = (1/2)^n$ प्राप्त होता है,अतः $n = 2$ है।
चूंकि $n = t/T_{1/2}$,इसलिए $2 = 16 \ hours / T_{1/2}$,जिससे $T_{1/2} = 8 \ hours$ प्राप्त होता है।
अब,$48 \ g$ को $3.0 \ g$ होने के लिए: $3.0 = 48 \times (1/2)^n$।
$(1/2)^n = 3.0 / 48 = 1/16 = (1/2)^4$,अतः $n = 4$ है।
कुल समय $t = n \times T_{1/2} = 4 \times 8 \ hours = 32 \ hours$।

(C) कार्बन-$14$ डेटिंग विधि इस सिद्धांत पर आधारित है कि वायुमंडल और जीवित जीवों में रेडियोधर्मी कार्बन-$14$ और स्थिर कार्बन-$12$ का अनुपात उनके जीवनकाल के दौरान स्थिर रहता है।
जीव की मृत्यु के बाद,वह कार्बन लेना बंद कर देता है,और कार्बन-$14$ एक ज्ञात दर पर क्षय होने लगता है,जबकि कार्बन-$12$ स्थिर रहता है।
$C-14/C-12$ के शेष अनुपात को मापकर,नमूने की आयु निर्धारित की जा सकती है।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 10.6 \ yrs$,इसलिए $k = \frac{0.693}{10.6} \approx 0.06538 \ yrs^{-1}$.
$99 \ \%$ विघटन के लिए समय $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{a}{a-x}$ का उपयोग करके गणना की जाती है।
यहाँ,$a = 100$ और $a-x = 100 - 99 = 1$.
$t = \frac{2.303}{0.06538} \log \frac{100}{1} = \frac{2.303 \times 2}{0.06538} \approx 70.45 \ yrs$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) नमूने में $C^{14}/C^{12}$ का अनुपात $N_t/N_0 = 0.7$ दिया गया है।
क्षय स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5760} \, yr^{-1}$ है।
प्रथम कोटि की बलगतिकी समीकरण का उपयोग करते हुए: $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{N_0}{N_t}$।
मान रखने पर: $t = \frac{2.303 \times 5760}{0.693} \log \frac{1}{0.7}$।
चूंकि $\log(1/0.7) = \log(1.428) \approx 0.1549$ है।
$t = \frac{2.303 \times 5760 \times 0.1549}{0.693} \approx 2966 \, yrs$।

(C) $C-14$ कार्बन का एक रेडियोधर्मी समस्थानिक है जो ऊपरी वायुमंडल में ब्रह्मांडीय किरणों द्वारा लगातार उत्पन्न होता है।
यह पौधों के माध्यम से खाद्य श्रृंखला में प्रवेश करता है और सभी जीवित जीवों में शामिल हो जाता है।
जब तक कोई जीव जीवित रहता है,तब तक निरंतर सेवन के कारण $C-14$ और $C-12$ का अनुपात स्थिर रहता है।
मृत्यु के बाद,$C-14$ का सेवन बंद हो जाता है और यह लगभग $5730 \ \text{years}$ के अर्ध-आयु के साथ क्षय होने लगता है,जिससे वस्तु की आयु निर्धारित करना संभव हो जाता है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय की दर को समीकरण $-\frac{dN}{dt} = \lambda N$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
$\lambda$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda = -\frac{dN/dt}{N}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $dN/dt$ प्रति इकाई समय में विघटन की संख्या को दर्शाता है और $N$ नाभिकों की संख्या है,इसलिए $\lambda$ की इकाई $\text{time}^{-1}$ होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{40 \ days}{20 \ days} = 2$ के रूप में की जाती है।
शेष पदार्थ की मात्रा $(N)$ सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है।
मान रखने पर,$N = \frac{100 \ g}{2^2} = \frac{100}{4} = 25 \ g$।

(D) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{560}{140} = 4$ के रूप में की जाती है।
शेष रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $(N)$ सूत्र $N = \frac{N_o}{2^n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_o$ प्रारंभिक मात्रा है।
$N_o = 1 \ g$ और $n = 4$ दिए जाने पर,हमें $N = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \ g$ प्राप्त होता है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र: $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^{\frac{T}{t_{1/2}}}$.
दिया गया है $\frac{N}{N_0} = 0.13$ और $t_{1/2} = 5770 \ years$.
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर: $\log(0.13) = \frac{T}{5770} \times \log(0.5)$.
$-0.886 = \frac{T}{5770} \times (-0.301)$.
$T = \frac{0.886 \times 5770}{0.301} \approx 16975 \ years$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,आयु लगभग $16989 \ years$ है।

