Heat, Work done and Internal Energy from Graph Questions in Hindi

(C) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
प्रक्रिया $AB$ के लिए: गैस $P = P_0$ अचर दाब पर $V = 2V_0$ से $V = V_0$ तक जाती है। कार्य $W_{AB} = P_0(V_0 - 2V_0) = -P_0V_0$।
प्रक्रिया $BC$ के लिए: गैस अचर आयतन पर $V = V_0$ से $V = V_0$ तक जाती है। कार्य $W_{BC} = 0$।
प्रक्रिया $CD$ के लिए: गैस $P = 2P_0$ अचर दाब पर $V = V_0$ से $V = 3V_0$ तक जाती है। कार्य $W_{CD} = 2P_0(3V_0 - V_0) = 2P_0(2V_0) = 4P_0V_0$।
कुल कार्य $W_{ABCD} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} = -P_0V_0 + 0 + 4P_0V_0 = 3P_0V_0$।

(B) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए अर्धवृत्त के लिए,व्यास दबाव अक्ष पर $P = 1 \text{ atm}$ से $P = 3 \text{ atm}$ तक है।
अतः,व्यास $d = 3 - 1 = 2 \text{ atm}$,इसलिए त्रिज्या $r = 1 \text{ atm}$ है।
आयतन $V = 2 \text{ L}$ से $V = 1 \text{ L}$ और वापस $V = 2 \text{ L}$ तक बदलता है।
चूंकि प्रक्रिया $V = 2 \text{ L}$ से $V = 1 \text{ L}$ (संपीड़न) और फिर $V = 1 \text{ L}$ से $V = 2 \text{ L}$ (प्रसार) की ओर जाती है,इसलिए प्रसार भाग के नीचे का क्षेत्रफल संपीड़न भाग के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक है।
कुल किया गया कार्य अर्धवृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times (1 \text{ atm})^2 \times (1 \text{ L}) = \frac{\pi}{2} \text{ atm-L}$।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।

(A) $(V, 2P)$ और $(2V, P)$ से गुजरने वाली सीधी रेखा $AB$ का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{P' - 2P}{V' - V} = \frac{P - 2P}{2V - V} = \frac{-P}{V}$
$P' - 2P = -\frac{P}{V}(V' - V)$
$P' = -\frac{P}{V}V' + 3P$
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$,इसलिए $T \propto PV$.
मान लीजिए $f(V') = P'V' = V'(-\frac{P}{V}V' + 3P) = -\frac{P}{V}(V')^2 + 3PV'$.
यह $V'$ के सापेक्ष नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है। अधिकतम मान $V' = -\frac{b}{2a} = -\frac{3P}{2(-P/V)} = 1.5V$ पर प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे आयतन $V'$ का मान $V$ से $2V$ तक बढ़ता है,$PV$ का गुणनफल (और इस प्रकार तापमान $T$) पहले $V' = 1.5V$ तक बढ़ता है और फिर जैसे-जैसे $V'$ का मान $2V$ के करीब पहुंचता है,यह घटने लगता है।

(A) किसी प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है। $T-V$ आरेख में,यदि हम आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ पर विचार करें,तो किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के समानुपाती होता है,जिसका अर्थ है $P = nRT/V$। अतः,$W = \int P \, dV = \int (nRT/V) \, dV$।
$V_A$ से $V_B$ तक दिए गए विस्तार के लिए,यदि पूरी प्रक्रिया के दौरान तापमान $T$ अधिक है तो किया गया कार्य अधिक होता है।
$T-V$ आरेख को देखने पर:
पथ $1$ में नियत आयतन पर तापमान में वृद्धि और उसके बाद नियत तापमान (या उच्च औसत तापमान) पर विस्तार शामिल है।
पथ $2$ $A$ से $B$ तक एक सीधी रेखा है।
पथ $3$ में नियत तापमान (या निम्न औसत तापमान) पर विस्तार और उसके बाद नियत आयतन पर तापमान में वृद्धि शामिल है।
$P-V$ तल में वक्रों के नीचे के क्षेत्रफलों की तुलना करने पर (जो $V$ के सापेक्ष $T/V$ के समाकलन के अनुरूप है),हम पाते हैं कि जो पथ बड़े आयतनों के लिए उच्च तापमान पर रहता है,वह अधिक कार्य उत्पन्न करता है।
अतः,किए गए कार्य का क्रम $W_1 > W_2 > W_3$ है।

(C) एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $P-V$ आरेख द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
दिए गए चक्र $ABCA$ में,आकृति एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A(V_0, 2P_0)$,$B(2V_0, 3P_0)$ और $C(2V_0, 2P_0)$ पर हैं।
त्रिभुज का आधार $AC$ खंड है,जिसकी लंबाई $(2V_0 - V_0) = V_0$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $BC$ खंड है,जिसकी लंबाई $(3P_0 - 2P_0) = P_0$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = (1/2) \times \text{base} \times \text{height} = (1/2) \times V_0 \times P_0 = (1/2) P_0V_0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
अतः,पूर्ण चक्र $ABCA$ में किया गया कार्य $(1/2 P_0V_0)$ है।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है $(U = f(T))$।
$1$. प्रक्रिया $AB$ में,तापमान $T$ स्थिर है। चूंकि तापमान स्थिर है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
$2$. प्रक्रिया $BC$ में,तापमान $T$ बढ़ता है। चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए $T$ में वृद्धि से आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि होती है।
$3$. प्रक्रिया $CD$ में,तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,कथन 'प्रक्रिया $BC$ के दौरान,गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ रही है' सही है।

