Basic of Elasticity, Stress and Strain relationship and Graphical analysis Questions in Hindi

(C) एक केबल जो अधिकतम भार उठा सकती है,वह उसके ब्रेकिंग स्ट्रेस (breaking stress) और उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर निर्भर करता है। ब्रेकिंग स्ट्रेस पदार्थ का एक गुण है और यह केबल की लंबाई के साथ नहीं बदलता है। चूंकि केबल को काटने पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान रहता है,इसलिए प्रत्येक भाग के लिए अधिकतम भार क्षमता $W$ ही रहती है।

(D) किसी पदार्थ में तापीय प्रतिबल तभी उत्पन्न होता है जब उसका तापीय प्रसार प्रतिबंधित हो।
इस प्रश्न में,छड़ को एक चिकनी क्षैतिज सतह पर रखा गया है,जिसका अर्थ है कि प्रसार का विरोध करने के लिए कोई घर्षण नहीं है।
चूंकि छड़ के दोनों सिरे प्रसार के लिए स्वतंत्र हैं,इसलिए छड़ बिना किसी प्रतिरोध के स्वतंत्र रूप से फैल सकती है।
अतः,कोई आंतरिक प्रत्यानयन बल उत्पन्न नहीं होता है,और छड़ में उत्पन्न प्रतिबल $0$ है।

(A) मान लीजिए कि छड़ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है। बल $F$,$A$ क्षेत्रफल वाले अनुप्रस्थ काट के लंबवत कार्य करता है।
छड़ की लंबाई के साथ $\theta$ कोण पर झुके हुए समतल $BB'$ पर विचार करें। इस समतल का अभिलंब,बल $F$ की दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
झुके हुए समतल $BB'$ का क्षेत्रफल $A' = A / \sin \theta$ है।
बल $F$ को समतल $BB'$ के सापेक्ष दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. अभिलंब बल घटक: $F_N = F \sin \theta$ (समतल $BB'$ के लंबवत कार्य करता है)।
$2$. स्पर्शरेखीय (अपरूपण) बल घटक: $F_S = F \cos \theta$ (समतल $BB'$ के अनुदिश कार्य करता है)।
समतल $BB'$ पर तन्य प्रतिबल (अभिलंब प्रतिबल) $\sigma = F_N / A' = (F \sin \theta) / (A / \sin \theta) = (F / A) \sin^2 \theta$ है।
समतल $BB'$ पर अपरूपण प्रतिबल $\tau = F_S / A' = (F \cos \theta) / (A / \sin \theta) = (F / A) \sin \theta \cos \theta$ है।
तन्य प्रतिबल और अपरूपण प्रतिबल का अनुपात है:
$\frac{\sigma}{\tau} = \frac{(F/A) \sin^2 \theta}{(F/A) \sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(C) ब्रेकिंग स्ट्रेस (भंजन प्रतिबल) पदार्थ का एक गुण है और दिए गए पदार्थ के लिए यह स्थिर रहता है।
ब्रेकिंग स्ट्रेस $= \frac{F}{A} = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए $F_1 = 20 \, kg \, wt$ वह बल है जो $r_1$ त्रिज्या वाले तार को तोड़ने के लिए आवश्यक है।
मान लीजिए $F_2$ वह बल है जो $r_2 = 2r_1$ त्रिज्या वाले तार को तोड़ने के लिए आवश्यक है (क्योंकि व्यास दोगुना किया गया है)।
चूंकि ब्रेकिंग स्ट्रेस स्थिर है: $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$.
$F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1} = F_1 \times \frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2}$.
$r_2 = 2r_1$ रखने पर: $F_2 = F_1 \times \frac{(2r_1)^2}{r_1^2} = F_1 \times 4$.
$F_2 = 20 \times 4 = 80 \, kg \, wt$.

(A) यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{FL}{A\Delta L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ भार है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\Delta L$ विस्तार है।
विस्तार के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\Delta L = \frac{F}{A} \cdot \frac{L}{Y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी तारों की लंबाई $L$ समान है और वे एक ही पदार्थ से बने हैं (समान $Y$),इसलिए एक स्थिर भार $F$ के लिए विस्तार $\Delta L$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात,$\Delta L \propto \frac{1}{A}$)।
सबसे पतले तार का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ सबसे कम होता है,जिसका अर्थ है कि दिए गए भार के लिए इसमें अधिकतम विस्तार होगा।
ग्राफ से,एक स्थिर भार के लिए,रेखा $OA$ के लिए विस्तार अधिकतम है।
इसलिए,$OA$ सबसे पतले तार को दर्शाता है।

(D) तार में तन्य प्रतिबल $(\sigma)$ को तन्य बल $(F)$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $(r)$ = $2.0 \, mm = 2.0 \times 10^{-3} \, m$
भार $(m)$ = $4 \, kg$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $3.1\pi \, m/s^2$
सूत्र:
$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{mg}{\pi r^2}$
गणना:
$\sigma = \frac{4 \times 3.1\pi}{\pi \times (2.0 \times 10^{-3})^2}$
$\sigma = \frac{4 \times 3.1\pi}{\pi \times 4.0 \times 10^{-6}}$
$\sigma = \frac{12.4\pi}{4.0\pi \times 10^{-6}}$
$\sigma = 3.1 \times 10^6 \, N/m^2$

