Mix Examples-Mechanical Properties of Solids Questions in Gujarati

(C) $Dyne/cm^2$ એકમ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ દર્શાવે છે.
દબાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે $(P = F/A)$,તેથી $CGS$ પદ્ધતિમાં તેનો એકમ $Dyne/cm^2$ છે.
પ્રતિબળ (Stress) પણ પુનઃસ્થાપક બળ પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી તેનો એકમ પણ $Dyne/cm^2$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે. વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી (લંબાઈમાં ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર),યંગ મોડ્યુલસનો એકમ પ્રતિબળના એકમ જેવો જ એટલે કે $Dyne/cm^2$ થાય છે.
વિકૃતિ (Strain) એ પરિમાણમાં ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર છે (દા.ત.,$\Delta L/L$). તે બે સમાન ભૌતિક રાશિઓનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે પરિમાણરહિત રાશિ છે અને તેને કોઈ એકમ નથી.
તેથી,$Dyne/cm^2$ એ વિકૃતિનો એકમ નથી.

(B) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ તારમાં ઉદ્ભવતા તણાવ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. તાર તૂટે ત્યારે તણાવ બળ એ તૂટવા માટેના બળ જેટલું હોય છે.
તૂટવા માટેનું બળ $F = \text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times \text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ} = (4.8 \times 10^7\, N/m^2) \times (10^{-6}\, m^2) = 48\, N$.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = m\omega^2 r$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $m\omega^2 r = 48$.
અહીં $m = 10\, kg$ અને $r = 0.3\, m$ આપેલ છે:
$10 \times \omega^2 \times 0.3 = 48$
$3\omega^2 = 48$
$\omega^2 = 16$
$\omega = 4\, rad/sec$.

(C) તારનું તોડવાનું બળ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તોડવાનું બળ $F_b = \text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times \text{ક્ષેત્રફળ}$.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ હોવાથી, તાંબા માટે તે અચળ રહે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$.
તેથી, $F \propto R^2$.
જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે $(R' = 2R)$, તો નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ થશે:
$F' \propto (2R)^2 = 4R^2 = 4F$.
આમ, $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તારને તોડવા માટે જરૂરી બળ $4F$ છે.

(B) તાર દ્વારા સહન કરી શકાતું મહત્તમ ભાર અથવા બ્રેકિંગ ફોર્સ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \text{Breaking Stress} \times \text{Area of Cross-section}$.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ પદાર્થનો ગુણધર્મ છે અને જ્યારે તારની લંબાઈ બદલવામાં આવે ત્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ બદલાતું નથી,તેથી બ્રેકિંગ ફોર્સ તારની લંબાઈ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો તારની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે,તો પણ તે તેટલો જ ભાર સહન કરી શકે છે.

(C) કોઈપણ પદાર્થના આપેલ કદમાં પરમાણુઓની સંખ્યા તેની પરમાણુ ઘનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
પરમાણુ ઘનતાનું સૂત્ર $n = \frac{\rho N_A}{M}$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે,$N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
તારના પરિમાણો સમાન હોવાથી,તેમનું કદ સમાન છે.
લોખંડની ઘનતા $(\rho_{Fe} \approx 7870 \ kg/m^3)$ એ રબરની ઘનતા $(\rho_{rubber} \approx 1100 \ kg/m^3)$ કરતા ઘણી વધારે છે.
વધુમાં,લોખંડનું મોલર દળ $(55.85 \ g/mol)$ એ રબરમાં જોવા મળતી જટિલ,ઉચ્ચ-આણ્વિક દળ ધરાવતી પોલિમર સાંકળોની સરખામણીમાં પ્રમાણમાં ઓછું છે.
પરિણામે,લોખંડમાં એકમ કદ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા રબર કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
તેથી,લોખંડના તારમાં રબરના તાર કરતા વધુ પરમાણુઓ હોય છે.

(D) પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપકતા ઘણા બાહ્ય અને આંતરિક પરિબળો દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે:
$1$. તાપમાન: સામાન્ય રીતે,તાપમાન વધવાની સાથે મોટાભાગના પદાર્થોની સ્થિતિસ્થાપકતા ઘટે છે.
$2$. અશુદ્ધિઓ: અશુદ્ધિઓ ઉમેરવાથી પદાર્થની અંદરના આંતર-પરમાણ્વીય બળો બદલાઈ શકે છે,જેનાથી તેની સ્થિતિસ્થાપકતાના ગુણધર્મોમાં ફેરફાર થાય છે.
$3$. હથોડા વડે ટીપવું અને એનિલિંગ: આ યાંત્રિક અને ઉષ્મીય પ્રક્રિયાઓ પદાર્થની આંતરિક સ્ફટિકીય રચનાને બદલે છે. હથોડા વડે ટીપવાથી સ્ફટિકના દાણા નાના એકમોમાં તૂટી જાય છે,જ્યારે એનિલિંગ મોટા અને વધુ સમાન દાણા બનાવવામાં મદદ કરે છે,જે બંને પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપકતાને નોંધપાત્ર રીતે અસર કરે છે.
તેથી,આપેલા તમામ પરિબળો પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપકતાને અસર કરે છે.

