Basic of Elasticity, Stress and Strain relationship and Graphical analysis Questions in Hindi

(B) प्रतिबल (stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगाए गए बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
चूंकि दोनों तार एक ही भार से खींचे जाते हैं,इसलिए बल $F$ स्थिर है।
अतः,$\text{Stress} \propto \frac{1}{r^2}$.
यह दिया गया है कि तार $A$ की त्रिज्या तार $B$ की त्रिज्या की दोगुनी है,इसलिए $r_A = 2r_B$.
प्रतिबल $S_A$ और $S_B$ की तुलना करने पर:
$\frac{S_B}{S_A} = \frac{r_A^2}{r_B^2} = \left(\frac{2r_B}{r_B}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
इस प्रकार,$S_B = 4 S_A$.
तार $B$ पर प्रतिबल,तार $A$ पर प्रतिबल का चार गुना है।

(C) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{FL}{A \Delta l}$ है,जहाँ $F$ भार है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta l$ विस्तार है।
चूँकि सभी तार समान पदार्थ के हैं,इसलिए $Y$ स्थिर है। समान लंबाई $L$ वाले तारों के लिए,$A = \frac{FL}{Y \Delta l}$ होता है।
स्थिर भार $F$ के लिए,क्षेत्रफल $A$ विस्तार $\Delta l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(A \propto \frac{1}{\Delta l})$।
ग्राफ से,दिए गए भार $F$ के लिए,रेखा $OA$ के लिए विस्तार $\Delta l$ अधिकतम है (अर्थात,$\Delta l_A > \Delta l_B > \Delta l_C > \Delta l_D$)।
चूँकि $A \propto \frac{1}{\Delta l}$,जिस तार का विस्तार सबसे अधिक होगा,उसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल सबसे कम होगा।
अतः,रेखा $OA$ सबसे पतले तार को दर्शाती है।

(B) प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $\text{Stress} = \frac{F}{A}$.
यह दिया गया है कि दोनों तारों को समान भार (बल $F$) से खींचा जाता है,इसलिए बल $F$ दोनों के लिए स्थिर है।
मान लीजिए तार $A$ का क्षेत्रफल $A_A$ है और तार $B$ का क्षेत्रफल $A_B$ है। प्रश्न के अनुसार,$A_A = 2 A_B$ है।
तार $A$ पर प्रतिबल $\sigma_A = \frac{F}{A_A} = \frac{F}{2 A_B}$ है।
तार $B$ पर प्रतिबल $\sigma_B = \frac{F}{A_B}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sigma_B = 2 \times \left(\frac{F}{2 A_B}\right) = 2 \sigma_A$.
अतः,तार $B$ पर प्रतिबल तार $A$ पर लगने वाले प्रतिबल का दोगुना है।

(A) प्रतिबल (stress) $\sigma$ को बल $F$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रत्यास्थ सीमा वह अधिकतम प्रतिबल है जिसे पदार्थ सहन कर सकता है।
दिया गया है: प्रत्यास्थ सीमा $\sigma = \frac{400}{\pi} \text{ MPa} = \frac{400}{\pi} \times 10^6 \text{ Pa}$, बल $F = 484 \text{ N}$।
$d$ व्यास वाली छड़ के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi \frac{d^2}{4}$ है।
सूत्र $\sigma = \frac{F}{A}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{400}{\pi} \times 10^6 = \frac{484}{\pi \frac{d^2}{4}}$
$\frac{400}{\pi} \times 10^6 = \frac{484 \times 4}{\pi d^2}$
दोनों पक्षों से $\pi$ को हटाने पर:
$400 \times 10^6 = \frac{1936}{d^2}$
$d^2 = \frac{1936}{400 \times 10^6} = 4.84 \times 10^{-6} \text{ m}^2$
$d = \sqrt{4.84 \times 10^{-6}} = 2.2 \times 10^{-3} \text{ m} = 2.2 \text{ mm}$।

