Basic of Elasticity, Stress and Strain relationship and Graphical analysis Questions in Hindi

(A) हाँ,तार में प्रतिबल होगा। भले ही कोई बाहरी वजन न जुड़ा हो,तार का अपना द्रव्यमान होता है। तार की पूरी लंबाई पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल एक विरूपक बल (deforming force) के रूप में कार्य करता है,जिससे तार तनाव प्रतिबल का अनुभव करता है,जो निलंबन बिंदु पर अधिकतम होता है।

(C) प्रतिबल (stress) एक टेंसर राशि है।
इसका कारण यह है कि प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,और यह सतह के अभिविन्यास (अभिलंब सदिश) और लगाए गए बल की दिशा दोनों पर निर्भर करता है।
चूंकि इसे पूरी तरह से वर्णित करने के लिए सतह के अभिलंब और बल की दिशा दोनों की आवश्यकता होती है,इसलिए इसे द्वितीय-क्रम के टेंसर के रूप में दर्शाया जाता है।

(N/A) जब धातु के तार पर उसकी प्रत्यास्थ सीमा (elastic limit) के भीतर एक विरूपक बल लगाया जाता है और फिर उसे हटा दिया जाता है,तो तार अपने मूल आयामों को पुनः प्राप्त कर लेता है। हालाँकि,यदि विरूपक बल प्रत्यास्थ सीमा से अधिक हो जाता है,तो पदार्थ स्थायी विरूपण (plastic deformation) से गुजरता है। इस स्थिति में,आंतरिक प्रत्यानयन बल परमाणुओं को उनकी मूल संतुलन स्थिति में वापस लाने के लिए अपर्याप्त होते हैं,जिसके कारण तार में स्थायी खिंचाव रह जाता है।

(B) पदार्थ का वह गुण जिसके कारण वह विरूपक बल को हटा लेने पर अपने मूल आकार और आकृति को पुनः प्राप्त कर लेता है,प्रत्यास्थता (Elasticity) कहलाता है। यह गुण पदार्थ को विरूपण का विरोध करने में सक्षम बनाता है।

(N/A) हुक का नियम बताता है कि प्रत्यास्थ सीमा के भीतर प्रतिबल,विकृति के सीधे आनुपातिक होता है। इस नियम की सीमा यह है कि यह केवल छोटे विरूपणों के लिए मान्य है जहाँ पदार्थ अपनी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर रहता है। यदि प्रतिबल प्रत्यास्थ सीमा से अधिक हो जाता है,तो पदार्थ में स्थायी विरूपण (प्लास्टिक विरूपण) आ जाता है और प्रतिबल तथा विकृति के बीच का रैखिक संबंध समाप्त हो जाता है।

(N/A) $\Delta PRQ$ में,समतल $PQ$ के अभिलंब और बल $F$ की दिशा के बीच का कोण $\theta$ है।
अनुप्रस्थ काट $PR$ का क्षेत्रफल $a$ है।
नत समतल $PQ$ का क्षेत्रफल $A_{PQ} = \frac{a}{\cos \theta}$ होगा।
बल $F$,अनुप्रस्थ काट $PR$ के लंबवत कार्य करता है। इस बल $F$ का समतल $PQ$ के लंबवत घटक $F' = F \cos \theta$ है।
समतल $PQ$ पर तन्य प्रतिबल को लंबवत बल और समतल के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\text{तन्य प्रतिबल} = \frac{F'}{A_{PQ}} = \frac{F \cos \theta}{a / \cos \theta} = \frac{F \cos^2 \theta}{a}$.

(N/A) रेलवे की पटरियों को '$I$-आकार' के क्रॉस-सेक्शन के साथ डिज़ाइन किया जाता है ताकि कम से कम सामग्री के उपयोग के साथ अधिकतम संरचनात्मक मजबूती और कठोरता प्राप्त हो सके।
ऊपरी और निचले हिस्सों में सामग्री को केंद्रित करने से,जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) काफी बढ़ जाता है,जो ट्रेनों के भारी वजन के तहत झुकने या बकलिंग की संभावना को कम करता है।
मध्य में स्थित ऊर्ध्वाधर वेब (web) आवश्यक गहराई प्रदान करता है ताकि वह कतरनी बलों (shear forces) का सामना कर सके,साथ ही पटरी को हल्का और किफायती बनाए रखता है।

(B) नहीं,केवल बल लगाकर धातु के तार की लंबाई को दोगुना करना संभव नहीं है।
प्रत्येक धातु के तार की एक विशिष्ट प्रत्यास्थ सीमा (elastic limit) होती है।
यदि तार को उसकी प्रत्यास्थ सीमा से अधिक खींचा जाता है,तो उसमें प्लास्टिक विरूपण (plastic deformation) होता है और अंततः वह टूट जाता है।
धात्विक पदार्थों में इतनी तन्यता (ductility) नहीं होती है कि वे बिना टूटे लंबाई में $100\%$ की वृद्धि (विकृति $1$) सहन कर सकें।