(C) જ્યારે $L$ લંબાઈ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો તાર શિરોલંબ લટકાવવામાં આવે,ત્યારે તેના પોતાના વજનને કારણે ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A} = \frac{(\rho AL)g}{A} = \rho Lg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ (તૂટવા માટેનું પ્રતિબળ) $\sigma = 10^6 \ N/m^2$,ઘનતા $\rho = 3 \times 10^3 \ kg/m^3$,અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા.
પ્રતિબળને બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ સાથે સરખાવતા: $10^6 = (3 \times 10^3) \times L \times 10$.
$10^6 = 3 \times 10^4 \times L$.
$L = \frac{10^6}{3 \times 10^4} = \frac{100}{3} = 33.3 \ m$.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
$L$ લંબાઈ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સળિયાને $\theta$ ખૂણે મરોડવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = \frac{\eta \pi r^4 \theta}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\eta$ એ દ્રઢતાનો મોડ્યુલસ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\tau \propto \frac{1}{L}$.
આનો અર્થ એ છે કે આપેલ ટોર્ક માટે,મરોડનો ખૂણો $\theta \propto L$ થાય છે.
તેથી,ટૂંકા સળિયાની સરખામણીમાં લાંબા સળિયાને મરોડવો સરળ છે કારણ કે સમાન ટોર્ક લાંબા સળિયામાં મરોડનો મોટો ખૂણો ઉત્પન્ન કરે છે.
આમ,'નાના સળિયાની સરખામણીમાં લાંબા સળિયાને મરોડવો મુશ્કેલ છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર શીયરિંગ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય થાય છે,જે પદાર્થમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
જ્યારે બળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ તેના આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળોને કારણે તેના મૂળ આકારમાં પાછો ફરે છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે. આ ઊર્જા આંતરિક ઘર્ષણ અથવા આણ્વિક કંપનોને કારણે પદાર્થની અંદર ઉષ્મા સ્વરૂપે મુક્ત થાય છે,જેના પરિણામે પદાર્થના તાપમાનમાં થોડો વધારો થાય છે.

(A) બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A} = \frac{(\rho V)g}{A} = \frac{\rho (A L) g}{A} = \rho L g$.
અહીં,$\sigma = 10^6 \, N/m^2$,$\rho = 3 \times 10^3 \, kg/m^3$,અને $g = 10 \, m/s^2$ છે.
લંબાઈ $L$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $L = \frac{\sigma}{\rho g}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{10^6}{3 \times 10^3 \times 10} = \frac{10^6}{3 \times 10^4} = \frac{100}{3} \approx 33.33 \, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $L = 34 \, m$ મળે છે.

(A) $bcc$ બંધારણ માટે,એકમ કોષ દીઠ પરમાણુઓની સંખ્યા $n = 2$ છે.
નજીકના પાડોશી અંતર $d$ અને એકમ કોષની ધારની લંબાઈ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ છે,તેથી $a = \frac{2d}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે $d = 4.525 \times 10^{-10} \ m$.
તેથી,$a = \frac{2 \times 4.525 \times 10^{-10}}{\sqrt{3}} \approx 5.232 \times 10^{-10} \ m$.
ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{n \times M}{N_A \times a^3}$ છે,જ્યાં $M = 39 \times 10^{-3} \ kg/mol$ અને $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{2 \times 39 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23} \times (5.232 \times 10^{-10})^3}$.
$\rho = \frac{78 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23} \times 143.28 \times 10^{-30}} \approx \frac{78 \times 10^{-3}}{862.83 \times 10^{-7}} \approx 903.9 \ kg/m^3$.
સૌથી નજીકની કિંમત $900 \ kg/m^3$ છે.

(C) સ્ફટિકમય પદાર્થોમાં તેમના સમગ્ર બંધારણમાં અણુઓ અથવા પરમાણુઓની નિયમિત અને પુનરાવર્તિત ગોઠવણી હોય છે. તેના ઉદાહરણોમાં $Copper$ (તાંબુ) જેવી ધાતુઓ,$Sodium$ $chloride$ (મીઠું) જેવા આયનીય ઘન પદાર્થો અને $Diamond$ (હીરો) જેવા સહસંયોજક નેટવર્કનો સમાવેશ થાય છે.
અસ્ફટિકમય (અથવા એમોર્ફસ) પદાર્થોમાં આવી લાંબા ગાળાની ગોઠવણીનો અભાવ હોય છે. $Wood$ (લાકડું) એ સેલ્યુલોઝ,હેમિસેલ્યુલોઝ અને લિગ્નિનનું બનેલું એક જટિલ કાર્બનિક પદાર્થ છે,જેમાં લાંબા ગાળાની સ્ફટિકમય રચના હોતી નથી. તેથી,$Wood$ ને અસ્ફટિકમય પદાર્થ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(D) એક ઘન પદાર્થ જે દ્રશ્યમાન પ્રકાશનું પ્રસારણ કરે છે અને જેનું ગલનબિંદુ ખૂબ જ નીચું હોય છે,તે સામાન્ય રીતે આણ્વિક ઘન હોય છે.
આ ઘન પદાર્થો નબળા વાન ડર વાલ્સ બળો દ્વારા જોડાયેલા હોય છે.
આ બળો નબળા હોવાને કારણે,તેમના ગલનબિંદુ ખૂબ જ નીચા હોય છે.
વધુમાં,તેઓ ઘણીવાર દ્રશ્યમાન પ્રકાશને તેમનામાંથી પસાર થવા દે છે,કારણ કે તેમની પાસે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અથવા મજબૂત સ્થાનિક બંધો હોતા નથી જે દ્રશ્યમાન પ્રકાશની ઊર્જાનું શોષણ કરી શકે.

(D) ફેસ-સેન્ટર્ડ ક્યુબિક $(fcc)$ લેટીસમાં,પરમાણુઓ ફલકના વિકર્ણ પર એકબીજાને સ્પર્શે છે.
ધારો કે $a$ એ લેટીસ અચળાંક છે અને $r$ એ પરમાણુની ત્રિજ્યા છે.
ફલકનો વિકર્ણ $\sqrt{2}a = 4r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતર-પરમાણ્વીય અંતર (નજીકના પાડોશીઓ વચ્ચેનું અંતર) $d = 2r = 2.54 \ \mathring{A}$ છે.
સમીકરણ $\sqrt{2}a = 2(2r)$ માં $2r = 2.54 \ \mathring{A}$ મૂકતા:
$\sqrt{2}a = 2 \times 2.54 \ \mathring{A}$.
$a = \sqrt{2} \times 2.54 \ \mathring{A} \approx 1.414 \times 2.54 \ \mathring{A} \approx 3.59 \ \mathring{A}$.

