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Heat, Work done and Internal Energy from Graph Questions in Hindi
Class 11 Physics · Thermodynamics · Heat, Work done and Internal Energy from Graph
183+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 183 questions in Hindi
101
MediumMCQ
$P-V$ आरेख में,$I$ प्रारंभिक अवस्था है और $F$ अंतिम अवस्था है। गैस $I$ से $F$ तक $(i) IAF, (ii) IBF, (iii) ICF$ द्वारा जाती है। गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा
A
तीनों प्रक्रियाओं में समान है
B
$(i)$ और $(ii)$ में समान है
C
$(ii)$ की तुलना में $(i)$ में अधिक है
D
$(i)$ और $(iii)$ में समान है
Solution
(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,निकाय द्वारा अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तीनों प्रक्रियाओं के लिए प्रारंभिक अवस्था $I$ और अंतिम अवस्था $F$ समान हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ तीनों पथों के लिए समान रहेगा।
अतः,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ केवल गैस द्वारा किए गए कार्य $\Delta W$ पर निर्भर करती है,जो $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$1$. पथ $(i) IAF$ के लिए,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल धनात्मक और बड़ा है।
$2$. पथ $(ii) IBF$ के लिए,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल शून्य है क्योंकि यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है (समआयतनिक प्रक्रिया)।
$3$. पथ $(iii) ICF$ के लिए,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक है (क्योंकि आयतन $I$ से $C$ तक घटता है और फिर $C$ से $F$ तक बढ़ता है,लेकिन कुल क्षेत्रफल पथ $IAF$ से कम है)।
किए गए कार्य की तुलना करने पर: $\Delta W_{IAF} > \Delta W_{IBF} > \Delta W_{ICF}$।
चूंकि $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,इसलिए $\Delta Q_{IAF} > \Delta Q_{IBF} > \Delta Q_{ICF}$ प्राप्त होता है।
अतः,अवशोषित ऊष्मा $(ii)$ की तुलना में $(i)$ में अधिक है।
चूंकि तीनों प्रक्रियाओं के लिए प्रारंभिक अवस्था $I$ और अंतिम अवस्था $F$ समान हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ तीनों पथों के लिए समान रहेगा।
अतः,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ केवल गैस द्वारा किए गए कार्य $\Delta W$ पर निर्भर करती है,जो $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$1$. पथ $(i) IAF$ के लिए,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल धनात्मक और बड़ा है।
$2$. पथ $(ii) IBF$ के लिए,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल शून्य है क्योंकि यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है (समआयतनिक प्रक्रिया)।
$3$. पथ $(iii) ICF$ के लिए,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक है (क्योंकि आयतन $I$ से $C$ तक घटता है और फिर $C$ से $F$ तक बढ़ता है,लेकिन कुल क्षेत्रफल पथ $IAF$ से कम है)।
किए गए कार्य की तुलना करने पर: $\Delta W_{IAF} > \Delta W_{IBF} > \Delta W_{ICF}$।
चूंकि $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,इसलिए $\Delta Q_{IAF} > \Delta Q_{IBF} > \Delta Q_{ICF}$ प्राप्त होता है।
अतः,अवशोषित ऊष्मा $(ii)$ की तुलना में $(i)$ में अधिक है।
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DifficultMCQ
$P-V$ आरेख में दिखाई गई चक्रीय प्रक्रिया में,किए गए कार्य का परिमाण क्या है?
A
$\pi {\left( {\frac{{{P_2} - {P_1}}}{2}} \right)^2}$
B
$\pi {\left( {\frac{{{V_2} - {V_1}}}{2}} \right)^2}$
C
$\frac{\pi }{4} (P_2 - P_1) (V_2 - V_1)$
D
$\pi (P_2V_2 - P_1V_1)$
Solution
(C) $P-V$ आरेख पर एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यह देखते हुए कि चक्र एक आयत में अंकित दीर्घवृत्त (ellipse) है जिसकी भुजाएँ $(P_2 - P_1)$ और $(V_2 - V_1)$ हैं,दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ और अर्ध-लघु अक्ष $b$ इस प्रकार हैं:
$a = \frac{V_2 - V_1}{2}$
$b = \frac{P_2 - P_1}{2}$
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,किया गया कार्य $W = \pi \left( \frac{P_2 - P_1}{2} \right) \left( \frac{V_2 - V_1}{2} \right) = \frac{\pi}{4} (P_2 - P_1) (V_2 - V_1)$।
यह देखते हुए कि चक्र एक आयत में अंकित दीर्घवृत्त (ellipse) है जिसकी भुजाएँ $(P_2 - P_1)$ और $(V_2 - V_1)$ हैं,दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ और अर्ध-लघु अक्ष $b$ इस प्रकार हैं:
$a = \frac{V_2 - V_1}{2}$
$b = \frac{P_2 - P_1}{2}$
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,किया गया कार्य $W = \pi \left( \frac{P_2 - P_1}{2} \right) \left( \frac{V_2 - V_1}{2} \right) = \frac{\pi}{4} (P_2 - P_1) (V_2 - V_1)$।
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DifficultMCQ
दिए गए $P-V$ आरेख में एक चक्रीय प्रक्रिया $ABCD$ दिखाई गई है। निम्नलिखित उत्तरों में से, वह कौन सा है जो $P-T$ आरेख में समान प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है?
A
B
C
D
Solution
(A) दिए गए $P-V$ आरेख में:
$1$. $AB$ एक समदाबी प्रक्रिया है (स्थिर दबाव, $P = \text{स्थिर}$)।
$2$. $BC$ एक समतापीय प्रक्रिया है (स्थिर तापमान, $T = \text{स्थिर}$), क्योंकि यह $PV = \text{स्थिर}$ वक्र का पालन करती है।
$3$. $CD$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है (स्थिर आयतन, $V = \text{स्थिर}$)।
$4$. $DA$ एक समतापीय प्रक्रिया है (स्थिर तापमान, $T = \text{स्थिर}$)।
अब, $P-T$ आरेख में इनका विश्लेषण करते हैं:
$1$. $AB$ के लिए $(P = \text{स्थिर})$: $P-T$ आरेख में, यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
$2$. $BC$ के लिए $(T = \text{स्थिर})$: $P-T$ आरेख में, यह एक क्षैतिज रेखा है।
$3$. $CD$ के लिए $(V = \text{स्थिर})$: चूँकि $P/T = nR/V$, इसलिए $P \propto T$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$4$. $DA$ के लिए $(T = \text{स्थिर})$: $P-T$ आरेख में, यह एक क्षैतिज रेखा है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, जो आरेख इन विशेषताओं से मेल खाता है, वह पहला विकल्प है।
$1$. $AB$ एक समदाबी प्रक्रिया है (स्थिर दबाव, $P = \text{स्थिर}$)।
$2$. $BC$ एक समतापीय प्रक्रिया है (स्थिर तापमान, $T = \text{स्थिर}$), क्योंकि यह $PV = \text{स्थिर}$ वक्र का पालन करती है।
$3$. $CD$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है (स्थिर आयतन, $V = \text{स्थिर}$)।
$4$. $DA$ एक समतापीय प्रक्रिया है (स्थिर तापमान, $T = \text{स्थिर}$)।
अब, $P-T$ आरेख में इनका विश्लेषण करते हैं:
$1$. $AB$ के लिए $(P = \text{स्थिर})$: $P-T$ आरेख में, यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
$2$. $BC$ के लिए $(T = \text{स्थिर})$: $P-T$ आरेख में, यह एक क्षैतिज रेखा है।
$3$. $CD$ के लिए $(V = \text{स्थिर})$: चूँकि $P/T = nR/V$, इसलिए $P \propto T$। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$4$. $DA$ के लिए $(T = \text{स्थिर})$: $P-T$ आरेख में, यह एक क्षैतिज रेखा है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, जो आरेख इन विशेषताओं से मेल खाता है, वह पहला विकल्प है।
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MediumMCQ
एक मोल आदर्श द्विपरमाणुक गैस चित्र में दिखाए अनुसार पथ $AB$ के अनुदिश $A$ से $B$ तक संक्रमण करती है। संक्रमण के दौरान गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ...... $kJ$ है।
A
$10$
B
$-10$
C
$5$
D
$-5$
Solution
(A) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{f}{2} \mu R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $\Delta U = \frac{f}{2} (P_B V_B - P_A V_A)$।
यहाँ,गैस द्विपरमाणुक है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
मोलों की संख्या $\mu = 1$ है।
ग्राफ से,बिंदु $A$ पर: $P_A = 8 \times 10^3 \ Pa$ और $V_A = 2 \ m^3$ है।
बिंदु $B$ पर: $P_B = 4 \times 10^3 \ Pa$ और $V_B = 5 \ m^3$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\Delta U = \frac{5}{2} (P_B V_B - P_A V_A)$
$\Delta U = \frac{5}{2} [(4 \times 10^3 \times 5) - (8 \times 10^3 \times 2)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [20 \times 10^3 - 16 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [4 \times 10^3]$
$\Delta U = 5 \times 2 \times 10^3 \ J = 10 \times 10^3 \ J = 10 \ kJ$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $\Delta U = \frac{f}{2} (P_B V_B - P_A V_A)$।
यहाँ,गैस द्विपरमाणुक है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
मोलों की संख्या $\mu = 1$ है।
ग्राफ से,बिंदु $A$ पर: $P_A = 8 \times 10^3 \ Pa$ और $V_A = 2 \ m^3$ है।
बिंदु $B$ पर: $P_B = 4 \times 10^3 \ Pa$ और $V_B = 5 \ m^3$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\Delta U = \frac{5}{2} (P_B V_B - P_A V_A)$
$\Delta U = \frac{5}{2} [(4 \times 10^3 \times 5) - (8 \times 10^3 \times 2)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [20 \times 10^3 - 16 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [4 \times 10^3]$
$\Delta U = 5 \times 2 \times 10^3 \ J = 10 \times 10^3 \ J = 10 \ kJ$।
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EasyMCQ
एक आदर्श गैस को चित्र में दिखाए अनुसार चक्र $A \to B \to C \to A$ से गुजारा जाता है। आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $J$ में क्या है?
A
$0$
B
$-10$
C
$-15$
D
$-20$
Solution
(A) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,जो केवल निकाय के तापमान पर निर्भर करती है।
किसी भी चक्रीय प्रक्रिया के लिए,निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है,जिसका अर्थ है कि अंतिम तापमान प्रारंभिक तापमान के बराबर होता है $(T_f = T_i)$।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,और एक पूर्ण चक्र के लिए $\Delta T = 0$ होता है,इसलिए पूरे चक्र $A \to B \to C \to A$ के लिए $\Delta U = 0$ होगा।
किसी भी चक्रीय प्रक्रिया के लिए,निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है,जिसका अर्थ है कि अंतिम तापमान प्रारंभिक तापमान के बराबर होता है $(T_f = T_i)$।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,और एक पूर्ण चक्र के लिए $\Delta T = 0$ होता है,इसलिए पूरे चक्र $A \to B \to C \to A$ के लिए $\Delta U = 0$ होगा।
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MediumMCQ
एक मोल एकपरमाणुक गैस को चित्र में दिखाए अनुसार $ABCDEA$ प्रक्रिया के अनुदिश ले जाया जाता है। गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $J$ में ज्ञात कीजिए।
A
$1.5$
B
$1$
C
$0.5$
D
$0$
Solution
(D) चक्रीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $P-V$ वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चित्र में दिखाए गए अनुसार,प्रत्येक खंड के लिए कार्य की गणना इस प्रकार है:
$W_{BC} = P \Delta V = 4 \times (2-1) = 4 \ J$
$W_{CD} = 0$ (समआयतनिक प्रक्रिया)
$W_{DE} = P \Delta V = 1 \times (3-2) = 1 \ J$
$W_{EA} = EA$ रेखा के नीचे का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (P_E + P_A) \times (V_A - V_E) = \frac{1}{2} \times (1+4) \times (1-3) = -5 \ J$
$W_{AB} = 0$ (समआयतनिक प्रक्रिया)
कुल कार्य $W = 4 + 0 + 1 - 5 + 0 = 0 \ J$.
चित्र में दिखाए गए अनुसार,प्रत्येक खंड के लिए कार्य की गणना इस प्रकार है:
$W_{BC} = P \Delta V = 4 \times (2-1) = 4 \ J$
$W_{CD} = 0$ (समआयतनिक प्रक्रिया)
$W_{DE} = P \Delta V = 1 \times (3-2) = 1 \ J$
$W_{EA} = EA$ रेखा के नीचे का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (P_E + P_A) \times (V_A - V_E) = \frac{1}{2} \times (1+4) \times (1-3) = -5 \ J$
$W_{AB} = 0$ (समआयतनिक प्रक्रिया)
कुल कार्य $W = 4 + 0 + 1 - 5 + 0 = 0 \ J$.
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MediumMCQ
एक आदर्श निकाय को चित्र में दिखाए गए अनुसार चार पथों के माध्यम से अवस्था $A$ से $B$ तक लाया जा सकता है। निकाय को दी गई ऊर्जा किस पथ में न्यूनतम है?
A
पथ $ACB$
B
पथ $ADB$
C
पथ $AEB$
D
पथ $AFB$
Solution
(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,निकाय को दी गई ऊष्मा ऊर्जा $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा $U$ एक अवस्था फलन है,इसलिए अवस्था $A$ से $B$ तक के सभी पथों के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ समान रहेगा।
इसलिए,ऊष्मा ऊर्जा $\Delta Q$ तब न्यूनतम होती है जब निकाय द्वारा किया गया कार्य $\Delta W$ न्यूनतम होता है।
$P-V$ आरेख में किया गया कार्य $\Delta W$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
पथ $ACB$,$ADB$,$AEB$ और $AFB$ के नीचे के क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,पथ $AFB$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे कम है।
अतः,पथ $AFB$ के लिए कार्य न्यूनतम है और परिणामस्वरूप,निकाय को दी गई ऊर्जा पथ $AFB$ में न्यूनतम है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा $U$ एक अवस्था फलन है,इसलिए अवस्था $A$ से $B$ तक के सभी पथों के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ समान रहेगा।
इसलिए,ऊष्मा ऊर्जा $\Delta Q$ तब न्यूनतम होती है जब निकाय द्वारा किया गया कार्य $\Delta W$ न्यूनतम होता है।
$P-V$ आरेख में किया गया कार्य $\Delta W$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
पथ $ACB$,$ADB$,$AEB$ और $AFB$ के नीचे के क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,पथ $AFB$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे कम है।
अतः,पथ $AFB$ के लिए कार्य न्यूनतम है और परिणामस्वरूप,निकाय को दी गई ऊर्जा पथ $AFB$ में न्यूनतम है।
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DifficultMCQ
एक ऊष्मागतिक निकाय को चित्र में दिखाए गए $PQRSP$ चक्र प्रक्रिया से गुजारा जाता है। निकाय द्वारा किया गया कुल कार्य .... $J$ है। (नोट: $1 \text{ kp} = 10^3 \text{ Pa}$,$1 \text{ cc} = 10^{-6} \text{ m}^3$)
A
$20$
B
$-20$
C
$400$
D
$-374$
Solution
(B) चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य $P-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि चक्र $P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow P$ वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में है,इसलिए किया गया कुल कार्य ऋणात्मक होगा।
आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (300 - 100) \text{ cc} \times (200 - 100) \text{ kp}$.