(B) प्रतिबल (stress) $\sigma$ को बल $F$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रत्यास्थता सीमा के भीतर रहने के लिए,प्रतिबल को प्रत्यास्थता सीमा $\sigma_{max} = 379\,MPa = 379 \times 10^6\,Pa$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
प्रतिबल का सूत्र $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{F}{\frac{\pi}{4}d^2}$ है।
यहाँ $F = 400\,N$ और $\sigma = 379 \times 10^6\,Pa$ दिया गया है,इसलिए:
$379 \times 10^6 = \frac{400}{\frac{\pi}{4}d^2}$.
$d^2$ के लिए हल करने पर:
$d^2 = \frac{4 \times 400}{\pi \times 379 \times 10^6} = \frac{1600}{1190.7 \times 10^6} \approx 1.3437 \times 10^{-6}\,m^2$.
वर्गमूल लेने पर:
$d = \sqrt{1.3437} \times 10^{-3}\,m \approx 1.159 \times 10^{-3}\,m$.
$mm$ में बदलने पर:
$d \approx 1.16\,mm$.

(C) हुक के नियम के अनुसार,तार में तनाव $T = k(l - l_0)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $l_0$ तार की मूल लंबाई है।
प्रथम स्थिति के लिए: $T_1 = k(l_1 - l_0)$ $...(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $T_2 = k(l_2 - l_0)$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{l_1 - l_0}{l_2 - l_0}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$T_1(l_2 - l_0) = T_2(l_1 - l_0)$
$T_1 l_2 - T_1 l_0 = T_2 l_1 - T_2 l_0$
$l_0$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$T_2 l_0 - T_1 l_0 = T_2 l_1 - T_1 l_2$
$l_0(T_2 - T_1) = T_2 l_1 - T_1 l_2$
$l_0 = \frac{T_2 l_1 - T_1 l_2}{T_2 - T_1}$

(A) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{F}{\Delta L} \cdot \frac{L}{A}$ है।
चूंकि सभी तारों के लिए पदार्थ और लंबाई $L$ समान हैं,इसलिए $Y$ स्थिर है। अतः,भार-विस्तार ग्राफ का ढाल (slope),जो $\frac{F}{\Delta L}$ है,अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होता है $(slope \propto A)$।
जिस तार का ढाल सबसे कम होगा,उसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ सबसे कम होगा,जिसका अर्थ है कि वह सबसे पतला तार है।
ग्राफ को देखने पर,रेखा $OA$ का ढाल सबसे कम है।
अतः,$OA$ सबसे पतले तार को दर्शाता है।

(B) $Assertion$ सही है: प्रतिबल को विरूपित होने पर किसी पिंड के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर कार्य करने वाले आंतरिक प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Reason$ गलत है: प्रत्यास्थता को यंग मापांक $(Y)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है। चूंकि रबर की तुलना में स्टील में समान विकृति उत्पन्न करने के लिए बहुत अधिक बल की आवश्यकता होती है,इसलिए स्टील रबर से अधिक प्रत्यास्थ है। अतः,रबर स्टील की तुलना में कम प्रत्यास्थ है।

(C) $Assertion$ (कथन) सही है। हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक होता है $(Stress \propto Strain)$। जब किसी प्रत्यास्थ पिंड पर बाहरी बल लगाया जाता है,तो उसमें विरूपण (विकृति) होता है,जिसके परिणामस्वरूप प्रति इकाई क्षेत्रफल में आंतरिक प्रत्यानयन बल (प्रतिबल) विकसित होता है।
$Reason$ (कारण) गलत है। रबर को सबसे अधिक प्रत्यास्थ पदार्थों में से एक माना जाता है क्योंकि यह विरूपक बल को हटाने के बाद अपने मूल आकार में वापस आ सकता है। यदि कोई पदार्थ स्थायी विरूपण का अनुभव करता है और अपने मूल आकार में वापस नहीं आता है,तो उसे 'प्लास्टिक' पदार्थ कहा जाता है,जो रबर के व्यवहार के विपरीत है।
अतः,कथन सही है,लेकिन कारण गलत है।

(B) प्रतिबल का सूत्र $\text{Stress} = \frac{F}{A}$ है,जहाँ $F$ बल (भार) है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दी गई त्रिज्या $r = 1.5 \; cm = 0.015 \; m$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.015)^2 \; m^2$ है।
अधिकतम प्रतिबल $\sigma_{max} = 10^8 \; N m^{-2}$ दिया गया है।
अधिकतम भार $F_{max} = \sigma_{max} \times A$ है।
$F_{max} = 10^8 \times \pi \times (0.015)^2$ है।
$F_{max} = 10^8 \times 3.14159 \times 0.000225$ है।
$F_{max} = 7.0685 \times 10^4 \; N \approx 7.065 \times 10^4 \; N$ है।
अतः,केबल $7.065 \times 10^4 \; N$ का अधिकतम भार उठा सकता है।