(A) माना छड़ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $a$ है। झुके हुए अनुभाग $AB$ का क्षेत्रफल $A' = \frac{a}{\sin \theta}$ होगा।
छड़ पर कार्य करने वाले बल $F$ को अनुभाग $AB$ के सापेक्ष दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. अभिलंब घटक: $F_n = F \sin \theta$
$2$. स्पर्शरेखीय (कर्तन) घटक: $F_s = F \cos \theta$
कर्तन प्रतिबल $\tau$ को स्पर्शरेखीय बल और अनुभाग के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\tau = \frac{F_s}{A'} = \frac{F \cos \theta}{a / \sin \theta} = \frac{F \sin \theta \cos \theta}{a}$

(D) मान लीजिए छड़ की प्राकृतिक लंबाई $L_0$ है।
हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर प्रतिबल विकृति के समानुपाती होता है:
$\text{प्रतिबल} = Y \times \text{विकृति}$
$\frac{T}{A} = Y \frac{L - L_0}{L_0}$
लंबाई में परिवर्तन के लिए समीकरण:
$L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$
मान लीजिए $k = \frac{L_0}{A Y}$,जो छड़ के लिए एक स्थिरांक है।
तब,$L = L_0 + k T$.
तनाव $T_1$ के लिए,$L_1 = L_0 + k T_1$ --- $(i)$
तनाव $T_2$ के लिए,$L_2 = L_0 + k T_2$ --- (ii)
समीकरण (ii) में से $(i)$ को घटाने पर:
$L_2 - L_1 = k(T_2 - T_1) \Rightarrow k = \frac{L_2 - L_1}{T_2 - T_1}$
$k$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$L_0 = L_1 - k T_1 = L_1 - \left( \frac{L_2 - L_1}{T_2 - T_1} \right) T_1$
$L_0 = \frac{L_1(T_2 - T_1) - T_1(L_2 - L_1)}{T_2 - T_1}$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_1 T_1 - T_1 L_2 + L_1 T_1}{T_2 - T_1}$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_2 T_1}{T_2 - T_1}$

(C) तार को तोड़ने के लिए आवश्यक बल उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर निर्भर करता है। तार का ब्रेकिंग बल उसके ब्रेकिंग प्रतिबल (breaking stress) $\sigma$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$F = \sigma \times A = \sigma \times (\pi R^2)$
चूंकि पदार्थ समान (तांबा) है,इसलिए ब्रेकिंग प्रतिबल $\sigma$ स्थिर रहेगा।
अतः,$F \propto R^2$।
यदि $R_1 = R$ त्रिज्या के लिए बल $F_1 = F$ है,और $R_2 = 2R$ त्रिज्या के लिए बल $F_2$ है,तो:
$\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 = \left(\frac{2R}{R}\right)^2 = 4$
$F_2 = 4F_1 = 4F$।

(C) हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे समानुपाती होता है।
$\text{प्रतिबल} = Y \times \text{विकृति}$
जहाँ $Y$ यंग मापांक (Young's modulus) है।
$\frac{F}{A} = Y \times \frac{\Delta l}{L}$
यहाँ,$F$ बल है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta l$ लंबाई में परिवर्तन है,और $L$ मूल लंबाई है।
बल $F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$F = \frac{Y A}{L} \Delta l$
चूंकि एक दिए गए तार के लिए $Y$,$A$ और $L$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$F \propto \Delta l$
यह देखते हुए कि लंबाई में परिवर्तन $l$ है,हमें प्राप्त होता है:
$F \propto l$
अतः,बल $l$ के समानुपाती होता है।

(D) हुक के नियम के अनुसार,लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ लगाए गए बल $T$ के समानुपाती होती है। मान लीजिए कि डोरी की प्राकृतिक लंबाई $l_0$ है और बल नियतांक $k$ है।
तनाव $T$ के अंतर्गत लंबाई $l$ का सूत्र $l = l_0 + \frac{T}{k}$ है।
$T_1 = 80 \,N$ के लिए,$l_1 = 101 \,mm = l_0 + \frac{80}{k}$ --- $(1)$
$T_2 = 100 \,N$ के लिए,$l_2 = 102 \,mm = l_0 + \frac{100}{k}$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $102 - 101 = \frac{100-80}{k} \implies 1 = \frac{20}{k} \implies k = 20 \,N/mm$.
$k$ का मान $(1)$ में रखने पर: $101 = l_0 + \frac{80}{20} \implies 101 = l_0 + 4 \implies l_0 = 97 \,mm$.
अब,$T_3 = 160 \,N$ के लिए,लंबाई $l_3 = l_0 + \frac{T_3}{k} = 97 + \frac{160}{20} = 97 + 8 = 105 \,mm$.
सेमी में बदलने पर: $105 \,mm = 10.5 \,cm$।

