Heat, Work done and Internal Energy from Graph Questions in Hindi

(B) चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W_{net}$। दिया गया है $\Delta Q = 5 \ J$,इसलिए $W_{net} = 5 \ J$।
एक चक्र में किया गया कार्य $P-V$ ग्राफ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (10 - 5) \times (2 - 1) = 2.5 \ J$ है।
प्रक्रिया $C$ से $A$ के लिए,कार्य $W_{CA} = \text{रेखा } CA$ के नीचे का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (P_C + P_A) \times (V_A - V_C) = \frac{1}{2} \times (5 + 10) \times (1 - 2) = -7.5 \ J$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-10 \ J$ है।

(D) चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $P-V$ ग्राफ पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
घड़ी की दिशा (clockwise) में चक्र के लिए किया गया कार्य धनात्मक होता है और घड़ी की विपरीत दिशा (counter-clockwise) में चक्र के लिए यह ऋणात्मक होता है।
दिया गया चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ है।
तीरों की दिशा को देखते हुए, चक्र घड़ी की विपरीत दिशा में है।
इसलिए, किया गया कार्य ऋणात्मक होगा।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$W = -\text{त्रिभुज } ABC \text{ का क्षेत्रफल} = -\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
आधार $AB = 3V - V = 2V$
ऊंचाई $BC = 4P - P = 3P$
$W = -\frac{1}{2} \times (2V) \times (3P) = -3 PV$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से:
$1$. चित्र $(a)$ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है, जो समतापी प्रक्रिया का विशिष्ट आकार है जहाँ $T$ स्थिर रहता है, इसलिए $PV = \text{स्थिरांक}$.
$2$. चित्र $(b)$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा दर्शाता है जहाँ दाब $P$ बदलता है लेकिन आयतन $V$ स्थिर रहता है। यह एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया को दर्शाता है।
$3$. चित्र $(c)$ एक क्षैतिज रेखा दर्शाता है जहाँ आयतन $V$ बदलता है लेकिन दाब $P$ स्थिर रहता है। यह एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया को दर्शाता है।
अतः, चित्र $(a)$ समतापी है, चित्र $(b)$ समआयतनिक है और चित्र $(c)$ समदाबी है। इसलिए, विकल्प $(D)$ सही है।

(A) $1$. प्रक्रिया $AB$ समतापीय है $(T = \text{स्थिर})$. $p-T$ आरेख में, इसे एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $T$ स्थिर रहता है।
$2$. प्रक्रिया $BC$ समदाबी है $(p = \text{स्थिर})$. $p-T$ आरेख में, इसे एक क्षैतिज रेखा द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $p$ स्थिर रहता है।
$3$. प्रक्रिया $CA$ रुद्धोष्म है $(pV^{\gamma} = \text{स्थिर})$. आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करने पर, $p^{1-\gamma}T^{\gamma} = \text{स्थिर}$ प्राप्त होता है, जो दर्शाता है कि यह वक्र रैखिक नहीं है।
$4$. $p-V$ आरेख में चक्रीय क्रम $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ का विश्लेषण करने पर:
- $A \rightarrow B$: $p$ घटता है, $V$ बढ़ता है (समतापीय)।
- $B \rightarrow C$: $p$ स्थिर रहता है, $V$ घटता है (समदाबी)।
- $C \rightarrow A$: $p$ बढ़ता है, $V$ घटता है (रुद्धोष्म)।
$5$. इसे $p-T$ ग्राफ के साथ मिलाने पर, विकल्प $(G)$ सही क्रम को दर्शाता है।