(B) संकीर्ण सिरों पर शंकु का व्यास $d = 0.50 \; mm = 0.50 \times 10^{-3} \; m$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.25 \times 10^{-3} \; m$ है।
संपीड़न बल $F = 50,000 \; N$ है।
निहाई की नोक पर दबाव $p$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$p = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$
मान रखने पर:
$p = \frac{50,000}{\pi (0.25 \times 10^{-3})^2}$
$p = \frac{50,000}{\pi (0.0625 \times 10^{-6})}$
$p = \frac{50,000}{0.19635 \times 10^{-6}}$
$p \approx 2.546 \times 10^{11} \; Pa \approx 2.55 \times 10^{11} \; Pa$.
अतः,निहाई की नोक पर दबाव $2.55 \times 10^{11} \; Pa$ है।

(B) प्रत्यास्थता किसी वस्तु का वह गुण है जिसके कारण वह विरूपक बल को हटा लेने पर अपने मूल आकार और आकृति को पुनः प्राप्त करने की प्रवृत्ति रखती है।
प्रत्यास्थ वस्तु वह पदार्थ है जो प्रत्यास्थता का गुण प्रदर्शित करती है। जब ऐसी वस्तु पर कोई बाहरी बल लगाया जाता है,तो उसमें विरूपण होता है,लेकिन बल हटा लेने पर वह अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाती है।
इसके विपरीत,यदि पुट्टी या मिट्टी जैसे पदार्थ पर बल लगाया जाता है,तो वे अपने मूल आकार को पुनः प्राप्त नहीं करते हैं और स्थायी रूप से विरूपित हो जाते हैं। ऐसे पदार्थों को प्लास्टिक कहा जाता है और इस गुण को सुघट्यता (Plasticity) कहा जाता है।

(N/A) $Plastic$ $body$ वह पदार्थ है जो विरूपक बल (deforming force) को हटाने के बाद अपने मूल आकार और आकृति को पुनः प्राप्त नहीं करता है। ऐसे पदार्थों में स्थायी विरूपण (permanent deformation) हो जाता है।
$Plasticity$ पदार्थ का वह गुण है जिसके कारण विरूपक बल को हटाने के बाद वह अपने मूल आकार और आकृति को पुनः प्राप्त नहीं कर पाता है। दूसरे शब्दों में,विरूपक बल हटा दिए जाने के बाद किसी पिंड का अपनी मूल विन्यास (original configuration) में वापस न आ पाने की अक्षमता को $Plasticity$ कहते हैं। इसके उदाहरणों में मिट्टी,पुट्टी और सीसा (lead) शामिल हैं।

(N/A) हम जानते हैं कि एक ठोस में प्रत्येक परमाणु या अणु अपने पड़ोसी परमाणुओं या अणुओं से घिरा होता है।
ये अंतःपरमाण्विक या अंतःआण्विक बलों द्वारा एक साथ बंधे होते हैं और एक स्थिर संतुलन स्थिति में रहते हैं।
जब किसी ठोस को विरूपित किया जाता है,तो परमाणु या अणु अपनी संतुलन स्थितियों से विस्थापित हो जाते हैं,जिससे अंतःपरमाण्विक दूरियों में परिवर्तन होता है।
जब विरूपक बल को हटा दिया जाता है,तो अंतःपरमाण्विक बल उन्हें उनकी मूल स्थितियों में वापस लाने का प्रयास करते हैं और वस्तु अपना मूल आकार और आकृति पुनः प्राप्त कर लेती है।
इस प्रत्यानयन (restoring) तंत्र को चित्र में दिखाए गए स्प्रिंग-बॉल सिस्टम के मॉडल द्वारा समझा जा सकता है। यहाँ,गेंदें परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करती हैं और स्प्रिंग अंतःपरमाण्विक बलों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
यदि आप किसी गेंद को उसकी संतुलन स्थिति से विस्थापित करने का प्रयास करते हैं,तो स्प्रिंग सिस्टम गेंद को वापस उसकी मूल स्थिति में लाने का प्रयास करता है।
इस प्रकार,ठोस के प्रत्यास्थ व्यवहार को ठोस की सूक्ष्म प्रकृति के संदर्भ में समझाया जा सकता है।

(N/A) ठोस पिंड बड़ी संख्या में परमाणुओं या अणुओं से बने होते हैं जो एक विशिष्ट ज्यामितीय पैटर्न में व्यवस्थित होते हैं और मजबूत अंतर-परमाणु या अंतर-आणविक बलों द्वारा एक साथ जुड़े होते हैं।
ये पिंड स्थिर संतुलन स्थिति में इसलिए रहते हैं क्योंकि परमाणु या अणु ऐसी दूरी पर होते हैं जहाँ शुद्ध अंतर-परमाणु बल शून्य होता है। यदि कोई बाहरी बल उन्हें विस्थापित करता है,तो अंतर-परमाणु बल प्रत्यानयन बल (restoring force) के रूप में कार्य करते हैं,जो उन्हें उनकी मूल संतुलन स्थिति में वापस खींच लेते हैं,जिससे ठोस की संरचनात्मक स्थिरता बनी रहती है।

