Rate of decay and Half-life Questions in Hindi

(B) प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 16 \ g$ है।
क्षयित मात्रा $15 \ g$ है,इसलिए शेष मात्रा $N_t = 16 - 15 = 1 \ g$ है।
रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$1 = 16 \times (1/2)^n$
$(1/2)^n = 1/16 = (1/2)^4$
इसलिए,$n = 4$।
कुल समय $t = n \times t_{1/2} = 4 \times 140 \ days = 560 \ days$।

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{20 \ s}{4 \ s} = 5$ है।
शेष बचे पदार्थ का अंश $\frac{N_t}{N_o} = (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$ है।
क्षयित पदार्थ का अंश $1 - \frac{N_t}{N_o} = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$ है।
क्षयित पदार्थ का प्रतिशत $\frac{31}{32} \times 100 = 96.875 \% \approx 96.87 \%$ है।

(A) शेष मात्रा के लिए सूत्र $N_t = N_o (1/2)^n$ है,जहाँ $n = T / t_{1/2}$ है।
दिया गया है: $t_{1/2} = 22 \ \text{years}$,$T = 11 \ \text{years}$,$N_o = 2 \ g$.
अर्ध-आयु की संख्या की गणना: $n = 11 / 22 = 0.5$.
सूत्र में मान रखने पर: $N_t = 2 \times (1/2)^{0.5}$.
$N_t = 2 \times (1 / \sqrt{2}) = 2 / 1.414 = 1.414 \ g$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की गतिज समीकरण का पालन करता है: $t = \frac{2.303}{\lambda} \log \frac{N_0}{N_t}$.
यहाँ,$\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5000} \ min^{-1}$.
दिया गया है $N_0 = 15 \ counts/min/gm$ और $N_t = 5.0 \ counts/min/gm$.
मान रखने पर: $t = \frac{2.303 \times 5000}{0.693} \times \log \frac{15}{5}$.
$t = \frac{2.303 \times 5000}{0.693} \times \log 3$.
$t = \frac{2.303 \times 5000}{0.693} \times 0.4771 \approx 7927 \ years$.
अतः,नमूने की आयु लगभग $7.92 \times 10^3 \ years$ है।

(B) रेडियोधर्मी विघटन अभिक्रियाएं प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करती हैं।
इसका कारण यह है कि विघटन की दर रेडियोधर्मी पदार्थ की सांद्रता की $1$ घात पर निर्भर करती है,अर्थात $\text{Rate} = k[N]$,जहाँ $[N]$ उपस्थित रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या है।

(B) $_{92}U^{235}$ का रेडियोधर्मी विघटन प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।
रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की गतिज का पालन करता है क्योंकि विघटन की दर केवल उस समय मौजूद रेडियोधर्मी पदार्थ की सांद्रता पर निर्भर करती है।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{12 \ days}{3 \ days} = 4$.
पदार्थ की शेष मात्रा $(N)$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$.
$n$ का मान रखने पर: $\frac{N}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः,पदार्थ का शेष अंश $1/16$ है।

(A) अर्ध-आयु काल $T_{1/2} = 4 \ hours$ है।
कुल बीता हुआ समय $t = 24 \ hours$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = t / T_{1/2} = 24 / 4 = 6$ है।
शेष द्रव्यमान $N$ का सूत्र $N = N_0 / 2^n$ है,जहाँ $N_0 = 200 \ g$ है।
मान रखने पर,$N = 200 / 2^6 = 200 / 64 = 3.125 \ g$।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$40 \text{ min}$ के बाद शेष मात्रा $100\% - 87.5\% = 12.5\%$ है।
सूत्र $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ का उपयोग करने पर:
$k = \frac{2.303}{40} \log \frac{100}{12.5} = \frac{2.303}{40} \log 8 = \frac{2.303 \times 3 \times 0.3010}{40} = \frac{0.693 \times 3}{40} \text{ min}^{-1}$।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ द्वारा दी जाती है।
$t_{1/2} = \frac{0.693 \times 40}{0.693 \times 3} = \frac{40}{3} \text{ min} = 13 \text{ min } 20 \text{ sec}$।