(C) हुक के नियम के अनुसार,तार में विस्तार लगाए गए बल के समानुपाती होता है: $F = k(l - l_0)$,जहाँ $l_0$ मूल लंबाई है और $k$ बल नियतांक है।
प्रथम स्थिति के लिए: $F_1 = k(l_1 - l_0)$ -- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $F_2 = k(l_2 - l_0)$ -- $(2)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_1 - l_0}{l_2 - l_0}$
तिर्यक गुणा करने पर: $F_1(l_2 - l_0) = F_2(l_1 - l_0)$
$F_1 l_2 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_2 l_0$
$F_2 l_0 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0(F_2 - F_1) = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0 = \frac{F_2 l_1 - F_1 l_2}{F_2 - F_1}$

(D) माना कि $L$ डोरी की मूल लंबाई है और $k$ डोरी का बल नियतांक है।
अंतिम लंबाई = मूल लंबाई + विस्तार।
हुक के नियम के अनुसार,$\text{विस्तार} = \frac{F}{k}$।
अतः,$L' = L + \frac{F}{k}$।
पहली स्थिति के लिए: $P = L + \frac{6}{k} \quad ...(i)$
दूसरी स्थिति के लिए: $Q = L + \frac{8}{k} \quad ...(ii)$
$k$ को हटाने के लिए,समीकरण $(i)$ को $4$ से और समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करें:
$4P = 4L + \frac{24}{k} \quad ...(iii)$
$3Q = 3L + \frac{24}{k} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(iv)$ को घटाने पर:
$4P - 3Q = (4L - 3L) + (\frac{24}{k} - \frac{24}{k})$
$4P - 3Q = L$
अतः,डोरी की मूल लंबाई $4P - 3Q$ है।

(A) विकृति को लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{विकृति} = \frac{\Delta \ell}{\ell}$
दिया गया है:
मूल लंबाई $\ell = 40 \text{ cm}$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta \ell = 0.1 \text{ cm}$
$\text{विकृति} = \frac{0.1}{40}$
$\text{विकृति} = \frac{1}{400} = 0.0025$
$\text{विकृति} = 25 \times 10^{-4}$

(C) हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर तार की लंबाई में परिवर्तन लगाए गए बल के सीधे आनुपातिक होता है।
मान लीजिए $L$ तार की मूल लंबाई है और $K$ तार का बल नियतांक है।
$F_1$ बल के लिए,विस्तार $(L_1 - L)$ है,अतः $F_1 = K(L_1 - L)$ --- $(i)$
$F_2$ बल के लिए,विस्तार $(L_2 - L)$ है,अतः $F_2 = K(L_2 - L)$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{K(L_1 - L)}{K(L_2 - L)}$
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{L_1 - L}{L_2 - L}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$F_1(L_2 - L) = F_2(L_1 - L)$
$F_1 L_2 - F_1 L = F_2 L_1 - F_2 L$
$L$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$F_2 L - F_1 L = F_2 L_1 - F_1 L_2$
$L(F_2 - F_1) = F_2 L_1 - F_1 L_2$
$L = \frac{F_2 L_1 - F_1 L_2}{F_2 - F_1} = \frac{F_1 L_2 - F_2 L_1}{F_1 - F_2}$