(C) असत्य। यंग मापांक $Y$ को $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि $Y$ एक पदार्थ नियतांक है,इसलिए दिए गए बल,लंबाई और क्षेत्रफल के लिए यह लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$(b)$ असत्य। ब्रेकिंग स्ट्रेस वह अधिकतम प्रतिबल है जिसे कोई पदार्थ टूटने से पहले सहन कर सकता है; यह प्रत्यास्थता का पर्यायवाची नहीं है।
$(c)$ सत्य। क्वार्ट्ज को लगभग एक पूर्णतः प्रत्यास्थ पदार्थ माना जाता है क्योंकि यह बहुत कम आंतरिक घर्षण प्रदर्शित करता है और विरूपक बल को हटाने के बाद लगभग पूरी तरह से अपने मूल आकार में वापस आ जाता है।

(A) असत्य। द्रव का अपरूपण मापांक शून्य होता है क्योंकि द्रव अपरूपण प्रतिबल (shear stress) को सहन नहीं कर सकते हैं।
$(b)$ असत्य। रबर का यंग मापांक स्टील की तुलना में कम होता है,जिसका अर्थ है कि एक दिए गए भार के लिए,रबर में स्टील की तुलना में अधिक विरूपण होता है।
$(c)$ सत्य। पीटने या बेलने जैसी यांत्रिक प्रक्रियाओं और गर्म या ठंडा करने जैसी तापीय प्रक्रियाओं से पदार्थ की आंतरिक संरचना बदल सकती है,जिससे उसके प्रत्यास्थ गुण प्रभावित होते हैं।

(A) इस पिंड को $Brittle$ (भंगुर) पदार्थ के रूप में जाना जाता है। एक भंगुर पदार्थ टूटने से पहले बहुत कम या शून्य प्लास्टिक विरूपण प्रदर्शित करता है।
$(b)$ एक प्रत्यास्थ पिंड जिसे बड़े विकृति उत्पन्न करने के लिए खींचा जा सकता है,उसे $Elastomer$ (इलास्टोमर) कहा जाता है (उदाहरण के लिए,रबर)।

$(C)$ हुक के नियम के अनुसार, समानुपातिकता की सीमा के भीतर, प्रतिबल सीधे विकृति के समानुपाती होता है। अतः, $(a)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
जब तार से भार हटा दिया जाता है, यदि वस्तु अपने मूल आयाम को पुनः प्राप्त कर लेती है, तो इसका अर्थ है कि पदार्थ का विरूपण उसकी प्रत्यास्थ सीमा के भीतर हुआ है। अतः, $(b)$ का मिलान $(i)$ से होता है।
इसलिए, सही मिलान $(a-ii), (b-i)$ है।

(A) $1$. हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक होता है। अतः,$(a)$ का मिलान $(iv)$ से होता है।
$2$. संपीड्यता,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(K)$ का व्युत्क्रम है। प्रतिबल का विमीय सूत्र $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है और विकृति विमाहीन है। अतः,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
$3$. संपीड्यता $= 1/K$,इसलिए इसकी विमा $[M^{-1} L^1 T^2]$ है। अतः,$(b)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
$4$. इसलिए,सही मिलान $(a - iv), (b - ii)$ है।

(A) हाथीदांत की गेंद गीली मिट्टी की गेंद की तुलना में अधिक प्रत्यास्थ (elastic) होती है।
जब हाथीदांत की गेंद फर्श से टकराती है,तो वह प्रत्यास्थ विरूपण (elastic deformation) का अनुभव करती है और जल्दी ही अपने मूल आकार में वापस आ जाती है,जिससे उसे उछलने में मदद मिलती है।
इसके विपरीत,गीली मिट्टी की गेंद अत्यधिक प्लास्टिक होती है; यह प्रभाव के बाद स्थायी विरूपण का अनुभव करती है और अधिकांश गतिज ऊर्जा को अवशोषित कर लेती है,जिसके परिणामस्वरूप यह बहुत कम या बिल्कुल नहीं उछलती है।
इसलिए,हाथीदांत की गेंद फर्श से टकराने के बाद अधिक ऊंचाई तक उठेगी।

(N/A) मान लीजिए $A$ बल $F$ के लंबवत छड़ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
छड़ की लंबाई के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले समतल $aa'$ पर विचार करें। इस समतल का क्षेत्रफल $A' = A / \sin \theta$ है।
बल $F$ को इस समतल के सापेक्ष दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. अभिलंब बल: $F_N = F \sin \theta$
$2$. अपरूपण बल: $F_S = F \cos \theta$
तनन प्रतिबल (अभिलंब प्रतिबल) $\sigma = F_N / A' = (F \sin \theta) / (A / \sin \theta) = (F/A) \sin^2 \theta$.
अपरूपण प्रतिबल $\tau = F_S / A' = (F \cos \theta) / (A / \sin \theta) = (F/A) \sin \theta \cos \theta = (F/2A) \sin(2\theta)$.
$(a)$ तनन प्रतिबल $\sigma = (F/A) \sin^2 \theta$ तब अधिकतम होता है जब $\sin^2 \theta = 1$,अर्थात $\theta = 90^\circ$।
$(b)$ अपरूपण प्रतिबल $\tau = (F/2A) \sin(2\theta)$ तब अधिकतम होता है जब $\sin(2\theta) = 1$,अर्थात $2\theta = 90^\circ$ या $\theta = 45^\circ$।