इकाइयों को $SI$ में बदलने पर: $\Delta V = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ और $\Delta P = 100 \text{ kp} = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$.
किया गया कार्य $W = -(\Delta P \times \Delta V) = -(100 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (200 \times 10^{-6} \text{ m}^3)$.
$W = -(10^5) \times (2 \times 10^{-4}) \text{ J} = -20 \text{ J}$.
चूंकि चक्र $P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow P$ वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में है,इसलिए किया गया कुल कार्य ऋणात्मक होगा।
आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (300 - 100) \text{ cc} \times (200 - 100) \text{ kp}$.
इकाइयों को $SI$ में बदलने पर: $\Delta V = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ और $\Delta P = 100 \text{ kp} = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$.
किया गया कार्य $W = -(\Delta P \times \Delta V) = -(100 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (200 \times 10^{-6} \text{ m}^3)$.
$W = -(10^5) \times (2 \times 10^{-4}) \text{ J} = -20 \text{ J}$.
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MediumMCQ
दी गई आकृति एक आदर्श गैस को अवस्था $1$ से $2$ तक तीन अलग-अलग पथों $A, B,$ और $C$ के माध्यम से ले जाते हुए दर्शाती है। मान लीजिए $Q, W,$ और $\Delta U$ क्रमशः गैस को दी गई ऊष्मा,गैस द्वारा किया गया कार्य,और गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन को दर्शाते हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सी स्थिति सत्य है?
A
$Q_A < Q_B < Q_C$
B
$W_A > W_B > W_C$
C
$U_1 - U_2 = Q_A - W_A$
D
$Q_A - W_A < Q_B - W_B < Q_C - W_C$
Solution
(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,जहाँ $Q$ दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $W$ गैस द्वारा किया गया कार्य है।
चूँकि आंतरिक ऊर्जा $U$ एक अवस्था फलन है,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1$ केवल प्रारंभिक अवस्था $1$ और अंतिम अवस्था $2$ पर निर्भर करता है। इसलिए,तीनों पथों $A, B,$ और $C$ के लिए $\Delta U$ समान रहेगा।
$P-V$ आरेख में,गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। दी गई आकृति से,वक्र $A$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे अधिक है,उसके बाद वक्र $B$ और फिर वक्र $C$ है। अतः,$W_A > W_B > W_C$.
चूँकि सभी पथों के लिए $\Delta U$ स्थिर है,इसलिए दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U + W$ भी कार्य के क्रम का पालन करेगी: $Q_A > Q_B > Q_C$.
साथ ही,किसी भी पथ के लिए,$Q - W = \Delta U$ होता है। चूँकि $\Delta U$ सभी पथों के लिए समान है,इसलिए $Q_A - W_A = Q_B - W_B = Q_C - W_C = \Delta U$ होगा। अतः,विकल्प $B$ सही कथन है।
चूँकि आंतरिक ऊर्जा $U$ एक अवस्था फलन है,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1$ केवल प्रारंभिक अवस्था $1$ और अंतिम अवस्था $2$ पर निर्भर करता है। इसलिए,तीनों पथों $A, B,$ और $C$ के लिए $\Delta U$ समान रहेगा।
$P-V$ आरेख में,गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। दी गई आकृति से,वक्र $A$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे अधिक है,उसके बाद वक्र $B$ और फिर वक्र $C$ है। अतः,$W_A > W_B > W_C$.
चूँकि सभी पथों के लिए $\Delta U$ स्थिर है,इसलिए दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U + W$ भी कार्य के क्रम का पालन करेगी: $Q_A > Q_B > Q_C$.
साथ ही,किसी भी पथ के लिए,$Q - W = \Delta U$ होता है। चूँकि $\Delta U$ सभी पथों के लिए समान है,इसलिए $Q_A - W_A = Q_B - W_B = Q_C - W_C = \Delta U$ होगा। अतः,विकल्प $B$ सही कथन है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित आकृति चार प्रक्रियाओं $A, B, C$ और $D$ के लिए $P-T$ ग्राफ दर्शाती है। सही विकल्प का चयन करें।
A
$A -$ समआयतनिक प्रक्रिया
B
$B -$ समदाबी प्रक्रिया
C
$C -$ समतापीय प्रक्रिया
D
$D -$ रुद्धोष्म प्रक्रिया
Solution
(B) आदर्श गैस के लिए, अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है, जिसे $P = (nR/V)T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$1$. प्रक्रिया $A$: रेखा ऊर्ध्वाधर है, जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है। यह एक समतापीय प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $B$: रेखा क्षैतिज है, जिसका अर्थ है कि $P$ स्थिर है। यह एक समदाबी प्रक्रिया है।
$3$. प्रक्रिया $C$: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, इसलिए $P \propto T$ है। चूंकि $P = (nR/V)T$, यह दर्शाता है कि $V$ स्थिर है। यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है।
$4$. प्रक्रिया $D$: $P-T$ ग्राफ का ढाल $dP/dT$ है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$। $V = nRT/P$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P(T/P)^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ हो जाता है। इसका अवकलन करने पर, हम पाते हैं कि $P-T$ आरेख में रुद्धोष्म प्रक्रिया का ढाल समआयतनिक प्रक्रिया से अधिक होता है।
विकल्पों की तुलना करने पर, $B$ एक समदाबी प्रक्रिया को दर्शाता है।
$1$. प्रक्रिया $A$: रेखा ऊर्ध्वाधर है, जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है। यह एक समतापीय प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $B$: रेखा क्षैतिज है, जिसका अर्थ है कि $P$ स्थिर है। यह एक समदाबी प्रक्रिया है।
$3$. प्रक्रिया $C$: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, इसलिए $P \propto T$ है। चूंकि $P = (nR/V)T$, यह दर्शाता है कि $V$ स्थिर है। यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है।
$4$. प्रक्रिया $D$: $P-T$ ग्राफ का ढाल $dP/dT$ है। रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$। $V = nRT/P$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P(T/P)^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ हो जाता है। इसका अवकलन करने पर, हम पाते हैं कि $P-T$ आरेख में रुद्धोष्म प्रक्रिया का ढाल समआयतनिक प्रक्रिया से अधिक होता है।
विकल्पों की तुलना करने पर, $B$ एक समदाबी प्रक्रिया को दर्शाता है।
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MediumMCQ
एक निकाय चित्र में दिखाए अनुसार दो प्रक्रियाओं $I$ और $II$ के माध्यम से $A$ से $B$ तक जाता है। यदि $\Delta U_1$ और $\Delta U_2$ क्रमशः प्रक्रियाओं $I$ और $II$ में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन हैं,तो:
A
$\Delta U_1$ और $\Delta U_2$ के बीच संबंध निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
B
$\Delta U_1 = \Delta U_2$
C
$\Delta U_1 < \Delta U_2$
D
$\Delta U_1 > \Delta U_2$
Solution
(B) आंतरिक ऊर्जा $(U)$ एक अवस्था फलन (state function) है।
इसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है,न कि प्रारंभिक अवस्था से अंतिम अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
इस प्रश्न में,दोनों प्रक्रियाएँ $I$ और $II$ अवस्था $A$ से शुरू होती हैं और अवस्था $B$ पर समाप्त होती हैं।
इसलिए,दोनों प्रक्रियाओं के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन समान होना चाहिए।
अतः,$\Delta U_1 = \Delta U_2$।
इसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है,न कि प्रारंभिक अवस्था से अंतिम अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
इस प्रश्न में,दोनों प्रक्रियाएँ $I$ और $II$ अवस्था $A$ से शुरू होती हैं और अवस्था $B$ पर समाप्त होती हैं।
इसलिए,दोनों प्रक्रियाओं के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन समान होना चाहिए।
अतः,$\Delta U_1 = \Delta U_2$।
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View Solution112
MediumMCQ
$V-T$ आरेख पर एक ऊष्मागतिक चक्र $xyzx$ दर्शाया गया है।
इस चक्र का सबसे अच्छा वर्णन करने वाला $P-V$ आरेख कौन सा है?
(आरेख योजनाबद्ध हैं और पैमाने के अनुसार नहीं हैं)
इस चक्र का सबसे अच्छा वर्णन करने वाला $P-V$ आरेख कौन सा है?
(आरेख योजनाबद्ध हैं और पैमाने के अनुसार नहीं हैं)
A
B
C
D
Solution
(D) दिए गए $V-T$ आरेख में:
$1$. प्रक्रिया $x \rightarrow y$: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए $V \propto T$ है। चूंकि $PV = nRT$ होता है,इसका अर्थ है कि $P$ स्थिर है। अतः,$x \rightarrow y$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $y \rightarrow z$: रेखा क्षैतिज है,जिसका अर्थ है कि $V$ स्थिर है। अतः,$y \rightarrow z$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है।
$3$. प्रक्रिया $z \rightarrow x$: रेखा ऊर्ध्वाधर है,जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है। अतः,$z \rightarrow x$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है।
इनकी तुलना $P-V$ आरेखों से करने पर:
- $x \rightarrow y$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए (स्थिर $P$)।
- $y \rightarrow z$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा होनी चाहिए (स्थिर $V$)।
- $z \rightarrow x$ एक अतिपरवलयिक वक्र होना चाहिए (समतापीय,$P \propto 1/V$)।
विकल्पों को देखने पर,विकल्प $D$ सही ढंग से एक समदाबी प्रक्रिया $(x \rightarrow y)$,एक समआयतनिक प्रक्रिया $(y \rightarrow z)$ और एक समतापीय प्रक्रिया $(z \rightarrow x)$ को दर्शाता है।
$1$. प्रक्रिया $x \rightarrow y$: रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए $V \propto T$ है। चूंकि $PV = nRT$ होता है,इसका अर्थ है कि $P$ स्थिर है। अतः,$x \rightarrow y$ एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है।
$2$. प्रक्रिया $y \rightarrow z$: रेखा क्षैतिज है,जिसका अर्थ है कि $V$ स्थिर है। अतः,$y \rightarrow z$ एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया है।
$3$. प्रक्रिया $z \rightarrow x$: रेखा ऊर्ध्वाधर है,जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है। अतः,$z \rightarrow x$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है।
इनकी तुलना $P-V$ आरेखों से करने पर:
- $x \rightarrow y$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए (स्थिर $P$)।
- $y \rightarrow z$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा होनी चाहिए (स्थिर $V$)।
- $z \rightarrow x$ एक अतिपरवलयिक वक्र होना चाहिए (समतापीय,$P \propto 1/V$)।
विकल्पों को देखने पर,विकल्प $D$ सही ढंग से एक समदाबी प्रक्रिया $(x \rightarrow y)$,एक समआयतनिक प्रक्रिया $(y \rightarrow z)$ और एक समतापीय प्रक्रिया $(z \rightarrow x)$ को दर्शाता है।
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MediumMCQ
एक ऊष्मागतिक निकाय (thermodynamic system) को चित्र में दिखाए गए रैखिक प्रक्रम द्वारा मूल अवस्था से मध्यवर्ती अवस्था में ले जाया जाता है। इसके बाद इसके आयतन को $E$ से $F$ तक एक समदाबी प्रक्रम (isobaric process) द्वारा मूल मान तक कम किया जाता है। गैस द्वारा $D$ से $E$ से $F$ तक किए गए कुल कार्य ( $J$ में) की गणना कीजिए।
A
$450$
B
$496$
C
$373$
D
$510$
Solution
(A) चक्रीय प्रक्रम में गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $P-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$D \rightarrow E \rightarrow F$ प्रक्रम के लिए,किया गया कार्य वक्र $DE$ के नीचे का क्षेत्रफल माइनस वक्र $EF$ के नीचे का क्षेत्रफल है (क्योंकि $E$ से $F$ तक आयतन घटता है)।
यह त्रिभुज $DEF$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
त्रिभुज $DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
आधार $EF = V_E - V_F = 5.0 \, m^3 - 2.0 \, m^3 = 3.0 \, m^3$.
ऊंचाई $DF = P_D - P_F = 600 \, N/m^2 - 300 \, N/m^2 = 300 \, N/m^2$.
किया गया कार्य $= \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 3.0 \, m^3 \times 300 \, N/m^2 = 450 \, J$.
अतः,गैस द्वारा $D$ से $E$ से $F$ तक किया गया कुल कार्य $450 \, J$ है।
$D \rightarrow E \rightarrow F$ प्रक्रम के लिए,किया गया कार्य वक्र $DE$ के नीचे का क्षेत्रफल माइनस वक्र $EF$ के नीचे का क्षेत्रफल है (क्योंकि $E$ से $F$ तक आयतन घटता है)।
यह त्रिभुज $DEF$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
त्रिभुज $DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
आधार $EF = V_E - V_F = 5.0 \, m^3 - 2.0 \, m^3 = 3.0 \, m^3$.
ऊंचाई $DF = P_D - P_F = 600 \, N/m^2 - 300 \, N/m^2 = 300 \, N/m^2$.
किया गया कार्य $= \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 3.0 \, m^3 \times 300 \, N/m^2 = 450 \, J$.
अतः,गैस द्वारा $D$ से $E$ से $F$ तक किया गया कुल कार्य $450 \, J$ है।
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DifficultMCQ
दिए गए $PV$ आरेख में,एक निकाय $P$ से $Q$ अवस्था तक दो अलग-अलग रास्तों से जाता है। रास्ते $1$ पर,निकाय को $1000 \ J$ ऊष्मा दी जाती है। रास्ते $1$ पर निकाय द्वारा किया गया कार्य,रास्ते $2$ पर किए गए कार्य से $100 \ J$ अधिक है। तो रास्ते $2$ पर कितनी ऊष्मा स्थानांतरित होगी ($J$ में)?
A
$900$
B
$1100$
C
$1000$
D
$800$
Solution
(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta Q$ दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $\Delta W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
चूंकि प्रारंभिक अवस्था $P$ और अंतिम अवस्था $Q$ दोनों रास्तों के लिए समान हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ दोनों रास्तों के लिए समान रहेगा।
रास्ते $1$ के लिए: $\Delta Q_1 = \Delta U + \Delta W_1 = 1000 \ J$.
रास्ते $2$ के लिए: $\Delta Q_2 = \Delta U + \Delta W_2$.
दिया गया है कि $\Delta W_1 = \Delta W_2 + 100 \ J$,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $\Delta W_2 = \Delta W_1 - 100 \ J$.
इस मान को रास्ते $2$ के समीकरण में रखने पर: $\Delta Q_2 = \Delta U + (\Delta W_1 - 100 \ J) = (\Delta U + \Delta W_1) - 100 \ J$.