(A) ठोस पिंड के प्रत्यास्थ व्यवहार को पदार्थ की सूक्ष्म प्रकृति द्वारा समझाया जा सकता है।
ठोस में,परमाणु अंतर-परमाण्विक बलों द्वारा एक साथ बंधे होते हैं।
जब कोई बाहरी विरूपक बल लगाया जाता है,तो परमाणुओं के बीच की दूरी बदल जाती है।
जब विरूपक बल को हटा दिया जाता है,तो ये अंतर-परमाण्विक बल प्रत्यानयन बल (restoring force) के रूप में कार्य करते हैं,जो परमाणुओं को उनकी मूल संतुलन स्थिति में वापस खींचते हैं,जिसके परिणामस्वरूप पदार्थ अपना मूल आकार और माप पुनः प्राप्त कर लेता है।

(N/A) जब किसी पिंड पर बल इस प्रकार लगाया जाता है कि वह स्थिर संतुलन में रहे,तो उसमें विरूपण (deformation) होता है।
विरूपण की मात्रा पदार्थ की प्रकृति और विरूपक बल के परिमाण पर निर्भर करती है।
जब किसी पिंड पर विरूपक बल लगाया जाता है,तो पिंड के भीतर विरूपण का विरोध करने के लिए एक प्रत्यानयन बल (restoring force) विकसित होता है।
यह प्रत्यानयन बल परिमाण में लगाए गए बल के बराबर लेकिन दिशा में विपरीत होता है। प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले इस प्रत्यानयन बल को प्रतिबल (stress) कहा जाता है।
यदि $F$ लगाया गया बल है और $A$ पिंड के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,तो:
$\text{प्रतिबल} = \frac{F}{A}$
इसका $SI$ मात्रक $N m^{-2}$ या पास्कल $(Pa)$ है।
इसका विमीय सूत्र $[ML^{-1} T^{-2}]$ है।

अनुदैर्ध्य प्रतिबल तब उत्पन्न होता है जब किसी वस्तु के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के लंबवत विरूपक बल लगाया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप उसकी लंबाई में परिवर्तन होता है।
यदि एक बेलन को उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के लंबवत दो समान और विपरीत बलों द्वारा खींचा जाता है,तो प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल को तन्य प्रतिबल (tensile stress) कहा जाता है।
यदि बेलन लगाए गए बलों के प्रभाव में संकुचित होता है,तो प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल को संपीड़न प्रतिबल (compressive stress) के रूप में जाना जाता है।
तन्य या संपीड़न प्रतिबल $(\sigma)$ को सामूहिक रूप से अनुदैर्ध्य प्रतिबल कहा जाता है। इसे प्रत्यानयन बल $(F)$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\sigma = F/A$ द्वारा दिया जाता है।

(N/A) जब किसी ठोस पिंड पर बाहरी विरूपक बल लगाया जाता है,तो उसके आयामों में तीन तरह से परिवर्तन होता है:
$(1)$ लंबाई में,$(2)$ आयतन में,और $(3)$ आकार में।
पिंड के आयाम में हुए परिवर्तन और उसके मूल आयाम के अनुपात को विकृति कहते हैं।
अनुदैर्ध्य विकृति: विरूपक बल जो किसी पिंड की लंबाई में आंशिक परिवर्तन उत्पन्न करता है,उसे अनुदैर्ध्य विकृति कहा जाता है।
यदि पिंड की मूल लंबाई $L$ है और विरूपक बल $F$ के कारण लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ है,तो अनुदैर्ध्य विकृति $\varepsilon_{l}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\varepsilon_{l} = \frac{\Delta L}{L}$
यदि लंबाई बढ़ती है,तो संबंधित अनुदैर्ध्य विकृति को तन्य विकृति (tensile strain) कहा जाता है और यदि लंबाई घटती है,तो संबंधित विकृति को संपीड़ित विकृति (compressive strain) कहा जाता है।

(N/A) स्पर्शरेखीय या अपरूपण प्रतिबल: जब एक बेलन के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के समानांतर दो समान और विपरीत विरूपक बल लगाए जाते हैं,जिससे विपरीत फलकों के बीच सापेक्ष विस्थापन होता है,तो प्रति इकाई क्षेत्रफल पर विकसित होने वाले प्रत्यानयन बल को स्पर्शरेखीय या अपरूपण प्रतिबल कहा जाता है।
अपरूपण विकृति: लगाए गए स्पर्शरेखीय बल के परिणामस्वरूप,बेलन के विपरीत फलकों के बीच $\Delta x$ का सापेक्ष विस्थापन होता है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस कारण उत्पन्न विकृति को अपरूपण विकृति कहा जाता है और इसे फलकों के सापेक्ष विस्थापन और बेलन की लंबाई $L$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\text{अपरूपण विकृति } \varepsilon_{\theta} = \frac{\Delta x}{L} = \tan \theta \approx \theta$
यहाँ,$\theta$ ऊर्ध्वाधर से बेलन का कोणीय विस्थापन है। चूँकि $\theta$ आमतौर पर बहुत छोटा होता है,इसलिए $\tan \theta$ लगभग $\theta$ के बराबर होता है।
एक सामान्य उदाहरण यह है कि जब किसी पुस्तक को हाथ से दबाकर क्षैतिज रूप से धकेला जाता है,तो ऊर्ध्वाधर भुजा ऊर्ध्वाधर के साथ एक छोटा कोण $\theta$ बनाती है।