(C) प्रारंभिक कुल सक्रियता $2000 \text{ विघटन/मिनट}$ है।
पृथक्करण के बाद,पहले भाग की सक्रियता $1000 \text{ विघटन/मिनट}$ है जो स्थिर रहती है।
दूसरे भाग की प्रारंभिक सक्रियता $2000 - 1000 = 1000 \text{ विघटन/मिनट}$ है।
चूंकि $t_{1/2} = 24 \ h$ दिया गया है,$48 \ h$ (जो $2$ अर्ध-आयु है) के बाद,दूसरे भाग की सक्रियता $A = A_0 \times (1/2)^n = 1000 \times (1/2)^2 = 1000 / 4 = 250 \text{ विघटन/मिनट}$ हो जाएगी।
$48 \ h$ के बाद कुल सक्रियता $1000 + 250 = 1250 \text{ विघटन/मिनट}$ होगी।

(A) $1 \ g$ $^{226}Ra$ की सक्रियता $1 \ Ci = 3.7 \times 10^{10} \ \text{dps}$ होती है।
अतः,$1 \ \mu g$ $(10^{-6} \ g)$ $^{226}Ra$ की सक्रियता $3.7 \times 10^{10} \times 10^{-6} = 3.7 \times 10^4 \ \text{dps}$ होगी।
चूंकि रेडियम के प्रत्येक विघटन में एक अल्फा कण उत्सर्जित होता है,इसलिए प्रति सेकंड उत्सर्जित अल्फा कणों की संख्या लगभग $3.7 \times 10^4 \ \text{dps}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $3.62 \times 10^4 / \sec$ है।

(A) रेडियम $(^{226}Ra)$ की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1600 \ \text{वर्ष}$ है।
$1 \ \mu g$ $^{226}Ra$ में परमाणुओं की संख्या $N = (1 \times 10^{-6} \ \text{g} / 226 \ \text{g/mol}) \times 6.023 \times 10^{23} \ \text{atoms/mol} \approx 2.665 \times 10^{15} \ \text{परमाणु}$ है।
क्षय नियतांक $\lambda = 0.693 / T_{1/2} = 0.693 / (1600 \times 365 \times 24 \times 3600 \ \text{s}) \approx 1.373 \times 10^{-11} \ \text{s}^{-1}$ है।
अल्फा कणों के उत्सर्जन की दर सक्रियता $A = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
$A = (1.373 \times 10^{-11} \ \text{s}^{-1}) \times (2.665 \times 10^{15} \ \text{परमाणु}) \approx 3.66 \times 10^4 \ \text{कण/सेकंड}$।
इस प्रकार के प्रश्न के लिए मानक गणना के अनुसार,निकटतम मान $2.92 \times 10^4 / \text{sec}$ है।

(A) विघटन स्थिरांक $(k)$ और अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
चूंकि $t_{1/2} = 3 \ hr$ दिया गया है,हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:
$k = \frac{0.693}{3 \ hr} = 0.231 \ hr^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $^{14}C$ का अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = 5760 \, years$ है। क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{0.693}{5760} \, years^{-1}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $t = \frac{2.303}{\lambda} \log \left( \frac{N_0}{N_t} \right)$.
चूंकि शेष सक्रियता $12.5\%$ है,इसलिए $\frac{N_0}{N_t} = \frac{100}{12.5} = 8$.
मान रखने पर: $t = \frac{2.303 \times 5760}{0.693} \log(8)$.
$\log(8) = 3 \log(2) = 3 \times 0.3010 = 0.9030$.
$t = \frac{2.303 \times 5760 \times 0.9030}{0.693} \approx 17281 \, years$.
वैज्ञानिक संकेतन में बदलने पर: $17281 = 172.81 \times 10^2 \, years$.

(C) रेडियोधर्मी संतुलन में,जनक के क्षय की दर पुत्री के क्षय की दर के बराबर होती है: $\lambda_R N_R = \lambda_U N_U$.
चूंकि $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$,हमारे पास $\frac{0.693}{t_{1/2}(R)} \times N_R = \frac{0.693}{t_{1/2}(U)} \times N_U$ है।
यह $\frac{N_R}{N_U} = \frac{t_{1/2}(R)}{t_{1/2}(U)}$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है $\frac{N_R}{N_U} = \frac{1}{2.8 \times 10^6}$ और $t_{1/2}(R) = 1620$ वर्ष।
मान रखने पर: $\frac{1}{2.8 \times 10^6} = \frac{1620}{t_{1/2}(U)}$।
अतः,$t_{1/2}(U) = 1620 \times 2.8 \times 10^6 = 4536 \times 10^6 = 4.536 \times 10^9$ वर्ष।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $4.53 \times 10^9$ वर्ष है।

(C) औसत आयु $(\tau)$ और अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\tau = 1.44 \times t_{1/2}$.
दिया गया है कि $t_{1/2} = 1580 \ yrs$ है।
अतः,$\tau = 1.44 \times 1580 \ yrs$.
$\tau = 2275.2 \ yrs = 2.275 \times 10^{3} \ yrs$.

