Mix Examples-Mechanical Properties of Solids Questions in Gujarati

(D) શિયરિંગ એંગલ $(\theta)$ અને ટ્વિસ્ટ એંગલ $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\theta = \frac{r \phi}{L}$.
અહીં આપેલ છે:
તારની ત્રિજ્યા $(r)$ = $1 \,mm = 1 \times 10^{-3} \,m$.
તારની લંબાઈ $(L)$ = $5 \,m$.
ટ્વિસ્ટ એંગલ $(\phi)$ = $30^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{1 \times 10^{-3} \times 30^{\circ}}{5} = 0.2 \times 10^{-3} \times 30^{\circ} = 6 \times 10^{-3}$ ડિગ્રી.
આ કિંમતને મિનિટમાં ફેરવતા: $6 \times 10^{-3} \times 60 = 0.36^{\prime}$.
આમ,સાચો જવાબ $0.36^{\prime}$ છે.

(D) ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m = 3 \,kg$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $3m = 9 \,kg$ છે.
ગતિ કરાવતું બળ બ્લોક $R$ નું વજન છે,જે $F = mg = 3 \times 10 = 30 \,N$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{\text{કુલ દળ}} = \frac{30}{3m} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \,m/s^2$ છે.
વાયર $B$ એ બ્લોક $R$ ને બ્લોક $Q$ સાથે જોડે છે. વાયર $B$ માં તણાવ $T_1$ બ્લોક $R$ ની ગતિને ધ્યાનમાં લઈને શોધી શકાય છે:
$mg - T_1 = ma$
$30 - T_1 = 3 \times \frac{10}{3} = 10$
$T_1 = 30 - 10 = 20 \,N$.
વાયર $B$ માં સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\sigma = \frac{T_1}{A}$ છે,જ્યાં $A = 0.005 \,cm^2 = 0.005 \times 10^{-4} \,m^2 = 5 \times 10^{-7} \,m^2$.
$\sigma = \frac{20}{5 \times 10^{-7}} = 4 \times 10^7 \,N/m^2$.
લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેન (રેખીય વિકૃતિ) $\epsilon = \frac{\sigma}{Y} = \frac{4 \times 10^7}{2 \times 10^{11}} = 2 \times 10^{-4}$.
આમ,વિકૃતિ $2 \times 10^{-4}$ છે.

(A) ધારો કે $\rho$ ઘનતા છે,$\sigma$ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $L$ તારની લંબાઈ છે.
તાર તૂટવાની સ્થિતિમાં,તેના પોતાના વજનને કારણે તારના ઉપરના ભાગે લાગતું સ્ટ્રેસ એ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ જેટલું હોય છે.
તારનું વજન $W = mg = (\rho A L) g'$ છે.
અહીં,$g'$ એ ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,જે $g' = \frac{g}{3} = \frac{10}{3} \ m/s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{W}{A} = \frac{\rho A L g'}{A} = \rho L g'$ છે.
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$L = \frac{\sigma}{\rho g'}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\sigma = 1.2 \times 10^8 \ N/m^2$,$\rho = 6 \times 10^4 \ kg/m^3$,અને $g' = \frac{10}{3} \ m/s^2$.
$L = \frac{1.2 \times 10^8}{6 \times 10^4 \times (10/3)} = \frac{1.2 \times 10^8 \times 3}{6 \times 10^4 \times 10} = \frac{3.6 \times 10^8}{6 \times 10^5} = 0.6 \times 10^3 = 600 \ m$.

(C) જ્યારે સ્પ્રિંગના મુક્ત છેડા પર ભાર લગાવીને તેને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગના તારમાં લંબાઈમાં ફેરફાર (રેખીય વિકૃતિ) અને કોઈલ પર લાગતા ટોર્કને કારણે વળ ચડવાની અસર (રૂપાંતરક વિકૃતિ) એમ બંને અનુભવાય છે. તેથી,સ્પ્રિંગમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ એ રેખીય અને રૂપાંતરક વિકૃતિનું મિશ્રણ છે.