चूंकि $\Delta U + \Delta W_1 = 1000 \ J$,इसलिए $\Delta Q_2 = 1000 \ J - 100 \ J = 900 \ J$.
चूंकि प्रारंभिक अवस्था $P$ और अंतिम अवस्था $Q$ दोनों रास्तों के लिए समान हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ दोनों रास्तों के लिए समान रहेगा।
रास्ते $1$ के लिए: $\Delta Q_1 = \Delta U + \Delta W_1 = 1000 \ J$.
रास्ते $2$ के लिए: $\Delta Q_2 = \Delta U + \Delta W_2$.
दिया गया है कि $\Delta W_1 = \Delta W_2 + 100 \ J$,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $\Delta W_2 = \Delta W_1 - 100 \ J$.
इस मान को रास्ते $2$ के समीकरण में रखने पर: $\Delta Q_2 = \Delta U + (\Delta W_1 - 100 \ J) = (\Delta U + \Delta W_1) - 100 \ J$.
चूंकि $\Delta U + \Delta W_1 = 1000 \ J$,इसलिए $\Delta Q_2 = 1000 \ J - 100 \ J = 900 \ J$.
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चक्रीय प्रक्रम क्या है? इस पर एक टिप्पणी लिखिए।
Solution
(N/A) चक्रीय प्रक्रम एक ऊष्मागतिक प्रक्रम है जिसमें एक निकाय परिवर्तनों की एक श्रृंखला से गुजरता है और अंततः अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है।
चक्रीय प्रक्रम में निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएँ समान होती हैं। चूँकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,इसलिए एक पूर्ण चक्र के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है।
$\therefore \Delta U = 0$
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
चूँकि $\Delta U = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta Q = \Delta W$
इसका अर्थ है कि एक चक्रीय प्रक्रम के लिए,निकाय द्वारा अवशोषित कुल ऊष्मा,निकाय द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर होती है। यदि निकाय कुल ऊष्मा का अवशोषण करता है,तो कार्य निकाय द्वारा किया जाता है,और यदि निकाय कुल ऊष्मा का त्याग करता है,तो कार्य निकाय पर किया जाता है।
चक्रीय प्रक्रम में निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएँ समान होती हैं। चूँकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,इसलिए एक पूर्ण चक्र के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है।
$\therefore \Delta U = 0$
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
चूँकि $\Delta U = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta Q = \Delta W$
इसका अर्थ है कि एक चक्रीय प्रक्रम के लिए,निकाय द्वारा अवशोषित कुल ऊष्मा,निकाय द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर होती है। यदि निकाय कुल ऊष्मा का अवशोषण करता है,तो कार्य निकाय द्वारा किया जाता है,और यदि निकाय कुल ऊष्मा का त्याग करता है,तो कार्य निकाय पर किया जाता है।
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MediumMCQ
एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य कितना होता है?
A
शून्य
B
$P-V$ आरेख पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर
C
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर
D
दी गई ऊष्मा के बराबर
Solution
(B) एक चक्रीय प्रक्रिया में,निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है,जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
चूंकि $\Delta U = 0$,इसलिए किया गया कुल कार्य $\Delta W$ शुद्ध ऊष्मा विनिमय के बराबर होता है।
ग्राफिकल रूप से,$P-V$ आरेख पर,एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य चक्र का प्रतिनिधित्व करने वाले बंद वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
चूंकि $\Delta U = 0$,इसलिए किया गया कुल कार्य $\Delta W$ शुद्ध ऊष्मा विनिमय के बराबर होता है।
ग्राफिकल रूप से,$P-V$ आरेख पर,एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य चक्र का प्रतिनिधित्व करने वाले बंद वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
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चित्र में दिखाए अनुसार एक निकाय $P-V$ आरेख में दो अलग-अलग रास्तों से $P$ से $Q$ तक जाता है। रास्ते $1$ में निकाय को दी गई ऊष्मा $1000 \, J$ है। रास्ते $1$ पर निकाय द्वारा किया गया कार्य रास्ते $2$ की तुलना में $100 \, J$ अधिक है। रास्ते $2$ में निकाय द्वारा विनिमय की गई ऊष्मा क्या है?
Solution
(N/A) रास्ते $1$ के लिए: दी गई ऊष्मा $Q_1 = 1000 \, J$,किया गया कार्य $= W_1$.
रास्ते $2$ के लिए: किया गया कार्य $W_2 = W_1 - 100 \, J$.
चूंकि दो अवस्थाओं के बीच आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ एक अवस्था फलन है,इसलिए यह दोनों रास्तों के लिए समान रहता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$.
इसलिए,$\Delta U = Q_1 - W_1 = Q_2 - W_2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1000 - W_1 = Q_2 - (W_1 - 100)$.
$1000 - W_1 = Q_2 - W_1 + 100$.
$Q_2 = 1000 - 100 = 900 \, J$.
अतः,रास्ते $2$ में निकाय द्वारा विनिमय की गई ऊष्मा $900 \, J$ है।
रास्ते $2$ के लिए: किया गया कार्य $W_2 = W_1 - 100 \, J$.
चूंकि दो अवस्थाओं के बीच आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ एक अवस्था फलन है,इसलिए यह दोनों रास्तों के लिए समान रहता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W$.
इसलिए,$\Delta U = Q_1 - W_1 = Q_2 - W_2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1000 - W_1 = Q_2 - (W_1 - 100)$.
$1000 - W_1 = Q_2 - W_1 + 100$.
$Q_2 = 1000 - 100 = 900 \, J$.
अतः,रास्ते $2$ में निकाय द्वारा विनिमय की गई ऊष्मा $900 \, J$ है।
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DifficultMCQ
एक आदर्श एक-परमाणुक गैस में होने वाली तीन अलग-अलग प्रक्रियाओं को $P$ बनाम $V$ आरेख में दिखाया गया है। पथों को $A \rightarrow B, A \rightarrow C$ और $A \rightarrow D$ के रूप में लेबल किया गया है। इन प्रक्रियाओं के दौरान आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन को $E_{AB}, E_{AC}$ और $E_{AD}$ के रूप में और किए गए कार्य को $W_{AB}, W_{AC}$ और $W_{AD}$ के रूप में लिया गया है। इन मापदंडों के बीच सही संबंध है:
A
$E_{AB} = E_{AC} = E_{AD}, W_{AB} > 0, W_{AC} = 0, W_{AD} > 0$
B
$E_{AB} < E_{AC} < E_{AD}, W_{AB} > 0, W_{AC} > W_{AD}$
C
$E_{AB} = E_{AC} < E_{AD}, W_{AB} > 0, W_{AC} = 0, W_{AD} < 0$
D
$E_{AB} > E_{AC} > E_{AD}, W_{AB} < W_{AC} < W_{AD}$
Solution
(C) $1$. एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है: $\Delta U = nC_v \Delta T$। सभी प्रक्रियाएं बिंदु $A$ (तापमान $T_2$) से शुरू होती हैं और अलग-अलग बिंदुओं $B, C, D$ पर समाप्त होती हैं जो अलग-अलग समतापी वक्रों (isotherms) पर स्थित हैं। बिंदु $B$ समतापी वक्र $T_1$ पर है। बिंदु $C$ और $D$ समतापी वक्र $T_1$ से ऊपर स्थित हैं। इसलिए,अंतिम तापमान $T_B = T_1$ और $T_C = T_D > T_1$ हैं। इस प्रकार,$\Delta U_{AB} < \Delta U_{AC} = \Delta U_{AD}$।
$2$. किया गया कार्य $W$,$P-V$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है। $A \rightarrow B$ के लिए,आयतन बढ़ता है,इसलिए $W_{AB} > 0$। $A \rightarrow C$ के लिए,यह एक समआयतनिक प्रक्रिया (ऊर्ध्वाधर रेखा) है,इसलिए $W_{AC} = 0$। $A \rightarrow D$ के लिए,आयतन घटता है,इसलिए $W_{AD} < 0$।
$3$. इनकी तुलना करने पर,हमें $E_{AB} < E_{AC} = E_{AD}$ और $W_{AB} > 0, W_{AC} = 0, W_{AD} < 0$ प्राप्त होता है।
$2$. किया गया कार्य $W$,$P-V$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है। $A \rightarrow B$ के लिए,आयतन बढ़ता है,इसलिए $W_{AB} > 0$। $A \rightarrow C$ के लिए,यह एक समआयतनिक प्रक्रिया (ऊर्ध्वाधर रेखा) है,इसलिए $W_{AC} = 0$। $A \rightarrow D$ के लिए,आयतन घटता है,इसलिए $W_{AD} < 0$।
$3$. इनकी तुलना करने पर,हमें $E_{AB} < E_{AC} = E_{AD}$ और $W_{AB} > 0, W_{AC} = 0, W_{AD} < 0$ प्राप्त होता है।
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DifficultMCQ
एक इंजन चित्र में दिखाए गए चक्र के माध्यम से एक मोनोएटॉमिक आदर्श गैस को ले जाकर कार्य करता है। इंजन की प्रतिशत दक्षता $.......\%$ के करीब है।
A
$19$
B
$25$
C
$27$
D
$30$
Solution
(A) प्रति चक्र किया गया कार्य $P-V$ आरेख द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है:
$W = \text{Area} = (2V_0 - V_0) \times (3P_0 - P_0) = V_0 \times 2P_0 = 2P_0V_0$.
प्रक्रिया $AB$ और $BC$ के दौरान ऊष्मा अवशोषित होती है:
प्रक्रिया $AB$ (समआयतनिक) के लिए: $Q_{AB} = nC_V \Delta T = n \left( \frac{3R}{2} \right) \left( \frac{P_B V_A}{nR} - \frac{P_A V_A}{nR} \right) = \frac{3}{2} V_A (P_B - P_A) = \frac{3}{2} V_0 (3P_0 - P_0) = 3P_0V_0$.
प्रक्रिया $BC$ (समदाबीय) के लिए: $Q_{BC} = nC_P \Delta T = n \left( \frac{5R}{2} \right) \left( \frac{P_B V_C}{nR} - \frac{P_B V_B}{nR} \right) = \frac{5}{2} P_B (V_C - V_B) = \frac{5}{2} (3P_0) (2V_0 - V_0) = \frac{15}{2} P_0V_0$.
कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_{\text{in}} = Q_{AB} + Q_{BC} = 3P_0V_0 + 7.5P_0V_0 = 10.5P_0V_0 = \frac{21}{2} P_0V_0$.
दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}} \times 100 = \frac{2P_0V_0}{(21/2)P_0V_0} \times 100 = \frac{4}{21} \times 100 \approx 19.04\%$.
अतः,दक्षता $19\%$ के करीब है।
$W = \text{Area} = (2V_0 - V_0) \times (3P_0 - P_0) = V_0 \times 2P_0 = 2P_0V_0$.
प्रक्रिया $AB$ और $BC$ के दौरान ऊष्मा अवशोषित होती है:
प्रक्रिया $AB$ (समआयतनिक) के लिए: $Q_{AB} = nC_V \Delta T = n \left( \frac{3R}{2} \right) \left( \frac{P_B V_A}{nR} - \frac{P_A V_A}{nR} \right) = \frac{3}{2} V_A (P_B - P_A) = \frac{3}{2} V_0 (3P_0 - P_0) = 3P_0V_0$.
प्रक्रिया $BC$ (समदाबीय) के लिए: $Q_{BC} = nC_P \Delta T = n \left( \frac{5R}{2} \right) \left( \frac{P_B V_C}{nR} - \frac{P_B V_B}{nR} \right) = \frac{5}{2} P_B (V_C - V_B) = \frac{5}{2} (3P_0) (2V_0 - V_0) = \frac{15}{2} P_0V_0$.
कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_{\text{in}} = Q_{AB} + Q_{BC} = 3P_0V_0 + 7.5P_0V_0 = 10.5P_0V_0 = \frac{21}{2} P_0V_0$.
दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}} \times 100 = \frac{2P_0V_0}{(21/2)P_0V_0} \times 100 = \frac{4}{21} \times 100 \approx 19.04\%$.
अतः,दक्षता $19\%$ के करीब है।
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MediumMCQ
$m$ द्रव्यमान वाली एक आदर्श गैस अवस्था $A$ से अवस्था $B$ में चित्र में दिखाए अनुसार तीन अलग-अलग प्रक्रियाओं के माध्यम से जाती है। यदि $Q_{1}, Q_{2}$ और $Q_{3}$ तीनों पथों के अनुदिश गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा को दर्शाते हैं,तो
A
$Q_{1} < Q_{2} < Q_{3}$
B
$Q_{1} < Q_{2} = Q_{3}$
C
$Q_{1} = Q_{2} > Q_{3}$
D
$Q_{1} > Q_{2} > Q_{3}$
Solution
(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
चूँकि तीनों प्रक्रियाओं के लिए प्रारंभिक अवस्था $A$ और अंतिम अवस्था $B$ समान हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ सभी पथों के लिए समान होगा।
अतः,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ से पता चलता है कि अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ किए गए कार्य $\Delta W$ के सीधे आनुपातिक है (चूँकि $\Delta U$ स्थिर है)।
$p-V$ आरेख में किया गया कार्य $\Delta W$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चित्र से,पथ $1$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे कम है,पथ $2$ के नीचे का क्षेत्रफल मध्यम है और पथ $3$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे अधिक है।
इस प्रकार,$(\text{Area})_{1} < (\text{Area})_{2} < (\text{Area})_{3}$ है।
परिणामस्वरूप,$Q_{1} < Q_{2} < Q_{3}$ होगा।
चूँकि तीनों प्रक्रियाओं के लिए प्रारंभिक अवस्था $A$ और अंतिम अवस्था $B$ समान हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ सभी पथों के लिए समान होगा।
अतः,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ से पता चलता है कि अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ किए गए कार्य $\Delta W$ के सीधे आनुपातिक है (चूँकि $\Delta U$ स्थिर है)।
$p-V$ आरेख में किया गया कार्य $\Delta W$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चित्र से,पथ $1$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे कम है,पथ $2$ के नीचे का क्षेत्रफल मध्यम है और पथ $3$ के नीचे का क्षेत्रफल सबसे अधिक है।
इस प्रकार,$(\text{Area})_{1} < (\text{Area})_{2} < (\text{Area})_{3}$ है।
परिणामस्वरूप,$Q_{1} < Q_{2} < Q_{3}$ होगा।
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MediumMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा ग्राफ दिखाए गए ऊष्मागतिक (thermodynamic) प्रक्रियाओं का सही प्रतिनिधित्व करता है?