(B) બળ $F$ એ $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા મૂળ આડછેદને લંબ રૂપે લાગે છે.
નમેલા આડછેદ $PQRS$ માટે,જેનું ક્ષેત્રફળ $A' = A / \cos \theta$ છે,બળ $F$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. લંબ ઘટક: $F_n = F \cos \theta$
$2$. સ્પર્શીય (શીયર) ઘટક: $F_t = F \sin \theta$
સ્પર્શીય પ્રતિબળ એટલે સ્પર્શીય બળ અને નમેલા આડછેદના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\text{સ્પર્શીય પ્રતિબળ} = \frac{F_t}{A'} = \frac{F \sin \theta}{A / \cos \theta} = \frac{F \sin \theta \cos \theta}{A}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{સ્પર્શીય પ્રતિબળ} = \frac{F \sin 2\theta}{2A}$

(A) ધારો કે $A$ આડછેદ ધરાવતા સળિયા પર $F$ જેટલું તણાવ બળ લાગે છે.
ધારો કે આડછેદ $PQRS$ એ બળ $F$ ને લંબ સમતલ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલું છે.
નમેલા આડછેદ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{\cos \theta}$ છે.
આડછેદ $PQRS$ ને લંબ બળ $F$ નો ઘટક $F_n = F \cos \theta$ છે.
આડછેદ $PQRS$ પર લાગતું તણાવ પ્રતિબળ $\sigma$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\sigma = \frac{F_n}{A'} = \frac{F \cos \theta}{A / \cos \theta} = \frac{F}{A} \cos^2 \theta$.
તણાવ પ્રતિબળ $\sigma$ મહત્તમ થવા માટે,$\cos^2 \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos^2 \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^o$ હોય ત્યારે મળે છે.

(A) તારના પોતાના વજનને કારણે ઉદ્ભવતું સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A} = \frac{(V \rho) g}{A} = \frac{(A L \rho) g}{A} = L \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $10^6 \, N/m^2$,ઘનતા $\rho = 3 \times 10^3 \, kg/m^3$ અને $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે.
સ્ટ્રેસને બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ સાથે સરખાવતા: $10^6 = L \times (3 \times 10^3) \times 10$.
$10^6 = L \times (3 \times 10^4)$.
$L = \frac{10^6}{3 \times 10^4} = \frac{100}{3} \approx 33.33 \, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,લંબાઈ $34 \, m$ મળે છે.

(C) બ્રેકિંગ બળ $F$ એ બ્રેકિંગ પ્રતિબળ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે: $F = \text{બ્રેકિંગ પ્રતિબળ} \times \text{ક્ષેત્રફળ} = 4.8 \times 10^7 \times 10^{-6} = 48 \, N$.
સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ભ્રમણ કરતા પદાર્થ માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ તારમાં ઉદ્ભવતા તણાવ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $F = m\omega^2 l$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે: $48 = 10 \times \omega^2 \times 0.3$.
$48 = 3 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{48}{3} = 16$.
$\omega = 4 \, rad/sec$.

(D) $1$. $m_1 = 1 \, kg$ અને $m_2 = 4 \, kg$ દળ ધરાવતી પુલી સિસ્ટમ માટે તારમાં તણાવબળ $T$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g = \frac{2 \times 1 \times 4}{1 + 4} \times 10 = \frac{8}{5} \times 10 = 16 \, N$.
$2$. બ્રેકિંગ બળ એ બ્રેકિંગ પ્રતિબળ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ નો ગુણાકાર છે:
$F_{breaking} = \text{Stress} \times A = 3.18 \times 10^{10} \times \pi r^2$.
$3$. તાર તૂટે નહીં તે માટે,તણાવબળ $T$ એ બ્રેકિંગ બળ જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોવું જોઈએ:
$16 = 3.18 \times 10^{10} \times \pi r^2$.
$4$. ત્રિજ્યા $r$ માટે ઉકેલતા:
$r^2 = \frac{16}{3.18 \times 10^{10} \times 3.14} \approx 16 \times 10^{-10} \, m^2$.
$r = \sqrt{16 \times 10^{-10}} = 4 \times 10^{-5} \, m$.

(D) તારનું તોડવાનું બળ (breaking force) સૂત્ર $F = \sigma_{max} \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\sigma_{max}$ એ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ (દ્રવ્યનો ગુણધર્મ) છે અને $A$ એ તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે。
આપેલ દ્રવ્ય માટે બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\sigma_{max}$ અચળ હોવાથી, તોડવાનું બળ $F$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto A)$。
જ્યારે સમાન દ્રવ્ય અને પરિમાણ ધરાવતા બે તારને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A + A = 2A$ થાય છે。
તેથી, નવું તોડવાનું બળ $F'$ એ $F' = \sigma_{max} \times (2A) = 2 \times (\sigma_{max} \times A) = 2F$ થશે.

(B) તારનું તોડવાનું બળ એ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અને તારના આડછેદના ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
તોડવાનું બળ = $\text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times \text{ક્ષેત્રફળ}$.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ પદાર્થનો ગુણધર્મ હોવાથી તે અચળ રહે છે, તેથી તોડવાનું બળ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A = \pi r^2)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી, $\text{તોડવાનું બળ} \propto r^2$.
જ્યારે તારની જાડાઈ (ત્રિજ્યા $r$) બમણી કરવામાં આવે $(r' = 2r)$, ત્યારે નવું તોડવાનું બળ $F'$ નીચે મુજબ થશે:
$F' \propto (2r)^2 = 4r^2 = 4F$.
આમ, તોડવાનું બળ $4F$ થશે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_0 = 20 ^o C$ છે. આ તાપમાને,તાર પર કોઈ તાણ નથી,તેથી વિકૃતિ $\epsilon = 0$ અને સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા ઘનતા $u = 0$ છે.
જ્યારે તાપમાન $\Delta T = (T_0 - T)$ જેટલું ઘટે છે,ત્યારે તાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ જેટલી લંબાઈથી સંકોચાય છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે અને $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
તાર જકડાયેલો હોવાથી,દીવાલો વચ્ચે તેની લંબાઈ જાળવી રાખવા માટે તેને આટલી જ લંબાઈ $\Delta L$ થી ખેંચવામાં આવે છે.
વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T = \alpha (T_0 - T)$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} Y \epsilon^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
વિકૃતિ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $u = \frac{1}{2} Y \alpha^2 (T_0 - T)^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ એક પરવલય દર્શાવે છે જે ઉપરની તરફ ખુલે છે અને તેનું શિરોબિંદુ $T = T_0 = 20 ^o C$ અને $u = 0$ પર છે.
જેમ $T$ એ $20 ^o C$ થી ઘટે છે,તેમ $(T_0 - T)$ વધે છે,અને $u$ દ્વિઘાત રીતે વધે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આકૃતિ $86-$a110 માં દર્શાવેલ આલેખ દર્શાવે છે કે જેમ $T$ એ $20 ^o C$ થી ઘટે છે તેમ $u$ પરવલયાકાર માર્ગે વધે છે,જે આપણા તારવેલા સંબંધ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) ધારો કે મૂળ રેખીય પરિમાણ $L$ છે. નવું રેખીય પરિમાણ $L' = 9L$ છે.
ઘનતા $\rho$ અચળ રહેતી હોવાથી,દળ $m$ એ કદ $V = L^3$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,નવા દળ અને મૂળ દળનો ગુણોત્તર $\frac{m'}{m} = \left(\frac{L'}{L}\right)^3 = 9^3 = 729$ થાય.
પગનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ રેખીય પરિમાણના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $A \propto L^2$.
તેથી,નવા ક્ષેત્રફળ અને મૂળ ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A'}{A} = \left(\frac{L'}{L}\right)^2 = 9^2 = 81$ થાય.
પ્રતિબળ $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં બળ એ વજન $mg$ છે.
$\sigma = \frac{mg}{A}$.
નવા પ્રતિબળ $\sigma'$ અને મૂળ પ્રતિબળ $\sigma$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{\sigma'}{\sigma} = \left(\frac{m'}{m}\right) \times \left(\frac{A}{A'}\right) = \frac{9^3}{9^2} = 9$.
આમ,પગમાં ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ $9$ ના ગુણાંકમાં વધશે.