(A) चूंकि आंतरिक ऊर्जा $(\Delta U)$ एक अवस्था फलन है,इसलिए दोनों प्रक्रियाओं $AOC$ और $ABC$ के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन समान होता है,अर्थात $\Delta U_{AOC} = \Delta U_{ABC}$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$,जहाँ $W$ किया गया कार्य है।
किया गया कार्य $W$,$P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चित्र से,वक्र $AOC$ के नीचे का क्षेत्रफल पथ $ABC$ के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक है। इसलिए,$W_{AOC} > W_{ABC}$।
अतः,$\Delta U_{AOC} = \Delta U_{ABC}$ और $W_{AOC} > W_{ABC}$ होने के कारण,$\Delta Q_{AOC} > \Delta Q_{ABC}$ होता है।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक अवस्था $1$ है जिसका तापमान $T_1$ है। बिंदु $2$ और $3$ एक ही समतापीय वक्र पर स्थित हैं,इसलिए $T_2 = T_3 = T_f$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$ होता है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ केवल तापमान में परिवर्तन पर निर्भर करता है,इसलिए $\Delta U_1 = nC_v(T_f - T_1)$ और $\Delta U_2 = nC_v(T_f - T_1)$ होगा। अतः,$\Delta U_1 = \Delta U_2$ है।
किया गया कार्य $W$,$P-V$ आरेख के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है। आरेख से,पथ $1-3$ के अंतर्गत क्षेत्रफल,पथ $1-2$ के अंतर्गत क्षेत्रफल से अधिक है,इसलिए $W_2 > W_1$ है।
चूंकि $Q = \Delta U + W$ है और $\Delta U_1 = \Delta U_2$ है,इसलिए जिस प्रक्रिया में किया गया कार्य अधिक होगा,उसमें ऊष्मा का स्थानांतरण भी अधिक होगा।
अतः,$Q_2 > Q_1$ या $Q_1 < Q_2$ होगा।

(A) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है,जिसे $P = nRT(1/V)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$AB$ के अनुदिश,दाब $P$ स्थिर है,और $(1/V)$ का मान बढ़ता है। चूँकि $P = nRT(1/V)$,यदि $P$ स्थिर है और $(1/V)$ बढ़ता है,तो तापमान $T$ को घटना चाहिए।
$BC$ के अनुदिश,$(1/V)$ का मान स्थिर है,और दाब $P$ बढ़ता है। चूँकि $P = nRT(1/V)$,यदि $(1/V)$ स्थिर है और $P$ बढ़ता है,तो तापमान $T$ को बढ़ना चाहिए।
अतः,सही कथन यह है कि $AB$ के अनुदिश तापमान घटता है जबकि $BC$ के अनुदिश तापमान बढ़ता है।

(D) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$। चूँकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए कुल अवशोषित ऊष्मा $Q = W$ होगी,जहाँ $W$ चक्र में किया गया कुल कार्य है।
समतापीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = nRT \ln(V_f / V_i)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रक्रिया $ab$,$T_1 = 500 \text{ K}$ पर समतापीय है जिसमें आयतन $V_0$ से $2V_0$ तक बदलता है:
$W_{ab} = nRT_1 \ln(2V_0 / V_0) = nRT_1 \ln 2$
प्रक्रिया $bc$ समआयतनिक ($V$ स्थिर) है,इसलिए $W_{bc} = 0$।
प्रक्रिया $cd$,$T_2 = 300 \text{ K}$ पर समतापीय है जिसमें आयतन $2V_0$ से $V_0$ तक बदलता है:
$W_{cd} = nRT_2 \ln(V_0 / 2V_0) = nRT_2 \ln(1/2) = -nRT_2 \ln 2$
प्रक्रिया $da$ समआयतनिक ($V$ स्थिर) है,इसलिए $W_{da} = 0$।
कुल कार्य $W = W_{ab} + W_{bc} + W_{cd} + W_{da} = nR(T_1 - T_2) \ln 2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर ($n = 2.0 \text{ mol}$,$R = 8.3 \text{ J/mol-K}$,$T_1 = 500 \text{ K}$,$T_2 = 300 \text{ K}$,$\ln 2 = 0.69$):
$Q = 2.0 \times 8.3 \times (500 - 300) \times 0.69$
$Q = 2.0 \times 8.3 \times 200 \times 0.69$
$Q = 3320 \times 0.69 = 2290.8 \text{ J} \approx 2291 \text{ J}$.

(A) $P-V$ आरेख में,वक्र के नीचे का क्षेत्रफल गैस द्वारा किए गए कार्य को दर्शाता है।
पथ $-I$ के माध्यम से $A \rightarrow B$ के लिए,गैस का विस्तार होता है (आयतन बढ़ता है),इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है $(W_I > 0)$।
पथ $-II$ के माध्यम से $B \rightarrow A$ के लिए,गैस का संपीड़न होता है (आयतन घटता है),इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक है $(W_{II} < 0)$।
चूंकि आरेख में देखा जा सकता है कि पथ $-II$ के नीचे का क्षेत्रफल पथ $-I$ के नीचे के क्षेत्रफल से बड़ा है,इसलिए संपीड़न के दौरान किए गए कार्य का परिमाण विस्तार के दौरान किए गए कार्य से अधिक है।
अतः,चक्र में किया गया कुल कार्य $(W_{net} = W_I + W_{II})$ ऋणात्मक है।
गैस द्वारा किया गया ऋणात्मक कुल कार्य का अर्थ है कि गैस पर धनात्मक कार्य किया जाता है।