A
$(c)$ और $(a)$
B
$(c)$ और $(d)$
C
केवल $(a)$
D
$(b)$ और $(c)$
Solution
(B) समतापीय (isothermal) प्रक्रिया में तापमान $T$ स्थिर रहता है। रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,चरों के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$,$TV^{\gamma-1} = \text{constant}$,और $T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{constant}$ द्वारा निर्धारित होता है।
$(a)$ $P-V$ ग्राफ में,समतापीय प्रक्रिया एक वक्र $PV = \text{constant}$ है,और रुद्धोष्म प्रक्रिया एक अधिक ढलान वाला वक्र $PV^{\gamma} = \text{constant}$ है। ग्राफ रुद्धोष्म के लिए एक सीधी खड़ी रेखा दिखाता है,जो गलत है।
$(b)$ $P-T$ ग्राफ में,समतापीय प्रक्रिया एक खड़ी रेखा $(T = \text{constant})$ है। ग्राफ एक क्षैतिज रेखा दिखाता है,जो गलत है।
$(c)$ $V-T$ ग्राफ में,समतापीय प्रक्रिया एक खड़ी रेखा $(T = \text{constant})$ है। रुद्धोष्म प्रक्रिया $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ का पालन करती है,जो एक वक्र है। यह ग्राफ सही है।
$(d)$ $P-T$ ग्राफ में,समतापीय प्रक्रिया एक खड़ी रेखा $(T = \text{constant})$ है। रुद्धोष्म प्रक्रिया $T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{constant}$ का पालन करती है,जो एक वक्र है। यह ग्राफ सही है।
अतः,ग्राफ $(c)$ और $(d)$ सही हैं।
$(a)$ $P-V$ ग्राफ में,समतापीय प्रक्रिया एक वक्र $PV = \text{constant}$ है,और रुद्धोष्म प्रक्रिया एक अधिक ढलान वाला वक्र $PV^{\gamma} = \text{constant}$ है। ग्राफ रुद्धोष्म के लिए एक सीधी खड़ी रेखा दिखाता है,जो गलत है।
$(b)$ $P-T$ ग्राफ में,समतापीय प्रक्रिया एक खड़ी रेखा $(T = \text{constant})$ है। ग्राफ एक क्षैतिज रेखा दिखाता है,जो गलत है।
$(c)$ $V-T$ ग्राफ में,समतापीय प्रक्रिया एक खड़ी रेखा $(T = \text{constant})$ है। रुद्धोष्म प्रक्रिया $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ का पालन करती है,जो एक वक्र है। यह ग्राफ सही है।
$(d)$ $P-T$ ग्राफ में,समतापीय प्रक्रिया एक खड़ी रेखा $(T = \text{constant})$ है। रुद्धोष्म प्रक्रिया $T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{constant}$ का पालन करती है,जो एक वक्र है। यह ग्राफ सही है।
अतः,ग्राफ $(c)$ और $(d)$ सही हैं।
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MediumMCQ
दी गई आकृति में,एक चक्रीय प्रक्रिया से गुजरने पर एक निकाय द्वारा अवशोषित ऊष्मा ऊर्जा $......\,\pi \text{ J}$ है।
A
$50$
B
$150$
C
$100$
D
$200$
Solution
(C) एक पूर्ण चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$\Delta Q = \Delta U + W$।
चूंकि $\Delta U = 0$,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ निकाय द्वारा किए गए कार्य $W$ के बराबर है।
चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W$,$P-V$ वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi \cdot r_P \cdot r_V$ है,जहाँ $r_P$ दाब अक्ष पर त्रिज्या है और $r_V$ आयतन अक्ष पर त्रिज्या है।
आकृति से,दाब अक्ष पर व्यास $40 \text{ kPa} - 20 \text{ kPa} = 20 \text{ kPa}$ है,इसलिए $r_P = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$।
आयतन अक्ष पर व्यास $40 \text{ L} - 20 \text{ L} = 20 \text{ L}$ है,इसलिए $r_V = 10 \text{ L} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3$।
अतः,$\Delta Q = W = \pi \times (10 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^3) = 100 \pi \text{ J}$।
इस प्रकार,मान $100$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$\Delta Q = \Delta U + W$।
चूंकि $\Delta U = 0$,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ निकाय द्वारा किए गए कार्य $W$ के बराबर है।
चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W$,$P-V$ वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi \cdot r_P \cdot r_V$ है,जहाँ $r_P$ दाब अक्ष पर त्रिज्या है और $r_V$ आयतन अक्ष पर त्रिज्या है।
आकृति से,दाब अक्ष पर व्यास $40 \text{ kPa} - 20 \text{ kPa} = 20 \text{ kPa}$ है,इसलिए $r_P = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$।
आयतन अक्ष पर व्यास $40 \text{ L} - 20 \text{ L} = 20 \text{ L}$ है,इसलिए $r_V = 10 \text{ L} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3$।
अतः,$\Delta Q = W = \pi \times (10 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^3) = 100 \pi \text{ J}$।
इस प्रकार,मान $100$ है।
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MediumMCQ
एक ऊष्मागतिक निकाय को चित्र में दिखाई गई रैखिक प्रक्रिया द्वारा मूल अवस्था $D$ से मध्यवर्ती अवस्था $E$ तक ले जाया जाता है। इसके बाद इसके आयतन को $E$ से $F$ तक एक समदाबी प्रक्रिया द्वारा मूल आयतन तक कम किया जाता है। $D$ से $E$ और $E$ से $F$ तक गैस द्वारा किया गया कुल कार्य $......J$ होगा।
A
$-450$
B
$450$
C
$900$
D
$1350$
Solution
(B) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
प्रक्रिया $D \rightarrow E$ के लिए,किया गया कार्य $W_{DE}$ रेखा $DE$ के नीचे के समलंब (trapezoid) का क्षेत्रफल है:
$W_{DE} = \text{समलंब का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (P_D + P_E) \times (V_E - V_D)$
$W_{DE} = \frac{1}{2} \times (600 + 300) \times (5.0 - 2.0) = \frac{1}{2} \times 900 \times 3 = 1350 \, J$
प्रक्रिया $E \rightarrow F$ के लिए,दाब $300 \, N/m^2$ पर स्थिर है (समदाबी प्रक्रिया),और आयतन $5.0 \, m^3$ से घटकर $2.0 \, m^3$ हो जाता है:
$W_{EF} = P \times \Delta V = 300 \times (2.0 - 5.0) = 300 \times (-3.0) = -900 \, J$
कुल कार्य $W_{DEF} = W_{DE} + W_{EF} = 1350 - 900 = 450 \, J$.
प्रक्रिया $D \rightarrow E$ के लिए,किया गया कार्य $W_{DE}$ रेखा $DE$ के नीचे के समलंब (trapezoid) का क्षेत्रफल है:
$W_{DE} = \text{समलंब का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (P_D + P_E) \times (V_E - V_D)$
$W_{DE} = \frac{1}{2} \times (600 + 300) \times (5.0 - 2.0) = \frac{1}{2} \times 900 \times 3 = 1350 \, J$
प्रक्रिया $E \rightarrow F$ के लिए,दाब $300 \, N/m^2$ पर स्थिर है (समदाबी प्रक्रिया),और आयतन $5.0 \, m^3$ से घटकर $2.0 \, m^3$ हो जाता है:
$W_{EF} = P \times \Delta V = 300 \times (2.0 - 5.0) = 300 \times (-3.0) = -900 \, J$
कुल कार्य $W_{DEF} = W_{DE} + W_{EF} = 1350 - 900 = 450 \, J$.
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AdvancedMCQ
एक आदर्श गैस अपनी प्रारंभिक अवस्था $I$ से अंतिम अवस्था $F$ तक नीचे दिखाए गए दो संभावित पथों के माध्यम से परिवर्तन से गुजरती है। तो,
A
पथ $1$ के अनुदिश आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है
B
दोनों पथों में गैस द्वारा ऊष्मा अवशोषित नहीं होती है
C
पथ $2$ के लिए गैस का तापमान पहले बढ़ता है और फिर घटता है
D
पथ $1$ में गैस द्वारा किया गया कार्य अधिक है
Solution
(A,C) सही विकल्प $(a)$ और $(c)$ हैं।
$1$. आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,जिसका अर्थ है कि यह केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करती है। चूंकि दोनों पथ $1$ और $2$ अवस्था $I$ से शुरू होते हैं और अवस्था $F$ पर समाप्त होते हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ दोनों पथों के लिए समान है।
$2$. दोनों प्रक्रियाओं में आयतन में वृद्धि (प्रसार) शामिल है,जिसका अर्थ है कि गैस परिवेश पर कार्य करती है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। चूंकि गैस का प्रसार होता है,$\Delta W > 0$। दोनों पथों में ऊष्मा अवशोषित होती है,इसलिए विकल्प $(b)$ गलत है।
$3$. $p-V$ ग्राफ पर समतापी रेखाओं $(pV = nRT)$ को आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि पथ $2$ अंतिम अवस्था पर लौटने से पहले उच्च तापमान वाली समतापी रेखाओं को पार करता है। इस प्रकार,पथ $2$ के अनुदिश तापमान पहले बढ़ता है और फिर घटता है। विकल्प $(c)$ सही है।
$4$. गैस द्वारा किया गया कार्य $p-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। पथ $2$ के नीचे का क्षेत्रफल स्पष्ट रूप से पथ $1$ के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक है। इसलिए,पथ $2$ में किया गया कार्य अधिक है,जिससे विकल्प $(d)$ गलत हो जाता है।
$1$. आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,जिसका अर्थ है कि यह केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करती है। चूंकि दोनों पथ $1$ और $2$ अवस्था $I$ से शुरू होते हैं और अवस्था $F$ पर समाप्त होते हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ दोनों पथों के लिए समान है।
$2$. दोनों प्रक्रियाओं में आयतन में वृद्धि (प्रसार) शामिल है,जिसका अर्थ है कि गैस परिवेश पर कार्य करती है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। चूंकि गैस का प्रसार होता है,$\Delta W > 0$। दोनों पथों में ऊष्मा अवशोषित होती है,इसलिए विकल्प $(b)$ गलत है।
$3$. $p-V$ ग्राफ पर समतापी रेखाओं $(pV = nRT)$ को आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि पथ $2$ अंतिम अवस्था पर लौटने से पहले उच्च तापमान वाली समतापी रेखाओं को पार करता है। इस प्रकार,पथ $2$ के अनुदिश तापमान पहले बढ़ता है और फिर घटता है। विकल्प $(c)$ सही है।
$4$. गैस द्वारा किया गया कार्य $p-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। पथ $2$ के नीचे का क्षेत्रफल स्पष्ट रूप से पथ $1$ के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक है। इसलिए,पथ $2$ में किया गया कार्य अधिक है,जिससे विकल्प $(d)$ गलत हो जाता है।
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MediumMCQ
एक आदर्श गैस को नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए चक्रीय प्रक्रम से गुजारा जाता है। मान लीजिए $\Delta W$ किए गए कार्य को दर्शाता है,$\Delta U$ गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $Q$ गैस को दी गई ऊष्मा है। पूरे चक्र के लिए इन तीनों राशियों के चिह्न क्या होंगे ($0$ का अर्थ है कोई परिवर्तन नहीं):
A
$-, 0, -$
B
$+, 0, +$
C
$0, 0, 0$
D
$+, +, +$
Solution
(A) एक चक्रीय प्रक्रम में,निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है,अर्थात $\Delta U = 0$।
$P-V$ आरेख में किया गया कार्य $\Delta W$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। दक्षिणावर्त (clockwise) चक्र के लिए,किया गया कार्य धनात्मक होता है,और वामावर्त (counter-clockwise) चक्र के लिए,किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
दिए गए चित्र को देखने पर,चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ वामावर्त दिशा में है। इसलिए,गैस द्वारा किया गया कुल कार्य ऋणात्मक है,अर्थात $\Delta W < 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है। चूंकि $\Delta U = 0$ और $\Delta W < 0$ है,इसलिए $\Delta Q = 0 + \Delta W < 0$ प्राप्त होता है। अतः,गैस को दी गई ऊष्मा भी ऋणात्मक है,अर्थात $Q < 0$।
इसलिए,चिह्न $\Delta W < 0$,$\Delta U = 0$,और $Q < 0$ हैं। सही विकल्प $A$ है।
$P-V$ आरेख में किया गया कार्य $\Delta W$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। दक्षिणावर्त (clockwise) चक्र के लिए,किया गया कार्य धनात्मक होता है,और वामावर्त (counter-clockwise) चक्र के लिए,किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
दिए गए चित्र को देखने पर,चक्र $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ वामावर्त दिशा में है। इसलिए,गैस द्वारा किया गया कुल कार्य ऋणात्मक है,अर्थात $\Delta W < 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है। चूंकि $\Delta U = 0$ और $\Delta W < 0$ है,इसलिए $\Delta Q = 0 + \Delta W < 0$ प्राप्त होता है। अतः,गैस को दी गई ऊष्मा भी ऋणात्मक है,अर्थात $Q < 0$।
इसलिए,चिह्न $\Delta W < 0$,$\Delta U = 0$,और $Q < 0$ हैं। सही विकल्प $A$ है।
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AdvancedMCQ
एक आदर्श गैस चित्र में दिखाए अनुसार $4 \, atm, 4 \, L$ पर केंद्रित एक वृत्ताकार चक्र से गुजरती है। इस प्रक्रिया में प्राप्त अधिकतम तापमान किसके निकट है?