(A) દળ $m$ ની ગતિ બે ભાગોની બનેલી છે: સળિયાઓ વચ્ચેની મુક્ત ગતિ અને અથડામણ દરમિયાન લાગતો સમય.
$1$. સળિયાઓ વચ્ચે $L$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય: દળ એક ચક્રમાં $L$ અંતર બે વાર કાપે છે (એકવાર જમણી બાજુ અને એકવાર ડાબી બાજુ). તેથી,$t_{free} = \frac{2L}{v}$.
$2$. અથડામણમાં લાગતો સમય: સળિયાઓ સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે. સળિયા $B$ (ક્ષેત્રફળ $A$,મોડ્યુલસ $Y$,લંબાઈ $L$) માટે,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_B = \frac{YA}{L}$ છે. સળિયા $B$ સાથે સંપર્કમાં લાગતો સમય એ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનો અડધો ભાગ છે: $t_B = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_B}} = \pi \sqrt{\frac{mL}{AY}}$.
$3$. સળિયા $A$ (ક્ષેત્રફળ $A/2$,મોડ્યુલસ $2Y$,લંબાઈ $L$) માટે,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_A = \frac{(2Y)(A/2)}{L} = \frac{YA}{L}$ છે. સળિયા $A$ સાથે સંપર્કમાં લાગતો સમય $t_A = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_A}} = \pi \sqrt{\frac{mL}{AY}}$ છે.
$4$. કુલ આવર્તકાળ $T = t_{free} + t_A + t_B = \frac{2L}{v} + \pi \sqrt{\frac{mL}{AY}} + \pi \sqrt{\frac{mL}{AY}} = \frac{2L}{v} + 2\pi \sqrt{\frac{mL}{AY}}$.

(D) ઘડતર લોખંડ એ વ્યાપારી લોખંડનું સૌથી શુદ્ધ સ્વરૂપ છે,જેમાં લગભગ $99.5\%$ થી $99.9\%$ લોખંડ હોય છે.
તેમાં સામાન્ય રીતે લગભગ $0.02\%$ થી $0.08\%$ કાર્બન હોય છે.
વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે તેમાં $0.0001\%$ કરતા ઓછું કાર્બન છે,જે તથ્યની દ્રષ્ટિએ ખોટું છે કારણ કે કાર્બનનું પ્રમાણ સામાન્ય રીતે આ મૂલ્ય કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) $(i)$ ગેલ્વેનોમીટરનો સસ્પેન્શન ફાઇબર વળ (twist) અનુભવે છે,જેમાં શીયર સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેનનો સમાવેશ થાય છે. તેથી,$(i) - b$.
$(ii)$ બીમનું વળવું એ રેખીય (યંગ મોડ્યુલસ) સ્થિતિસ્થાપકતા સાથે સંકળાયેલું છે. તેથી,$(ii) - a$.
$(iii)$ કાગળનો ટુકડો કાપવો એ શીયર સ્ટ્રેસ હેઠળ પદાર્થની નિષ્ફળતાને કારણે થાય છે. તેથી,$(iii) - d$.
$(iv)$ પ્રવાહીમાં યાંત્રિક તરંગો (જેમ કે ધ્વનિ તરંગો) દબાણને કારણે કદમાં ફેરફાર કરે છે,જે બલ્ક મોડ્યુલસ દ્વારા સંચાલિત થાય છે. તેથી,$(iv) - c$.
આમ,સાચી જોડી $(i)-b, (ii)-a, (iii)-d, (iv)-c$ છે.

(A) કેબલમાં માન્ય મહત્તમ પ્રતિબળ $\sigma_{max} = 7 \times 10^7\,N/m^2$ છે.
જ્યારે એલિવેટર $a = 1.5\,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે કેબલમાં તણાવ $T$ ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ:
$T - mg = ma$
$T = m(g + a)$
અહીં $m = 2000\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,અને $a = 1.5\,m/s^2$ આપેલ છે:
$T = 2000(10 + 1.5) = 2000 \times 11.5 = 23000\,N$.
પ્રતિબળ $\sigma$ ને $\sigma = \frac{T}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
સુરક્ષા માટે,$\sigma \leq \sigma_{max}$,તેથી $A \geq \frac{T}{\sigma_{max}}$.
$A = \frac{23000}{7 \times 10^7} = \frac{2.3 \times 10^4}{7 \times 10^7} \approx 0.32857 \times 10^{-3}\,m^2$.
$A = 3.2857 \times 10^{-4}\,m^2$.
કારણ કે $1\,m^2 = 10^4\,cm^2$,તેથી:
$A = 3.2857 \times 10^{-4} \times 10^4\,cm^2 = 3.2857\,cm^2$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,લઘુત્તમ ક્ષેત્રફળ $3.28\,cm^2$ છે.