(A) रेडियोधर्मी पदार्थ के शेष द्रव्यमान के लिए सूत्र $N_t = N_0 \times (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
सबसे पहले,अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना करें: $n = \frac{18 \ h}{3 \ h} = 6$.
अब,मानों को सूत्र में रखें: $N_t = 256 \ g \times (1/2)^6$.
$N_t = 256 \times \frac{1}{64}$.
$N_t = 4.0 \ g$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय अभिक्रिया प्रथम कोटि की होती है।
इसका कारण यह है कि अभिक्रिया की दर रेडियोधर्मी तत्व की सांद्रता पर निर्भर करती है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है।
दिया गया है:
अंतिम सक्रियता $(A_t)$ = $0.01 \mu Ci$
समय $(t)$ = $24 \ hours$
अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ = $6 \ hours$
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ = $t / t_{1/2} = 24 / 6 = 4$.
प्रारंभिक सक्रियता $(A_0)$ और अंतिम सक्रियता $(A_t)$ के बीच संबंध:
$A_t = A_0 \times (1/2)^n$
$0.01 = A_0 \times (1/2)^4$
$0.01 = A_0 \times (1/16)$
$A_0 = 0.01 \times 16 = 0.16 \mu Ci$.
अतः,अधिकतम प्रारंभिक सक्रियता $0.16 \mu Ci$ दी जा सकती है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ और क्षय स्थिरांक $(k)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
यहाँ $k = 2.25 \times 10^{-4} \text{ year}^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{2.25 \times 10^{-4}} = \frac{0.693}{2.25} \times 10^{4} = 0.308 \times 10^{4} = 3080 \text{ वर्ष}$.

(B) $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा के लिए सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ है।
सबसे पहले,अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना करें: $n = \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{49.2}{12.3} = 4$.
अब,शेष मात्रा की गणना करें: $N = \frac{32}{2^4} = \frac{32}{16} = 2 \ mg$.

(A) अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक रेडियोधर्मी नमूने के $50\%$ विघटन के लिए आवश्यक होता है।
यह दिया गया है कि कार्बन-$14$,$5770$ वर्षों में $50\%$ विघटित हो जाता है,इसलिए अर्ध-आयु $5770$ वर्ष है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) रेडियोधर्मी समस्थानिक $^{14}C$ की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ लगभग $5730$ $\text{वर्ष}$ होती है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $N_t = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $N_0 = 200 \ mg$,$N_t = 25 \ mg$,और $t_{1/2} = 5760 \ years$।
मान रखने पर: $25 = 200 \times (\frac{1}{2})^n$।
$(\frac{1}{2})^n = \frac{25}{200} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$।
अतः,$n = 3$।
कुल आवश्यक समय $t = n \times t_{1/2} = 3 \times 5760 = 17280 \ years$ है।

(A) एक रेडियोधर्मी तत्व का अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ और क्षय स्थिरांक $(\lambda)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$
यहाँ $\lambda = 3 \times 10^{-6} \ min^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{3 \times 10^{-6} \ min^{-1}} = 0.231 \times 10^6 \ min = 2.31 \times 10^5 \ min$.

(A) रेडियोधर्मी क्षय की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ $6.93 \ min$ दी गई है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $(k)$ की गणना सूत्र: $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ का उपयोग करके की जाती है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $k = \frac{0.693}{6.93} = 0.10 \ \min^{-1}$।

(B) प्रारंभिक मात्रा $N_0 = 1 \ \text{g}$ है। मोलर द्रव्यमान $M = 1 \ \text{g/mol}$ लेने पर,परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0 = (1 \ \text{g} / 1 \ \text{g/mol}) \times 6.022 \times 10^{23} = 6.022 \times 10^{23} \ \text{atoms}$ होगी।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $N = N_0 \times (1/2)^{(t/T_{1/2})}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = 4 \ \text{hrs}$ और $T_{1/2} = 10 \ \text{hrs}$ है।
$N = 6.022 \times 10^{23} \times (0.5)^{(4/10)} = 6.022 \times 10^{23} \times (0.5)^{0.4}$.
चूंकि $(0.5)^{0.4} \approx 0.7578$,इसलिए $N \approx 6.022 \times 10^{23} \times 0.7578 \approx 4.56 \times 10^{23} \ \text{atoms}$ प्राप्त होता है।

(D) . एक रेडियोधर्मी तत्व की अर्ध-आयु $t_{1/2} = N$ वर्ष है।
रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है,जहाँ शेष पदार्थ की मात्रा $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ के पूर्ण क्षय के लिए,$N(t) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $e^{-\lambda t} = 0$।
यह स्थिति केवल $t \to \infty$ होने पर ही संतुष्ट होती है।
अतः,पूर्ण क्षय के लिए आवश्यक समय अनंत है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का संबंध है: $\frac{N}{N_o} = (\frac{1}{2})^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $\frac{N}{N_o} = \frac{1}{8}$,इसलिए $(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$।
अतः,$n = 3$।
कुल समय $t = n \times t_{1/2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $t_{1/2} = 20 \ \text{minutes}$ है,इसलिए $t = 3 \times 20 \ \text{minutes} = 60 \ \text{minutes}$।