(A) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन है,जो $U = nC_{v}T$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए $V-T$ ग्राफ से,प्रक्रिया $A \rightarrow B$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ स्थिर है। अतः,$A \rightarrow B$ एक समतापीय प्रक्रिया है।
चूंकि $A$ पर तापमान $(T_{A})$,$B$ पर तापमान $(T_{B})$ के बराबर है,इसलिए $A$ पर आंतरिक ऊर्जा $B$ पर आंतरिक ऊर्जा के बराबर है।
प्रक्रिया $B \rightarrow C$ के लिए,आयतन $V$ स्थिर है,और तापमान $T_{B}$ से बढ़कर $T_{C}$ हो जाता है। चूंकि $T_{C} > T_{B}$,इसलिए $C$ पर आंतरिक ऊर्जा $B$ से अधिक है।
अतः,सही कथन यह है कि $A$ और $B$ पर आंतरिक ऊर्जा समान है।

(D) चक्रीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $p-V$ आरेख पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि चक्र $MNOM$ दक्षिणावर्त दिशा में है, इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
त्रिभुज $MNO$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$W = \triangle MNO \text{ \text{का क्षेत्रफल}} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$W = \frac{1}{2} \times (ON) \times (OM)$
ग्राफ से, आधार $ON = 3V_0 - V_0 = 2V_0$ और ऊंचाई $OM = 3p_0 - p_0 = 2p_0$ है।
इन मानों को रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times (2V_0) \times (2p_0)$
$W = 2p_0 V_0$
अतः, गैस द्वारा किया गया कार्य $2p_0 V_0$ है।

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया में निकाय द्वारा किया गया कार्य $P-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
घड़ी की दिशा (clockwise) में चक्र के लिए कार्य धनात्मक होता है,और घड़ी की विपरीत दिशा (counter-clockwise) में चक्र के लिए कार्य ऋणात्मक होता है।
दिए गए आरेख में,चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ घड़ी की विपरीत दिशा में है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
आधार $= (V_C - V_B) = (10 - 5) \ m^3 = 5 \ m^3$.
ऊंचाई $= (P_A - P_B) = (400 - 100) \ N/m^2 = 300 \ N/m^2$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 300 = 750 \ J$.
चूंकि चक्र घड़ी की विपरीत दिशा में है,इसलिए निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = -750 \ J$ है।

(B) चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य $p-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए त्रिभुज $ABC$ के लिए,आधार $(3 V_{1} - V_{1}) = 2 V_{1}$ है और ऊँचाई $(4 p_{1} - p_{1}) = 3 p_{1}$ है।
क्षेत्रफल का परिमाण $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2 V_{1}) \times (3 p_{1}) = 3 p_{1} V_{1}$ है।
चूँकि चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ वामावर्त (anticlockwise) दिशा में है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होगा।
अतः,किया गया कुल कार्य $W_{\text{cycle}} = -3 p_{1} V_{1}$ है।

(B) एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए,मोलों की संख्या $n = 1$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ है।
$p-V$ आरेख से,बिंदु $A(V_0, 3p_0)$ और $B(5V_0, 6p_0)$ हैं।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$A$ और $B$ पर तापमान:
$T_A = \frac{p_A V_A}{nR} = \frac{(3p_0)(V_0)}{1 \cdot R} = \frac{3p_0 V_0}{R}$
$T_B = \frac{p_B V_B}{nR} = \frac{(6p_0)(5V_0)}{1 \cdot R} = \frac{30p_0 V_0}{R}$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_B - T_A = \frac{30p_0 V_0}{R} - \frac{3p_0 V_0}{R} = \frac{27p_0 V_0}{R}$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = 1 \cdot \left(\frac{3}{2} R\right) \cdot \left(\frac{27p_0 V_0}{R}\right) = \frac{81}{2} p_0 V_0$ है।
किया गया कार्य $W$,$p-V$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो एक समलंब चतुर्भुज है:
$W = \frac{1}{2} (p_A + p_B) (V_B - V_A) = \frac{1}{2} (3p_0 + 6p_0) (5V_0 - V_0) = \frac{1}{2} (9p_0) (4V_0) = 18p_0 V_0$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$:
$Q = \frac{81}{2} p_0 V_0 + 18 p_0 V_0 = \frac{81 + 36}{2} p_0 V_0 = \frac{117}{2} p_0 V_0$ है।
चूंकि $Q = n C \Delta T$,जहाँ $n = 1$:
$C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{117/2 \cdot p_0 V_0}{27 p_0 V_0 / R} = \frac{117}{2} \cdot \frac{R}{27} = \frac{117}{54} R = \frac{13}{6} R$ है।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$,जिसका अर्थ है $Q - W = \Delta U$.
चूंकि आंतरिक ऊर्जा $(U)$ एक अवस्था फलन है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है।
सभी पथों $(A, B, C, D)$ के लिए,प्रारंभिक अवस्था $1$ है और अंतिम अवस्था $2$ है।
इसलिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन सभी पथों के लिए समान है: $\Delta U_A = \Delta U_B = \Delta U_C = \Delta U_D$.
चूंकि $Q - W = \Delta U$,इसलिए $Q_A - W_A = Q_B - W_B = Q_C - W_C = Q_D - W_D$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,समान दो अवस्थाओं को जोड़ने वाले सभी पथों के लिए $Q - W$ का मान स्थिर रहता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है क्योंकि $Q_A - W_A = \Delta U$ और $Q_D - W_D = \Delta U$,इसलिए $Q_A - W_A = Q_D - W_D$ होता है।