(C) आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$,इसलिए $V = (nR/P)T$.
किया गया कार्य $W = \int P dV$.
$PV = nRT$ से,$P dV + V dP = nR dT$.
$AB$ और $CD$ प्रक्रियाओं के लिए,$T$ स्थिर है,इसलिए $dT = 0$,जिसका अर्थ है $P dV = -V dP$.
अतः,$W = \int_{P_i}^{P_f} P dV = -\int_{P_i}^{P_f} V dP = -\int_{P_i}^{P_f} (nRT/P) dP = -nRT \ln(P_f/P_i) = nRT \ln(P_i/P_f)$.
मान लीजिए मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं $T = m_1 P$ और $T = m_2 P$ हैं।
$AB$ प्रक्रिया के लिए,$T = T_1$,$P_A = T_1/m_1$,$P_B = T_1/m_2$.
$W_{AB} = nRT_1 \ln(P_A/P_B) = nRT_1 \ln((T_1/m_1) / (T_1/m_2)) = nRT_1 \ln(m_2/m_1)$.
इसी प्रकार,$CD$ प्रक्रिया के लिए,$W_{CD} = nRT_2 \ln(m_2/m_1)$.
दिया गया है कि $W_{AB} = 2 W_{CD}$,इसलिए $nRT_1 \ln(m_2/m_1) = 2 nRT_2 \ln(m_2/m_1)$.
अतः,$T_1 = 2 T_2$,जिससे $T_1/T_2 = 2$ प्राप्त होता है।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,तापमान $T$,$PV$ के गुणनफल के समानुपाती होता है ($PV = nRT$ से)।
$1$. प्रक्रिया $A$ (समदाबी विस्तार): $P$ स्थिर है और $V$ बढ़ता है,इसलिए $PV$ बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ बढ़ता है।
$2$. प्रक्रिया $B$ (समतापीय विस्तार): परिभाषा के अनुसार $T$ स्थिर रहता है।
$3$. प्रक्रिया $C$ (रुद्धोष्म विस्तार): $P$ और $V$ दोनों इस तरह बदलते हैं कि $PV^{\gamma}$ स्थिर रहता है। चूँकि $V$ बढ़ता है,$P$ को काफी कम होना चाहिए। रुद्धोष्म विस्तार के लिए,$T$ घटता है।
$4$. प्रक्रिया $D$ (समआयतनिक संपीड़न): $V$ स्थिर है और $P$ घटता है,इसलिए $PV$ घटता है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ घटता है।
अतः,प्रक्रिया $C$ और $D$ दोनों में तापमान घटता है। इसलिए,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,$T \propto PV$ होता है।
बिंदु $A$ पर,$P_A = P_0$ और $V_A = V_0$,इसलिए $T_A \propto P_0 V_0$ है।
बिंदु $B$ पर,$P_B = 2P_0$ है। मान लीजिए $B$ पर आयतन $V_B$ है। तब $T_B \propto (2P_0) V_B$ होगा।
अतः,$\frac{T_A}{T_B} = \frac{P_0 V_0}{2P_0 V_B} = \frac{V_0}{2V_B}$ है।
$PV$ आरेख की ज्यामिति से,रेखा $AB$ का ढाल $\tan 60^{\circ} = \frac{2P_0 - P_0}{V_B - V_0} = \frac{P_0}{V_B - V_0}$ है।
इसलिए,$V_B - V_0 = \frac{P_0}{\tan 60^{\circ}} = \frac{P_0}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा $BC$ का ढाल $-\tan 30^{\circ} = \frac{P_0 - 2P_0}{4V_0 - V_B} = \frac{-P_0}{4V_0 - V_B}$ है।
इसलिए,$4V_0 - V_B = \frac{P_0}{\tan 30^{\circ}} = P_0 \sqrt{3}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{V_B - V_0}{4V_0 - V_B} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
$3V_B - 3V_0 = 4V_0 - V_B \implies 4V_B = 7V_0 \implies V_B = \frac{7}{4}V_0$ है।
$V_B$ का मान अनुपात में रखने पर: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{V_0}{2(7/4)V_0} = \frac{V_0}{(7/2)V_0} = \frac{2}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) $P-V$ आरेख में, एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है $(U = nC_vT)$। समतापी (isotherms) स्थिर तापमान के वक्र होते हैं। एक आदर्श गैस के लिए, $PV = nRT$, इसलिए $T = PV/nR$।
$1$. रुद्धोष्म वक्र $AB$ पर विचार करें। चूंकि यह एक रुद्धोष्म विस्तार है, $A$ पर तापमान $(T_A)$, $B$ पर तापमान $(T_B)$ से अधिक है।
$2$. प्रक्रिया $AC$ के लिए: पथ $A$ से $C$ की ओर जाता है। चूंकि $C$, रुद्धोष्म वक्र $AB$ के ऊपर स्थित है, इसलिए $C$ पर तापमान $(T_C)$, समान आयतन पर रुद्धोष्म वक्र $AB$ के किसी भी बिंदु पर तापमान से अधिक है। विशेष रूप से, $T_C > T_A$। चूंकि तापमान बढ़ता है, आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है $(\Delta U > 0)$। चूंकि गैस $A$ से $C$ तक फैलती है, गैस द्वारा कार्य किया जाता है $(W > 0)$। ऊष्मागतिकी के पहले नियम के अनुसार, $Q = \Delta U + W$। चूंकि $\Delta U$ और $W$ दोनों धनात्मक हैं, $Q > 0$, जिसका अर्थ है कि प्रक्रिया ऊष्माशोषी है।
$3$. प्रक्रिया $BC$ के लिए: पथ $B$ से $C$ की ओर जाता है। चूंकि $C$, $B$ की तुलना में उच्च तापमान पर है $(T_C > T_B)$, आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है $(\Delta U > 0)$। हालाँकि, पथ $BC$ एक संपीड़न है (आयतन कम हो जाता है), इसलिए गैस पर कार्य किया जाता है $(W < 0)$। इस विशिष्ट ज्यामिति में, ऊष्मा $Q$ ऋणात्मक है क्योंकि तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊर्जा संपीड़न द्वारा जारी ऊर्जा से कम है। इस प्रकार, $BC$ ऊष्माक्षेपी है।

(A) आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन (state function) है,जिसका अर्थ है कि यह केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करती है और अपनाए गए पथ से स्वतंत्र है।
चूंकि दोनों प्रक्रियाएं $I$ और $II$ अवस्था $A$ से शुरू होती हैं और अवस्था $B$ पर समाप्त होती हैं,इसलिए दोनों प्रक्रियाओं के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन समान है।
अतः,$\Delta U_1 = \Delta U_2$।

(C) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta U = Q - W = 0$ है,जिसका अर्थ है $Q = W$।
अवशोषित ऊष्मा $(Q > 0)$ गैस द्वारा किए गए धनात्मक कार्य $(W > 0)$ के अनुरूप होती है।
$P-V$ आरेख में,कार्य दक्षिणावर्त (clockwise) चक्र के लिए धनात्मक और वामावर्त (anticlockwise) चक्र के लिए ऋणात्मक होता है।
आकृति $A$ एक $V-P$ आरेख है (अक्षों पर ध्यान दें)। $V-P$ आरेख में दक्षिणावर्त चक्र का अर्थ है $W < 0$।
आकृति $B$ एक $P-V$ आरेख है जिसमें वामावर्त चक्र है,इसलिए $W < 0$।
आकृति $C$ एक $P-V$ आरेख है जिसमें दक्षिणावर्त चक्र है,इसलिए $W > 0$।
आकृति $D$ एक $V-P$ आरेख है जिसमें दक्षिणावर्त चक्र है,इसलिए $W < 0$।
अतः,केवल आकृति $C$ में ही कुल कार्य धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि गैस द्वारा ऊष्मा का अवशोषण होता है।