(N/A) किसी वस्तु पर बाह्य बल लगाने पर उत्पन्न प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल (restoring force) को प्रतिबल कहते हैं। गणितीय रूप में,$\text{प्रतिबल} = \frac{F}{A}$,जहाँ $F$ प्रत्यानयन बल है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रतिबल का $SI$ मात्रक $\text{Pascal (Pa)}$ या $\text{N/m}^2$ है।
प्रतिबल का विमीय सूत्र इस प्रकार निकाला जाता है: $\text{बल की विमा} = [MLT^{-2}]$ और $\text{क्षेत्रफल की विमा} = [L^2]$।
अतः,$\text{प्रतिबल की विमा} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$।

(N/A) $1$. तनन प्रतिबल (Tensile stress): जब किसी वस्तु पर विरूपक बल इस प्रकार लगाया जाता है कि बल की दिशा में वस्तु की लंबाई बढ़ जाती है,तो प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल को तनन प्रतिबल कहते हैं। यह तब होता है जब वस्तु तनाव में होती है (खींची जाती है)।
$2$. संपीड़न प्रतिबल (Compressive stress): जब किसी वस्तु पर विरूपक बल इस प्रकार लगाया जाता है कि बल की दिशा में वस्तु की लंबाई घट जाती है,तो प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल को संपीड़न प्रतिबल कहते हैं। यह तब होता है जब वस्तु संपीड़न में होती है (दबाई जाती है)।

(N/A) जब किसी वस्तु पर विरूपक बल लगाया जाता है,तो उसके आयाम में हुए परिवर्तन और मूल आयाम के अनुपात को विकृति कहते हैं। गणितीय रूप से,$\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L}$ है।
चूंकि विकृति दो समान भौतिक राशियों (लंबाई) का अनुपात है,इसलिए यह एक विमाहीन राशि है और इसका कोई मात्रक नहीं होता है।
अनुदैर्ध्य प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले उस प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है जब विरूपक बल वस्तु की लंबाई में परिवर्तन उत्पन्न करता है। इसे $\sigma = \frac{F}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ आरोपित बल है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। इसका $SI$ मात्रक $\text{N/m}^2$ या $\text{Pascal (Pa)}$ है।

(C) $1$. अनुदैर्ध्य विकृति: इसे वस्तु की लंबाई में परिवर्तन $(\Delta L)$ और मूल लंबाई $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। सूत्र: $\text{Longitudinal strain} = \frac{\Delta L}{L}$.
$2$. अपरूपण (स्पर्शरेखीय) प्रतिबल: यह सतह के समानांतर प्रति इकाई क्षेत्रफल $(A)$ पर लगाया गया स्पर्शरेखीय बल $(F_{tangential})$ है। सूत्र: $\text{Shearing stress} = \frac{F_{tangential}}{A}$.
$3$. हाइड्रोलिक प्रतिबल: जब कोई वस्तु किसी तरल पदार्थ में डूबी होती है,तो वह सभी तरफ से एक समान बल का अनुभव करती है,जो तरल द्वारा लगाए गए दबाव $(P)$ के बराबर होता है। हाइड्रोलिक प्रतिबल का परिमाण दबाव $P = F/A$ के बराबर होता है।

(N/A) हुक का नियम बताता है कि छोटे विरूपण के लिए,प्रतिबल और विकृति एक-दूसरे के समानुपाती होते हैं।
$\text{प्रतिबल} \propto \text{विकृति}$
$\therefore \text{प्रतिबल} = k \times \text{विकृति}$
यहाँ,$k$ समानुपातिकता स्थिरांक है,जिसे प्रत्यास्थता गुणांक (modulus of elasticity) के रूप में जाना जाता है।
हुक का नियम एक अनुभवजन्य नियम है और यह अधिकांश सामग्रियों के लिए उनकी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर मान्य है।
हालाँकि,कुछ सामग्रियां इस रैखिक संबंध को प्रदर्शित नहीं करती हैं।
$k$ का $SI$ मात्रक $N \ m^{-2}$ या $Pa$ है। इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।

(N/A) $1$. यील्ड पॉइंट: यील्ड पॉइंट स्ट्रेस-स्ट्रेन (stress-strain) वक्र पर वह बिंदु है जिसके आगे पदार्थ प्लास्टिक रूप से विकृत होना शुरू हो जाता है। इस बिंदु तक,पदार्थ प्रत्यास्थ व्यवहार प्रदर्शित करता है,जिसका अर्थ है कि विरूपक बल को हटा दिए जाने पर यह अपने मूल आकार में वापस आ जाएगा। यील्ड पॉइंट के बाद,पदार्थ में स्थायी विरूपण (permanent deformation) होता है।
$2$. यील्ड स्ट्रेंथ: यील्ड स्ट्रेंथ को यील्ड पॉइंट के अनुरूप स्ट्रेस के मान के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह उस अधिकतम स्ट्रेस को दर्शाता है जिसे कोई पदार्थ स्थायी प्लास्टिक विरूपण के बिना सहन कर सकता है। इंजीनियरिंग डिजाइन में यह एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि संरचनात्मक घटक परिचालन भार के तहत अपनी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर रहें।