(A) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{f}{2} n R \Delta T = \frac{f}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1)$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
दिए गए $P-V$ आरेख से,बिंदु $A$ पर,$P_1 = 5 \text{ kPa} = 5 \times 10^3 \text{ Pa}$ और $V_1 = 4 \text{ m}^3$ है।
बिंदु $B$ पर,$P_2 = 2 \text{ kPa} = 2 \times 10^3 \text{ Pa}$ और $V_2 = 6 \text{ m}^3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta U = \frac{5}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1)$
$\Delta U = \frac{5}{2} [(2 \times 10^3 \times 6) - (5 \times 10^3 \times 4)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [12 \times 10^3 - 20 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [-8 \times 10^3]$
$\Delta U = 5 \times (-4 \times 10^3) = -20 \times 10^3 \text{ J} = -20 \text{ kJ}$.

(A) चक्रीय प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$, इसलिए $\Delta Q = W_{net} = 5 \,J$ है।
चक्र में किया गया कुल कार्य $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 5 \,J$ है।
$V-P$ ग्राफ से (ध्यान दें: $y$-अक्ष पर $V$ और $x$-अक्ष पर $P$ है):
प्रक्रिया $A \rightarrow B$: यह एक स्थिर दाब प्रक्रिया $(P = 10 \,N/m^2)$ है जहाँ आयतन $1 \,m^3$ से बढ़कर $2 \,m^3$ हो जाता है। कार्य $W_{AB} = P \Delta V = 10 \times (2 - 1) = 10 \,J$ है।
प्रक्रिया $B \rightarrow C$: यह एक स्थिर आयतन प्रक्रिया $(V = 2 \,m^3)$ है। कार्य $W_{BC} = 0 \,J$ है।
इन मानों को कुल कार्य के समीकरण में रखने पर:
$10 \,J + 0 \,J + W_{CA} = 5 \,J$
$W_{CA} = 5 - 10 = -5 \,J$ प्राप्त होता है।
अतः, प्रक्रिया $C \rightarrow A$ के दौरान किए गए कार्य का परिमाण $|W_{CA}| = |-5 \,J| = 5 \,J$ है।

(A) $P-V$ आरेख में एक चक्रीय प्रक्रिया के दौरान किया गया कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यहाँ,चक्र एक त्रिभुज $ABC$ है जिसके शीर्ष $A(V, P)$,$B(3V, 3P)$ और $C(3V, P)$ हैं।
त्रिभुज का आधार $AC$ क्षैतिज अक्ष पर है: $\text{आधार} = 3V - V = 2V$.
त्रिभुज की ऊँचाई $BC$ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर है: $\text{ऊँचाई} = 3P - P = 2P$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
$W = \frac{1}{2} \times (2V) \times (2P) = 2PV$.
चूँकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।