(C) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, Nm^{-2}$,પ્રતિબળ $\sigma = 5 \times 10^7 \, Nm^{-2}$,કદ વિકૃતિ $\frac{\Delta V}{V} = -0.02\% = -2 \times 10^{-4}$.
રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L = \frac{\sigma}{Y} = \frac{5 \times 10^7}{2 \times 10^{11}} = 2.5 \times 10^{-4}$.
કદ $V = \pi r^2 L$. લઘુગણકીય વિકલન લેતા,$\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \epsilon_L = 2.5 \times 10^{-4}$ હોવાથી,$-2 \times 10^{-4} = 2\frac{\Delta r}{r} + 2.5 \times 10^{-4}$.
$2\frac{\Delta r}{r} = -2 \times 10^{-4} - 2.5 \times 10^{-4} = -4.5 \times 10^{-4}$.
$\frac{\Delta r}{r} = -2.25 \times 10^{-4}$.
નોંધ: આંશિક ઘટાડો એ મૂલ્ય છે,જે $2.25 \times 10^{-4}$ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનું મૂલ્ય $0.25 \times 10^{-4}$ છે.

(C) તારનું બ્રેકિંગ ફોર્સ (તોડતું બળ) તેના બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ દ્વારા નક્કી થાય છે. બ્રેકિંગ ફોર્સનું સૂત્ર $F = \text{Breaking Stress} \times \text{Area}$ છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ પદાર્થનો ગુણધર્મ છે અને જ્યારે તારને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે ત્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ બદલાતું નથી, તેથી દરેક ભાગ માટે બ્રેકિંગ ફોર્સ સમાન રહે છે.
તેથી, દરેક ભાગ હજુ પણ $100\,kg$ વજન સહન કરી શકે છે.

(A) ધારો કે સ્ટીલના તારમાં તણાવ $T_1$ છે અને પિત્તળના તારમાં તણાવ $T_2$ છે. $A_1 = 0.1\,cm^2$ અને $A_2 = 0.2\,cm^2$ એ તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રતિબળ સમાન હોવાથી,$\frac{T_1}{A_1} = \frac{T_2}{A_2}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{T_1}{0.1} = \frac{T_2}{0.2}$,જે દર્શાવે છે કે $T_2 = 2T_1$.
સળિયાના સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે,$T_1 + T_2 = W$,જ્યાં $W$ એ લટકાવેલું વજન છે.
$T_2 = 2T_1$ મૂકતા,$T_1 + 2T_1 = W$,તેથી $T_1 = \frac{W}{3}$ અને $T_2 = \frac{2W}{3}$.
ધારો કે વજન $W$ નું સ્ટીલના તારથી અંતર $x$ છે. વજન જ્યાં લટકાવેલું છે તે બિંદુની સાપેક્ષે ભ્રમણીય સંતુલન માટે,ટોર્ક સંતુલિત થવા જોઈએ: $T_1 x = T_2 (L - x)$,જ્યાં $L = 200\,cm = 2\,m$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{W}{3} x = \frac{2W}{3} (2 - x)$.
$\frac{W}{3}$ વડે ભાગતા,$x = 2(2 - x) = 4 - 2x$.
આમ,$3x = 4$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{4}{3}\,m$ સ્ટીલના તારથી.

(D) બ્રેકિંગ ફોર્સ (તોડવા માટેનું બળ) એ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અને તારના આડછેદના ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
બ્રેકિંગ ફોર્સ $F = \text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times A = \text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times \pi r^2$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અચળ રહે છે.
તેથી,$F \propto r^2$ અથવા $F \propto D^2$,જ્યાં $D$ એ વ્યાસ છે.
આપેલ છે કે $F_1 = 200\, N$ અને $D_2 = 2D_1$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
$F_2 = 4 \times F_1 = 4 \times 200\, N = 800\, N$.

(B) કોઈપણ પદાર્થની સંકોચનીયતા તેના આંતરઆણ્વિય બળો અને તેના અણુઓ વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.
ઘન પદાર્થોમાં,અણુઓ અથવા પરમાણુઓ મજબૂત આંતરઆણ્વિય બળો દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોય છે અને નજીકથી ગોઠવાયેલા હોય છે,જેના કારણે તેઓ સૌથી ઓછા સંકોચનીય હોય છે.
વાયુઓમાં,આંતરઆણ્વિય બળો નહિવત હોય છે અને અણુઓ એકબીજાથી ઘણા દૂર હોય છે,જેના કારણે તેમને સરળતાથી સંકોચી શકાય છે.
જોકે $Reason$ માં ઘન અને વાયુઓના આકાર અને કદ વિશેની લાક્ષણિકતાઓ સાચી રીતે દર્શાવવામાં આવી છે,પરંતુ તે તેમની સંકોચનીયતા પાછળના ભૌતિક કારણ (આંતરઆણ્વિય બળો) ને સીધી રીતે સમજાવતું નથી. તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) ધારો કે લોડનું કદ $V$ છે અને તેની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho$ છે.
જ્યારે વજન હવામાં હોય,ત્યારે તારમાં તણાવ $T_a = V \rho g$ છે. વિસ્તરણ $l_a = \frac{T_a L}{AY} = \frac{V \rho g L}{AY} \quad ...(1)$ છે.
જ્યારે વજનને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. અસરકારક વજન (તણાવ) $T_w = V \rho g - V \sigma g$ થાય છે,જ્યાં $\sigma$ એ પાણીની ઘનતા છે. સાપેક્ષ ઘનતા $\rho$ હોવાથી,$\sigma = 1$ લેતા,$T_w = Vg(\rho - 1)$ મળે.
વિસ્તરણ $l_w = \frac{T_w L}{AY} = \frac{Vg(\rho - 1)L}{AY} \quad ...(2)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{l_a}{l_w} = \frac{\rho}{\rho - 1}$
$l_a(\rho - 1) = l_w \rho$
$l_a \rho - l_a = l_w \rho$
$\rho(l_a - l_w) = l_a$
$\rho = \frac{l_a}{l_a - l_w}$