(C) આદર્શ પ્રવાહી માટે,બલ્ક મોડ્યુલસ અનંત (અદબનીય) હોય છે અને શીયર મોડ્યુલસ શૂન્ય (શીયર સ્ટ્રેસનો પ્રતિકાર કરી શકતું નથી) હોય છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ માટે,બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 140 \text{ GPa} = 1.4 \times 10^{11} \text{ Pa}$. દબાણ $p = 7 \times 10^6 \text{ Pa}$. પ્રારંભિક કદ $V = a^3 = (0.1 \text{ m})^3 = 0.001 \text{ m}^3$.
સૂત્ર $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\Delta V = -\frac{pV}{B} = -\frac{(7 \times 10^6)(0.001)}{1.4 \times 10^{11}} = -5 \times 10^{-8} \text{ m}^3$ મળે છે.
કારણ કે $-5 \times 10^{-8} \text{ m}^3 \neq -0.05 \text{ m}^3$,તેથી વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
વિધાન $(C)$ માટે,જ્યારે સર્પાકાર સ્પ્રિંગ સાથે વજન લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં લંબાઈમાં વધારો થાય છે,જે તણાવયુક્ત વિકૃતિ દર્શાવે છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે:
તારની ત્રિજ્યા,$r = 8 \,mm = 8 \times 10^{-3} \,m$
તારની લંબાઈ,$l = 100 \,cm = 1 \,m$
ટ્વિસ્ટનો ખૂણો,$\phi = 45^{\circ}$
ધારો કે શીયરિંગ ખૂણો $\theta$ છે.
એક છેડે વળેલા તાર માટે,શીયરિંગ ખૂણો $\theta$,ત્રિજ્યા $r$,લંબાઈ $l$ અને ટ્વિસ્ટના ખૂણા $\phi$ (રેડિયનમાં) વચ્ચેનો સંબંધ $r\phi = l\theta$ છે.
$\phi$ ને ડિગ્રીમાં રાખતા:
$\theta = \frac{r \phi}{l} = \frac{8 \times 10^{-3} \,m \times 45^{\circ}}{1 \,m} = 0.36^{\circ}$.

(B) પર્વતના પોતાના વજનને કારણે તેના પાયા પર લાગતું દબાણ ખડકની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા કરતાં વધવું જોઈએ નહીં,જેથી તે વિકૃત ન થાય.
ધારો કે $h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાયા પર લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને ખડકની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા સાથે સરખાવતા:
$h \rho g = 30 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$h \times (3 \times 10^3 \ kg m^{-3}) \times (10 \ m s^{-2}) = 30 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
$h \times (3 \times 10^4) = 30 \times 10^7$.
$h = \frac{30 \times 10^7}{3 \times 10^4} = 10 \times 10^3 \ m$.
$h = 10,000 \ m = 10 \ km$.

(A) તાર માટે બ્રેકિંગ તણાવ બળ $F = \sigma \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $F = (4.8 \times 10^7 \ N \ m^{-2}) \times (10^{-6} \ m^2) = 48 \ N$.
આ તણાવ બળ પદાર્થને સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F_C = m \omega^2 r = 48 \ N$.
અહીં $m = 10 \ kg$ અને $r = 0.3 \ m$ આપેલ છે,તેથી $10 \times \omega^2 \times 0.3 = 48$.
$3 \omega^2 = 48 \Rightarrow \omega^2 = 16$.
તેથી,$\omega = 4 \ rad \ s^{-1}$.

(C) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ,તારમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે અને ગોળાના વજનને સંતુલિત કરે છે।
ગતિનું સમીકરણ: $T - mg = m \omega^2 l$,જ્યાં $m = 4 \,kg$,$l = 1 \,m$,$\omega = 10 \,rad \,s^{-1}$,અને $g = 10 \,ms^{-2}$.
$T = m(g + \omega^2 l) = 4(10 + 10^2 \times 1) = 4(10 + 100) = 4(110) = 440 \,N$.
હુકના નિયમ મુજબ વિસ્તરણ $\Delta l$ નીચે મુજબ મળે: $\Delta l = \frac{Tl}{AY}$,જ્યાં $A = \pi r^2$ અને $r = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
$A = \pi (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \,m^2$.
$\Delta l = \frac{440 \times 1}{\pi \times 10^{-6} \times 20 \times 10^{10}} = \frac{440}{20 \pi \times 10^4} = \frac{22}{\pi} \times 10^{-4} \,m$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\Delta l \approx \frac{22}{3.14} \times 10^{-4} \approx 7.006 \times 10^{-4} \,m = 0.7 \,mm$.