A
$\frac{30}{R}$
B
$\frac{36}{R}$
C
$\frac{24}{R}$
D
$\frac{16}{R}$
Solution
(A) दी गई चक्रीय प्रक्रिया से,वृत्त का समीकरण है:
$(p-4)^2 + (V-4)^2 = 2^2 = 4 \quad \dots(i)$
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ से,$n=1 \, mol$ के लिए,$T = \frac{pV}{R}$।
अधिकतम तापमान ज्ञात करने के लिए,हमें गुणनफल $pV$ को अधिकतम करना होगा।
मान लीजिए $y = pV$ है। समीकरण $(i)$ से,$p = 4 \pm \sqrt{4 - (V-4)^2}$।
इसे $y = pV$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = V(4 \pm \sqrt{4 - (V-4)^2})$ प्राप्त होता है।
$y$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dy}{dV} = 0$ रखते हैं। वैकल्पिक रूप से,वृत्त के गुण का उपयोग करते हुए,$pV$ का अधिकतम मान वृत्त पर उस बिंदु पर होता है जहाँ स्पर्शरेखा मूल बिंदु $(0,0)$ को बिंदु $(p,V)$ से जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती है।
मूल बिंदु से केंद्र $(4,4)$ तक की रेखा का ढाल $1$ है। अधिकतम $pV$ बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढाल $-1$ होना चाहिए।
वृत्त $(p-4)^2 + (V-4)^2 = 2^2$ पर उस बिंदु के निर्देशांक,जहाँ स्पर्शरेखा का ढाल $-1$ है,इस प्रकार हैं:
$p = 4 + \sqrt{2}$
$V = 4 + \sqrt{2}$
अतः,$(pV)_{\max} = (4+\sqrt{2})(4+\sqrt{2}) = 16 + 2 + 8\sqrt{2} = 18 + 8(1.414) = 18 + 11.312 = 29.312$।
इसलिए,$T_{\max} = \frac{(pV)_{\max}}{R} \approx \frac{29.3}{R} \approx \frac{30}{R}$।
$(p-4)^2 + (V-4)^2 = 2^2 = 4 \quad \dots(i)$
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ से,$n=1 \, mol$ के लिए,$T = \frac{pV}{R}$।
अधिकतम तापमान ज्ञात करने के लिए,हमें गुणनफल $pV$ को अधिकतम करना होगा।
मान लीजिए $y = pV$ है। समीकरण $(i)$ से,$p = 4 \pm \sqrt{4 - (V-4)^2}$।
इसे $y = pV$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = V(4 \pm \sqrt{4 - (V-4)^2})$ प्राप्त होता है।
$y$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dy}{dV} = 0$ रखते हैं। वैकल्पिक रूप से,वृत्त के गुण का उपयोग करते हुए,$pV$ का अधिकतम मान वृत्त पर उस बिंदु पर होता है जहाँ स्पर्शरेखा मूल बिंदु $(0,0)$ को बिंदु $(p,V)$ से जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती है।
मूल बिंदु से केंद्र $(4,4)$ तक की रेखा का ढाल $1$ है। अधिकतम $pV$ बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढाल $-1$ होना चाहिए।
वृत्त $(p-4)^2 + (V-4)^2 = 2^2$ पर उस बिंदु के निर्देशांक,जहाँ स्पर्शरेखा का ढाल $-1$ है,इस प्रकार हैं:
$p = 4 + \sqrt{2}$
$V = 4 + \sqrt{2}$
अतः,$(pV)_{\max} = (4+\sqrt{2})(4+\sqrt{2}) = 16 + 2 + 8\sqrt{2} = 18 + 8(1.414) = 18 + 11.312 = 29.312$।
इसलिए,$T_{\max} = \frac{(pV)_{\max}}{R} \approx \frac{29.3}{R} \approx \frac{30}{R}$।
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DifficultMCQ
एक आदर्श गैस की निश्चित मात्रा नीचे दिखाए गए $p-V$ ग्राफ में चक्रीय प्रक्रिया $ABCA$ से गुजरती है। पथ $BC$ एक समतापीय प्रक्रिया है। $A$ से शुरू होकर $A$ पर समाप्त होने वाले एक पूर्ण चक्र के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य लगभग .......... $kJ$ है।
A
$600$
B
$300$
C
$-300$
D
$-600$
Solution
(C) चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $p-V$ आरेख पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। चक्र $ABCA$ है।
$1$. प्रक्रिया $AB$ (समदाबी प्रसार) में किया गया कार्य:
$W_{AB} = p_A(V_B - V_A) = 200 \times (V_B - 2)$.
चूंकि $BC$ समतापीय है,$p_B V_B = p_C V_C$.
$200 \times V_B = 500 \times 2 \Rightarrow V_B = 5 \, m^3$.
$W_{AB} = 200 \times (5 - 2) = 600 \, kJ$.
$2$. प्रक्रिया $BC$ (समतापीय संपीड़न) में किया गया कार्य:
$W_{BC} = \int_{V_B}^{V_C} p \, dV = \int_{5}^{2} \frac{p_B V_B}{V} \, dV = 1000 \ln(2/5) = 1000 \times (-0.916) \approx -916 \, kJ$.
$3$. प्रक्रिया $CA$ (समआयतनिक संपीड़न) में किया गया कार्य:
$W_{CA} = 0$ (चूंकि आयतन स्थिर है)।
कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 600 - 916 + 0 = -316 \, kJ$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,किया गया कार्य लगभग $-300 \, kJ$ है।
$1$. प्रक्रिया $AB$ (समदाबी प्रसार) में किया गया कार्य:
$W_{AB} = p_A(V_B - V_A) = 200 \times (V_B - 2)$.
चूंकि $BC$ समतापीय है,$p_B V_B = p_C V_C$.
$200 \times V_B = 500 \times 2 \Rightarrow V_B = 5 \, m^3$.
$W_{AB} = 200 \times (5 - 2) = 600 \, kJ$.
$2$. प्रक्रिया $BC$ (समतापीय संपीड़न) में किया गया कार्य:
$W_{BC} = \int_{V_B}^{V_C} p \, dV = \int_{5}^{2} \frac{p_B V_B}{V} \, dV = 1000 \ln(2/5) = 1000 \times (-0.916) \approx -916 \, kJ$.
$3$. प्रक्रिया $CA$ (समआयतनिक संपीड़न) में किया गया कार्य:
$W_{CA} = 0$ (चूंकि आयतन स्थिर है)।
कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = 600 - 916 + 0 = -316 \, kJ$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,किया गया कार्य लगभग $-300 \, kJ$ है।
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MediumMCQ
$n$ मोल का एक वैन डर वाल्स गैस जो अवस्था समीकरण $\left(p+\frac{n^2 a}{V^2}\right)(V-n b)=n R T$ का पालन करता है,जहाँ $a$ और $b$ गैस-निर्भर स्थिरांक हैं,को एक चक्रीय प्रक्रिया से गुजारा जाता है जिसे नीचे दिए गए $p-V$ आरेख में एक आयत द्वारा दर्शाया गया है। एक चक्र में गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा कितनी है?
A
$n(p_1-p_2)(V_2-V_1)$
B
$(p_1-p_2)(V_2-V_1)$
C
$(p_1+\frac{n^2 a}{V_1^2}-p_2-\frac{n^2 a}{V_2^2})(V_1-V_2)$
D
$(p_1+\frac{n^2 a}{V_1^2}-p_2-\frac{n^2 a}{V_2^2})(V_2-V_1)$
Solution
(B) एक चक्रीय प्रक्रिया में,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य होता है क्योंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$।
चूंकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए एक चक्र में गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा गैस द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है,$\Delta Q = W$।
चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W$,$p-V$ आरेख में चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$p_1$ और $p_2$ दबाव सीमाओं और $V_1$ और $V_2$ आयतन सीमाओं वाले एक आयताकार चक्र के लिए,क्षेत्रफल दबाव में परिवर्तन और आयतन में परिवर्तन के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
$W = (p_1 - p_2) \times (V_2 - V_1)$।
अतः,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q = (p_1 - p_2)(V_2 - V_1)$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$।
चूंकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए एक चक्र में गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा गैस द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है,$\Delta Q = W$।
चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W$,$p-V$ आरेख में चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$p_1$ और $p_2$ दबाव सीमाओं और $V_1$ और $V_2$ आयतन सीमाओं वाले एक आयताकार चक्र के लिए,क्षेत्रफल दबाव में परिवर्तन और आयतन में परिवर्तन के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
$W = (p_1 - p_2) \times (V_2 - V_1)$।
अतः,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q = (p_1 - p_2)(V_2 - V_1)$ है।
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MediumMCQ
इंडिकेटर डायग्राम एक ........... है।
A
$P-T$ वक्र
B
$P-V$ वक्र
C
$V-T$ वक्र
D
$Q-T$ वक्र
Solution
(B) सही विकल्प $(b)$ है।
इंडिकेटर डायग्राम एक ग्राफिकल निरूपण है जो किसी ऊष्मागतिक निकाय (thermodynamic system) के लिए दबाव $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच के परिवर्तन को दर्शाता है,जैसे कि किसी रेसिप्रोकेटिंग इंजन के सिलेंडर के अंदर की गैस।
चूंकि यह ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दबाव और क्षैतिज अक्ष पर आयतन को प्लॉट करता है,इसलिए इसे विशेष रूप से $P-V$ वक्र के रूप में जाना जाता है।
इंडिकेटर डायग्राम एक ग्राफिकल निरूपण है जो किसी ऊष्मागतिक निकाय (thermodynamic system) के लिए दबाव $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच के परिवर्तन को दर्शाता है,जैसे कि किसी रेसिप्रोकेटिंग इंजन के सिलेंडर के अंदर की गैस।
चूंकि यह ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दबाव और क्षैतिज अक्ष पर आयतन को प्लॉट करता है,इसलिए इसे विशेष रूप से $P-V$ वक्र के रूप में जाना जाता है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित चित्रों $(a)$ से $(d)$ में,दबाव में परिवर्तन के साथ आयतन में परिवर्तन दिखाया गया है। गैस को पथ $A B C D A$ के अनुदिश ले जाया जाता है। गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ....... होगा।
A
$(a)$ से $(d)$ तक सभी मामलों में धनात्मक
B
$(a)$,$(b)$ और $(c)$ मामलों में धनात्मक लेकिन $(d)$ मामले में शून्य
C
$(a)$,$(b)$ और $(c)$ मामलों में ऋणात्मक लेकिन $(d)$ मामले में शून्य
D
चारों मामलों में शून्य
Solution
(D) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ एक अवस्था फलन है,जो केवल गैस के तापमान पर निर्भर करती है।
एक चक्रीय प्रक्रिया में,निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है,जिसका अर्थ है कि अंतिम अवस्था प्रारंभिक अवस्था के समान ही होती है।
चूंकि अंतिम अवस्था का तापमान प्रारंभिक अवस्था के तापमान के बराबर होता है,इसलिए किसी भी चक्रीय प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ हमेशा शून्य होता है।
दिए गए सभी चित्रों $(a)$,$(b)$,$(c)$ और $(d)$ में,पथ $A B C D A$ एक बंद लूप का प्रतिनिधित्व करता है,जो एक चक्रीय प्रक्रिया है।
इसलिए,चारों मामलों में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य है।
एक चक्रीय प्रक्रिया में,निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है,जिसका अर्थ है कि अंतिम अवस्था प्रारंभिक अवस्था के समान ही होती है।
चूंकि अंतिम अवस्था का तापमान प्रारंभिक अवस्था के तापमान के बराबर होता है,इसलिए किसी भी चक्रीय प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ हमेशा शून्य होता है।
दिए गए सभी चित्रों $(a)$,$(b)$,$(c)$ और $(d)$ में,पथ $A B C D A$ एक बंद लूप का प्रतिनिधित्व करता है,जो एक चक्रीय प्रक्रिया है।
इसलिए,चारों मामलों में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य है।
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MediumMCQ
चित्र में दिखाए गए चक्रीय प्रक्रम में किया गया कार्य ........... है।
A
$4 P_0 V_0$
B
$-4 P_0 V_0$
C
$-\frac{22}{7} P_0 V_0$
D
$-13 P_0 V_0$
Solution
(C) दिया गया $P-V$ ग्राफ एक वृत्त को दर्शाता है।
चक्रीय प्रक्रम के लिए,किया गया कार्य $P-V$ वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि प्रक्रम वामावर्त (anticlockwise) है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi R_1 R_2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_1$ और $R_2$ अर्ध-अक्ष हैं।
ग्राफ से,दाब अक्ष पर व्यास $3 P_0 - P_0 = 2 P_0$ है,इसलिए अर्ध-अक्ष $R_1 = \frac{2 P_0}{2} = P_0$ है।
आयतन अक्ष पर व्यास $3 V_0 - V_0 = 2 V_0$ है,इसलिए अर्ध-अक्ष $R_2 = \frac{2 V_0}{2} = V_0$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = -(\text{वृत्त का क्षेत्रफल}) = -\pi R_1 R_2$ है।
$W = -\pi (P_0) (V_0) = -\frac{22}{7} P_0 V_0$।
चक्रीय प्रक्रम के लिए,किया गया कार्य $P-V$ वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि प्रक्रम वामावर्त (anticlockwise) है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi R_1 R_2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_1$ और $R_2$ अर्ध-अक्ष हैं।
ग्राफ से,दाब अक्ष पर व्यास $3 P_0 - P_0 = 2 P_0$ है,इसलिए अर्ध-अक्ष $R_1 = \frac{2 P_0}{2} = P_0$ है।
आयतन अक्ष पर व्यास $3 V_0 - V_0 = 2 V_0$ है,इसलिए अर्ध-अक्ष $R_2 = \frac{2 V_0}{2} = V_0$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = -(\text{वृत्त का क्षेत्रफल}) = -\pi R_1 R_2$ है।
$W = -\pi (P_0) (V_0) = -\frac{22}{7} P_0 V_0$।
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View Solution132
MediumMCQ
एक गैस का दाब और आयतन इस चित्र में दिखाए गए $P-V$ आरेख के अनुसार परिवर्तित होते हैं। गैस का तापमान ........
A
$A$ से $B$ तक जाने पर बढ़ेगा
B
$B$ से $C$ तक जाने पर बढ़ेगा
C
इन परिवर्तनों के दौरान स्थिर रहेगा
D
$D$ से $A$ तक जाने पर घटेगा
Solution
(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हमारे पास $T = \frac{PV}{nR}$ है।
$1$. प्रक्रिया $A \rightarrow B$ में,दाब $P$ स्थिर है और आयतन $V$ बढ़ता है। स्थिर दाब पर $T \propto V$ होने के कारण,तापमान बढ़ता है।
$2$. प्रक्रिया $B \rightarrow C$ में,आयतन $V$ स्थिर है और दाब $P$ घटता है। स्थिर आयतन पर $T \propto P$ होने के कारण,तापमान घटता है।
$3$. प्रक्रिया $C \rightarrow D$ में,दाब $P$ स्थिर है और आयतन $V$ घटता है। स्थिर दाब पर $T \propto V$ होने के कारण,तापमान घटता है।
$4$. प्रक्रिया $D \rightarrow A$ में,आयतन $V$ स्थिर है और दाब $P$ बढ़ता है। स्थिर आयतन पर $T \propto P$ होने के कारण,तापमान बढ़ता है।
विकल्पों की तुलना करने पर,गैस के $A$ से $B$ तक जाने पर तापमान बढ़ता है।
$1$. प्रक्रिया $A \rightarrow B$ में,दाब $P$ स्थिर है और आयतन $V$ बढ़ता है। स्थिर दाब पर $T \propto V$ होने के कारण,तापमान बढ़ता है।
$2$. प्रक्रिया $B \rightarrow C$ में,आयतन $V$ स्थिर है और दाब $P$ घटता है। स्थिर आयतन पर $T \propto P$ होने के कारण,तापमान घटता है।
$3$. प्रक्रिया $C \rightarrow D$ में,दाब $P$ स्थिर है और आयतन $V$ घटता है। स्थिर दाब पर $T \propto V$ होने के कारण,तापमान घटता है।
$4$. प्रक्रिया $D \rightarrow A$ में,आयतन $V$ स्थिर है और दाब $P$ बढ़ता है। स्थिर आयतन पर $T \propto P$ होने के कारण,तापमान बढ़ता है।
विकल्पों की तुलना करने पर,गैस के $A$ से $B$ तक जाने पर तापमान बढ़ता है।
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MediumMCQ
एक आदर्श गैस के लिए चित्र में दर्शाई गई ऊष्मागतिक प्रक्रिया के दौरान:
A
$\Delta T = 0$
B
$\Delta Q = 0$
C
$W < 0$
D
$\Delta U > 0$
Solution
(D) सही विकल्प $(d)$ है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी $P-V$ ग्राफ रेखा के लिए,$P \propto V$,जिसका अर्थ है $P = kV$ जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ में $P = kV$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $kV^2 = nRT$ प्राप्त होता है,या $T = \frac{k}{nR} V^2$।
जैसे-जैसे तीर की दिशा में आयतन $V$ बढ़ता है,तापमान $T$ भी बढ़ता है,इसलिए $\Delta T > 0$। अतः,$\Delta T \neq 0$।
चूंकि आयतन बढ़ रहा है,गैस द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है,$W = \int P dV > 0$।
चूंकि तापमान बढ़ रहा है,आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है,$\Delta U = nC_v \Delta T > 0$।
इसलिए,$\Delta U > 0$ सही कथन है।
मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी $P-V$ ग्राफ रेखा के लिए,$P \propto V$,जिसका अर्थ है $P = kV$ जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ में $P = kV$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $kV^2 = nRT$ प्राप्त होता है,या $T = \frac{k}{nR} V^2$।
जैसे-जैसे तीर की दिशा में आयतन $V$ बढ़ता है,तापमान $T$ भी बढ़ता है,इसलिए $\Delta T > 0$। अतः,$\Delta T \neq 0$।
चूंकि आयतन बढ़ रहा है,गैस द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है,$W = \int P dV > 0$।
चूंकि तापमान बढ़ रहा है,आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है,$\Delta U = nC_v \Delta T > 0$।
इसलिए,$\Delta U > 0$ सही कथन है।
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MediumMCQ
चित्र में दर्शाई गई प्रक्रिया के लिए किया गया कार्य ............ $J$ है।
A
$1$
B
$1.5$
C
$4.5$
D
$0.3$
Solution
(D) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य $V$-अक्ष के सापेक्ष वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए चित्र में, $V$-अक्ष के सापेक्ष रेखा $AB$ के नीचे का क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज है।
निर्देशांक $A(10 \, \text{kPa}, 10 \, \text{cc})$ और $B(30 \, \text{kPa}, 25 \, \text{cc})$ हैं।
चूंकि क्षेत्रफल $V$-अक्ष के सापेक्ष लिया जाता है, इसलिए समानांतर भुजाएं दबाव के मान $P_A = 10 \times 10^3 \, \text{Pa}$ और $P_B = 30 \times 10^3 \, \text{Pa}$ हैं, और ऊंचाई आयतन में परिवर्तन $\Delta V = (25 - 10) \, \text{cc} = 15 \times 10^{-6} \, \text{m}^3$ है।
किया गया कार्य $W = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times \Delta V$
$W = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^3 + 30 \times 10^3) \times (25 - 10) \times 10^{-6}$
$W = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^3) \times (15 \times 10^{-6})$
$W = 20 \times 10^3 \times 15 \times 10^{-6} = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \, J$.