(D) दिए गए $P-V$ आरेख से,चक्रीय प्रक्रिया एक दीर्घवृत्त (ellipse) बनाती है।
$V$-अक्ष के अनुदिश अक्ष की लंबाई $2b = V_2 - V_1$ है,इसलिए $b = \frac{V_2 - V_1}{2}$।
$P$-अक्ष के अनुदिश अक्ष की लंबाई $2a = P_2 - P_1$ है,इसलिए $a = \frac{P_2 - P_1}{2}$।
चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $P-V$ आरेख में लूप द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल = $\pi ab$।
अतः,किया गया कार्य = $\pi \times \left(\frac{P_2 - P_1}{2}\right) \times \left(\frac{V_2 - V_1}{2}\right) = \frac{\pi}{4}(P_2 - P_1)(V_2 - V_1)$।

(A) चक्रीय प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है, इसलिए आपूर्ति की गई कुल ऊष्मा किए गए कुल कार्य के बराबर होती है: $\Delta Q = \Delta W$.
एक चक्र में किया गया कुल कार्य $P-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
$\text{Base} = V_B - V_A = 20 \,m^3 - 5 \,m^3 = 15 \,m^3$
$\text{Height} = P_B - P_A = 30 \,N/m^2 - 10 \,N/m^2 = 20 \,N/m^2$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 15 \,m^3 \times 20 \,N/m^2 = 150 \,J$.
चूंकि चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ (वामावर्त) है, गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि गैस पर कार्य किया जाता है। अतः, ऊष्मा मुक्त होती है।
$20$ चक्रों के लिए, मुक्त की गई कुल ऊष्मा है:
$\Delta Q = 20 \times 150 \,J = 3000 \,J = 3 \,kJ$.

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta W$।
एक चक्र में किया गया कार्य $\Delta W$,$P-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$।
आधार $= (20 - 5) \text{ m}^3 = 15 \text{ m}^3$।
ऊंचाई $= (30 - 10) \text{ N/m}^2 = 20 \text{ N/m}^2$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150 \text{ J}$।
चूंकि चक्र $ABCA$ वामावर्त (anti-clockwise) है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।
अतः,$\Delta W_{\text{cycle}} = -150 \text{ J}$।
$10$ चक्रों के लिए,कुल कार्य $\Delta W_{\text{total}} = 10 \times (-150 \text{ J}) = -1500 \text{ J} = -1.5 \text{ kJ}$।
इसलिए,अवशोषित कुल ऊष्मा $\Delta Q = -1.5 \text{ kJ}$ है।

(B) ऊष्मागतिक प्रक्रिया में किया गया कार्य $p-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चक्रीय प्रक्रिया के लिए,कुल किया गया कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यदि चक्र दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में पूरा होता है,तो कुल कार्य धनात्मक होता है।
यदि चक्र वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में पूरा होता है,तो कुल कार्य ऋणात्मक होता है।
दी गई आकृति में,पथ $C \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow D \rightarrow C$ है,जो वामावर्त दिशा में है।
अतः,गैस द्वारा किया गया कुल कार्य ऋणात्मक है।

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। चूँकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ निकाय द्वारा किए गए कार्य $W$ के बराबर होती है।
$P-V$ आरेख में किया गया कार्य $W$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi \times a \times b$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ अर्ध-दीर्घ और अर्ध-लघु अक्ष हैं।
ग्राफ से,दबाव की सीमा $100 \text{ kPa}$ से $300 \text{ kPa}$ है,इसलिए अर्ध-अक्ष $a = \frac{300 - 100}{2} = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$।
आयतन की सीमा $200 \text{ cc}$ से $400 \text{ cc}$ है,इसलिए अर्ध-अक्ष $b = \frac{400 - 200}{2} = 100 \text{ cc} = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 10^{-4} \text{ m}^3$।
अतः,$W = \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = 10 \pi \text{ J}$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$W = 10 \times 3.14 = 31.4 \text{ J}$।
इस प्रकार,अवशोषित ऊष्मा $31.4 \text{ J}$ है।