(C) ધારો કે દોરીના વિભાગો $AC$ અને $BC$ માં તણાવ $T$ છે. બિંદુ $C$ પર શિરોલંબ દિશામાં સંતુલન સ્થિતિ લાગુ પાડતા:
$F = 2T \sin \theta$
ખેંચાયેલી સ્થિતિમાં દરેક વિભાગ $AC$ અને $BC$ ની લંબાઈ $L' = \frac{L/2}{\cos \theta}$ છે.
દરેક વિભાગમાં લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L = L' - \frac{L}{2} = \frac{L}{2} \left( \frac{1}{\cos \theta} - 1 \right) = \frac{L}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right)$ છે.
બળ અને લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $K$ આપેલ હોવાથી,તણાવ $T = K \Delta L = K \frac{L}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right)$ થાય.
$T$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = 2 \left[ K \frac{L}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right) \right] \sin \theta$
$F = K L (1 - \cos \theta) \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$F = K L (1 - \cos \theta) \tan \theta$.

(B) શીયર મોડ્યુલસ એ શીયરિંગ સ્ટ્રેસ અને શીયરિંગ સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે,જે વિરૂપણ બળ સામેના અવરોધને દર્શાવે છે. તેથી,$A \rightarrow V$.
$(B)$ શીયરિંગ સ્ટ્રેસ એ સપાટી પર સ્પર્શકની દિશામાં લાગતું બળ છે,જેને સ્પર્શક પ્રતિબળ પણ કહેવાય છે. તેથી,$B \rightarrow III$.
$(C)$ સ્થિતિસ્થાપક થાક એ વારંવાર લાગતા વૈકલ્પિક વિરૂપણ બળને કારણે પદાર્થના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોનો કામચલાઉ નાશ છે. તેથી,$C \rightarrow IV$.
$(D)$ સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ એ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં પ્રતિબળ અને વિકૃતિ વચ્ચેનો પ્રમાણસરતાનો અચળાંક છે. તેથી,$D \rightarrow II$.
તેથી,સાચી જોડ $A-V, B-III, C-IV, D-II$ છે.

(B) પ્રથમ, તારમાં તણાવ $T$ ની ગણતરી કરો. ગરગડી પરથી પસાર થતા તાર વડે જોડાયેલા બે બ્લોકના તંત્ર માટે, પ્રવેગ $a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1)10}{2 + 1} = \frac{10}{3} \,m s^{-2}$ છે.
તારમાં તણાવ $T = m_1(g + a) = 1(10 + \frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \,N$ છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{T}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે $\sigma = \frac{40}{3 \pi} \times 10^6 \,N m^{-2}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{40}{3 \pi} \times 10^6 = \frac{40/3}{\pi r^2}$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{40}{3 \pi} \times 10^6 = \frac{40}{3 \pi r^2}$.
આમ, $10^6 = \frac{1}{r^2}$, જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 10^{-6} \,m^2$.
તેથી, $r = 10^{-3} \,m = 1 \,mm$.

(C) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$A$. હૂકનો નિયમ: સ્થિતિસ્થાપક સીમાની અંદર,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$A-3$.
$B$. શીયરિંગ વિકૃતિ: તેને તે ખૂણા (રેડિયનમાં) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના દ્વારા ઘન પદાર્થની નિશ્ચિત સપાટીને લંબ સમતલ સ્પર્શક બળની અસર હેઠળ ફરે છે. તેને સ્પર્શક વિકૃતિ પણ કહેવામાં આવે છે. તેથી,$B-1$.
$C$. કદ વિકૃતિ: ઘન પદાર્થ માટે,કદ વિકૃતિ (વોલ્યુમેટ્રિક વિકૃતિ) એ રેખીય વિકૃતિના $3$ ગણી હોય છે. તેથી,$C-4$.
$D$. સ્થિતિસ્થાપક થાક: વારંવાર બદલાતા વિરૂપક બળોની અસરને કારણે સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોના કામચલાઉ નાશને સ્થિતિસ્થાપક થાક કહેવામાં આવે છે. તેથી,$D-2$.
તેથી,સાચી જોડ $A-3, B-1, C-4, D-2$ છે,જે વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(A) તારમાં સ્ટ્રેસ $\text{Stress} = \frac{\text{Tension}}{\text{Area of cross-section}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તૂટતા અટકાવવા માટે, સ્ટ્રેસ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
ધારો કે તારમાં તણાવ $T$ છે અને સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ છે.
બે બ્લોક્સ માટે ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1 \, kg$ બ્લોક માટે: $T - 1(10) = 1a \implies T - 10 = a$ (સમીકરણ $1$)
$2 \, kg$ બ્લોક માટે: $2(10) - T = 2a \implies 20 - T = 2a$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(T - 10) + (20 - T) = a + 2a$
$10 = 3a \implies a = \frac{10}{3} \, m/s^2$
સમીકરણ $1$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 10 + \frac{10}{3} = \frac{40}{3} \, N$
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\sigma_{max} = 2 \times 10^9 \, N/m^2$ છે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
લઘુત્તમ ત્રિજ્યા $r$ શોધવા માટે સ્ટ્રેસને બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ જેટલો લેતા:
$\frac{T}{A} = \sigma_{max} \implies \frac{40/3}{\pi r^2} = 2 \times 10^9$
$r^2 = \frac{40}{3 \times \pi \times 2 \times 10^9} = \frac{20}{3 \pi \times 10^9} \approx 2.122 \times 10^{-9} \, m^2$
$r = \sqrt{2.122 \times 10^{-9}} \approx 4.6 \times 10^{-5} \, m$.