(D) તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T = m \omega^{2} L$.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ મહત્તમ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\text{Breaking Stress} = \frac{T}{A}$.
તણાવ બળનું સૂત્ર મૂકતા: $\text{Breaking Stress} = \frac{m \omega^{2} L}{A}$.
આપેલ છે: $m = 10 \; kg$,$L = 0.3 \; m$,$\text{Breaking Stress} = 4.8 \times 10^{7} \; N m^{-2}$,અને $A = 10^{-2} \; cm^{2} = 10^{-2} \times 10^{-4} \; m^{2} = 10^{-6} \; m^{2}$.
$\omega^{2}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\omega^{2} = \frac{(\text{Breaking Stress}) \times A}{m \times L}$.
$\omega^{2} = \frac{4.8 \times 10^{7} \times 10^{-6}}{10 \times 0.3} = \frac{48}{3} = 16$.
તેથી,$\omega = \sqrt{16} = 4 \; rad \; s^{-1}$.

(A) ખોટું. આપેલ પ્રતિબળ માટે,રબરમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ સ્ટીલમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ કરતા ઘણી વધારે હોય છે. યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ હોવાથી,અને અચળ પ્રતિબળ માટે $Y$ એ વિકૃતિના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,રબરનો યંગ મોડ્યુલસ સ્ટીલ કરતા ઓછો હોય છે.
$(b)$ સાચું. કોઈલનું ખેંચાણ એ કોઈલ બનાવતા તારના આકારમાં ફેરફાર કરે છે,તેની લંબાઈમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર કર્યા વિના. આ વિરૂપણ પદાર્થના શિયર મોડ્યુલસ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ $L = 1.05 \; m$
સ્ટીલના તાર $A$ નું ક્ષેત્રફળ $(a_1)$ = $1.0 \times 10^{-6} \; m^2$
એલ્યુમિનિયમના તાર $B$ નું ક્ષેત્રફળ $(a_2)$ = $2.0 \times 10^{-6} \; m^2$
સ્ટીલ માટે યંગ મોડ્યુલસ $(Y_1)$ = $2 \times 10^{11} \; N/m^2$
એલ્યુમિનિયમ માટે યંગ મોડ્યુલસ $(Y_2)$ = $7.0 \times 10^{10} \; N/m^2$
$(a)$ સમાન પ્રતિબળ માટે:
પ્રતિબળ = $\frac{F}{a}$. જો પ્રતિબળ સમાન હોય,તો $\frac{F_1}{a_1} = \frac{F_2}{a_2} \implies \frac{F_1}{F_2} = \frac{a_1}{a_2} = 0.5$.
તાર $A$ થી $y$ અંતરે લટકાવેલા બિંદુ પર ટોર્ક લેતા:
$F_1 y = F_2 (1.05 - y) \implies \frac{F_1}{F_2} = \frac{1.05 - y}{y} = 0.5$.
$1.05 - y = 0.5y \implies 1.5y = 1.05 \implies y = 0.7 \; m$.
$(b)$ સમાન વિકૃતિ માટે:
વિકૃતિ = $\frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y} = \frac{F}{aY}$. જો વિકૃતિ સમાન હોય,તો $\frac{F_1}{a_1 Y_1} = \frac{F_2}{a_2 Y_2}$.
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{a_1 Y_1}{a_2 Y_2} = \left(\frac{1.0}{2.0}\right) \times \left(\frac{2 \times 10^{11}}{7 \times 10^{10}}\right) = \frac{10}{7}$.
તાર $A$ થી $y_1$ અંતરે લટકાવેલા બિંદુ પર ટોર્ક લેતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{1.05 - y_1}{y_1} = \frac{10}{7}$.
$7(1.05 - y_1) = 10y_1 \implies 7.35 - 7y_1 = 10y_1 \implies 17y_1 = 7.35 \implies y_1 \approx 0.432 \; m$.

(C) રિવેટનો વ્યાસ,$d = 6.0\; mm = 6.0 \times 10^{-3}\; m$.
રિવેટની ત્રિજ્યા,$r = d/2 = 3.0 \times 10^{-3}\; m$.
મહત્તમ શીયરિંગ સ્ટ્રેસ,$\tau_{max} = 6.9 \times 10^{7}\; Pa$.
એક રિવેટના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = \pi r^{2} = \pi \times (3.0 \times 10^{-3})^{2} = 9\pi \times 10^{-6}\; m^{2}$.
એક રિવેટ સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ બળ,$F_{rivet} = \tau_{max} \times A = 6.9 \times 10^{7} \times 9\pi \times 10^{-6} \approx 1950.6\; N$.
દરેક રિવેટ કુલ ભાર $F$ નો ચોથો ભાગ વહન કરતું હોવાથી,કુલ તણાવ $F = 4 \times F_{rivet}$ થશે.
$F = 4 \times 1950.6 = 7802.4\; N$ ($\pi \approx 3.14159$ લેતા).
સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં લેતા,મહત્તમ તણાવ આશરે $7.8 \times 10^{3}\; N$ છે.

(A) બે સાથળના હાડકાંનું કુલ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times 10 \; cm^{2} = 20 \times 10^{-4} \; m^{2} = 2 \times 10^{-3} \; m^{2}$ છે.
સાથળના હાડકાં પર લાગતું બળ એ શરીરના ઉપરના ભાગનું વજન છે,$F = mg = 40 \; kg \times 10 \; m s^{-2} = 400 \; N$.
સાથળના હાડકાં દ્વારા અનુભવાતું સરેરાશ દબાણ $P_{av}$ એ સૂત્ર $P_{av} = \frac{F}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P_{av} = \frac{400 \; N}{2 \times 10^{-3} \; m^{2}} = 200 \times 10^{3} \; N m^{-2} = 2 \times 10^{5} \; N m^{-2}$.