(N/A) $1$. प्लास्टिक विरूपण: यह किसी पदार्थ का वह स्थायी विरूपण है जो तब होता है जब लगाया गया प्रतिबल पदार्थ की प्रत्यास्थ सीमा (elastic limit) से अधिक हो जाता है। इस स्थिति में,बाहरी विरूपक बल को हटाने के बाद भी पदार्थ अपने मूल आकार या माप में वापस नहीं आता है।
$2$. तन्य शक्ति: इसे उस अधिकतम प्रतिबल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे कोई पदार्थ टूटने या विफल होने से पहले खिंचे जाने पर सहन कर सकता है। इसकी गणना लगाए गए अधिकतम भार और पदार्थ के मूल अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में की जाती है।

(N/A) $1$. भंगुर पदार्थ: वह पदार्थ भंगुर कहलाता है यदि बाहरी बल लगाने पर वह बिना किसी महत्वपूर्ण प्लास्टिक विरूपण (plastic deformation) के अचानक टूट या चटक जाता है। उदाहरण के लिए: कांच,सिरेमिक और ढलवां लोहा (cast iron)।
$2$. तन्य पदार्थ: वह पदार्थ तन्य कहलाता है जिसे खींचकर पतले तारों में बदला जा सकता है या जो तन्य बल लगाने पर टूटने से पहले महत्वपूर्ण प्लास्टिक विरूपण से गुजरता है। उदाहरण के लिए: तांबा,एल्यूमीनियम और मृदु इस्पात (mild steel)।

(N/A) इलास्टोमर्स वे पदार्थ हैं जिन्हें काफी हद तक खींचा जा सकता है और खींचने वाला बल हटा लेने पर वे अपने मूल आकार और माप में वापस आ जाते हैं। ये पदार्थ अपने प्रतिबल-विकृति (stress-strain) वक्र में एक बड़ा प्रत्यास्थ क्षेत्र प्रदर्शित करते हैं।
इलास्टोमर्स के उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$1$. रबर (जैसे,वल्केनाइज्ड रबर)।
$2$. महाधमनी (aorta) के ऊतक (हृदय से रक्त ले जाने वाली बड़ी नली)।
$3$. इलास्टिन (संयोजी ऊतक में पाया जाने वाला एक प्रोटीन)।

(N/A) प्रतिबल और विकृति के अनुपात को प्रत्यास्थता गुणांक कहा जाता है।
यह पदार्थ की विशेषताओं पर निर्भर करता है,लेकिन पदार्थ के आयामों पर निर्भर नहीं करता है।
प्रत्यास्थता गुणांक तीन प्रकार के होते हैं:
$(i)$ यंग मापांक $(Y)$
$(ii)$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B)$ और इसका व्युत्क्रम,संपीड्यता $(k)$
$(iii)$ अपरूपण मापांक या दृढ़ता गुणांक $(G)$

(D) लड़की का द्रव्यमान,$m = 50 \;kg$।
हील का व्यास,$d = 1 \;cm = 0.01 \;m$।
हील की त्रिज्या,$r = d/2 = 0.005 \;m$।
हील का क्षेत्रफल,$A = \pi r^2 = \pi(0.005)^2 \approx 7.85 \times 10^{-5} \;m^2$।
हील द्वारा फर्श पर लगाया गया बल,$F = mg = 50 \times 9.8 = 490 \;N$।
हील द्वारा फर्श पर लगाया गया दबाव,$P = F/A = 490 / (7.85 \times 10^{-5}) \approx 6.24 \times 10^6 \;N m^{-2}$।

(N/A) $1$. एक ठोस पिंड कर्तन प्रतिबल (shear stress) को सहन कर सकता है,जो इसके आयतन को स्थिर रखते हुए इसके आकार को बदल सकता है।
$2$. द्रव (तरल) पिंड पर बहुत कम कर्तन प्रतिबल लगाने पर भी इसका आकार लगातार बदलता रहता है।
$3$. किसी द्रव को विरूपित करने के लिए आवश्यक कर्तन प्रतिबल,ठोस के लिए आवश्यक प्रतिबल की तुलना में लगभग दस लाख गुना कम होता है।

(N/A) $Rigid$ $body$ (दृढ़ पिंड) भौतिकी में एक आदर्श वस्तु है जिसमें किन्हीं दो कणों के बीच की दूरी,लगाए गए बाहरी बलों की परवाह किए बिना,स्थिर रहती है। यह तनाव के तहत विकृत नहीं होता है।
$Solid$ $body$ (ठोस पिंड) पदार्थ की एक अवस्था है जो संरचनात्मक कठोरता और सतह पर लगाए गए बल के प्रतिरोध द्वारा पहचानी जाती है। $Rigid$ $body$ के विपरीत,$Solid$ $body$ बाहरी बलों के अधीन होने पर विरूपण (लोचदार या प्लास्टिक) से गुजर सकता है।
मुख्य अंतर:
$1$. $Rigid$ $body$ एक सैद्धांतिक मॉडल है; $Solid$ $body$ पदार्थ की एक भौतिक अवस्था है।
$2$. $Rigid$ $body$ में,कणों के बीच की सापेक्ष दूरी अपरिवर्तनीय होती है। $Solid$ $body$ में,विरूपण के कारण सापेक्ष दूरी बदल सकती है।
$3$. $Rigid$ $body$ गतिशीलता आंतरिक तनावों की उपेक्षा करती है,जबकि $Solid$ $body$ यांत्रिकी (जैसे लोच) उन्हें ध्यान में रखती है।

