Rate of decay and Half-life Questions in Hindi

(B) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ के विघटन की दर $(r)$ समीकरण $r = \lambda \cdot N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N$ उपस्थित रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या है।
चूँकि विघटन की दर परमाणुओं की संख्या के सीधे समानुपाती होती है $(r \propto N)$,यदि पदार्थ की मात्रा (परमाणुओं की संख्या $N$) तीन गुना बढ़ा दी जाती है,तो प्रति इकाई समय में विघटित होने वाले परमाणुओं की संख्या भी तीन गुना हो जाएगी।

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{24}{8} = 3$ के रूप में की जाती है।
शेष द्रव्यमान $N$ सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान है।
मान रखने पर,$N = \frac{40}{2^3} = \frac{40}{8} = 5 \ g$.

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{90}{30} = 3$.
शेष परमाणुओं की संख्या $(N)$ सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_0$ परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है।
मान रखने पर: $N = 600 \times (\frac{1}{2})^3 = 600 \times \frac{1}{8} = 75 \ atoms$.

(D) रेडियोधर्मी विघटन की दर का सूत्र $Rate = \lambda \times N$ है,जहाँ $\lambda$ क्षय स्थिरांक है और $N$ उपस्थित रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या है।
चूंकि दर परमाणुओं की संख्या के सीधे समानुपाती होती है $(Rate \propto N)$,यदि रेडियोधर्मी तत्व की मात्रा दोगुनी कर दी जाती है,तो परमाणुओं की संख्या $N$ बढ़कर $2N$ हो जाएगी।
अतः,नई दर $\lambda \times (2N) = 2 \times (\lambda \times N)$ होगी,जो मूल दर की दोगुनी है।
इसलिए,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) विघटन स्थिरांक $(k)$ और अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ के बीच का संबंध: $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$
दिया गया है $t_{1/2} = 1000 \ s$.
मान रखने पर: $k = \frac{0.693}{1000 \ s} = 0.000693 \ s^{-1} = 6.93 \times 10^{-4} \ s^{-1}$.

(B) विघटन स्थिरांक $(K)$ और अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ के बीच संबंध: $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
यहाँ $t_{1/2} = 1600 \ years$ दिया गया है।
$K = \frac{0.693}{1600} = 4.33 \times 10^{-4} \ year^{-1}$.

(C) विघटन स्थिरांक $(K)$ और अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$
यहाँ $K = 0.58 \, hr^{-1}$ दिया गया है,
$t_{1/2} = \frac{0.693}{0.58} \approx 1.2 \, hr$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{16}{8} = 2$.
शेष द्रव्यमान $(N)$ के लिए सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक द्रव्यमान है।
मान रखने पर: $N = \frac{16.0}{2^2} = \frac{16.0}{4} = 4.0 \ g$.

(B) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{80}{20} = 4$ के रूप में की जाती है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष पदार्थ का अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 4$ रखने पर,हमें $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = (1/2)^n \times N_o$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $N_o = 1.0 \, g = 1000 \, mg$ और $N = 125 \, mg$.
$(1/2)^n = 125 / 1000 = 1/8$.
चूँकि $1/8 = (1/2)^3$,इसलिए $n = 3$.
अर्ध-आयु की संख्या $n = \text{कुल समय} / t_{1/2}$.
$3 = 24 \, hours / t_{1/2}$.
अतः,$t_{1/2} = 24 / 3 = 8 \, hours$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है: $N_t = N_0 e^{-\lambda t}$.
पहले अंतराल के लिए: $t = 15 \ min$ पर $N_t = N_0 / 10$.
अतः,$1/10 = e^{-\lambda(15)} \implies \ln(10) = 15\lambda \implies \lambda = \ln(10) / 15$.
मूल मात्रा के $1/100$ भाग तक पहुँचने के लिए कुल समय $T$: $N_T = N_0 / 100$.
$1/100 = e^{-\lambda T} \implies \ln(100) = \lambda T$.
चूँकि $\ln(100) = 2 \ln(10)$,इसलिए $2 \ln(10) = (\ln(10) / 15) \times T$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = 2 \times 15 = 30 \ min$.
आवश्यक अतिरिक्त समय $T - 15 = 30 - 15 = 15 \ min$ है।