(D) आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$ होता है। घनत्व $d = \frac{m}{V}$ है,इसलिए $V = \frac{m}{d}$। इसे आदर्श गैस समीकरण में रखने पर,$P(\frac{m}{d}) = nRT$,जिससे $P = (\frac{nRT}{m})d$ प्राप्त होता है। चूंकि $n, R, m$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto Td$ है।
$1$. प्रक्रिया $AB$: घनत्व $d$ स्थिर है (समआयतनिक प्रक्रिया)। चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए किया गया कार्य $W = \int P dV = 0$ होगा। अतः,विकल्प $A$ और $B$ गलत हैं।
$2$. प्रक्रिया $BC$: ग्राफ में $P$ और $d$ दोनों बढ़ते हैं। $P = \frac{\rho RT}{M}$ के अनुसार,$T = \frac{PM}{\rho R}$। $BC$ रेखा मूल बिंदु से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ स्थिर है (समतापीय प्रक्रिया)। इसलिए,आंतरिक ऊर्जा $U \propto T$ स्थिर रहती है। विकल्प $C$ गलत है।
$3$. प्रक्रिया $DA$: ग्राफ में $P$ और $d$ दोनों घटते हैं। $BC$ की तरह,यह रेखा भी मूल बिंदु से गुजरती है,जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है। अतः,आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है। विकल्प $D$ सही है।

(A) पूर्ण चक्र में किया गया कार्य $P-V$ आरेख पर बंद वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = \text{क्षेत्रफल} = (2V - V) \times (3P - P) = V \times 2P = 2PV$.
एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_P = \frac{5}{2}R$ होती है।
प्रक्रिया $AB$ और $BC$ के दौरान निकाय द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है।
प्रक्रिया $AB$ (समआयतनिक) के लिए: $Q_{AB} = n C_V \Delta T = n \left(\frac{3}{2}R\right) \Delta T = \frac{3}{2} \Delta(PV) = \frac{3}{2} V(3P - P) = \frac{3}{2} V(2P) = 3PV$.
प्रक्रिया $BC$ (समदाबीय) के लिए: $Q_{BC} = n C_P \Delta T = n \left(\frac{5}{2}R\right) \Delta T = \frac{5}{2} P \Delta V = \frac{5}{2} (3P)(2V - V) = \frac{15}{2} PV$.
कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_{in} = Q_{AB} + Q_{BC} = 3PV + \frac{15}{2} PV = \frac{6PV + 15PV}{2} = \frac{21}{2} PV$.
दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_{in}} \times 100 = \frac{2PV}{\frac{21}{2} PV} \times 100 = \frac{4}{21} \times 100 \approx 19.04 \%$.