(B) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $a = 2 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $T = 10(10 + 2) = 120 \ N$.
રેખીય વિકૃતિને $\text{Strain} = \frac{\Delta \ell}{L} = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{T}{AY}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Strain} = \frac{120}{(2 \times 10^{-4}) \times (2.0 \times 10^{11})} = \frac{120}{4 \times 10^7} = 30 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-6}$.

(B) કુલ વિસ્તરણ $\Delta L$ એ બંને તારના વિસ્તરણનો સરવાળો છે: $\Delta L = \Delta L_A + \Delta L_B = \frac{F L_A}{Y_A A} + \frac{F L_B}{Y_B A}$.
અહીં $F = mg = 0.8 \times 10 = 8 \text{ N}$.
તાર $A$ માટે: $L_A = 0.314 \text{ m}$,$Y_A = 2 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
તાર $B$ માટે: $L_B = 2 L_A = 0.628 \text{ m}$,$Y_B = 2 Y_A = 4 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.2 \times 10^{-3} \text{ m})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-8} = 1.256 \times 10^{-7} \text{ m}^2$.
$\Delta L_A$ ની ગણતરી: $\Delta L_A = \frac{8 \times 0.314}{2 \times 10^{10} \times 1.256 \times 10^{-7}} = \frac{2.512}{2512} = 0.001 \text{ m} = 1 \text{ mm}$.
$\Delta L_B$ ની ગણતરી: $\Delta L_B = \frac{8 \times 0.628}{4 \times 10^{10} \times 1.256 \times 10^{-7}} = \frac{5.024}{5024} = 0.001 \text{ m} = 1 \text{ mm}$.
કુલ વિસ્તરણ $\Delta L_{total} = \Delta L_A + \Delta L_B = 1 \text{ mm} + 1 \text{ mm} = 2 \text{ mm}$.

(B) તારમાં કોઈપણ બિંદુએ પ્રતિબળ એટલે તે બિંદુએ આડછેદ પર લાગતું કુલ બળ ભાગ્યા ક્ષેત્રફળ $A$.
ઉપરથી $x$ અંતરે,આડછેદ દ્વારા ટેકવાયેલું કુલ વજન એ નીચે લટકાવેલું વજન $W$ અને તે બિંદુની નીચે રહેલા તારના ભાગનું વજન છે.
ઉપરથી $l/3$ અંતરે આવેલા બિંદુની નીચે તારની લંબાઈ $l - l/3 = 2l/3$ છે.
તાર સમાન હોવાથી,આ ભાગનું વજન $w' = w \cdot (2l/3) / l = 2w/3$ થશે.
આ આડછેદ પર લાગતું કુલ બળ $F = W + 2w/3$ છે.
પ્રતિબળ $\sigma = F/A = (W + 2w/3) / A = W/A + (2/3)(w/A)$.
આપેલ સમીકરણ $(W/A + \gamma \cdot w/A)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\gamma = 2/3$ મળે છે.

(B) . યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે,જે $Y = \frac{FL}{A\Delta L}$ $(II)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B$. સંકોચનીયતા $(K)$ એ બલ્ક મોડ્યુલસનો વ્યસ્ત છે,જે $K = -\frac{1}{\Delta P}(\frac{\Delta V}{V})$ $(III)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C$. બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ એ $-\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$D$. પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે,જે $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$ $(IV)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(2)$ છે.