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{45 \ min}{15 \ min} = 3$ के रूप में की जाती है।
रेडियोधर्मी पदार्थ की शेष मात्रा $N$ का सूत्र $N = N_o \times (\frac{1}{2})^n$ है।
यदि प्रारंभिक मात्रा $N_o = 100 \%$ मान ली जाए,तो शेष मात्रा $N = 100 \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{100}{8} = 12.5 \%$ होगी।
अतः,$12.5 \%$ रेडियोधर्मिता शेष रहेगी।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_o (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि $3160 \ years$ के बाद,शेष मात्रा $N = (1/4)N_o$ है,इसलिए $N/N_o = 1/4$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $1/4 = (1/2)^n$।
चूंकि $1/4 = (1/2)^2$,इसलिए $n = 2$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n$,कुल समय $t$ और अर्ध-आयु $t_{1/2}$ से $n = t / t_{1/2}$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$2 = 3160 / t_{1/2}$।
$t_{1/2} = 3160 / 2 = 1580 \ years$।

(B) रेडियोधर्मी संतुलन पर,$X$ के क्षय की दर $Y$ के क्षय की दर के बराबर होती है।
अतः,$\lambda_X N_X = \lambda_Y N_Y$.
इसका अर्थ है $\frac{N_X}{N_Y} = \frac{\lambda_Y}{\lambda_X} = \frac{t_{1/2}(X)}{t_{1/2}(Y)}$.
दिया गया है $\frac{N_X}{N_Y} = 1 : 2 \times 10^{-6}$ और $t_{1/2}(Y) = 4.9 \times 10^{-4} \ days$.
इसलिए,$t_{1/2}(X) = \frac{N_X}{N_Y} \times t_{1/2}(Y) = \frac{1}{2 \times 10^{-6}} \times 4.9 \times 10^{-4} \ days$.
$t_{1/2}(X) = 0.5 \times 10^6 \times 4.9 \times 10^{-4} \ days = 245 \ days$.

(D) दिया गया है: अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ = $5 \, {\text{वर्ष}}$,कुल समय $(t)$ = $15 \, {\text{वर्ष}}$,प्रारंभिक मात्रा $(N_0)$ = $64 \, \text{g}$.
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ = $\frac{t}{t_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$.
शेष बची मात्रा $(N)$ के लिए सूत्र: $N = \frac{N_0}{2^n}$.
मान रखने पर: $N = \frac{64}{2^3} = \frac{64}{8} = 8 \, \text{g}$.
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) दिया गया है: अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ = $1600 \ years$,कुल समय $(T)$ = $6400 \ years$.
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{T}{T_{1/2}} = \frac{6400}{1600} = 4$.
पदार्थ का शेष अंश इस सूत्र द्वारा प्राप्त होता है: $N = N_o \times (1/2)^n$.
प्रारंभिक मात्रा $N_o = 1$ मानते हुए,शेष मात्रा $N = 1 \times (1/2)^4 = 1/16$.
अतः,$6400 \ years$ के बाद शेष द्रव्यमान प्रारंभिक द्रव्यमान का $1/16$ होगा।

(A) कार्बन का क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है।
दिया गया है: प्रारंभिक सक्रियता $(r_o)$ = $15.2 \ min^{-1} g^{-1}$,अंतिम सक्रियता $(r)$ = $7.6 \ min^{-1} g^{-1}$,और $t_{1/2} = 5760$ वर्ष।
चूंकि $r = \frac{r_o}{2}$ है,इसलिए कलाकृति ने ठीक एक अर्ध-आयु पूरी कर ली है।
अतः,कलाकृति की आयु $(t)$ = $1 \times t_{1/2} = 5760$ वर्ष।

(B) मान लीजिए कि यूरेनियम के प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या $N_0$ है।
चूंकि चट्टान में यूरेनियम और लेड के परमाणुओं की संख्या समान है,इसलिए शेष यूरेनियम परमाणुओं की संख्या $(N)$ प्रारंभिक संख्या की आधी है,अर्थात $N = \frac{N_0}{2}$।
इसका अर्थ है कि एक अर्ध-आयु (half-life) बीत चुकी है।
चट्टान की आयु $(t)$ यूरेनियम की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ के बराबर है।
अतः,$t = 4.5 \times 10^9$ वर्ष।