दिए गए चित्र में, $V$-अक्ष के सापेक्ष रेखा $AB$ के नीचे का क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज है।
निर्देशांक $A(10 \, \text{kPa}, 10 \, \text{cc})$ और $B(30 \, \text{kPa}, 25 \, \text{cc})$ हैं।
चूंकि क्षेत्रफल $V$-अक्ष के सापेक्ष लिया जाता है, इसलिए समानांतर भुजाएं दबाव के मान $P_A = 10 \times 10^3 \, \text{Pa}$ और $P_B = 30 \times 10^3 \, \text{Pa}$ हैं, और ऊंचाई आयतन में परिवर्तन $\Delta V = (25 - 10) \, \text{cc} = 15 \times 10^{-6} \, \text{m}^3$ है।
किया गया कार्य $W = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times \Delta V$
$W = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^3 + 30 \times 10^3) \times (25 - 10) \times 10^{-6}$
$W = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^3) \times (15 \times 10^{-6})$
$W = 20 \times 10^3 \times 15 \times 10^{-6} = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \, J$.
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MediumMCQ
यदि किसी गैस को $B$ के माध्यम से $A$ से $C$ तक ले जाया जाता है, तो गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा $8 \, J$ है। जब गैस को सीधे $A$ से $C$ तक ले जाया जाता है, तो गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा की गणना करें।
A
$8$
B
$9$
C
$11$
D
$12$
Solution
(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $Q = \Delta U + W$ है।
पथ $ABC$ के लिए, किया गया कार्य $W_{ABC}$, पथ $AB$ के नीचे का क्षेत्रफल और $BC$ के नीचे के क्षेत्रफल का योग है। चूंकि $BC$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, इसलिए $BC$ में किया गया कार्य $0$ है। अतः, $W_{ABC} = \text{आयत का क्षेत्रफल } (A \text{ से } B) = P_A \times (V_B - V_A) = 10 \, \text{kPa} \times (400 - 200) \, \text{cc} = 10 \times 10^3 \, \text{Pa} \times 200 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 = 2 \, J$ है।
दिया गया है $Q_{ABC} = 8 \, J$, इसलिए $\Delta U = Q_{ABC} - W_{ABC} = 8 - 2 = 6 \, J$ है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ एक अवस्था फलन है, इसलिए सीधे पथ $AC$ के लिए यह $6 \, J$ ही रहेगी।
सीधे पथ $AC$ के लिए, किया गया कार्य $W_{AC}$, रेखा $AC$ के नीचे के समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, जो $W_{AC} = \text{आयत का क्षेत्रफल } (A \text{ से } B) + \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल } (ABC) = 2 \, J + \frac{1}{2} \times (400 - 200) \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \times (20 - 10) \times 10^3 \, \text{Pa} = 2 \, J + 1 \, J = 3 \, J$ है।
अतः, सीधे पथ के लिए अवशोषित ऊष्मा $Q_{AC} = \Delta U + W_{AC} = 6 \, J + 3 \, J = 9 \, J$ है।
पथ $ABC$ के लिए, किया गया कार्य $W_{ABC}$, पथ $AB$ के नीचे का क्षेत्रफल और $BC$ के नीचे के क्षेत्रफल का योग है। चूंकि $BC$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, इसलिए $BC$ में किया गया कार्य $0$ है। अतः, $W_{ABC} = \text{आयत का क्षेत्रफल } (A \text{ से } B) = P_A \times (V_B - V_A) = 10 \, \text{kPa} \times (400 - 200) \, \text{cc} = 10 \times 10^3 \, \text{Pa} \times 200 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 = 2 \, J$ है।
दिया गया है $Q_{ABC} = 8 \, J$, इसलिए $\Delta U = Q_{ABC} - W_{ABC} = 8 - 2 = 6 \, J$ है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ एक अवस्था फलन है, इसलिए सीधे पथ $AC$ के लिए यह $6 \, J$ ही रहेगी।
सीधे पथ $AC$ के लिए, किया गया कार्य $W_{AC}$, रेखा $AC$ के नीचे के समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, जो $W_{AC} = \text{आयत का क्षेत्रफल } (A \text{ से } B) + \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल } (ABC) = 2 \, J + \frac{1}{2} \times (400 - 200) \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \times (20 - 10) \times 10^3 \, \text{Pa} = 2 \, J + 1 \, J = 3 \, J$ है।
अतः, सीधे पथ के लिए अवशोषित ऊष्मा $Q_{AC} = \Delta U + W_{AC} = 6 \, J + 3 \, J = 9 \, J$ है।
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MediumMCQ
आरेख में प्रक्रिया $CD$ दिखाई गई है। जैसे ही निकाय को $C$ से $D$ तक ले जाया जाता है,निकाय के तापमान का क्या होता है?
A
तापमान पहले घटता है और फिर बढ़ता है
B
तापमान पहले बढ़ता है और फिर घटता है
C
तापमान लगातार घटता है
D
तापमान लगातार बढ़ता है
Solution
(B) आदर्श गैस का तापमान $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $T \propto PV$।
बिंदु $C$ पर,$P_C = 3p_0$ और $V_C = v_0$,इसलिए $T_C \propto (3p_0)(v_0) = 3p_0v_0$।
बिंदु $D$ पर,$P_D = p_0$ और $V_D = 3v_0$,इसलिए $T_D \propto (p_0)(3v_0) = 3p_0v_0$।
चूंकि $T_C = T_D$,शुरुआती और अंतिम बिंदुओं पर तापमान समान है।
एक रैखिक प्रक्रिया $P = mV + c$ के लिए,गुणनफल $PV = V(mV + c) = mV^2 + cV$,$V$ का एक द्विघात फलन है।
इस गुणनफल का अधिकतम मान प्रक्रिया के मध्य बिंदु पर होता है।
अतः,जैसे ही निकाय $C$ से $D$ की ओर बढ़ता है,तापमान पहले बढ़ता है और फिर घटता है।
बिंदु $C$ पर,$P_C = 3p_0$ और $V_C = v_0$,इसलिए $T_C \propto (3p_0)(v_0) = 3p_0v_0$।
बिंदु $D$ पर,$P_D = p_0$ और $V_D = 3v_0$,इसलिए $T_D \propto (p_0)(3v_0) = 3p_0v_0$।
चूंकि $T_C = T_D$,शुरुआती और अंतिम बिंदुओं पर तापमान समान है।
एक रैखिक प्रक्रिया $P = mV + c$ के लिए,गुणनफल $PV = V(mV + c) = mV^2 + cV$,$V$ का एक द्विघात फलन है।
इस गुणनफल का अधिकतम मान प्रक्रिया के मध्य बिंदु पर होता है।
अतः,जैसे ही निकाय $C$ से $D$ की ओर बढ़ता है,तापमान पहले बढ़ता है और फिर घटता है।
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MediumMCQ
एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए $P-T$ ग्राफ दर्शाया गया है। इसके संबंध में सही कथन का चयन करें।
A
प्रक्रिया $CD$ के दौरान, गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।
B
प्रक्रिया $AB$ के दौरान, गैस द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।
C
प्रक्रिया $BC$ के दौरान, निकाय की आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है।
D
प्रक्रिया $BC$ के दौरान, निकाय की आंतरिक ऊर्जा घटती है।
Solution
(C) सही विकल्प $(C)$ है।
$P-T$ आरेख में, मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया को दर्शाती है क्योंकि $P \propto T$ का अर्थ है कि $V = \text{constant}$ है।
यदि हम प्रक्रिया $BC$ को समआयतनिक प्रक्रिया मानते हैं, तो $P/T = \text{constant}$ होगा।
आंतरिक ऊर्जा $U = n C_v T$ सूत्र के अनुसार, आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।
प्रक्रिया $BC$ में, तापमान $T$ बढ़ता है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ बढ़ती है।
$P-T$ आरेख में, मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया को दर्शाती है क्योंकि $P \propto T$ का अर्थ है कि $V = \text{constant}$ है।
यदि हम प्रक्रिया $BC$ को समआयतनिक प्रक्रिया मानते हैं, तो $P/T = \text{constant}$ होगा।
आंतरिक ऊर्जा $U = n C_v T$ सूत्र के अनुसार, आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।
प्रक्रिया $BC$ में, तापमान $T$ बढ़ता है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ बढ़ती है।
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MediumMCQ
चित्र में दिखाए अनुसार एक गैस का दबाव $A$ से $B$ तक आयतन के साथ रैखिक रूप से बदलता है। यदि गैस को कोई ऊष्मा नहीं दी जाती है और न ही निकाली जाती है,तो गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $............\,J$ होगा।
A
$6$
B
$0$
C
$-4.5$
D
$4.5$
Solution
(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। चूँकि कोई ऊष्मा न तो दी जाती है और न ही निकाली जाती है,$\Delta Q = 0$,जिसका अर्थ है $\Delta U = -W$।
किया गया कार्य $W$,$P-V$ ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है। यह क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समानांतर भुजाएँ $P_A = 10 \times 10^3 \, Pa$ और $P_B = 50 \times 10^3 \, Pa$ हैं,और ऊँचाई $\Delta V = (200 - 50) \, cc = 150 \times 10^{-6} \, m^3$ है।
$W = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_A - V_B)$
$W = \frac{1}{2} \times (10 + 50) \times 10^3 \times (200 - 50) \times 10^{-6}$
$W = \frac{1}{2} \times 60 \times 10^3 \times 150 \times 10^{-6} = 30 \times 150 \times 10^{-3} = 4.5 \, J$।
चूँकि प्रक्रिया $A$ से $B$ (संपीड़न) की ओर है,गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है $(W = -4.5 \, J)$।
अतः,$\Delta U = -W = -(-4.5 \, J) = 4.5 \, J$।
किया गया कार्य $W$,$P-V$ ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है। यह क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समानांतर भुजाएँ $P_A = 10 \times 10^3 \, Pa$ और $P_B = 50 \times 10^3 \, Pa$ हैं,और ऊँचाई $\Delta V = (200 - 50) \, cc = 150 \times 10^{-6} \, m^3$ है।
$W = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_A - V_B)$
$W = \frac{1}{2} \times (10 + 50) \times 10^3 \times (200 - 50) \times 10^{-6}$
$W = \frac{1}{2} \times 60 \times 10^3 \times 150 \times 10^{-6} = 30 \times 150 \times 10^{-3} = 4.5 \, J$।
चूँकि प्रक्रिया $A$ से $B$ (संपीड़न) की ओर है,गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है $(W = -4.5 \, J)$।
अतः,$\Delta U = -W = -(-4.5 \, J) = 4.5 \, J$।
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EasyMCQ
$P-V$ आरेख में दिखाए अनुसार एक ऊष्मागतिक निकाय को एक चक्रीय प्रक्रिया से गुजारा जाता है। इस प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य $.........\,J$ है।
A
$100$
B
$300$
C
$0$
D
$200$
Solution
(B) $P-V$ आरेख में,चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त (clockwise) है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
त्रिभुज $CDE$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$W = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
आधार $= (V_E - V_C) = (4 - 2) = 2\,m^3$
ऊंचाई $= (P_D - P_C) = (400 - 100) = 300\,Pa$
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times 300 = 300\,J$
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त (clockwise) है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
त्रिभुज $CDE$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$W = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
आधार $= (V_E - V_C) = (4 - 2) = 2\,m^3$
ऊंचाई $= (P_D - P_C) = (400 - 100) = 300\,Pa$
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times 300 = 300\,J$
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DifficultMCQ
एक ऊष्मागतिक निकाय को चित्र में दिखाए गए अनुसार एक रैखिक प्रक्रिया द्वारा मूल अवस्था $A$ से मध्यवर्ती अवस्था $B$ तक ले जाया जाता है। इसके बाद इसके आयतन को $B$ से $C$ तक एक समदाबी प्रक्रिया द्वारा मूल मान तक कम किया जाता है। $A$ से $B$ और $B$ से $C$ तक गैस द्वारा किया गया कुल कार्य होगा: ($J$ में)
A
$33800$
B
$2200$
C
$800$
D
$1200$
Solution
(C) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए,किया गया कार्य रेखा $AB$ के नीचे के समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है:
$W_{AB} = \text{समलंब का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_B - V_A)$
$W_{AB} = \frac{1}{2} \times (8000 + 4000) \text{ dyne/cm}^2 \times (7 - 3) \text{ m}^3 = 6000 \text{ dyne/cm}^2 \times 4 \text{ m}^3 = 24000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
इकाई रूपांतरण: $1 \text{ dyne/cm}^2 = 0.1 \text{ N/m}^2$. अतः,$W_{AB} = 24000 \times 0.1 \text{ J} = 2400 \text{ J}$.