(C) दिए गए $P-V$ आरेख में:
$1$. $AB$ एक समतापीय प्रक्रिया है $(T = \text{स्थिर})$. चूँकि $A$ से $B$ तक $V$ बढ़ता है, इसलिए $P$ को घटना चाहिए $(P \propto 1/V)$.
$2$. $BC$ एक समदाबी प्रक्रिया है $(P = \text{स्थिर})$. चूँकि $B$ से $C$ तक $V$ घटता है, इसलिए $T$ को घटना चाहिए $(V \propto T)$.
$3$. $CA$ एक समआयतनिक प्रक्रिया है $(V = \text{स्थिर})$. चूँकि $C$ से $A$ तक $P$ बढ़ता है, इसलिए $T$ को बढ़ना चाहिए $(P \propto T)$.
इन्हें $P-T$ आरेख पर मैप करने पर:
- $AB$: $T$ स्थिर है, इसलिए ग्राफ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। चूँकि $P$ घट रहा है, दिशा नीचे की ओर है।
- $BC$: $P$ स्थिर है, इसलिए ग्राफ एक क्षैतिज रेखा है। चूँकि $T$ घट रहा है, दिशा बाईं ओर है।
- $CA$: $V$ स्थिर है, इसलिए $P \propto T$. ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। चूँकि $T$ बढ़ रहा है, दिशा मूल बिंदु से दूर है।
इन विशेषताओं की तुलना करने पर, सही $P-T$ आरेख विकल्प $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) $P-V$ आरेख में,गैस द्वारा किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
चक्रीय प्रक्रिया के लिए,कुल कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यदि चक्र को दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में पूरा किया जाता है,तो गैस द्वारा किया गया कुल कार्य धनात्मक होता है।
यदि चक्र को वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में पूरा किया जाता है,तो गैस द्वारा किया गया कुल कार्य ऋणात्मक होता है।
दिए गए $P-V$ आरेख को देखने पर,$ABCDA$ चक्र दक्षिणावर्त दिशा में पूरा हो रहा है।
इसलिए,$ABCDA$ चक्र में गैस द्वारा किया गया कुल कार्य धनात्मक है।

(C) $p-V$ आरेख पर एक चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि चक्र $12341$ दक्षिणावर्त दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
चक्र द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल शीर्षों $1, 2, 3, 4$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।
शीर्ष हैं: $1(2V_0, 5P_0)$,$2(5V_0, 5P_0)$,$3(6V_0, 3P_0)$,और $4(3V_0, 3P_0)$।
यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है जिसका आधार $b = (5V_0 - 2V_0) = 3V_0$ और ऊंचाई $h = (5P_0 - 3P_0) = 2P_0$ है।
किया गया कार्य $W = \text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = (3V_0) \times (2P_0) = 6P_0V_0$।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार गैस को दी गई ऊष्मा $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
सबसे पहले,प्रक्रिया $A \to B$ के दौरान किया गया कार्य $\Delta W$ ज्ञात करें,जो $P-V$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है:
$\Delta W = \text{समलंब का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_B - V_A)$
$\Delta W = \frac{1}{2} \times (P_0 + 2P_0) \times (2V_0 - V_0) = \frac{1}{2} \times 3P_0 \times V_0 = 1.5 P_0 V_0$.
इसके बाद,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ ज्ञात करें। हीलियम जैसी एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = \frac{3}{2}R$ होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$nRT_A = P_0 V_0$ और $nRT_B = (2P_0)(2V_0) = 4P_0 V_0$ है।
अतः,$nR \Delta T = nR(T_B - T_A) = 4P_0 V_0 - P_0 V_0 = 3P_0 V_0$.
इसलिए,$\Delta U = \frac{3}{2} (nR \Delta T) = \frac{3}{2} (3P_0 V_0) = 4.5 P_0 V_0$.
अंत में,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = \Delta U + \Delta W = 4.5 P_0 V_0 + 1.5 P_0 V_0 = 6 P_0 V_0$ है।

(C) दिए गए $(\rho - V)$ ग्राफ से,हम देखते हैं कि प्रक्रियाओं $AB$ और $CD$ के लिए,आयतन $V$ स्थिर है। इसलिए,$AB$ और $CD$ समआयतनिक (isochoric) प्रक्रियाएं हैं।
एक समआयतनिक प्रक्रिया में,दाब $P$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$,जिसका अर्थ है कि $P$ बनाम $T$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए।
प्रक्रियाओं $BC$ और $AD$ के लिए,घनत्व $\rho$ स्थिर है। चूंकि $\rho = \frac{m}{V}$,स्थिर घनत्व का अर्थ स्थिर आयतन है,जो ग्राफ के साथ विरोधाभासी है। हालांकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,विकल्प $C$ में $AB$ और $CD$ को मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाओं के रूप में दिखाया गया है,जो समआयतनिक प्रक्रियाओं के लिए सही निरूपण है।

(C) चक्रीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $P-V$ आरेख पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में है, इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है।
आयत का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$W = \Delta P \times \Delta V$
$W = (P_{max} - P_{min}) \times (V_{max} - V_{min})$
ग्राफ से, $P_{max} = 5\, \text{atm}$, $P_{min} = 2\, \text{atm}$, $V_{max} = 12\, \text{litre}$, और $V_{min} = 4\, \text{litre}$ है।
$W = (5 - 2) \times (12 - 4)$
$W = 3 \times 8 = 24\, \text{litre-atm}$.

(C) $P-T$ आरेख में, मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं समआयतनिक प्रक्रियाओं (नियत आयतन, $V = \text{constant}$) को दर्शाती हैं।
चित्र से, प्रक्रियाएं $A \rightarrow B$ और $C \rightarrow D$ समआयतनिक हैं क्योंकि वे मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं पर स्थित हैं।
समआयतनिक प्रक्रियाओं के लिए, किया गया कार्य $W = \int P \, dV = 0$ होता है।
अतः, $W_{AB} = 0$ और $W_{CD} = 0$ है।
प्रक्रियाएं $B \rightarrow C$ और $D \rightarrow A$ समदाबी (नियत दाब, $P = \text{constant}$) हैं।
समदाबी प्रक्रिया के लिए, किया गया कार्य $W = P \Delta V = \mu R \Delta T$ होता है।
प्रति चक्र किया गया कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA}$ है।
$W = 0 + \mu R(T_C - T_B) + 0 + \mu R(T_A - T_D)$.
$W = \mu R(T_C - T_B + T_A - T_D)$.
यहाँ $\mu = 6 \, \text{moles}$ और $R = \frac{25}{3} \, J/(mol \cdot K)$ दिया गया है।
$W = 6 \times \frac{25}{3} \times (2200 - 800 + 600 - 1200)$.
$W = 2 \times 25 \times (1400 - 600) = 50 \times 800 = 40000 \, J = 40 \, kJ$.