(A) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है,जहाँ समय $t$ पर सक्रियता $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि प्रारंभिक सक्रियता $A_0 = 10A$,जहाँ $A$ स्वीकार्य सुरक्षित सक्रियता स्तर है।
क्षय स्थिरांक $\lambda$ अर्ध-आयु $t_{1/2}$ से $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{30 \text{ दिन}}$ द्वारा संबंधित है।
प्रथम कोटि के समाकलित दर समीकरण का उपयोग करते हुए: $t = \frac{2.303}{\lambda} \log_{10} \left( \frac{A_0}{A} \right)$.
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{(0.693 / 30)} \log_{10} (10)$.
गणना करने पर: $t = 30 \times \frac{2.303}{0.693} \times 1 \approx 100 \text{ दिन}$.

(C) $Gd-153$ का अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ $242$ दिन है।
कुल समय $(t)$ $2$ वर्ष है,जो $2 \times 365 = 730$ दिन होता है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{730}{242} \approx 3.016$ के रूप में की जाती है।
चूंकि $n \approx 3$ है,इसलिए पदार्थ की शेष मात्रा इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\text{शेष प्रतिशत} = \frac{100}{2^n} = \frac{100}{2^3} = \frac{100}{8} = 12.5\%$.
दिए गए विकल्पों में से $12.5\%$ के सबसे निकटतम मान $12.0\%$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $N_t = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $N_0 = 200 \text{ mg}$,$N_t = 25 \text{ mg}$,और $t_{1/2} = 4650 \text{ years}$।
मान रखने पर: $25 = 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$\frac{25}{200} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \Rightarrow \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
चूंकि $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$,इसलिए $n = 3$।
कुल समय $T = n \times t_{1/2} = 3 \times 4650 \text{ years} = 13950 \text{ years}$।

(D) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है।
विकिरण की तीव्रता मौजूद रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा के समानुपाती होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक तीव्रता $I_0 = 64 \times I_{safe}$ है और अंतिम तीव्रता $I = I_{safe}$ है।
संबंध $I = I_0 \times (1/2)^n$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है:
$I_{safe} = 64 \times I_{safe} \times (1/2)^n$
$1/64 = (1/2)^n$
$(1/2)^6 = (1/2)^n$
अतः,$n = 6$.
कुल समय $t$,$t = n \times t_{1/2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 2 \ hr$,इसलिए $t = 6 \times 2 = 12 \ hr$।

(B) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है। दर स्थिरांक $K = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{20} \ min^{-1}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$x_1\%$ से $x_2\%$ क्षय के लिए आवश्यक समय $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{100 - x_1}{100 - x_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$x_1 = 33$ और $x_2 = 67$ है,इसलिए शेष मात्रा $100 - 33 = 67$ और $100 - 67 = 33$ है।
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{(0.693/20)} \log \frac{67}{33}$.
गणना करने पर,$t \approx 20 \ min$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई अर्ध-आयु $t_{1/2} = 3 \ days$ है।
कुल समय $T = 12 \ days$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n) = \frac{12}{3} = 4$ है।
सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ का उपयोग करने पर।
$3 = N_0 \times (\frac{1}{2})^4$.
$3 = N_0 \times \frac{1}{16}$.
$N_0 = 48 \ g$।

(C) रेडियोधर्मी क्षय (प्रथम कोटि की अभिक्रिया) के लिए,$50\%$ क्षय में लगा समय $t_{50\%} = 1 \times t_{1/2} = 100 \, \text{min}$ है।
$87.5\%$ क्षय के लिए,शेष मात्रा $100\% - 87.5\% = 12.5\%$ है।
चूंकि $12.5\% = (1/2)^3$,यह $3$ अर्ध-आयु के बराबर है।
अतः,$t_{87.5\%} = 3 \times t_{1/2} = 3 \times 100 = 300 \, \text{min}$ है।
इन दो चरणों के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_{87.5\%} - t_{50\%} = 300 \, \text{min} - 100 \, \text{min} = 200 \, \text{min}$ है।