(D) $75\%$ विघटन के बाद शेष बची मात्रा $100\% - 75\% = 25\%$ है।
चूंकि $25\% = (1/2)^2$,पदार्थ $2$ अर्ध-आयु काल से गुजरा है।
यह दिया गया है कि $2$ अर्ध-आयु $= 30 \, \text{min}$,इसलिए अर्ध-आयु $t_{1/2}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$t_{1/2} = \frac{30 \, \text{min}}{2} = 15 \, \text{min}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) औसत आयु $(\tau)$ और अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ के बीच का संबंध $\tau = \frac{t_{1/2}}{0.693}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 69.3 \text{ मिनट}$।
अतः,$\tau = \frac{69.3}{0.693} = 100 \text{ मिनट}$।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $N = N_0 \times (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
प्रथम स्थिति के लिए: $1.25 = 10 \times (1/2)^n \implies (1/2)^n = 1.25/10 = 1/8 = (1/2)^3$.
अतः,$n = 3$ अर्ध-आयु $15 \ \text{दिनों}$ के बराबर है।
इसलिए,अर्ध-आयु काल $T_{1/2} = 15/3 = 5 \ \text{दिन}$ है।
दूसरी स्थिति के लिए: $N_0 = 1 \ kg = 1000 \ g$ और $N = 500 \ g$ है।
$500 = 1000 \times (1/2)^n \implies (1/2)^n = 500/1000 = 1/2 = (1/2)^1$.
अतः,$n = 1$ अर्ध-आयु की आवश्यकता है।
लगा समय = $n \times T_{1/2} = 1 \times 5 = 5 \ \text{दिन}$।

(D) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{12}{3} = 4$ के रूप में की जाती है।
प्रारंभिक मात्रा $(N_0)$ और शेष मात्रा $(N)$ के बीच का संबंध $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है।
$N_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $N_0 = N \times 2^n$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$N_0 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48 \ g$।

(C) क्षय स्थिरांक $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{N_0}{N} \right)$।
यहाँ $t = 2.303 \ s$ और $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{10}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{N_0}{N} = 10$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{2.303}{2.303} \log(10) = 1 \times 1 = 1 \ s^{-1}$।
अर्ध-आयु काल $t_{1/2}$ का सूत्र है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$।
अतः,$t_{1/2} = \frac{0.693}{1} = 0.693 \ s$।

(D) दिया गया है,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ = $60 \ minutes = 1 \ hour$.
कुल समय $(T)$ = $3 \ hours$.
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ = $\frac{T}{t_{1/2}} = \frac{3 \ hours}{1 \ hour} = 3$.
शेष पदार्थ का अंश $\frac{N}{N_o} = (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 3$ रखने पर,हमें $\frac{N}{N_o} = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
शेष प्रतिशत = $\frac{1}{8} \times 100 = 12.5\%$.
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(B) विकिरण की तीव्रता रेडियोधर्मी पदार्थ की मात्रा के समानुपाती होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक तीव्रता $I_0$ है और सुरक्षित स्तर $I_s$ है।
दिया गया है $I_0 = 64 \times I_s$।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $I = I_0 \times (\frac{1}{2})^n$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
हमें $I = I_s$ चाहिए,इसलिए $I_s = 64 \times I_s \times (\frac{1}{2})^n$।
$\frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^n$।
चूंकि $64 = 2^6$,इसलिए $(\frac{1}{2})^6 = (\frac{1}{2})^n$,जिससे $n = 6$ प्राप्त होता है।
कुल समय $t = n \times T_{1/2} = 6 \times 2 \ hr = 12 \ hr$।

(B) एक रेडियोधर्मी नमूने की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ का सूत्र $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ है।
रेडियोधर्मी नमूने की औसत आयु $(\tau)$ क्षय स्थिरांक का व्युत्क्रम होती है,जिसे $\tau = \frac{1}{\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,अर्ध-आयु और औसत आयु क्रमशः $\frac{\ln 2}{\lambda}$ और $\frac{1}{\lambda}$ हैं।

(A) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{60 \ h}{20 \ h} = 3$ के रूप में की जाती है।
शेष मात्रा $(N)$ सूत्र $N = N_o \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$N = N_o \times (1/2)^3 = N_o \times (1/8)$।
अतः,शेष भाग प्रारंभिक मात्रा का $1/8$ है।

(A) नमूने की प्रारंभिक मात्रा $12 \ g$ है।
चूंकि $1 \ hr$ में $6 \ g$ क्षयित होता है,इसलिए पदार्थ की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ $1 \ hr$ है।
पहले घंटे के बाद,नमूने की शेष मात्रा $12 \ g - 6 \ g = 6 \ g$ है।
अगले घंटे (दूसरी अर्ध-आयु) में,शेष $6 \ g$ का आधा हिस्सा क्षयित हो जाएगा।
अगले घंटे में क्षयित मात्रा = $\frac{1}{2} \times 6 \ g = 3 \ g$.