(B) हुक के नियम के अनुसार,एक प्रत्यास्थ डोरी का विस्तार लगाए गए तनाव के समानुपाती होता है। मान लीजिए डोरी की प्राकृतिक लंबाई $l$ है और बल नियतांक $k$ है।
तनाव $T$ के तहत डोरी की लंबाई $L = l + \frac{T}{k}$ द्वारा दी जाती है।
$T_1 = 4 \ N$ के लिए,$L_1 = a = l + \frac{4}{k} \implies \frac{4}{k} = a - l$ (समीकरण $1$)।
$T_2 = 5 \ N$ के लिए,$L_2 = b = l + \frac{5}{k} \implies \frac{5}{k} = b - l$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $\frac{5}{k} - \frac{4}{k} = (b - l) - (a - l) \implies \frac{1}{k} = b - a$।
समीकरण $1$ में $\frac{1}{k}$ का मान रखने पर: $a = l + 4(b - a) \implies a = l + 4b - 4a \implies l = 5a - 4b$।
अब,$T_3 = 9 \ N$ के लिए,लंबाई $x = l + \frac{9}{k}$ है।
$l = 5a - 4b$ और $\frac{1}{k} = b - a$ का मान रखने पर:
$x = (5a - 4b) + 9(b - a) = 5a - 4b + 9b - 9a = 5b - 4a$।

(D) माना डोरी की वास्तविक लंबाई $L$ है और बल नियतांक $k = \frac{AY}{L_0}$ है।
हुक के नियम के अनुसार,विस्तार लगाए गए बल के समानुपाती होता है: $F = k \Delta L$.
प्रथम स्थिति के लिए: $F_1 = k(L_1 - L)$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $F_2 = k(L_2 - L)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{L_1 - L}{L_2 - L}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $F_1(L_2 - L) = F_2(L_1 - L)$.
$F_1 L_2 - F_1 L = F_2 L_1 - F_2 L$.
$L$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $F_2 L - F_1 L = F_2 L_1 - F_1 L_2$.
$L(F_2 - F_1) = F_2 L_1 - F_1 L_2$.
अतः,$L = \frac{F_2 L_1 - F_1 L_2}{F_2 - F_1}$.

(B) ब्रेकिंग स्ट्रेस को $\text{Stress} = \frac{F_{max}}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $F_{max} = \text{Stress} \times A$।
निचले तार के लिए:
$F_L = (12 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (0.004 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 480 \text{ N}$।
निचले तार द्वारा समर्थित भार $(m_{pan} + 10)g = 480 \text{ N}$ है।
$(m_{pan} + 10) \times 10 = 480 \Rightarrow m_{pan} + 10 = 48 \Rightarrow m_{pan} = 38 \text{ kg}$।
ऊपरी तार के लिए:
$F_U = (12 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (0.008 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 960 \text{ N}$।
ऊपरी तार द्वारा समर्थित भार $(m_{pan} + 10 + 30)g = 960 \text{ N}$ है।
$(m_{pan} + 40) \times 10 = 960 \Rightarrow m_{pan} + 40 = 96 \Rightarrow m_{pan} = 56 \text{ kg}$।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि दोनों तार सुरक्षित रहें,हमें छोटा द्रव्यमान चुनना होगा,जो $38 \text{ kg}$ है।

(A) तार को लिफ्ट के भार और त्वरण के कारण लगने वाले अतिरिक्त बल को सहन करना होगा। तार में तनाव $T = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: प्रतिबल $\sigma = 4 \times 10^8 \text{ N/m}^2$,द्रव्यमान $m = 1600 \text{ kg}$,त्रिज्या $r = 4 \text{ mm} = 4 \times 10^{-3} \text{ m}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
तार का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (4 \times 10^{-3} \text{ m})^2 = 3.14 \times 16 \times 10^{-6} \text{ m}^2 = 50.24 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
तार द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T = \sigma \times A = (4 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (50.24 \times 10^{-6} \text{ m}^2) = 20096 \text{ N}$.
गति के समीकरण $T = m(g + a)$ का उपयोग करते हुए,$20096 = 1600(10 + a)$.
दोनों पक्षों को $1600$ से विभाजित करने पर,$10 + a = \frac{20096}{1600} = 12.56$.
अतः,$a = 12.56 - 10 = 2.56 \text{ m/s}^2$.