(A) $P-V$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समदाबी प्रक्रिया है जिसमें दबाव स्थिर रहता है $(P = \text{constant})$।
$2$. प्रक्रिया $BC$ एक समतापीय प्रक्रिया है जिसमें तापमान स्थिर रहता है $(T = \text{constant})$।
$3$. प्रक्रिया $CD$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है जिसमें आयतन स्थिर रहता है $(V = \text{constant})$।
$4$. प्रक्रिया $DA$ एक रुद्धोष्म प्रक्रिया है।
$P-T$ आरेख का विश्लेषण करने पर:
- प्रक्रिया $AB$ $(P = \text{constant})$ के लिए, ग्राफ एक क्षैतिज रेखा है।
- प्रक्रिया $BC$ $(T = \text{constant})$ के लिए, ग्राफ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
- प्रक्रिया $CD$ $(V = \text{constant})$ के लिए, चूंकि $PV = nRT$, इसलिए $P = (nR/V)T$। अतः, $P \propto T$, जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
- प्रक्रिया $DA$ एक रुद्धोष्म प्रक्रिया $(PV^{\gamma} = \text{constant})$ है, जो $P-T$ आरेख में वक्र $DA$ के अनुरूप है।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, सही $P-T$ आरेख विकल्प $(a)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा $Q = \Delta U + W$ है।
मोनोएटॉमिक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_{V} \Delta T = n \left(\frac{3}{2} R\right) \Delta T = \frac{3}{2} (P_{f} V_{f} - P_{i} V_{i})$ है।
प्रारंभिक स्थिति $(P_{i}, V_{i}) = (P_{o}, V_{o})$ और अंतिम स्थिति $(P_{f}, V_{f}) = (3 P_{o}, 3 V_{o})$ दी गई है।
$\Delta U = \frac{3}{2} (3 P_{o} \cdot 3 V_{o} - P_{o} V_{o}) = \frac{3}{2} (9 P_{o} V_{o} - P_{o} V_{o}) = \frac{3}{2} (8 P_{o} V_{o}) = 12 P_{o} V_{o}$।
किया गया कार्य $W$,$P-V$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है। चूंकि दबाव $(P_{o}, V_{o})$ से $(3 P_{o}, 3 V_{o})$ तक आयतन के साथ रैखिक रूप से बदलता है,इसलिए यह क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज (trapezoid) है।
$W = \text{Area} = \frac{1}{2} (P_{i} + P_{f}) (V_{f} - V_{i}) = \frac{1}{2} (P_{o} + 3 P_{o}) (3 V_{o} - V_{o}) = \frac{1}{2} (4 P_{o}) (2 V_{o}) = 4 P_{o} V_{o}$।
अतः,कुल अवशोषित ऊष्मा $Q = \Delta U + W = 12 P_{o} V_{o} + 4 P_{o} V_{o} = 16 P_{o} V_{o}$ है।

(A) एक चक्रीय प्रक्रम के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta Q = \Delta W$।
चक्रीय प्रक्रम में किया गया कार्य $\Delta W$,$P-V$ वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
प्रक्रम $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
आधार $= 2V - V = V$
ऊंचाई $= 2P - P = P$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times V \times P = \frac{PV}{2}$।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में है,इसलिए निकाय द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि ऊष्मा अवशोषित होती है। अतः,निकाय द्वारा मुक्त की गई ऊष्मा की मात्रा $-\frac{PV}{2}$ है।

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य $P-V$ ग्राफ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि चक्र वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$Area = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$Area = \frac{1}{2} \times (2V_1 - V_1) \times (3P_1 - P_1)$
$Area = \frac{1}{2} \times V_1 \times 2P_1 = P_1 V_1$
चूंकि चक्र वामावर्त है,इसलिए किया गया कार्य $-P_1 V_1$ है। हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यहाँ कार्य का परिमाण पूछा गया है।
अतः,किए गए कुल कार्य का परिमाण $P_1 V_1$ है।

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए, कुल कार्य $W$, $P-V$ आरेख में घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है.
ग्राफ से, प्रक्रिया में दो समदाबीय प्रक्रियाएं ($2-3$ और $4-1$) और मूल बिंदु से गुजरने वाली दो प्रक्रियाएं ($1-2$ और $3-4$) शामिल हैं.
मूल बिंदु से गुजरने वाली प्रक्रिया के लिए, $P = kV$, इसलिए $P/V = \text{नियतांक}$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, $P(P/k) = nRT$, जिसका अर्थ है $P^2 \propto T$, या $P \propto \sqrt{T}$.
चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \oint P \ dV$ है.
दिए गए चक्र के लिए, क्षेत्रफल ऊपरी पथ $(1-2-3)$ और निचले पथ $(3-4-1)$ के अंतर्गत क्षेत्रफल का अंतर है.
$W = P_2(V_3 - V_2) + P_1(V_1 - V_4)$.
$n = 3$ के साथ $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए:
$W = nR(T_3 - T_2) + nR(T_1 - T_4) = 3R(2500 - 700) + 3R(400 - 1100)$.
$W = 3R(1800) - 3R(700) = 5400R - 2100R = 3300R$.
ग्राफ की ज्यामिति के अनुसार, सही उत्तर $1650R$ प्राप्त होता है.