(C) क्षय समीकरण $N = N_0 e^{-\lambda t}$ या $\lambda = \frac{2.303}{t} \log \frac{N_0}{N}$ है।
दिया गया है $t = 4.2 \ days$ और $N = 0.798 \ N_0$,इसलिए $\frac{N_0}{N} = \frac{1}{0.798} \approx 1.253$.
$\lambda = \frac{2.303}{4.2} \log(1.253) \approx 0.5483 \times 0.0979 \approx 0.0537 \ days^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$t_{1/2} = \frac{0.693}{0.0537} \approx 12.9 \ days$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $12.83$ $days$ है।

(A) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ उस रेडियोधर्मी समस्थानिक का एक विशिष्ट गुण है और यह नमूने की प्रारंभिक मात्रा या द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,यदि पदार्थ के $2.0 \ g$ की अर्ध-आयु $7 \ \text{दिन}$ है,तो उसी पदार्थ के $1 \ g$ की अर्ध-आयु भी $7 \ \text{दिन}$ ही होगी।

(A) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{80 \text{ वर्ष}}{20 \text{ वर्ष}} = 4$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद सक्रियता का सूत्र है: $A = \frac{A_0}{2^n}$.
यहाँ $A_0 = 8000 \text{ dis/min}$ और $n = 4$ दिया गया है,इसलिए:
$A = \frac{8000}{2^4} = \frac{8000}{16} = 500 \text{ dis/min}$.

(B) किसी रेडियोधर्मी समस्थानिक की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ एक नाभिकीय गुण है जो तापमान,दबाव या रासायनिक अवस्था जैसी बाहरी भौतिक स्थितियों से स्वतंत्र होती है। इसलिए,नमूने को गर्म करने से इसकी अर्ध-आयु में कोई परिवर्तन नहीं होगा। सही विकल्प $B$ है।

(C) अर्ध-आयु $t_{1/2} = 2.95 \text{ days}$ दी गई है।
सबसे पहले,अर्ध-आयु को सेकंड में बदलें: $t_{1/2} = 2.95 \times 24 \times 60 \times 60 \ s = 254880 \ s$.
क्षय स्थिरांक $\lambda$ की गणना $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{0.693}{254880} \approx 2.7 \times 10^{-6} \ s^{-1}$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया या रेडियोधर्मी क्षय के लिए अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ का सूत्र है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
दिया गया है $k = 2.31 \times 10^{-4} \ yr^{-1}$.
मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{2.31 \times 10^{-4}} = 0.3 \times 10^4 \ yrs$
$t_{1/2} = 3.0 \times 10^3 \ yrs$.

(A) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $N = N_0(1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है,अर्ध-आयु $t_{1/2} = 10 \ days$ और कुल समय $t = 40 \ days$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = t / t_{1/2} = 40 / 10 = 4$ है।
शेष मात्रा $N = 125 \ mg = 0.125 \ g$ है।
मान रखने पर: $0.125 = N_0(1/2)^4$।
$0.125 = N_0(1/16)$।
$N_0 = 0.125 \times 16 = 2 \ g$।

(A) रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ समस्थानिक का एक विशिष्ट गुण है और यह पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा पर निर्भर नहीं करती है।
चूंकि $10 \ g$ के लिए अर्ध-आयु $10 \ days$ है,इसलिए $20 \ g$ के लिए भी अर्ध-आयु $10 \ days$ ही होगी।

(B) $1$ फरवरी से $1$ जुलाई तक व्यतीत कुल समय $28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 150 \, days$ है।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = N_0 (1/2)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$0.25 = 8 \times (1/2)^n$
$(1/2)^n = 0.25 / 8 = 1 / 32 = (1/2)^5$.
अतः,$n = 5$.
चूँकि $n = \text{कुल समय} / t_{1/2}$,इसलिए $5 = 150 / t_{1/2}$.
$t_{1/2} = 150 / 5 = 30 \, days$.