(A) $1$. આકાર સ્થિતિસ્થાપક અંક (Shear Modulus,$\eta$): તે આકાર પ્રતિબળ અને આકાર વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. સૂત્ર: $\eta = \frac{F/A}{\Delta x/L}$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$. $SI$ એકમ: $N/m^2$ (પાસ્કલ,$Pa$).
$2$. કદ સ્થિતિસ્થાપક અંક (Bulk Modulus,$B$): તે હાઇડ્રોલિક પ્રતિબળ અને કદ વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. સૂત્ર: $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે દબાણમાં વધારો થતાં કદમાં ઘટાડો થાય છે. પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$. $SI$ એકમ: $N/m^2$ (પાસ્કલ,$Pa$).

(N/A) પૃથ્વી પર પર્વતની મહત્તમ ઊંચાઈ ખડકોના શિયર મોડ્યુલસ (કૂતર મોડ્યુલસ) પર આધાર રાખે છે.
પર્વતનો પાયો સમાન દબાણ હેઠળ હોતો નથી,અને આ ખડકોને થોડું શિયરિંગ સ્ટ્રેસ (કૂતર પ્રતિબળ) આપે છે,જેના હેઠળ તેઓ વહી શકે છે.
ટોચ પરના તમામ પદાર્થોને કારણે લાગતું પ્રતિબળ તે નિર્ણાયક શિયરિંગ સ્ટ્રેસ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ જેના પર ખડકો વહી શકે છે.
$h$ ઊંચાઈના પર્વતના તળિયે,પર્વતના વજનને કારણે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ $h \rho g$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પર્વતના પદાર્થની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
તળિયે રહેલો પદાર્થ આ બળને ઊભી દિશામાં અનુભવે છે,અને પર્વતની બાજુઓ મુક્ત હોય છે.
આ એક શિયર ઘટક બનાવે છે જે આશરે $h \rho g$ જેટલો જ હોય છે.
સામાન્ય ખડક માટે સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા (elastic limit) $30 \times 10^{7} \ N \ m^{-2}$ છે.
તેથી,$h \rho g = \text{સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા}$.
$h \rho g = 30 \times 10^{7}$.
$h = \frac{30 \times 10^{7}}{\rho g}$.
$\rho = 3 \times 10^{3} \ kg \ m^{-3}$ અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$ મૂકતા:
$h = \frac{30 \times 10^{7}}{3 \times 10^{3} \times 10} = 10^{4} \ m = 10 \ km$.
આ મૂલ્ય માઉન્ટ એવરેસ્ટની ઊંચાઈ $(8848 \ m)$ સાથે સુસંગત છે.

(N/A) બકલિંગ એ એક એવી ઘટના છે જેમાં સળિયા અથવા સ્તંભ જેવા માળખાકીય ઘટક પર જ્યારે ઉચ્ચ દબાણયુક્ત ભાર (compressive load) લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે અચાનક પોતાનો આકાર બદલે છે (સામાન્ય રીતે વળી જાય છે અથવા નમી જાય છે),ભલે તે પદાર્થ તેની યીલ્ડ સ્ટ્રેન્થ (yield strength) સુધી પહોંચ્યો ન હોય.
બકલિંગને રોકવા માટે,સળિયાને એવી રીતે ડિઝાઇન કરવો જોઈએ કે તેની જડત્વની ક્ષણ (moment of inertia) વધુ હોય. આ ન્યુટ્રલ એક્સિસથી દૂર ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તાર વધારીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. તેથી,સમાન દળના નક્કર ગોળાકાર સળિયા કરતા પોલો સળિયો અથવા $I$-આકારના ક્રોસ-સેક્શન વાળો સળિયો બકલિંગને રોકવામાં વધુ અસરકારક છે.

(D) સ્થિતિસ્થાપકતાનું માપાંક (જેમ કે યંગ મોડ્યુલસ,બલ્ક મોડ્યુલસ અથવા શિયર મોડ્યુલસ) એ પદાર્થનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પદાર્થનો પ્રકાર: વિવિધ પદાર્થોની પરમાણુ રચના અને આંતર-પરમાણુ બળો અલગ-અલગ હોય છે,જેના કારણે તેમના સ્થિતિસ્થાપક માપાંક અલગ હોય છે.
$2$. તાપમાન: તાપમાન વધવાની સાથે સ્થિતિસ્થાપકતાનું માપાંક સામાન્ય રીતે ઘટે છે કારણ કે ઉષ્મીય આંદોલનો આંતર-પરમાણુ બંધોને નબળા પાડે છે.
$3$. વિરૂપણનો પ્રકાર: આ માપાંક લાગુ પાડવામાં આવેલા પ્રતિબળના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે,જેમ કે તણાવ પ્રતિબળ (યંગ મોડ્યુલસ),દબાણ પ્રતિબળ (બલ્ક મોડ્યુલસ) અથવા સ્પર્શક પ્રતિબળ (રિજિડિટી મોડ્યુલસ).

(D) આપેલ છે: $m = 50\,g = 0.05\,kg$,$L = 1\,cm = 0.01\,m$,$v = 10\,cm/s = 0.1\,m/s$,$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
મહત્તમ સંકોચન સમયે,સમઘનની ગતિઊર્જા સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સમઘન માટે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ $F = k \Delta L = Y A \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$k = \frac{YA}{L} = \frac{Y L^2}{L} = YL$.
કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE = 2 \times (\frac{1}{2} m v^2) = m v^2 = 0.05 \times (0.1)^2 = 5 \times 10^{-4}\,J$.
બે સમઘન માટે મહત્તમ સંકોચન $\Delta L_{max}$ પર કુલ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $PE = 2 \times (\frac{1}{2} k (\Delta L_{max})^2) = k (\Delta L_{max})^2$ છે.
$KE = PE$ ને સરખાવતા: $m v^2 = (YL) (\Delta L_{max})^2$.
$\Delta L_{max} = \sqrt{\frac{m v^2}{YL}} = \sqrt{\frac{5 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{11} \times 0.01}} = \sqrt{2.5 \times 10^{-13}} \approx 5 \times 10^{-7}\,m$.