प्रक्रिया $B \rightarrow C$ के लिए,किया गया कार्य रेखा $BC$ के नीचे का क्षेत्रफल है (समदाबी संपीड़न):
$W_{BC} = P_B \times (V_C - V_B) = 4000 \text{ dyne/cm}^2 \times (3 - 7) \text{ m}^3 = 4000 \times (-4) \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2 = -16000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
इकाई रूपांतरण: $W_{BC} = -16000 \times 0.1 \text{ J} = -1600 \text{ J}$.
कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} = 2400 \text{ J} - 1600 \text{ J} = 800 \text{ J}$.
प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए,किया गया कार्य रेखा $AB$ के नीचे के समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है:
$W_{AB} = \text{समलंब का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_B - V_A)$
$W_{AB} = \frac{1}{2} \times (8000 + 4000) \text{ dyne/cm}^2 \times (7 - 3) \text{ m}^3 = 6000 \text{ dyne/cm}^2 \times 4 \text{ m}^3 = 24000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
इकाई रूपांतरण: $1 \text{ dyne/cm}^2 = 0.1 \text{ N/m}^2$. अतः,$W_{AB} = 24000 \times 0.1 \text{ J} = 2400 \text{ J}$.
प्रक्रिया $B \rightarrow C$ के लिए,किया गया कार्य रेखा $BC$ के नीचे का क्षेत्रफल है (समदाबी संपीड़न):
$W_{BC} = P_B \times (V_C - V_B) = 4000 \text{ dyne/cm}^2 \times (3 - 7) \text{ m}^3 = 4000 \times (-4) \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2 = -16000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
इकाई रूपांतरण: $W_{BC} = -16000 \times 0.1 \text{ J} = -1600 \text{ J}$.
कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} = 2400 \text{ J} - 1600 \text{ J} = 800 \text{ J}$.
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DifficultMCQ
दी गई चक्रीय प्रक्रिया से गुजरते समय एक निकाय द्वारा अवशोषित ऊष्मा है: ($\,J$ में)
A
$61.6$
B
$431.2$
C
$616$
D
$19.6$
Solution
(A) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$। चूंकि $\Delta U = 0$, अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ किए गए कार्य $W$ के बराबर है, जो $P-V$ वक्र द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है।
$P-V$ वक्र एक वृत्त है जिसका दाब अक्ष पर व्यास $d_P = (340 - 60) \,kPa = 280 \,kPa = 280 \times 10^3 \,Pa$ है और आयतन अक्ष पर व्यास $d_V = (340 - 60) \,cc = 280 \,cm^3 = 280 \times 10^{-6} \,m^3$ है।
त्रिज्याएं $r_P = 140 \times 10^3 \,Pa$ और $r_V = 140 \times 10^{-6} \,m^3$ हैं।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi \times r_P \times r_V$ है।
$W = \pi \times (140 \times 10^3 \,Pa) \times (140 \times 10^{-6} \,m^3) = \pi \times 140 \times 140 \times 10^{-3} \,J = \pi \times 19.6 \,J \approx 3.14159 \times 19.6 \,J \approx 61.575 \,J \approx 61.6 \,J$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + W$। चूंकि $\Delta U = 0$, अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ किए गए कार्य $W$ के बराबर है, जो $P-V$ वक्र द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है।
$P-V$ वक्र एक वृत्त है जिसका दाब अक्ष पर व्यास $d_P = (340 - 60) \,kPa = 280 \,kPa = 280 \times 10^3 \,Pa$ है और आयतन अक्ष पर व्यास $d_V = (340 - 60) \,cc = 280 \,cm^3 = 280 \times 10^{-6} \,m^3$ है।
त्रिज्याएं $r_P = 140 \times 10^3 \,Pa$ और $r_V = 140 \times 10^{-6} \,m^3$ हैं।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi \times r_P \times r_V$ है।
$W = \pi \times (140 \times 10^3 \,Pa) \times (140 \times 10^{-6} \,m^3) = \pi \times 140 \times 140 \times 10^{-3} \,J = \pi \times 19.6 \,J \approx 3.14159 \times 19.6 \,J \approx 61.575 \,J \approx 61.6 \,J$।
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DifficultMCQ
एक मोल आदर्श गैस प्रारंभिक अवस्था $A$ में एक चक्रीय प्रक्रिया $ABCA$ से गुजरती है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $A$ पर इसका दाब $P_0$ है। निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनें:
$(A)$ $A$ और $B$ पर आंतरिक ऊर्जा समान है
$(B)$ प्रक्रिया $AB$ में गैस द्वारा किया गया कार्य $P_0 V_0 \ln 4$ है
$(C)$ $C$ पर दाब $\frac{P_0}{4}$ है
$(D)$ $C$ पर तापमान $\frac{T_0}{4}$ है
$(A)$ $A$ और $B$ पर आंतरिक ऊर्जा समान है
$(B)$ प्रक्रिया $AB$ में गैस द्वारा किया गया कार्य $P_0 V_0 \ln 4$ है
$(C)$ $C$ पर दाब $\frac{P_0}{4}$ है
$(D)$ $C$ पर तापमान $\frac{T_0}{4}$ है
A
$(B, D)$
B
$(A, D)$
C
$(A, B)$
D
$(B, C)$
Solution
(A) $V-T$ ग्राफ से:
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समतापीय प्रक्रिया है (क्योंकि $T$ स्थिर $T_0$ है)। चूंकि $T_A = T_B = T_0$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा $U = nC_vT$ $A$ और $B$ पर समान है। अतः,$(A)$ सही है।
$2$. प्रक्रिया $AB$ में,तापमान $T_0$ स्थिर रहता है और आयतन $V_0$ से $4V_0$ हो जाता है। कार्य $W = nRT_0 \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4$ है। अतः,$(B)$ सही है।
$3$. प्रक्रिया $BC$ $V-T$ ग्राफ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है,इसलिए $V \propto T$,जो एक समदाबी प्रक्रिया है। $P_B = RT_0/4V_0 = P_0/4$। चूंकि $BC$ समदाबी है,$P_C = P_B = P_0/4$। अतः,$(C)$ सही है।
$4$. प्रक्रिया $CA$ में $V$ स्थिर $V_0$ है। $P_C = P_0/4$ और $V_C = V_0$। $PV=nRT$ से,$(P_0/4) V_0 = RT_C$। चूंकि $P_0 V_0 = RT_0$,इसलिए $T_C = T_0/4$। अतः,$(D)$ सही है।
$1$. प्रक्रिया $AB$ एक समतापीय प्रक्रिया है (क्योंकि $T$ स्थिर $T_0$ है)। चूंकि $T_A = T_B = T_0$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा $U = nC_vT$ $A$ और $B$ पर समान है। अतः,$(A)$ सही है।
$2$. प्रक्रिया $AB$ में,तापमान $T_0$ स्थिर रहता है और आयतन $V_0$ से $4V_0$ हो जाता है। कार्य $W = nRT_0 \ln(V_f/V_i) = P_0 V_0 \ln(4V_0/V_0) = P_0 V_0 \ln 4$ है। अतः,$(B)$ सही है।
$3$. प्रक्रिया $BC$ $V-T$ ग्राफ में मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा है,इसलिए $V \propto T$,जो एक समदाबी प्रक्रिया है। $P_B = RT_0/4V_0 = P_0/4$। चूंकि $BC$ समदाबी है,$P_C = P_B = P_0/4$। अतः,$(C)$ सही है।
$4$. प्रक्रिया $CA$ में $V$ स्थिर $V_0$ है। $P_C = P_0/4$ और $V_C = V_0$। $PV=nRT$ से,$(P_0/4) V_0 = RT_C$। चूंकि $P_0 V_0 = RT_0$,इसलिए $T_C = T_0/4$। अतः,$(D)$ सही है।
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एक आदर्श गैस के एक मोल को नीचे दिए गए ग्राफ में ठोस और टूटी हुई रेखाओं द्वारा दर्शाए गए दो रास्तों के माध्यम से $a$ से $b$ तक ले जाया जाता है। यदि ठोस रेखा के रास्ते पर किया गया कार्य $w_s$ है और बिंदीदार रेखा के रास्ते पर किया गया कार्य $w_d$ है,तो अनुपात $w_d / w_s$ के सबसे निकटतम पूर्णांक क्या है?
A
$5$
B
$7$
C
$2$
D
$1$
Solution
(C) $P-V$ ग्राफ में किया गया कार्य वक्र के नीचे का क्षेत्रफल होता है।
बिंदीदार रास्ते $(w_d)$ के लिए: यह रास्ता तीन आयताकार चरणों से बना है।
चरण $1$: $P = 4 \text{ atm}$,$\Delta V = (2.0 - 0.5) \text{ L} = 1.5 \text{ L}$. कार्य = $4 \times 1.5 = 6 \text{ L-atm}$.
चरण $2$: $P = 1 \text{ atm}$,$\Delta V = (3.0 - 2.0) \text{ L} = 1.0 \text{ L}$. कार्य = $1 \times 1.0 = 1 \text{ L-atm}$.
चरण $3$: $P = 0.6 \text{ atm}$ (लगभग),$\Delta V = (5.5 - 3.0) \text{ L} = 2.5 \text{ L}$. कार्य = $0.6 \times 2.5 = 1.5 \text{ L-atm}$.
कुल $w_d = 6 + 1 + 1.5 = 8.5 \text{ L-atm}$.
ठोस रास्ते $(w_s)$ के लिए: यह रास्ता एक समतापीय प्रक्रिया है। समीकरण $PV = k$ है। बिंदु $a$ पर,$P=4, V=0.5$,इसलिए $k = 2 \text{ L-atm}$.
$w_s = \int_{V_a}^{V_b} P \, dV = \int_{0.5}^{5.5} \frac{k}{V} \, dV = k \ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right) = 2 \times 2.303 \log_{10}\left(\frac{5.5}{0.5}\right) = 4.606 \log_{10}(11) \approx 4.606 \times 1.0414 \approx 4.797 \text{ L-atm}$.
अनुपात $w_d / w_s = 8.5 / 4.797 \approx 1.77$.
$1.77$ के सबसे निकटतम पूर्णांक $2$ है।
बिंदीदार रास्ते $(w_d)$ के लिए: यह रास्ता तीन आयताकार चरणों से बना है।
चरण $1$: $P = 4 \text{ atm}$,$\Delta V = (2.0 - 0.5) \text{ L} = 1.5 \text{ L}$. कार्य = $4 \times 1.5 = 6 \text{ L-atm}$.
चरण $2$: $P = 1 \text{ atm}$,$\Delta V = (3.0 - 2.0) \text{ L} = 1.0 \text{ L}$. कार्य = $1 \times 1.0 = 1 \text{ L-atm}$.
चरण $3$: $P = 0.6 \text{ atm}$ (लगभग),$\Delta V = (5.5 - 3.0) \text{ L} = 2.5 \text{ L}$. कार्य = $0.6 \times 2.5 = 1.5 \text{ L-atm}$.
कुल $w_d = 6 + 1 + 1.5 = 8.5 \text{ L-atm}$.
ठोस रास्ते $(w_s)$ के लिए: यह रास्ता एक समतापीय प्रक्रिया है। समीकरण $PV = k$ है। बिंदु $a$ पर,$P=4, V=0.5$,इसलिए $k = 2 \text{ L-atm}$.
$w_s = \int_{V_a}^{V_b} P \, dV = \int_{0.5}^{5.5} \frac{k}{V} \, dV = k \ln\left(\frac{V_b}{V_a}\right) = 2 \times 2.303 \log_{10}\left(\frac{5.5}{0.5}\right) = 4.606 \log_{10}(11) \approx 4.606 \times 1.0414 \approx 4.797 \text{ L-atm}$.
अनुपात $w_d / w_s = 8.5 / 4.797 \approx 1.77$.
$1.77$ के सबसे निकटतम पूर्णांक $2$ है।
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MediumMCQ
एक आदर्श गैस नीचे दिए गए $P-V$ आरेख में दिखाए अनुसार चार चरणों का चक्र पूरा करती है। इस चक्र के दौरान,किस चरण में गैस द्वारा ऊष्मा अवशोषित की जाती है?
A
चरण $1$ और $2$
B
चरण $1$ और $3$
C
चरण $1$ और $4$
D
चरण $2$ और $4$
Solution
(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$ है।
चरण $1$: समदाबी प्रसार ($P = \text{स्थिर}$,$V$ बढ़ता है)। चूंकि $V$ बढ़ता है,$W > 0$ है। स्थिर $P$ पर $T \propto V$ होता है,इसलिए $T$ बढ़ता है,जिससे $\Delta U > 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U + W > 0$ (ऊष्मा अवशोषित होती है)।
चरण $2$: समआयतनिक संपीड़न ($V = \text{स्थिर}$,$P$ घटता है)। चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$ है। स्थिर $V$ पर $P \propto T$ होता है,इसलिए $P$ घटने पर $T$ घटता है,जिससे $\Delta U < 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U < 0$ (ऊष्मा मुक्त होती है)।
चरण $3$: समदाबी संपीड़न ($P = \text{स्थिर}$,$V$ घटता है)। चूंकि $V$ घटता है,$W < 0$ है। स्थिर $P$ पर $T \propto V$ होता है,इसलिए $T$ घटता है,जिससे $\Delta U < 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U + W < 0$ (ऊष्मा मुक्त होती है)।
चरण $4$: समआयतनिक प्रसार ($V = \text{स्थिर}$,$P$ बढ़ता है)। चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$ है। स्थिर $V$ पर $P \propto T$ होता है,इसलिए $P$ बढ़ने पर $T$ बढ़ता है,जिससे $\Delta U > 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U > 0$ (ऊष्मा अवशोषित होती है)।
अतः,चरण $1$ और $4$ में ऊष्मा अवशोषित होती है।
चरण $1$: समदाबी प्रसार ($P = \text{स्थिर}$,$V$ बढ़ता है)। चूंकि $V$ बढ़ता है,$W > 0$ है। स्थिर $P$ पर $T \propto V$ होता है,इसलिए $T$ बढ़ता है,जिससे $\Delta U > 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U + W > 0$ (ऊष्मा अवशोषित होती है)।
चरण $2$: समआयतनिक संपीड़न ($V = \text{स्थिर}$,$P$ घटता है)। चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$ है। स्थिर $V$ पर $P \propto T$ होता है,इसलिए $P$ घटने पर $T$ घटता है,जिससे $\Delta U < 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U < 0$ (ऊष्मा मुक्त होती है)।
चरण $3$: समदाबी संपीड़न ($P = \text{स्थिर}$,$V$ घटता है)। चूंकि $V$ घटता है,$W < 0$ है। स्थिर $P$ पर $T \propto V$ होता है,इसलिए $T$ घटता है,जिससे $\Delta U < 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U + W < 0$ (ऊष्मा मुक्त होती है)।
चरण $4$: समआयतनिक प्रसार ($V = \text{स्थिर}$,$P$ बढ़ता है)। चूंकि $V$ स्थिर है,$W = 0$ है। स्थिर $V$ पर $P \propto T$ होता है,इसलिए $P$ बढ़ने पर $T$ बढ़ता है,जिससे $\Delta U > 0$ होता है। अतः,$\Delta Q = \Delta U > 0$ (ऊष्मा अवशोषित होती है)।
अतः,चरण $1$ और $4$ में ऊष्मा अवशोषित होती है।
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दिए गए $P-V$ आरेख का उपयोग करते हुए, पथ $\text{ABCD}$ के अनुदिश एक आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य है $-$ ($\text{P}_0 \text{V}_0$ में)
A
$4$
B
$3$
C
$-4$
D
$-3$
Solution
(D) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है। पथ $\text{ABCD}$ है।
पथ $\text{AB}$ (समदाबी प्रसार) के लिए: $\text{W}_{\text{AB}} = \text{P}_0(3\text{V}_0 - 2\text{V}_0) = \text{P}_0\text{V}_0$.