(D) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है। एकपरमाणुक गैस के लिए,$f=3$,इसलिए $U \propto T$ है।
ग्राफ से:
अवस्था $A$: $T_A = T$
अवस्था $B$: $T_B = 2T$
अवस्था $C$: $T_C = 2T$
अवस्था $D$: $T_D = T$
आंतरिक ऊर्जा की तुलना:
$U_A = U_D$ (चूंकि $T_A = T_D$),इसलिए $U_A - U_D = 0$। (सत्य)
$U_B = U_C$ (चूंकि $T_B = T_C$),इसलिए $U_B - U_C = 0$। (सत्य)
$U_C > U_D$ (चूंकि $T_C > T_D$),इसलिए $U_C - U_D > 0$। (सत्य)
$U_B > U_A$ (चूंकि $T_B > T_A$),इसलिए $U_B - U_A > 0$। अतः,$U_B - U_A < 0$ असत्य है।

(A) आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ एक अवस्था फलन है,जिसका अर्थ है कि यह केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
पथ $ABC$ और $ADC$ के लिए,प्रारंभिक अवस्था $A$ है और अंतिम अवस्था $C$ है। इसलिए,$\Delta U_{ABC} = \Delta U_{ADC}$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta U = \Delta Q - W$।
पथ $ABC$ के लिए: $\Delta U_{ABC} = \Delta Q_{ABC} - W_{ABC} = 90\,J - 30\,J = 60\,J$।
चूंकि $\Delta U_{ADC} = \Delta U_{ABC} = 60\,J$,इसलिए पथ $ADC$ के लिए:
$\Delta Q_{ADC} - W_{ADC} = 60\,J$
$\Delta Q_{ADC} - 20\,J = 60\,J$
$\Delta Q_{ADC} = 60\,J + 20\,J = 80\,J$।

(A) प्रक्रिया $ABC$ में दी गई कुल ऊष्मा $Q_{ABC} = Q_{AB} + Q_{BC} = 600 \, J + 200 \, J = 800 \, J$ है।
प्रक्रिया $ABC$ में किया गया कार्य $AB$ और $BC$ में किए गए कार्य का योग है। चूँकि $AB$ एक समआयतनिक प्रक्रिया $(V_A = V_B)$ है,इसलिए $W_{AB} = 0$ होगा।
प्रक्रिया $BC$ में,दाब $P_B = 8 \times 10^4 \, Pa$ स्थिर रहता है। आयतन $V_B = V_A = 2 \times 10^{-3} \, m^3$ से बदलकर $V_C = V_D = 5 \times 10^{-3} \, m^3$ हो जाता है।
प्रक्रिया $BC$ में किया गया कार्य $W_{BC} = P_B(V_C - V_B) = 8 \times 10^4 \times (5 - 2) \times 10^{-3} = 8 \times 10^4 \times 3 \times 10^{-3} = 240 \, J$ है।
कुल कार्य $W_{ABC} = W_{AB} + W_{BC} = 0 + 240 = 240 \, J$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$,इसलिए $\Delta U_{AC} = Q_{ABC} - W_{ABC}$ होगा।
$\Delta U_{AC} = 800 \, J - 240 \, J = 560 \, J$।

(A) $P-T$ आरेख में,किया गया कार्य $W$ प्रक्रिया वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है। एक आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$,इसलिए $V = \frac{nRT}{P}$।
प्रक्रिया $1-2$ और $3-4$ समआयतनिक (स्थिर आयतन) हैं क्योंकि वे मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं पर स्थित हैं $(P \propto T)$,इसलिए $W_{12} = 0$ और $W_{34} = 0$।
प्रक्रिया $2-3$ और $4-1$ समदाबी (स्थिर दबाव) हैं,इसलिए $W = P\Delta V = nR\Delta T$।
कुल कार्य $W = W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41} = 0 + nR(T_3 - T_2) + 0 + nR(T_1 - T_4)$।
$W = nR(T_3 - T_2 + T_1 - T_4) = 3 \times 8.31 \times (2400 - 800 + 400 - 1200) \, J$।
$W = 3 \times 8.31 \times (800) \, J = 19944 \, J = 19.944 \, kJ$।

(B) अर्ध-स्थैतिक प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $P = \alpha V^2$ और $\alpha = 5 \text{ atm}/m^6$। चूँकि $1 \text{ atm} = 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa}$,हम $\alpha = 5 \times 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa}/m^6 \approx 5.066 \times 10^5 \text{ Pa}/m^6$ का उपयोग करेंगे।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1 \text{ m}^3$,अंतिम आयतन $V_2 = 2 \text{ m}^3$ है।
$W = \int_{1}^{2} (\alpha V^2) \, dV = \alpha \left[ \frac{V^3}{3} \right]_1^2 = \frac{\alpha}{3} (2^3 - 1^3) = \frac{7\alpha}{3}$।
$\alpha = 5.066 \times 10^5 \text{ Pa}/m^6$ रखने पर:
$W = \frac{7 \times 5.066 \times 10^5}{3} \approx 11.82 \times 10^5 \text{ J} = 1.182 \text{ MJ}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) आंतरिक ऊर्जा $(U)$ एक अवस्था फलन (state function) है,जिसका अर्थ है कि इसका मान केवल निकाय की प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,निकाय चक्र पूरा करने के बाद अपनी प्रारंभिक अवस्था में लौट आता है।
चूंकि प्रारंभिक अवस्था और अंतिम अवस्था समान हैं,इसलिए किसी भी चक्रीय प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ हमेशा शून्य होता है।
तीनों चित्र $(a)$,$(b)$ और $(c)$ चक्रीय प्रक्रियाओं को दर्शाते हैं क्योंकि पथ एक ही बिंदु पर शुरू और समाप्त होता है।
इसलिए,तीनों स्थितियों के लिए $\Delta U = 0$ है।