(N/A) पूर्णतः प्रत्यास्थ वस्तु वह वस्तु है जो विरूपक बल को हटाने पर अपने मूल आकार और आकृति को पूरी तरह से पुनः प्राप्त कर लेती है।
पूर्णतः प्लास्टिक वस्तु वह वस्तु है जो विरूपक बल को हटाने के बाद अपने मूल आकार और आकृति को पुनः प्राप्त करने की कोई प्रवृत्ति नहीं दिखाती है।

(A) सभी इंजीनियरिंग डिजाइनों में पदार्थों का प्रत्यास्थ व्यवहार महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसके लिए हम क्रेन के उदाहरण पर विचार करते हैं।
भारी भार को एक स्थान से दूसरे स्थान तक उठाने और ले जाने के लिए उपयोग की जाने वाली क्रेन में एक मोटा धातु का तार होता है जिससे भार जुड़ा होता है,और इस प्रकार तार (केबल) तनाव में होता है।
मान लीजिए कि हम $10$ टन या मीट्रिक टन ($1$ मीट्रिक टन $= 1000 \text{ kg}$) की उठाने की क्षमता वाली क्रेन बनाना चाहते हैं। तो स्टील का तार कितना मोटा होना चाहिए?
यह सुनिश्चित करने के लिए कि भार तार को स्थायी रूप से विकृत न करे,विस्तार प्रत्यास्थ सीमा से अधिक नहीं होना चाहिए।
इसका मतलब है कि तार में उत्पन्न प्रतिबल उसकी यील्ड स्ट्रेंथ $(S_y)$ से कम होना चाहिए। मान लीजिए कि माइल्ड स्टील के तार का न्यूनतम अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है और माइल्ड स्टील की यील्ड स्ट्रेंथ $(S_y)$ $300 \times 10^6 \text{ N m}^{-2}$ है।
$\therefore A \geq \frac{W}{S_y}$
$= \frac{Mg}{S_y}$
$= \frac{10^4 \text{ kg} \times 10 \text{ m s}^{-2}}{300 \times 10^6 \text{ N m}^{-2}}$
$= 3.3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$\therefore A \geq 3.3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
यदि $g = 3.1 \pi \text{ m s}^{-2}$ और $A = \pi r^2$ है,तो तार की मोटाई निर्धारित करने के लिए त्रिज्या $r$ की गणना की जा सकती है।

इमारतों और पुलों में खंभे या स्तंभ का आकार ऐसा होना चाहिए कि वह भार को प्रभावी ढंग से वितरित कर सके।
चित्र में दिखाए अनुसार,सिरों पर वितरित आकार वाला स्तंभ (चित्र $b$ में दिखाए अनुसार) एक साधारण बेलनाकार स्तंभ (चित्र $a$ में दिखाए अनुसार) की तुलना में अधिक कुशल होता है।
सिरों पर वितरित आकार वाला स्तंभ संपर्क के लिए एक बड़ा सतह क्षेत्र प्रदान करता है,जो भार को एक व्यापक क्षेत्र पर वितरित करने में मदद करता है,जिससे तनाव (प्रति इकाई क्षेत्र बल) कम हो जाता है और संरचना की भार वहन क्षमता बढ़ जाती है।
इसके विपरीत,गोल या संकीर्ण सिरों वाला स्तंभ कम भार उठाता है क्योंकि संपर्क बिंदुओं पर तनाव का संकेंद्रण अधिक होता है।

(N/A) रबर एक इलास्टोमर है,जिसका अर्थ है कि यह बड़े विरूपण (deformation) से गुजर सकता है और मजबूत अंतर-आणविक पुनर्स्थापना बलों के कारण अपने मूल आकार में वापस आ सकता है। जब साइकिल ऊबड़-खाबड़ जमीन से गुजरती है,तो सीट की सामग्री तनाव का अनुभव करती है और विरूपित हो जाती है,जिससे झटकों की ऊर्जा अवशोषित हो जाती है। अपनी लोच के कारण,बल हटाए जाने पर रबर के अणु अपनी संतुलन स्थिति में वापस आ जाते हैं,जो आराम प्रदान करते हैं। इसके विपरीत,लकड़ी और लोहा कठोर पदार्थ हैं; वे ऐसे भार के तहत महत्वपूर्ण रूप से विरूपित नहीं होते हैं,जिसका अर्थ है कि वे झटकों को सीधे सवार तक पहुंचाएंगे,जिससे असुविधा होगी।

(N/A) स्प्रिंग बैलेंस हुक के नियम के सिद्धांत पर कार्य करता है,जो बताता है कि स्प्रिंग का विस्तार प्रत्यास्थ सीमा के भीतर लगाए गए बल के सीधे आनुपातिक होता है। लंबे समय तक बार-बार उपयोग करने के बाद,स्प्रिंग में 'इलास्टिक फैटीग' (प्रत्यास्थ थकान) उत्पन्न हो जाती है। इसका अर्थ है कि स्प्रिंग की सामग्री अपनी मूल प्रत्यास्थ शक्ति खो देती है और उसमें स्थायी विरूपण हो सकता है। परिणामस्वरूप,जब भार हटा दिया जाता है तो स्प्रिंग अपने मूल आकार या लंबाई में वापस नहीं आती है,जिसके कारण यह गलत रीडिंग दिखाती है।