पथ $\text{BC}$ (समआयतनिक प्रक्रिया) के लिए: $\text{W}_{\text{BC}} = 0$ (चूंकि $\Delta\text{V} = 0$).
पथ $\text{CD}$ (समदाबी संपीड़न) के लिए: $\text{W}_{\text{CD}} = 2\text{P}_0(\text{V}_0 - 3\text{V}_0) = 2\text{P}_0(-2\text{V}_0) = -4\text{P}_0\text{V}_0$.
कुल कार्य $\text{W}_{\text{ABCD}} = \text{W}_{\text{AB}} + \text{W}_{\text{BC}} + \text{W}_{\text{CD}} = \text{P}_0\text{V}_0 + 0 - 4\text{P}_0\text{V}_0 = -3\text{P}_0\text{V}_0$.
पथ $\text{AB}$ (समदाबी प्रसार) के लिए: $\text{W}_{\text{AB}} = \text{P}_0(3\text{V}_0 - 2\text{V}_0) = \text{P}_0\text{V}_0$.
पथ $\text{BC}$ (समआयतनिक प्रक्रिया) के लिए: $\text{W}_{\text{BC}} = 0$ (चूंकि $\Delta\text{V} = 0$).
पथ $\text{CD}$ (समदाबी संपीड़न) के लिए: $\text{W}_{\text{CD}} = 2\text{P}_0(\text{V}_0 - 3\text{V}_0) = 2\text{P}_0(-2\text{V}_0) = -4\text{P}_0\text{V}_0$.
कुल कार्य $\text{W}_{\text{ABCD}} = \text{W}_{\text{AB}} + \text{W}_{\text{BC}} + \text{W}_{\text{CD}} = \text{P}_0\text{V}_0 + 0 - 4\text{P}_0\text{V}_0 = -3\text{P}_0\text{V}_0$.
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दी गई चक्रीय प्रक्रिया $ABCA$ (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) के लिए एक निकाय द्वारा विनिमय की गई ऊष्मा का परिमाण ($SI$ इकाई में) क्या है?
A
$10 \pi$
B
$5 \pi$
C
शून्य
D
$40 \pi$
Solution
(B) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$,इसलिए $Q = W$ होता है। किया गया कार्य $W$,$PV$ आरेख में $ABCA$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
प्रक्रिया $ABCA$ $r$ त्रिज्या के एक अर्धवृत्त और एक सीधी रेखा $CA$ से बनी है।
$P$-अक्ष पर अर्धवृत्त का व्यास $400 \text{ kPa} - 200 \text{ kPa} = 200 \text{ kPa}$ है। अतः,त्रिज्या $r_P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$ है।
$V$-अक्ष पर अर्धवृत्त का व्यास $400 \text{ cc} - 200 \text{ cc} = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ है। अतः,त्रिज्या $r_V = 100 \text{ cc} = 10^{-4} \text{ m}^3$ है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \pi r_P r_V = \frac{1}{2} \times \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = \frac{1}{2} \times \pi \times 10 = 5 \pi \text{ J}$ है।
चूंकि चक्र वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है,लेकिन विनिमय की गई ऊष्मा का परिमाण $5 \pi \text{ J}$ है।
प्रक्रिया $ABCA$ $r$ त्रिज्या के एक अर्धवृत्त और एक सीधी रेखा $CA$ से बनी है।
$P$-अक्ष पर अर्धवृत्त का व्यास $400 \text{ kPa} - 200 \text{ kPa} = 200 \text{ kPa}$ है। अतः,त्रिज्या $r_P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$ है।
$V$-अक्ष पर अर्धवृत्त का व्यास $400 \text{ cc} - 200 \text{ cc} = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ है। अतः,त्रिज्या $r_V = 100 \text{ cc} = 10^{-4} \text{ m}^3$ है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \pi r_P r_V = \frac{1}{2} \times \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = \frac{1}{2} \times \pi \times 10 = 5 \pi \text{ J}$ है।
चूंकि चक्र वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है,लेकिन विनिमय की गई ऊष्मा का परिमाण $5 \pi \text{ J}$ है।
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MediumMCQ
एक आदर्श गैस चित्र में दिखाए अनुसार एक चक्रीय प्रक्रिया से गुजरती है। पूरे चक्र में गैस द्वारा किया गया कार्य . . . . . . $\times 10^{-1} \ J$ है। ($\pi = 3.14$ लें)
A
$314$
B
$312$
C
$322$
D
$369$
Solution
(A) एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $P-V$ ग्राफ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि ग्राफ एक वृत्त है,इसलिए क्षेत्रफल $W = \pi \times r_P \times r_V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_P$ और $r_V$ क्रमशः दबाव और आयतन अक्षों पर त्रिज्याएँ हैं।
दबाव अक्ष पर व्यास $d_P = (500 - 300) \text{ kPa} = 200 \times 10^3 \text{ Pa}$ है। अतः,$r_P = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$ है।
आयतन अक्ष पर व्यास $d_V = (350 - 150) \text{ cm}^3 = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ है। अतः,$r_V = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ है।
किया गया कार्य $W = \pi \times r_P \times r_V = 3.14 \times (100 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) \text{ J}$ है।
$W = 3.14 \times 10^4 \times 10^{-6} \times 100 \text{ J} = 3.14 \times 10^0 \text{ J} = 3.14 \text{ J}$ है।
इसे $\times 10^{-1} \text{ J}$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $W = 31.4 \times 10^{-1} \text{ J}$ लिखते हैं।
अतः,मान $31.4$ है।
चूंकि ग्राफ एक वृत्त है,इसलिए क्षेत्रफल $W = \pi \times r_P \times r_V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_P$ और $r_V$ क्रमशः दबाव और आयतन अक्षों पर त्रिज्याएँ हैं।
दबाव अक्ष पर व्यास $d_P = (500 - 300) \text{ kPa} = 200 \times 10^3 \text{ Pa}$ है। अतः,$r_P = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$ है।
आयतन अक्ष पर व्यास $d_V = (350 - 150) \text{ cm}^3 = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ है। अतः,$r_V = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3$ है।
किया गया कार्य $W = \pi \times r_P \times r_V = 3.14 \times (100 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) \text{ J}$ है।
$W = 3.14 \times 10^4 \times 10^{-6} \times 100 \text{ J} = 3.14 \times 10^0 \text{ J} = 3.14 \text{ J}$ है।
इसे $\times 10^{-1} \text{ J}$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $W = 31.4 \times 10^{-1} \text{ J}$ लिखते हैं।
अतः,मान $31.4$ है।
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एक आदर्श गैस को चित्र में दिखाई गई प्रक्रिया से गुजारा जाता है। कौन सा कथन सत्य है?
A
प्रक्रिया $AB$ में, निकाय द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।
B
प्रक्रिया $AB$ में, ऊष्मा निकाय से बाहर निकलती है।
C
प्रक्रिया $AB$ में, आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है।
D
प्रक्रिया $AB$ में, आंतरिक ऊर्जा घटती है और प्रक्रिया $BC$ में आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है।
Solution
(B) दिए गए $P-T$ आरेख में, प्रक्रिया $AB$ एक समतापीय प्रक्रिया है क्योंकि तापमान $T$ स्थिर है।
आदर्श गैस के लिए, $PV = nRT$। चूंकि $T$ स्थिर है, $PV = \text{स्थिरांक}$, जिसका अर्थ है कि $P \propto 1/V$।
प्रक्रिया $AB$ में, दबाव $P$ बढ़ता है, इसलिए आयतन $V$ कम होना चाहिए।
निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ है। चूंकि $dV < 0$, निकाय द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है। प्रक्रिया $AB$ में $T$ स्थिर है, इसलिए $\Delta U = 0$।
इसलिए, $\Delta Q = \Delta W$। चूंकि $\Delta W < 0$, इसलिए $\Delta Q < 0$, जिसका अर्थ है कि ऊष्मा निकाय से बाहर निकलती है।
अतः, विकल्प $B$ सही है।
आदर्श गैस के लिए, $PV = nRT$। चूंकि $T$ स्थिर है, $PV = \text{स्थिरांक}$, जिसका अर्थ है कि $P \propto 1/V$।
प्रक्रिया $AB$ में, दबाव $P$ बढ़ता है, इसलिए आयतन $V$ कम होना चाहिए।
निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ है। चूंकि $dV < 0$, निकाय द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है। प्रक्रिया $AB$ में $T$ स्थिर है, इसलिए $\Delta U = 0$।
इसलिए, $\Delta Q = \Delta W$। चूंकि $\Delta W < 0$, इसलिए $\Delta Q < 0$, जिसका अर्थ है कि ऊष्मा निकाय से बाहर निकलती है।
अतः, विकल्प $B$ सही है।
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$T-V$ आरेख में एक चक्रीय प्रक्रिया $ABCA$ दिखाई गई है। $2 \text{ mole}$ की एक आदर्श गैस इस प्रक्रिया से गुजरती है। पूर्ण चक्र में गैस द्वारा कुल $1200 \text{ J}$ ऊष्मा का त्याग किया जाता है। प्रक्रिया $BC$ के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए। ($\text{ J}$ में)
A
$-4525.6$
B
$-3580.0$
C
$-4988.4$
D
$-6200$
Solution
(D) चक्रीय प्रक्रिया $ABCA$ के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta W$ है।
चूंकि ऊष्मा का त्याग किया गया है, इसलिए $\Delta Q = -1200 \text{ J}$ है।
अतः, $\Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CA} = -1200 \text{ J}$ है।
प्रक्रिया $AB$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, इसलिए $T \propto V$, जिसका अर्थ है कि यह एक समदाबी प्रक्रिया है। $T-V$ आरेख में मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए कार्य $W = nR\Delta T$ होता है।
प्रक्रिया $AB$ के लिए: $W_{AB} = nR(T_B - T_A) = 2 \times 8.314 \times (600 - 300) = 2 \times 8.314 \times 300 = 4988.4 \text{ J}$ है।
प्रक्रिया $CA$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, इसलिए यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है, जिसका अर्थ $\Delta W_{CA} = 0$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $4988.4 + \Delta W_{BC} + 0 = -1200$ प्राप्त होता है।
$\Delta W_{BC} = -1200 - 4988.4 = -6188.4 \text{ J}$ है।
निकटतम विकल्प को देखते हुए, हमें $-6200 \text{ J}$ प्राप्त होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta W$ है।
चूंकि ऊष्मा का त्याग किया गया है, इसलिए $\Delta Q = -1200 \text{ J}$ है।
अतः, $\Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CA} = -1200 \text{ J}$ है।
प्रक्रिया $AB$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, इसलिए $T \propto V$, जिसका अर्थ है कि यह एक समदाबी प्रक्रिया है। $T-V$ आरेख में मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए कार्य $W = nR\Delta T$ होता है।
प्रक्रिया $AB$ के लिए: $W_{AB} = nR(T_B - T_A) = 2 \times 8.314 \times (600 - 300) = 2 \times 8.314 \times 300 = 4988.4 \text{ J}$ है।
प्रक्रिया $CA$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, इसलिए यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है, जिसका अर्थ $\Delta W_{CA} = 0$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $4988.4 + \Delta W_{BC} + 0 = -1200$ प्राप्त होता है।
$\Delta W_{BC} = -1200 - 4988.4 = -6188.4 \text{ J}$ है।
निकटतम विकल्प को देखते हुए, हमें $-6200 \text{ J}$ प्राप्त होता है।
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चित्र में दिखाए अनुसार दो मोल आदर्श एकपरमाणुक गैस एक चक्रीय प्रक्रिया से गुजरती है। विभिन्न अवस्थाओं में तापमान $6 T_1 = 3 T_2 = 2 T_4 = T_3 = 2400 \text{ K}$ के रूप में दिए गए हैं। पूर्ण चक्र के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $(R = \text{सार्वत्रिक गैस नियतांक})$ ज्ञात कीजिए। ($R$ में)
A
$-1600$
B
$1600$
C
$-1200$
D
$800$
Solution
(B) दिया गया है: $n = 2 \text{ मोल}$,$T_3 = 2400 \text{ K}$,$2 T_4 = 2400 \implies T_4 = 1200 \text{ K}$,$3 T_2 = 2400 \implies T_2 = 800 \text{ K}$,$6 T_1 = 2400 \implies T_1 = 400 \text{ K}$.
ग्राफ से,प्रक्रिया $1 \to 2$ समआयतनिक $(P = \text{स्थिर})$,$2 \to 3$ समदाबी $(P \propto T)$,$3 \to 4$ समआयतनिक,और $4 \to 1$ समदाबी है।
चक्र में किया गया कार्य $W = \oint P \, dV$ है। समदाबी प्रक्रियाओं के लिए $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$W = \oint nR \, dT$ होगा।
$W_{12} = 0$ (समआयतनिक)।
$W_{23} = nR(T_3 - T_2) = 2R(2400 - 800) = 3200R$।
$W_{34} = 0$ (समआयतनिक)।
$W_{41} = nR(T_1 - T_4) = 2R(400 - 1200) = -1600R$।
कुल कार्य $W = W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41} = 0 + 3200R + 0 - 1600R = 1600R$।
ग्राफ से,प्रक्रिया $1 \to 2$ समआयतनिक $(P = \text{स्थिर})$,$2 \to 3$ समदाबी $(P \propto T)$,$3 \to 4$ समआयतनिक,और $4 \to 1$ समदाबी है।
चक्र में किया गया कार्य $W = \oint P \, dV$ है। समदाबी प्रक्रियाओं के लिए $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$W = \oint nR \, dT$ होगा।
$W_{12} = 0$ (समआयतनिक)।
$W_{23} = nR(T_3 - T_2) = 2R(2400 - 800) = 3200R$।
$W_{34} = 0$ (समआयतनिक)।
$W_{41} = nR(T_1 - T_4) = 2R(400 - 1200) = -1600R$।
कुल कार्य $W = W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41} = 0 + 3200R + 0 - 1600R = 1600R$।
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