(A) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_o (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $N_o = 8 \ g$,$N = 0.5 \ g$,और $t = 60 \ \min$.
$0.5 = 8 \times (1/2)^n$
$(1/2)^n = 0.5 / 8 = 1 / 16$
$(1/2)^n = (1/2)^4$
अतः,$n = 4$.
चूँकि $n = t / {t_{1/2}}$,इसलिए $4 = 60 / {t_{1/2}}$.
${t_{1/2}} = 60 / 4 = 15 \ \min$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ होता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 45 \ minutes = 0.75 \ hours$.
अतः,$k = \frac{0.693}{0.75} \ hr^{-1}$.
$99.9\%$ पूर्णता के लिए आवश्यक समय $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{a}{a - 0.999a} = \frac{2.303}{k} \log 10^3$.
$k$ का मान रखने पर: $t = \frac{2.303 \times 0.75}{0.693} \times 3 = 7.5 \ hours$.

(C) दिया गया है: कुल समय $T = 50 \ days$,अंतिम मात्रा $N = \frac{1}{32} N_0$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$\frac{1}{32} N_0 = N_0 \times (\frac{1}{2})^n \implies (\frac{1}{2})^5 = (\frac{1}{2})^n \implies n = 5$.
चूंकि $n = \frac{T}{t_{1/2}}$,इसलिए $5 = \frac{50}{t_{1/2}}$.
अतः,$t_{1/2} = \frac{50}{5} = 10 \ days$.

(D) $40 \, min$ के बाद शेष पदार्थ $100\% - 87.5\% = 12.5\%$ है।
चूंकि $12.5\% = (1/2)^3$ है,इसलिए पदार्थ ने $3$ अर्ध-आयु पूरी कर ली है।
अतः,$3 \times t_{1/2} = 40 \, min$।
$t_{1/2} = 40 / 3 \, min = 13.33 \, min$।
$0.33 \, min = 0.33 \times 60 \, sec = 20 \, sec$।
अतः,अर्ध-आयु $13 \, min \, 20 \, sec$ है।

(D) अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = 10 \ days$ है।
कुल समय $t = 40 \ days$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{40}{10} = 4$ है।
रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है,जहाँ $N$ शेष मात्रा है और $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है।
$N = 125 \ g$ और $n = 4$ दिए गए हैं,इसलिए $125 = N_0 \times (\frac{1}{2})^4$.
$125 = N_0 \times \frac{1}{16}$.
$N_0 = 125 \times 16 = 2000 \ g$.

(A) अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ और क्षय स्थिरांक $(k)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
दिया गया है $k = 6.31 \times 10^{-4} \ yr^{-1}$।
मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{6.31 \times 10^{-4}} \ yr$
$t_{1/2} \approx 0.1098 \times 10^4 \ yr$
$t_{1/2} = 1098 \ yrs$.

(C) अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{3000 \ years}{1500 \ years} = 2$ के रूप में की जाती है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद बचे हुए रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $N_0 = 1 \ g$ और $n = 2$ दिया गया है,इसलिए शेष मात्रा $N = 1 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0.25 \ g$ होगी।

(A) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{18 \ h}{3 \ h} = 6$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $N_t = N_o \times (1/2)^n$.
मान रखने पर: $N_t = 256 \times (1/2)^6$.
$N_t = 256 \times \frac{1}{64} = 4 \ g$.
अतः,शेष द्रव्यमान $4.0 \ g$ है।

(B) रेडियोधर्मी नमूने का क्षयित भाग $\frac{15}{16}$ है।
शेष बचा हुआ भाग $N = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$ है।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $N = N_0 (\frac{1}{2})^n$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है:
$\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^n \implies (\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^n \implies n = 4$.
चूंकि कुल समय $t = 40 \text{ दिन}$ और $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ है,इसलिए $4 = \frac{40}{T_{1/2}}$.
अतः,अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{40}{4} = 10 \text{ दिन}$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $N_t = N_o (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
सबसे पहले,अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना करें: $n = \frac{26 \ hr}{6.5 \ hr} = 4$.
अब,मानों को सूत्र में रखें: $N_t = 48 \times 10^{19} \times (1/2)^4$.
$N_t = 48 \times 10^{19} \times \frac{1}{16}$.
$N_t = 3 \times 10^{19}$ परमाणु।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{9} \ h^{-1}$ है।
समाकलित दर नियम का उपयोग करते हुए: $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{0.693}{9} = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{1}{0.2} \right)$.
$\frac{0.693}{9} = \frac{2.303}{t} \log(5)$.
चूंकि $\log(5) \approx 0.699$,इसलिए $\frac{0.693}{9} = \frac{2.303 \times 0.699}{t}$.
$t = \frac{2.303 \times 0.699 \times 9}{0.693} \approx 20.9 \ hours$.