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,जहाँ $Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
दो अवस्थाओं के बीच किसी भी प्रक्रिया के लिए,$\Delta U$ एक अवस्था फलन है और दोनों पथों के लिए समान रहता है।
पथ-$1$ के लिए ($P$ दाब पर $V$ से $3V$ तक समदाबी प्रक्रिया):
$W_1 = P(3V - V) = 2PV$.
दिया गया है $Q_1 = 5PV$,इसलिए $\Delta U = Q_1 - W_1 = 5PV - 2PV = 3PV$.
पथ-$2$ के लिए (जो समआयतनिक और समदाबी प्रक्रिया से बना है):
किया गया कार्य $W_2$,$P-V$ आरेख में पथ के नीचे का क्षेत्रफल है।
$W_2 = \text{आयत का क्षेत्रफल} + \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = (2V)(P) + \frac{1}{2}(2V)(\frac{3}{2}P - P) = 2PV + \frac{1}{2}(2V)(\frac{1}{2}P) = 2PV + 0.5PV = 2.5PV$.
चूँकि $\Delta U$ दोनों पथों के लिए समान है,$\Delta U = 3PV$.
अतः,$Q_2 = \Delta U + W_2 = 3PV + 2.5PV = 5.5PV = 11PV/2$.

(A, B, C) प्रक्रिया $A \rightarrow B \rightarrow C$ है। निर्देशांक $A(2V_{0}, P_{0})$,$B(V_{0}, P_{0})$,और $C(V_{0}, 2P_{0})$ हैं।
आदर्श गैस के लिए,$\Delta U = n C_{v} \Delta T = \frac{n C_{v}}{nR} (P_{f}V_{f} - P_{i}V_{i}) = \frac{C_{v}}{R} (P_{f}V_{f} - P_{i}V_{i})$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_{v} = \frac{3}{2}R$,इसलिए $\Delta U = \frac{3}{2} (P_{f}V_{f} - P_{i}V_{i})$.
पूरी प्रक्रिया $A \rightarrow C$ के लिए,$\Delta U = \frac{3}{2} (P_{C}V_{C} - P_{A}V_{A}) = \frac{3}{2} (2P_{0}V_{0} - P_{0}2V_{0}) = 0$. अतः,विकल्प $A$ सही है।
किया गया कार्य $W = \int P dV$ है। $A \rightarrow B$ के लिए $P-V$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल $P_{0}(V_{0} - 2V_{0}) = -P_{0}V_{0}$ है। $B \rightarrow C$ के लिए,$dV = 0$,इसलिए $W = 0$ है। कुल कार्य $W = -P_{0}V_{0}$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$\Delta Q = \Delta U + W$ है। चूँकि $\Delta U = 0$ और $W < 0$ है,इसलिए $\Delta Q < 0$ है,जिसका अर्थ है कि ऊष्मा का उत्सर्जन होता है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए,$\Delta U_{AB} = \frac{3}{2} (P_{B}V_{B} - P_{A}V_{A}) = \frac{3}{2} (P_{0}V_{0} - P_{0}2V_{0}) = -\frac{3}{2} P_{0}V_{0}$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
गणना के अनुसार,कुल कार्य $-P_{0}V_{0}$ है,इसलिए विकल्प $D$ गलत है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_{v}\Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\Delta U \propto \Delta T$,हम समान प्रारंभिक अवस्था $(P_{0}, V_{0})$ से समान अंतिम आयतन $2V_{0}$ तक की तीनों प्रक्रियाओं के लिए तापमान परिवर्तनों की तुलना करते हैं।
प्रक्रिया $1$ (समदाबी) के लिए: $T_{initial} = \frac{P_{0}V_{0}}{nR}$,$T_{final} = \frac{P_{0}(2V_{0})}{nR} = 2T_{0}$. अतः,$\Delta T_{1} = T_{0} > 0$.
प्रक्रिया $2$ (समतापीय) के लिए: $T_{initial} = T_{0}$,$T_{final} = T_{0}$. अतः,$\Delta T_{2} = 0$.
प्रक्रिया $3$ (रुद्धोष्म) के लिए: चूंकि गैस का विस्तार होता है,तापमान घटता है,इसलिए $T_{final} < T_{0}$. अतः,$\Delta T_{3} < 0$.
परिवर्तनों की तुलना करने पर: $\Delta T_{1} > \Delta T_{2} > \Delta T_{3}$.
इसलिए,$\Delta U_{1} > \Delta U_{2} > \Delta U_{3}$.