(B) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है।
क्षय स्थिरांक $(\lambda) = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \ year^{-1}$ है।
दिया गया है,प्रारंभिक मात्रा $[R]_0 = 100$ और शेष मात्रा $[R] = 80$ है।
प्रथम कोटि के समाकलित वेग समीकरण का उपयोग करते हुए:
$t = \frac{2.303}{\lambda} \log \frac{[R]_0}{[R]}$
मान रखने पर:
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \times \log \left( \frac{100}{80} \right)$
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \times \log(1.25)$
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \times 0.0969$
$t \approx 1845 \ years$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए, दर स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a - x}$।
चूंकि नमूना $90\%$ कम हो जाता है, इसलिए शेष मात्रा $(a - x)$ प्रारंभिक मात्रा $a$ का $10\%$ है, अर्थात $(a - x) = 0.1a$।
मान रखने पर: $k = \frac{2.303}{10} \log \frac{a}{0.1a} = \frac{2.303}{10} \log 10 = \frac{2.303}{10} \times 1 = 0.2303 \ \text{year}^{-1}$।
अर्ध-आयु $t_{1/2}$ की गणना: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.2303} \approx 3 \ \text{वर्ष}$।

(A) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{16 \ h}{4 \ h} = 4$ के रूप में की जाती है।
शेष द्रव्यमान $(N_t)$ सूत्र $N_t = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N_0 = 200 \ g$ है।
$N_t = 200 \times (\frac{1}{2})^4 = 200 \times \frac{1}{16} = 12.5 \ g$।
विघटित द्रव्यमान प्रारंभिक द्रव्यमान में से शेष द्रव्यमान को घटाने पर प्राप्त होता है: $\text{Disintegrated amount} = N_0 - N_t = 200 \ g - 12.5 \ g = 187.5 \ g$।

(A) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की अभिक्रिया का पालन करता है। दर स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \ year^{-1}$ है।
प्रथम कोटि के समाकलित दर समीकरण का उपयोग करते हुए: $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$.
यहाँ,$[A]_0 = 100$ और $[A]_t = 80$ है।
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{100}{80} \right) = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \log(1.25)$.
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \times 0.0969 \approx 1845 \ years$.

(C) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है।
मान लीजिए $N_0$ यूरेनियम परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है।
समय $t$ पर,शेष यूरेनियम परमाणुओं की संख्या $N_t$ है और बने लेड परमाणुओं की संख्या $N_0 - N_t$ है।
यह दिया गया है कि यूरेनियम और लेड के परमाणुओं की संख्या समान है,इसलिए $N_t = N_0 - N_t$,जिसका अर्थ है $N_t = N_0 / 2$।
इसका मतलब है कि बीता हुआ समय एक अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ के बराबर है।
अतः,चट्टान की आयु $t = t_{1/2} = 4.5 \times 10^9$ वर्ष होगी।

(D) विघटन की दर $R = N \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है।
क्षय स्थिरांक $\lambda$ अर्ध-आयु $T_{1/2}$ से $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दर समीकरण में $\lambda$ का मान रखने पर: $R = N \times \frac{0.693}{T_{1/2}}$.
परमाणुओं की संख्या $N$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $N = \frac{R \times T_{1/2}}{0.693}$.
दिया गया है $R = 10^{10} \ s^{-1}$ और $T_{1/2} = 2.2 \times 10^{9} \ s$:
$N = \frac{10^{10} \times 2.2 \times 10^{9}}{0.693} = \frac{2.2 \times 10^{19}}{0.693} \approx 3.17 \times 10^{19} \ \text{atoms}$.

(C) सभी परमाणु क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करते हैं।
$t = \frac{1}{k} \ln \frac{[A_0]}{[A]}$
दिया गया है $t_{1/2} = 6.93 \; \text{वर्ष}$,इसलिए $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{6.93} = 0.1 \; \text{वर्ष}^{-1}$।
इसे $90 \%$ कम करने के लिए,शेष मात्रा $[A] = 10 \% \text{ of } [A_0] = 0.1 [A_0]$ होगी।
$t = \frac{2.303}{k} \log_{10} \frac{[A_0]}{0.1 [A_0]} = \frac{2.303}{0.1} \log_{10} (10) = 23.03 \times 1 = 23.03 \; \text{वर्ष}$।