(C) चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta W_{net}$।
दिया गया है $\Delta Q = 5\,J$,इसलिए चक्र में किया गया कुल कार्य $\Delta W_{net} = 5\,J$ है।
कुल कार्य प्रत्येक प्रक्रिया में किए गए कार्य का योग है: $\Delta W_{net} = \Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CA}$।
प्रक्रिया $A \to B$: यह एक समआयतनिक प्रक्रिया है (आयतन $V = 1\,m^3$ स्थिर है),इसलिए $\Delta W_{AB} = 0$।
प्रक्रिया $B \to C$: यह $p = 10\,N/m^2$ पर एक समदाबी प्रक्रिया है। आयतन $V_B = 2\,m^3$ से बदलकर $V_C = 1\,m^3$ हो जाता है। अतः,$\Delta W_{BC} = p(V_C - V_B) = 10(1 - 2) = -10\,J$।
अब,$\Delta W_{net} = \Delta W_{AB} + \Delta W_{BC} + \Delta W_{CA} \implies 5 = 0 + (-10) + \Delta W_{CA}$।
$\Delta W_{CA}$ के लिए हल करने पर,हमें $\Delta W_{CA} = 5 + 10 = 15\,J$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया ग्राफ एक $V-P$ ग्राफ है। $P-V$ आरेख में,किया गया कार्य वक्र के नीचे का क्षेत्रफल होता है। $V-P$ आरेख के लिए,किया गया कार्य लूप द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है,लेकिन $P-V$ आरेख की तुलना में विपरीत चिह्न परिपाटी के साथ।
$P-V$ आरेख में,दक्षिणावर्त (clockwise) लूप धनात्मक कार्य को दर्शाता है,और वामावर्त (anticlockwise) लूप ऋणात्मक कार्य को दर्शाता है।
इस $V-P$ आरेख में,छोटा लूप वामावर्त है (जो $V-P$ निर्देशांक में धनात्मक कार्य के अनुरूप है) और बड़ा लूप दक्षिणावर्त है (जो $V-P$ निर्देशांक में ऋणात्मक कार्य के अनुरूप है)।
चूंकि बड़े दक्षिणावर्त लूप का क्षेत्रफल छोटे वामावर्त लूप के क्षेत्रफल से अधिक है,इसलिए किया गया कुल कार्य ऋणात्मक होगा।

(A) $BC$ पथ बिंदुओं $(V_0, 3P_0)$ और $(2V_0, P_0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$BC$ रेखा की ढाल $m = \frac{P_0 - 3P_0}{2V_0 - V_0} = \frac{-2P_0}{V_0}$ है।
$BC$ रेखा का समीकरण $P - 3P_0 = \frac{-2P_0}{V_0}(V - V_0)$ है,जिसे सरल करने पर $P = 3P_0 - \frac{2P_0}{V_0}(V - V_0) = P_0(5 - \frac{2V}{V_0})$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ में $n = 1$ का उपयोग करने पर,$T = \frac{PV}{R} = \frac{P_0}{R}(5V - \frac{2V^2}{V_0})$ प्राप्त होता है।
अधिकतम तापमान ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dT}{dV} = 0$ रखते हैं:
$\frac{dT}{dV} = \frac{P_0}{R}(5 - \frac{4V}{V_0}) = 0 \implies V = \frac{5}{4}V_0$।
$V = \frac{5}{4}V_0$ को $T$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{max} = \frac{P_0}{R}(5(\frac{5}{4}V_0) - \frac{2}{V_0}(\frac{25}{16}V_0^2)) = \frac{P_0}{R}(\frac{25}{4}V_0 - \frac{25}{8}V_0) = \frac{25}{8} \frac{P_0 V_0}{R}$।

(B) प्रसार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $PV$ ग्राफ और आयतन अक्ष के बीच घिरे क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है,अर्थात $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$.
दिए गए $PV$ आरेख से,$V_1$ से $V_2$ तक आयतन में समान परिवर्तन के लिए,समतापीय और रुद्धोष्म प्रक्रियाओं की तुलना में समदाबी प्रक्रिया के लिए दबाव $P$ सबसे अधिक रहता है।
चूंकि वक्र के नीचे का क्षेत्रफल समदाबी प्रक्रिया के लिए सबसे अधिक है,इसलिए समदाबी प्रक्रिया के लिए किया गया कार्य भी सबसे अधिक होता है।

(D) दिए गए ग्राफ के लिए,$(V_0, 2P_0)$ और $(2V_0, P_0)$ से गुजरने वाली $P-V$ रेखा का समीकरण है:
$P - 2P_0 = \frac{P_0 - 2P_0}{2V_0 - V_0} (V - V_0)$
$P - 2P_0 = -\frac{P_0}{V_0} (V - V_0)$
$P = 3P_0 - \frac{P_0}{V_0} V$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $T = \frac{PV}{nR}$ है।
$P$ को $V$ के पदों में प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{1}{nR} (3P_0 - \frac{P_0}{V_0} V) V = \frac{1}{nR} (3P_0 V - \frac{P_0}{V_0} V^2)$
अधिकतम तापमान के लिए,$\frac{dT}{dV} = 0$:
$\frac{d}{dV} (3P_0 V - \frac{P_0}{V_0} V^2) = 0$
$3P_0 - \frac{2P_0}{V_0} V = 0$
$V = \frac{3}{2} V_0$
$V = \frac{3}{2} V_0$ को दबाव समीकरण में वापस रखने पर:
$P = 3P_0 - \frac{P_0}{V_0} (\frac{3}{2} V_0) = 3P_0 - \frac{3}{2} P_0 = \frac{3}{2} P_0$
अब,अधिकतम तापमान की गणना करें:
$T_{max} = \frac{P V}{nR} = \frac{(\frac{3}{2} P_0) (\frac{3}{2} V_0)}{nR} = \frac{9 P_0 V_0}{4nR}$

(A) दिया गया दबाव-आयतन संबंध: $P = \alpha V$ है।
प्रारंभिक आयतन $V_i = V$ से अंतिम आयतन $V_f = mV$ तक विस्तार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$
$P = \alpha V$ प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \int_{V}^{mV} \alpha V \, dV$
$V$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$W = \alpha \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V}^{mV}$
$W = \frac{\alpha}{2} [(mV)^2 - V^2]$
$W = \frac{\alpha V^2}{2} (m^2 - 1)$

(B) $P-V$ आरेख पर एक चक्रीय प्रक्रम में किया गया कार्य लूप द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
त्रिभुज $CAB$ के लिए:
$V$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $\Delta V = 5 - 1 = 4 \, m^3$ है।
$P$-अक्ष पर त्रिभुज की ऊँचाई $\Delta P = 6 - 1 = 5 \, Pa$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10 \, J$.
चूंकि चक्र $CAB$ वामावर्त दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है। हालाँकि,परिमाण में,किया गया कार्य $10 \, J$ है।