(N/A) अनुदैर्ध्य विकृति को वस्तु की लंबाई में परिवर्तन और उसकी मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\varepsilon_{l} = \frac{\Delta l}{l}$

(N/A) $(i)$ किसी वस्तु के अनुप्रस्थ काट के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल (restoring force) को प्रतिबल कहा जाता है।
$(ii)$ प्रत्यानयन बल और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के अनुपात को प्रतिबल कहा जाता है।

(N/A) आयतन प्रतिबल को किसी वस्तु के आयतन में परिवर्तन होने पर प्रति इकाई क्षेत्रफल पर कार्य करने वाले प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\sigma_{V} = \frac{F}{A} = P$,जहाँ $F$ सतह के क्षेत्रफल $A$ पर लंबवत कार्य करने वाला बल है और $P$ लगाया गया दाब है।
मात्रक: आयतन प्रतिबल का $SI$ मात्रक दाब के मात्रक के समान ही होता है,जो $N \ m^{-2}$ या $Pa$ (पास्कल) है।
हाँ,आयतन प्रतिबल दाब के बराबर होता है क्योंकि इसे सतह के लंबवत प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगाए गए बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(N/A) जब किसी वस्तु पर सतह के समानांतर बल लगाया जाता है,तो उत्पन्न प्रतिबल को कर्तन प्रतिबल (Shearing stress) कहा जाता है। इसे सतह पर कार्यरत बल के स्पर्शरेखीय घटक और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कर्तन प्रतिबल $(\tau)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\tau = \frac{F_{t}}{A}$
जहाँ:
$F_{t}$ = सतह के समानांतर कार्यरत बल का स्पर्शरेखीय घटक (Tangential force)।
$A$ = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल (Area of cross-section)।

(N/A) दाब को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले अभिलंब बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो एक अदिश राशि है क्योंकि यह तरल पदार्थ में किसी बिंदु पर सभी दिशाओं में समान रूप से कार्य करता है।
प्रतिबल को बाहरी विरूपक बल के कारण किसी पदार्थ के भीतर उत्पन्न प्रति इकाई क्षेत्रफल पर प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि प्रतिबल लगाए गए बल की दिशा और सतह के अभिविन्यास पर निर्भर करता है,इसलिए यह एक टेंसर राशि है (बुनियादी संदर्भों में इसे सदिश माना जाता है) क्योंकि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

(B) हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,$\text{Stress} \propto \text{Strain}$,जिसका अर्थ है $\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,जहाँ $Y$ यंग मापांक है।
यह समीकरण एक रैखिक संबंध का प्रतिनिधित्व करता है,जो प्रतिबल-विकृति ग्राफ पर मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देता है।

(A) हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,जहाँ $Y$ यंग मापांक (या प्रत्यास्थता मापांक) है।
प्रतिबल बनाम विकृति का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
इस ग्राफ का ढाल $\frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = Y$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबल-विकृति ग्राफ का ढाल पदार्थ के प्रत्यास्थता मापांक को दर्शाता है।

(A) प्रत्यास्थता गुणांक (यंग मापांक) पदार्थ की कठोरता को दर्शाता है। उच्च मान यह इंगित करता है कि पदार्थ अधिक प्रत्यास्थ (कठोर) है। इन पदार्थों के लिए यंग मापांक $(Y)$ के अनुमानित मान इस प्रकार हैं:
$1$. रबर: $\approx 0.01 \times 10^9 \ N/m^2$
$2$. कांच: $\approx 50-90 \times 10^9 \ N/m^2$
$3$. तांबा: $\approx 110-130 \times 10^9 \ N/m^2$
$4$. स्टील: $\approx 200 \times 10^9 \ N/m^2$
अतः,प्रत्यास्थता गुणांक का बढ़ता क्रम है: रबर < कांच < तांबा < स्टील।

(N/A) शुद्ध कर्तन (pure shear) प्रतिबल की वह स्थिति है जहाँ पदार्थ पर आयतन में बिना किसी परिवर्तन के कर्तन बल लगाए जाते हैं। शुद्ध कर्तन का एक उत्कृष्ट उदाहरण एक बेलन या बीम को मोड़ना है। जब किसी बीम पर बेंडिंग मोमेंट लगाया जाता है,तो उसकी आंतरिक परतें कर्तन प्रतिबल का अनुभव करती हैं,जिसे पदार्थ के विशिष्ट भागों में शुद्ध कर्तन के रूप में माना जा सकता है।

(N/A) विकृति को किसी वस्तु के आयाम में परिवर्तन और उसके मूल आयाम के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L}$.
चूंकि अंश (आयाम में परिवर्तन) और हर (मूल आयाम) दोनों समान भौतिक राशि (लंबाई) का प्रतिनिधित्व करते हैं,इसलिए उनके मात्रक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
अतः,विकृति एक विमाहीन और मात्रकहीन राशि है।