(D) दिया गया प्रारंभिक द्रव्यमान $N_o = 10 \ g$,अंतिम द्रव्यमान $N = 1.25 \ g$,और अर्ध-आयु $t_{1/2} = 1620 \ years$ है।
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = N_o (1/2)^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है $(n = t / t_{1/2})$।
मान रखने पर: $1.25 = 10 \times (1/2)^n$।
$1.25 / 10 = (1/2)^n \implies 0.125 = (1/2)^n \implies 1/8 = (1/2)^n$।
चूँकि $1/8 = (1/2)^3$,इसलिए $n = 3$ प्राप्त होता है।
अब,कुल समय की गणना: $t = n \times t_{1/2} = 3 \times 1620 = 4860 \ years$।

(D) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{480}{120} = 4$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $N_0 = 4 \ g$ और $n = 4$:
$N = \frac{4}{2^4} = \frac{4}{16} = 0.25 \ g$.

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{28 \ \text{years}}{7 \ \text{years}} = 4$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $N_0 = 1 \ g$ और $n = 4$:
$N = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} = 0.0625 \ g$.
अतः,शेष बची हुई मात्रा $0.0625 \ g$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का संबंध: $\frac{N}{N_o} = (\frac{1}{2})^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $\frac{N}{N_o} = \frac{1}{8}$,इसलिए $(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$।
अतः,$n = 3$।
चूंकि $n = \frac{t}{t_{1/2}}$,इसलिए $3 = \frac{96}{t_{1/2}}$।
इस प्रकार,$t_{1/2} = \frac{96}{3} = 32 \ min$।

(A) रेडियोधर्मी क्षय के लिए सूत्र $N_t = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $N_0 = 100 \ mg$,$N_t = 25 \ mg$,और $t_{1/2} = 5760 \ years$।
$25 = 100 \times (\frac{1}{2})^n$
$(\frac{1}{2})^n = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$
अतः,$n = 2$।
कुल समय $t = n \times t_{1/2} = 2 \times 5760 = 11520 \ years$।

(C) अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ वह समय है जो एक रेडियोधर्मी पदार्थ को अपनी प्रारंभिक मात्रा के आधे $(50 \%)$ तक क्षय होने के लिए आवश्यक होता है।
चूंकि $t_{1/2} = 100 \ yrs$ दिया गया है,इसलिए तत्व को अपने द्रव्यमान के $50 \%$ तक विघटित होने में लगा समय एक अर्ध-आयु के बराबर होगा।
अतः,आवश्यक समय $100 \ yrs$ है।

(B) एक रेडियोधर्मी तत्व की औसत आयु $(\tau)$ को उसके क्षय स्थिरांक या विघटन स्थिरांक $(\lambda)$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$(\tau = \frac{1}{\lambda})$।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) शेष पदार्थ का अंश $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$,इसलिए $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^n$ है।
चूँकि $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$,इसलिए $n = 4$ है।
कुल आवश्यक समय $T = n \times t_{1/2} = 4 \times 30 \ min = 120 \ min$ है।

(D) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,$t$ समय के बाद शेष पदार्थ की मात्रा $N_t = N_0 \times (1/2)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ के पूर्ण क्षय के लिए,$N_t$ शून्य होना चाहिए।
गणितीय रूप से,यह केवल $t \to \infty$ होने पर ही संभव है।
अतः,पूर्ण क्षय के लिए आवश्यक समय अनंत है।

(C) अर्ध-आयु काल $(T_{1/2})$ वह समय है जिसमें किसी पदार्थ की सांद्रता उसके प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है।
एक अर्ध-आयु काल के बाद,शेष बचे पदार्थ की मात्रा का सूत्र $N = N_0 \times (1/2)^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$n = 1$ के लिए,$N = N_0 \times (1/2)^1 = N_0/2$।
अतः,एक अर्ध-आयु के बाद,प्रारंभिक पदार्थ का $1/2$ भाग शेष बचता है।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{15 \ days}{5 \ days} = 3$ के रूप में की जाती है।
शेष बची मात्रा $(N)$ सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है।
मान रखने पर: $N = \frac{20 \ g}{2^3} = \frac{20 \ g}{8} = 2.5 \ g$.