(D) $P-V$ आरेख में:
$1$. समदाबी प्रक्रिया को एक क्षैतिज रेखा द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ दबाव स्थिर रहता है। अतः,समदाबी $\rightarrow$ प्रक्रिया $a$.
$2$. समआयतनिक प्रक्रिया को एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ आयतन स्थिर रहता है। अतः,समआयतनिक $\rightarrow$ प्रक्रिया $d$.
$3$. समतापीय और रुद्धोष्म प्रक्रियाओं के लिए,रुद्धोष्म वक्र का ढाल समतापीय वक्र के ढाल का $\gamma$ गुना होता है,जहाँ $\gamma > 1$ है। इसलिए,रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होता है।
$4$. वक्र $b$ और $c$ की तुलना करने पर,वक्र $c$ वक्र $b$ से अधिक तीव्र है। अतः,समतापीय $\rightarrow$ प्रक्रिया $b$ और रुद्धोष्म $\rightarrow$ प्रक्रिया $c$.
$5$. सही क्रम है: समआयतनिक $(d)$,समदाबी $(a)$,समतापीय $(b)$,रुद्धोष्म $(c)$।
$6$. इसलिए,सही क्रम $d, a, b, c$ है।

(B) दोनों प्रक्रियाओं $A$ और $B$ के लिए प्रारंभिक अवस्था $i$ और अंतिम अवस्था $f$ समान हैं।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है।
इसलिए,$\Delta U_A = \Delta U_B$.
$P-V$ आरेख में किया गया कार्य $W$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि वक्र $A$ के नीचे का क्षेत्रफल वक्र $B$ के नीचे के क्षेत्रफल से अधिक है,इसलिए प्रक्रिया $A$ में किया गया कार्य प्रक्रिया $B$ में किए गए कार्य से अधिक है $(W_A > W_B)$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$.
चूंकि $\Delta U_A = \Delta U_B$ और $W_A > W_B$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\Delta Q_A > \Delta Q_B$।

(D) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन शून्य होता है: $\Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} + \Delta U_{ca} = 0$.
दिया गया है $\Delta U_{ca} = -180\, J$,इसलिए $\Delta U_{ab} + \Delta U_{bc} = 180\, J$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
पथ $bc$ के लिए,प्रक्रिया समआयतनिक (isochoric) है ($P-V$ आरेख में ऊर्ध्वाधर रेखा),इसलिए $\Delta W_{bc} = 0$. अतः,$\Delta U_{bc} = \Delta Q_{bc} = 60\, J$.
इसे चक्रीय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta U_{ab} + 60 = 180 \implies \Delta U_{ab} = 120\, J$.
अब,पथ $ab$ के लिए,$\Delta W_{ab} = \Delta Q_{ab} - \Delta U_{ab} = 250 - 120 = 130\, J$.
पथ $abc$ के अनुदिश किया गया कुल कार्य $\Delta W_{abc} = \Delta W_{ab} + \Delta W_{bc} = 130 + 0 = 130\, J$.

(C) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
प्रक्रिया $AB$ के लिए ($P_0$ दाब पर $2V_0$ से $V_0$ तक समदाबीय संपीड़न):
$W_{AB} = P_0(V_0 - 2V_0) = -P_0V_0$
प्रक्रिया $BC$ के लिए ($V_0$ आयतन पर $P_0$ से $2P_0$ तक समआयतनिक तापन):
$W_{BC} = 0$
प्रक्रिया $CD$ के लिए ($2P_0$ दाब पर $V_0$ से $3V_0$ तक समदाबीय प्रसार):
$W_{CD} = 2P_0(3V_0 - V_0) = 2P_0(2V_0) = 4P_0V_0$
$ABCD$ प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य:
$W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD}$
$W_{net} = -P_0V_0 + 0 + 4P_0V_0 = 3P_0V_0$

(B) एक चक्रीय प्रक्रम में, अवशोषित कुल ऊष्मा निकाय द्वारा किए गए कुल कार्य के बराबर होती है, जो $P-V$ आरेख में चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होती है।
चित्र से, प्रक्रम $P-V$ तल में एक वृत्त है।
दाब अक्ष पर वृत्त का व्यास $\Delta P = 30 \, \text{kPa} - 10 \, \text{kPa} = 20 \, \text{kPa} = 20 \times 10^3 \, \text{Pa}$ है।
अतः, त्रिज्या $r_P = 10 \times 10^3 \, \text{Pa}$ है।
आयतन अक्ष पर वृत्त का व्यास $\Delta V = 30 \, \text{litres} - 10 \, \text{litres} = 20 \, \text{litres} = 20 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$ है।
अतः, त्रिज्या $r_V = 10 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$ है।
$P-V$ आरेख में दीर्घवृत्त (या वृत्त) का क्षेत्रफल $A = \pi \times r_P \times r_V$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \pi \times (10 \times 10^3 \, \text{Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \, \text{m}^3) = 100\pi \, \text{J} = 10^2\pi \, \text{J}$।
चूंकि चक्र दक्षिणावर्त है, इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि ऊष्मा अवशोषित होती है।

(B) किया गया कार्य $W$,$P-V$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$W = \text{समलंब का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_B - V_A)$
$W = \frac{1}{2} \times (P_0 + 2P_0) \times (2V_0 - V_0) = \frac{1}{2} \times (3P_0) \times (V_0) = \frac{3}{2} P_0V_0$
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करने पर:
बिंदु $A$ पर: $P_0V_0 = \mu RT_A$
बिंदु $B$ पर: $(2P_0)(2V_0) = 4P_0V_0 = \mu RT_B$
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \mu C_v \Delta T = \mu \left( \frac{3}{2}R \right) (T_B - T_A) = \frac{3}{2} (\mu RT_B - \mu RT_A)$
मान रखने पर: $\Delta U = \frac{3}{2} (4P_0V_0 - P_0V_0) = \frac{3}{2} (3P_0V_0) = \frac{9}{2} P_0V_0$
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = W + \Delta U$
$Q = \frac{3}{2} P_0V_0 + \frac{9}{2} P_0V_0 = \frac{12}{2} P_0V_0 = 6 P_0V_0$