(N/A) क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है,जहाँ वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{28.1} \ y^{-1}$ है।
प्रथम कोटि के समाकलित वेग समीकरण का उपयोग करते हुए: $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[R]_0}{[R]}$.
$t = 10 \ years$ के लिए:
$10 = \frac{2.303}{0.693 / 28.1} \log \frac{1}{[R]}$
$\log [R] = -\frac{10 \times 0.693}{2.303 \times 28.1} \approx -0.1071$
$[R] = \text{antilog}(-0.1071) \approx 0.7814 \ \mu g$.
$t = 60 \ years$ के लिए:
$60 = \frac{2.303}{0.693 / 28.1} \log \frac{1}{[R]}$
$\log [R] = -\frac{60 \times 0.693}{2.303 \times 28.1} \approx -0.6425$
$[R] = \text{antilog}(-0.6425) \approx 0.2278 \ \mu g$.
अतः,$10 \ years$ के बाद $0.7814 \ \mu g$ और $60 \ years$ के बाद $0.2278 \ \mu g$ शेष रहेगा।

(B) ट्रिटियम $(^3H)$ की अर्ध-आयु अवधि $12.33$ वर्ष है।

(N/A) क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 1620 \ \text{years} = 1620 \times 365 \times 24 \times 60 \ min = 8.51472 \times 10^{8} \ min$.
$\lambda = \frac{0.693}{8.51472 \times 10^{8}} \ min^{-1} = 8.1389 \times 10^{-10} \ min^{-1}$.
$0.001 \ g$ $Ra^{226}$ में परमाणुओं की संख्या $N = \frac{0.001}{226} \times 6.022 \times 10^{23} = 2.6646 \times 10^{18} \ \text{atoms}$ है।
क्षय की दर (सक्रियता) $A = \lambda N = (8.1389 \times 10^{-10} \ min^{-1}) \times (2.6646 \times 10^{18}) = 2.1686 \times 10^{9} \ min^{-1} \approx 2.17 \times 10^{9} \ min^{-1}$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की गतिज ऊर्जा का पालन करता है। क्षय स्थिरांक $k$ इस प्रकार है: $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \ {\text{वर्ष}}^{-1}$.
प्रथम कोटि के समाकलित वेग समीकरण का उपयोग करते हुए: $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{N_0}{N_t} \right)$.
यहाँ,$N_0 = 15.3$ और $N_t = 2.25$.
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \log \left( \frac{15.3}{2.25} \right)$.
$t = 19042.7 \times \log(6.8)$.
$t = 19042.7 \times 0.8325 \approx 15853 \ {\text{वर्ष}}$.
अतः,मूर्ति की आयु लगभग $1.58 \times 10^{4} \ {\text{वर्ष}}$ है।

(N/A) क्षय स्थिरांक $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$t_{1/2}$ को सेकंड में बदलें: $t_{1/2} = 1.39 \times 10^{10} \ \text{वर्ष} \times 365 \times 24 \times 3600 \ \text{s/year} \approx 4.38 \times 10^{17} \ \text{s}$.
$\lambda = \frac{0.693}{4.38 \times 10^{17} \ \text{s}} \approx 1.58 \times 10^{-18} \ \text{s}^{-1}$.
$1.0 \ \text{g}$ $^{232}Th$ में परमाणुओं की संख्या $N = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} \times N_A = \frac{1.0 \ \text{g}}{232 \ \text{g/mol}} \times 6.022 \times 10^{23} \ \text{atoms/mol} \approx 2.596 \times 10^{21} \ \text{परमाणु}$.
उत्सर्जन की दर (सक्रियता) $A = \lambda N = (1.58 \times 10^{-18} \ \text{s}^{-1}) \times (2.596 \times 10^{21} \ \text{परमाणु}) \approx 4.10 \times 10^{3} \ \text{कण/सेकंड}$.

(N/A) $C^{14}$ का क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है। वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{5730} \ \text{yr}^{-1}$ है।
प्रथम कोटि के समाकलित वेग समीकरण का उपयोग करने पर: $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{N_0}{N_t} \right)$.
यहाँ,$N_0 = 15.3$ और $N_t = 11.9$.
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \log \left( \frac{15.3}{11.9} \right) \approx 2079 \ {\text{वर्ष}}$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय एक स्वतःस्फूर्त प्रक्रिया है जहाँ क्षय की दर उस समय उपस्थित रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या के सीधे समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे $-\frac{dN}{dt} = \lambda N$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चूंकि दर रेडियोधर्मी पदार्थ की सांद्रता की प्रथम घात पर निर्भर करती है,इसलिए रेडियोधर्मी क्षय अभिक्रियाएं हमेशा $1^{st}$ कोटि की अभिक्रियाएं होती हैं।