(A) रेडियोधर्मी समस्थानिक की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ उस समस्थानिक का एक अभिलक्षणिक गुण है।
यह पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा या सांद्रता पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,उसी पदार्थ के $0.5 \ g$ की अर्ध-आयु $2.0 \ g$ के समान ही $20 \ hr$ होगी।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{Total time}}{\text{Half-life}} = \frac{24 \ h}{8 \ h} = 3$ के रूप में की जाती है।
शेष मात्रा $(N)$ सूत्र $N = \frac{N_0}{2^n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_0$ प्रारंभिक मात्रा है।
मान रखने पर,$N = \frac{1 \ mg}{2^3} = \frac{1}{8} \ mg$।

(C) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ वह समय है जो पदार्थ की मात्रा को उसके प्रारंभिक मान का आधा होने के लिए आवश्यक होता है।
यह दिया गया है कि $_{92}U^{238}$ की अर्ध-आयु $4.5 \times 10^9$ वर्ष है,इसलिए परिभाषा के अनुसार $4.5 \times 10^9$ वर्षों के बाद,$_{92}U^{238}$ की मात्रा अपनी वर्तमान मात्रा की आधी रह जाएगी।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(C) विघटन की दर $(r)$ सूत्र $r = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ और $N$ परमाणुओं की संख्या है।
सबसे पहले,क्षय स्थिरांक $\lambda$ को सेकंड$^{-1}$ में ज्ञात करें:
$\lambda = \frac{0.693}{1600 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60} \approx 1.37 \times 10^{-11} \ s^{-1}$.
इसके बाद,$1 \ g$ रेडियम में परमाणुओं की संख्या $N$ ज्ञात करें:
$N = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{परमाणु भार}} \times N_A = \frac{1}{226} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.665 \times 10^{21} \ \text{परमाणु}$.
अंत में,विघटन की दर $r$ की गणना करें:
$r = (1.37 \times 10^{-11}) \times (2.665 \times 10^{21}) \approx 3.65 \times 10^{10} \ dps$.
यह मान लगभग $3.7 \times 10^{10} \ dps$ है।

(C) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$,इसलिए $(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$ है।
अतः,$n = 4$ है।
कुल समय $t = n \times t_{1/2} = 4 \times 6 \ months = 24 \ months$ है।
चूंकि $12 \ months = 1 \ year$,इसलिए $24 \ months = 2 \ years$ है।

(B) दिया गया है कि अर्ध-आयु $(T_{1/2})$ का परिमाण क्षय स्थिरांक $(\lambda)$ के परिमाण के बराबर है,इसलिए $T_{1/2} = \lambda$।
हम जानते हैं कि अर्ध-आयु और क्षय स्थिरांक के बीच का संबंध $T_{1/2} = \frac{0.693}{\lambda}$ है।
समीकरण में $T_{1/2} = \lambda$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{0.693}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\lambda^2 = 0.693$।
अतः,$\lambda = \sqrt{0.693} = (0.693)^{1/2}$।
चूंकि $T_{1/2} = \lambda$,इसलिए इसका मान $(0.693)^{1/2}$ है।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{3 \text{ दिन}}{1 \text{ दिन}} = 3$ के रूप में की जाती है।
शेष मात्रा $(N)$ सूत्र $N = N_o \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
$n = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N = N_o \times (1/2)^3 = N_o \times 1/8$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल मात्रा का $1/8$ भाग शेष रहेगा।

(B) रेडियोधर्मी क्षय का सूत्र है: $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि रेडियोधर्मिता ताजी लकड़ी की आधी है,इसलिए $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2}$।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^n$,जिसका अर्थ है $n = 1$।
नमूने की आयु $(t)$ की गणना $t = n \times t_{1/2}$ द्वारा की जाती है।
चूंकि $t_{1/2} = 6000 \ years$ दिया गया है,इसलिए $t = 1 \times 6000 = 6000 \ years$ प्राप्त होता है।

(A) सही विकल्प $A$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल का सूत्र $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} = \frac{0.693}{k}$ होता है।
अतः,$t_{1/2} = \text{constant} \times k^{-1}$।