(D) चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कुल कार्य $P-V$ आरेख पर चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
घड़ी की दिशा (clockwise) में चक्र के लिए,किया गया कार्य धनात्मक होता है,और घड़ी की विपरीत दिशा (counter-clockwise) में चक्र के लिए,किया गया कार्य ऋणात्मक होता है।
दिए गए चित्र में,चक्र $P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow P$ घड़ी की विपरीत दिशा में है।
आयत $PQRS$ का क्षेत्रफल $= \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = (V_R - V_Q) \times (P_P - P_Q)$.
दिया गया है: $V_Q = 100 \text{ cc} = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3$,$V_R = 300 \text{ cc} = 300 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
$P_P = 300 \text{ kPa} = 300 \times 10^3 \text{ Pa}$,$P_Q = 100 \text{ kPa} = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$.
क्षेत्रफल $= (300 - 100) \times 10^{-6} \text{ m}^3 \times (300 - 100) \times 10^3 \text{ Pa} = 200 \times 10^{-6} \times 200 \times 10^3 = 40000 \times 10^{-3} = 40 \text{ J}$.
चूंकि चक्र घड़ी की विपरीत दिशा में है,इसलिए किया गया कुल कार्य $-40 \text{ J}$ है।

(A) $1$. आंतरिक ऊर्जा $(U)$ एक अवस्था फलन (state function) है। किसी भी पूर्ण ऊष्मप्रवैगिकी चक्र के लिए,प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाएं समान होती हैं,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है: $(\Delta U)_{\text{cycle}} = 0$.
$2$. $P-V$ आरेख में किया गया कार्य $(W)$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है। यदि चक्र वामावर्त (anticlockwise) दिशा में है,तो गैस द्वारा किया गया कुल कार्य ऋणात्मक होता है $(W < 0)$.
$3$. ऊष्मप्रवैगिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$Q = \Delta U + W$.
$4$. मान रखने पर,$Q = 0 + W$. चूंकि $W < 0$,इसलिए $Q < 0$ प्राप्त होता है.
$5$. अतः,सही स्थिति $\Delta U = 0$ और $Q < 0$ है.

(B) $P-T$ आरेख में, मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं समआयतनिक प्रक्रियाओं (नियत आयतन) को दर्शाती हैं क्योंकि $P \propto T$ का अर्थ है $V = \text{नियत}$.
अतः, प्रक्रियाएं $1-2$ और $3-4$ समआयतनिक हैं, और इन खंडों के दौरान कोई कार्य नहीं होता है ($W_{1-2} = 0$, $W_{3-4} = 0$).
प्रक्रियाएं $2-3$ और $4-1$ समदाबी (नियत दाब) हैं क्योंकि वे $P-T$ आरेख में क्षैतिज रेखाएं हैं।
समदाबी प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = P\Delta V = nR\Delta T$ होता है।
चक्र के लिए, कुल कार्य $W_{\text{total}} = W_{2-3} + W_{4-1}$ है।
$W_{2-3} = nR(T_3 - T_2) = 3 \times R \times (2400 - 800) = 3R(1600) = 4800R$.
$W_{4-1} = nR(T_1 - T_4) = 3 \times R \times (400 - 1200) = 3R(-800) = -2400R$.
$W_{\text{total}} = 4800R - 2400R = 2400R$.
$R \approx 8.314\, J/(mol \cdot K)$ लेने पर:
$W_{\text{total}} = 2400 \times 8.314 \approx 19953.6\, J \approx 20\, kJ$.

(D) एक मोनोएटॉमिक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{3}{2}PV$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_B - U_A = \frac{3}{2}(P_B V_B - P_A V_A)$ है।
ग्राफ से:
बिंदु $A$ पर: $P_A = 200\,\text{kPa} = 200 \times 10^3\,\text{Pa}$,$V_A = 250\,\text{cc} = 250 \times 10^{-6}\,\text{m}^3$.
बिंदु $B$ पर: $P_B = 500\,\text{kPa} = 500 \times 10^3\,\text{Pa}$,$V_B = 100\,\text{cc} = 100 \times 10^{-6}\,\text{m}^3$.
$P_A V_A = (200 \times 10^3) \times (250 \times 10^{-6}) = 50\,\text{J}$ की गणना करें।
$P_B V_B = (500 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) = 50\,\text{J}$ की गणना करें।
अतः,$\Delta U = \frac{3}{2}(50 - 50) = 0\,\text{J}$।
सही विकल्प $D$ है।

(A) चक्रीय प्रक्रम के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है,इसलिए कुल दी गई ऊष्मा कुल किए गए कार्य के बराबर होती है: $dQ = dW$.
किया गया कार्य $dW$,$V-P$ आरेख में $ABCA$ चक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
आधार $= (200 \, kPa - 100 \, kPa) = 100 \times 10^3 \, Pa$
ऊंचाई $= (700 \, cc - 500 \, cc) = 200 \, cm^3 = 200 \times 10^{-6} \, m^3$
$dW = \frac{1}{2} \times (100 \times 10^3 \, Pa) \times (200 \times 10^{-6} \, m^3) = 10 \, J$.
दी गई ऊष्मा $dQ = 2.4 \, cal$.
चूंकि $dW = J \times dQ$,इसलिए $J = \frac{dW}{dQ} = \frac{10 \, J}{2.4 \, cal} = 4.166... \approx 4.17 \, J/cal$.

(C) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है कि $\Delta Q = \Delta W$।
चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $\Delta W$,$P-V$ लूप द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यह लूप एक वृत्त है जिसका $P$-अक्ष पर व्यास $(300 - 100) \text{ kPa} = 200 \text{ kPa} = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ है।
अतः त्रिज्या $r_P = 100 \text{ kPa} = 10^5 \text{ Pa}$ है।
$V$-अक्ष पर व्यास $(300 - 100) \text{ cc} = 200 \text{ cc} = 200 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^3$ है।
अतः त्रिज्या $r_V = 100 \text{ cc} = 10^{-4} \text{ m}^3$ है।
दीर्घवृत्त (या इस पैमाने पर वृत्त) का क्षेत्रफल $\pi \times r_P \times r_V$ है।
$\Delta W = \pi \times (10^5 \text{ Pa}) \times (10^{-4} \text{ m}^3) = \pi \times 10 \text{ J} = 3.14 \times 10 \text{ J} = 31.4 \text{ J}$।
चूंकि प्रक्रिया दक्षिणावर्त (clockwise) है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है,अतः $\Delta Q = 31.4 \text{ J}$।