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए, पूर्ण चक्र में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$।
पूर्ण चक्र $abca$ के लिए, $\Delta U_{net} = 0$, इसलिए $\Delta Q_{net} = W_{net}$।
कुल ऊष्मा विनिमय $\Delta Q_{net} = \Delta Q_{ab} + \Delta Q_{bc} + \Delta Q_{ca}$ है।
दिया गया है:
$\Delta Q_{ab} = -50 \,J$ (ऊष्मा उत्सर्जित)
$\Delta Q_{bc} = 0 \,J$ (रुद्धोष्म प्रक्रिया)
$\Delta Q_{ca} = 80 \,J$ (ऊष्मा अवशोषित)
अतः, $\Delta Q_{net} = -50 + 0 + 80 = 30 \,J$।
चूंकि $\Delta Q_{net} = W_{net}$, चक्र में गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $30 \,J$ है।
$P-V$ आरेख द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल चक्र में किए गए कुल कार्य को दर्शाता है।
इसलिए, बंद वक्र $abca$ का क्षेत्रफल $30 \,J$ है।

(A) एक चक्रीय प्रक्रिया में ऊष्मागतिक निकाय द्वारा किया गया कार्य $P-V$ आरेख पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए चित्र में,चक्र $ABC$ एक समकोण त्रिभुज बनाता है।
त्रिभुज का आधार आयतन में परिवर्तन है,$\Delta V = V_B - V_A = 5 - 2 = 3 \ m^3$।
त्रिभुज की ऊँचाई दबाव में परिवर्तन है,$\Delta P = P_B - P_C = 300 - 100 = 200 \ Pa$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 200 = 300 \ J$।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है,इसलिए निकाय द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।
अतः,कुल कार्य $300 \ J$ है।

(D) $p-V$ चक्र में किया गया कार्य पथ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। चूंकि चक्र वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होगा।
$V=1$ से $V=3$ तक वक्र $(V-2)^2 = 4aP$ के नीचे का क्षेत्रफल $\int_{1}^{3} P \, dV$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण से,$P = \frac{(V-2)^2}{4a}$।
वक्र के नीचे का क्षेत्रफल $= \int_{1}^{3} \frac{(V-2)^2}{4a} \, dV = \frac{1}{4a} \left[ \frac{(V-2)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{12a} [(3-2)^3 - (1-2)^3] = \frac{1}{12a} [1 - (-1)] = \frac{2}{12a} = \frac{1}{6a}$।
$V=1$ या $V=3$ पर,दाब $P_0$ का मान $(1-2)^2 = 4aP_0$ से प्राप्त होता है,अतः $P_0 = \frac{1}{4a}$।
ऊपरी क्षैतिज रेखा ($P_0$ पर) और $V=1$ से $V=3$ तक $V$-अक्ष द्वारा बने आयत का क्षेत्रफल $P_0 \times (3-1) = \frac{1}{4a} \times 2 = \frac{1}{2a}$ है।
चक्र द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल में से वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2a} - \frac{1}{6a} = \frac{3-1}{6a} = \frac{2}{6a} = \frac{1}{3a}$।
चूंकि चक्र वामावर्त है,इसलिए किया गया कार्य $W = -\frac{1}{3a}$ है।