(D) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A\ell} = \frac{mgL}{\pi R^2 \ell}$ છે.
આંશિક ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો:
$m = 1 \, kg = 1000 \, g$,$\Delta m = 1 \, g$
$L = 1 \, m = 1000 \, mm$,$\Delta L = 1 \, mm$
$R = 0.2 \, cm$,$\Delta R = 0.001 \, cm$
$\ell = 0.5 \, cm$,$\Delta \ell = 0.001 \, cm$
આ મૂલ્યોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = \left( \frac{1}{1000} + \frac{1}{1000} + 2 \times \frac{0.001}{0.2} + \frac{0.001}{0.5} \right) \times 100$
$= \left( 0.001 + 0.001 + 0.01 + 0.002 \right) \times 100$
$= 0.014 \times 100 = 1.4 \%$.

(C) શિરોલંબ વર્તુળાકાર માર્ગના તળિયે,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને કેન્દ્રગામી બળના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$T = mg + \frac{mv^{2}}{R}$
આપેલ છે: $m = 2 \, kg$,$v = 5 \, m/s$,$R = 0.5 \, m$,$g = 10 \, m/s^{2}$,$A = 4 \times 10^{-6} \, m^{2}$,$Y = 10^{11} \, N/m^{2}$.
$T = (2 \times 10) + \frac{2 \times (5)^{2}}{0.5} = 20 + \frac{50}{0.5} = 20 + 100 = 120 \, N$.
હૂકના નિયમ મુજબ,પ્રતિબળ (Stress) $= Y \times \text{વિકૃતિ (Strain)}$,તેથી $\text{વિકૃતિ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{Y} = \frac{T}{AY}$.
$\text{વિકૃતિ} = \frac{120}{(4 \times 10^{-6}) \times 10^{11}} = \frac{120}{4 \times 10^{5}} = 30 \times 10^{-5}$.
આમ,વિકૃતિ $30 \times 10^{-5}$ છે.

(D) તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T = \frac{mv^{2}}{\ell}$.
અહીં $m = 10\; kg$ અને $\ell = 0.5\; m$ આપેલ છે,તેથી $T = \frac{10 \times v^{2}}{0.5} = 20v^{2}$.
તાર સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ બળ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ દ્વારા નક્કી થાય છે: $T_{\max} = \text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times \text{ક્ષેત્રફળ}$.
$T_{\max} = (5 \times 10^{8}\; N/m^{2}) \times (10^{-4}\; m^{2}) = 5 \times 10^{4}\; N$.
તણાવ બળને મહત્તમ બ્રેકિંગ બળ સાથે સરખાવતા: $20v^{2} = 5 \times 10^{4}$.
$v^{2} = \frac{5 \times 10^{4}}{20} = 0.25 \times 10^{4} = 2500$.
$v = \sqrt{2500} = 50\; m/s$.

(A) સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ એ પદાર્થની જડતા દર્શાવે છે.
જ્યારે પદાર્થમાં અશુદ્ધિઓ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની આંતરિક રચના અને આંતર-પરમાણુ બંધનને બદલે છે.
જો ઉમેરવામાં આવેલી અશુદ્ધિઓ મૂળ પદાર્થ કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક હોય,તો મિશ્રણનો એકંદર સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ વધી શકે છે.
તેનાથી વિપરીત,જો ઉમેરવામાં આવેલી અશુદ્ધિઓ ઓછી સ્થિતિસ્થાપક હોય,તો એકંદર સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ ઘટશે.
તેથી,સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ પર અશુદ્ધિઓની અસર નિશ્ચિત નથી અને તે ઉમેરવામાં આવેલી અશુદ્ધિઓના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે.

(A) સળિયાની લંબાઈ બદલાતી નથી. આનો અર્થ એ છે કે ઠંડકને કારણે થતું સંકોચન એ લટકાવેલા વજનને કારણે થતા વિસ્તરણ જેટલું છે.
ઉષ્મીય વિકૃતિ = વજનને કારણે થતી વિકૃતિ
$\alpha \Delta \theta = \frac{\Delta l}{l}$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ હોવાથી,આપણને $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{YA}$ મળે છે.
આ કિંમતને ઉષ્મીય વિકૃતિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\alpha \Delta \theta = \frac{F}{YA}$
$\Delta \theta = \frac{F}{YA \alpha}$
અહીં $F = 5000 \, N$,$Y = 4 \times 10^{12} \, N/m^{2}$,$A = 10^{-4} \, m^{2}$,અને $\alpha = 2.5 \times 10^{-6} \, K^{-1}$ આપેલ છે:
$\Delta \theta = \frac{5000}{4 \times 10^{12} \times 10^{-4} \times 2.5 \times 10^{-6}}$
$\Delta \theta = \frac{5000}{1000} = 5^{\circ} C$
$\Delta \theta = 20^{\circ} C - T = 5^{\circ} C$ હોવાથી,આપણને $T = 15^{\circ} C$ મળે છે.

(A) તારનું તોડવાનું બળ $F$ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
કારણ કે $A = \frac{\pi d^2}{4}$,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે,તેથી $F \propto d^2$ થાય.
તેથી,તોડવાના બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = \frac{d_1^2}{d_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $F_1 = 4 \times 10^5 \,N$,$d_1 = 2 \,mm$,$d_2 = 1.5 \,mm$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{4 \times 10^5}{F_2} = \frac{(2)^2}{(1.5)^2} = \frac{4}{2.25}$.
$F_2$ માટે ઉકેલતા:
$F_2 = 4 \times 10^5 \times \frac{2.25}{4} = 2.25 \times 10^5 \,N$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $2.3 \times 10^5 \,N$ મળે છે.

(D) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ની વ્યાખ્યા $\sigma = \frac{F}{A}$ છે. શ્રેણી જોડાણમાં હોવાથી,બંને તારમાંથી સમાન બળ $F$ પસાર થાય છે. વ્યાસ સમાન હોવાથી,બંને માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ પણ સમાન છે. તેથી,બંને તારમાં સ્ટ્રેસ સમાન હશે.
સ્ટ્રેન (વિકૃતિ) ની વ્યાખ્યા $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$ છે. યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ હોવાથી,$\text{Strain} = \frac{\sigma}{Y}$ મળે.
અહીં સ્ટ્રેસ $\sigma$ સમાન છે પરંતુ તાંબા અને સ્ટીલ માટે યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અલગ-અલગ હોવાથી,દરેક તારમાં ઉત્પન્ન થતી સ્ટ્રેન અલગ-અલગ હશે.