(N/A) परमाणुओं के बीच का बल उनके बीच की दूरी $r$ पर निर्भर करता है,जो संतुलन दूरी $r_0$ (जहाँ स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है) के सापेक्ष होती है।
$1$. बल प्रतिकर्षी तब होता है जब परमाणुओं के बीच की दूरी संतुलन दूरी से कम होती है $(r < r_0)$। इस क्षेत्र में,परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन बादल एक-दूसरे पर ओवरलैप होते हैं,जिससे प्रबल स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण उत्पन्न होता है।
$2$. बल आकर्षक तब होता है जब परमाणुओं के बीच की दूरी संतुलन दूरी से अधिक होती है $(r > r_0)$। इस क्षेत्र में,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,अंतर-परमाणु स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है,और परमाणुओं पर एक आकर्षक बल कार्य करता है जो उन्हें संतुलन स्थिति की ओर वापस खींचता है।

(N/A) हुक का नियम बताता है कि छोटे विरूपण के लिए,किसी पदार्थ पर लगाया गया प्रतिबल उसमें उत्पन्न विकृति के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\text{प्रतिबल} \propto \text{विकृति}$
$\text{प्रतिबल} = k \times \text{विकृति}$
जहाँ $k$ समानुपातिकता का एक स्थिरांक है जिसे प्रत्यास्थता गुणांक (modulus of elasticity) कहा जाता है।

(N/A) दृढ़ वस्तु एक ऐसी वस्तु है जिसका आकार पूरी तरह से निश्चित और अपरिवर्तनीय होता है। ऐसी वस्तु के किन्हीं भी दो कणों के बीच की दूरी उस पर लगाए गए बाहरी बलों के बावजूद नहीं बदलती है। वास्तव में,कोई भी वस्तु पूरी तरह से दृढ़ नहीं होती है; हालाँकि,कई उद्देश्यों के लिए,स्टील की गेंदों या लकड़ी के ब्लॉकों जैसी वस्तुओं को दृढ़ वस्तु माना जाता है।
ठोस वस्तु पदार्थ की वह अवस्था है जो अपनी संरचनात्मक कठोरता और सतह पर लगाए गए बल के प्रति प्रतिरोध द्वारा पहचानी जाती है। एक दृढ़ वस्तु के विपरीत,एक ठोस वस्तु बाहरी बलों के अधीन होने पर विरूपण (आकार या आकार में परिवर्तन) से गुजर सकती है,जैसे कि लोचदार या प्लास्टिक विरूपण।

(B) मरोड़ी गई छड़ में उत्पन्न अपरूपण विकृति $\phi$ को संबंध $r \theta = L \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ छड़ की त्रिज्या है,$\theta$ मरोड़ का कोण है,$L$ छड़ की लंबाई है,और $\phi$ अपरूपण विकृति है।
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$
लंबाई $L = 2 \,m$
मरोड़ का कोण $\theta = 0.8 \,radians$
सूत्र में मान रखने पर:
$10^{-2} \times 0.8 = 2 \times \phi$
$0.008 = 2 \times \phi$
$\phi = \frac{0.008}{2} = 0.004$
अतः,उत्पन्न होने वाली अपरूपण विकृति $0.004$ है।

(C) हुक के नियम को मान्य मानते हुए,तनाव $T$ विस्तार $\Delta \ell = \ell - \ell_{0}$ के समानुपाती होता है,जहाँ $\ell_{0}$ मूल लंबाई है।
$T = k(\ell - \ell_{0})$
दी गई दो स्थितियों के लिए:
$T_{1} = k(\ell_{1} - \ell_{0})$ --- $(1)$
$T_{2} = k(\ell_{2} - \ell_{0})$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{\ell_{1} - \ell_{0}}{\ell_{2} - \ell_{0}}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$T_{1}(\ell_{2} - \ell_{0}) = T_{2}(\ell_{1} - \ell_{0})$
$T_{1}\ell_{2} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{2}\ell_{0}$
$\ell_{0}$ के लिए हल करने पर:
$T_{2}\ell_{0} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0}(T_{2} - T_{1}) = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0} = \frac{T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}}{T_{2} - T_{1}}$

(C) एक चिकनी घिरनी के ऊपर से गुजरने वाले $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के दो ब्लॉकों को जोड़ने वाले तार में तनाव $T$ इस प्रकार दिया जाता है:
$T = \frac{2 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$
दिए गए मान $m_1 = 3 \, kg$,$m_2 = 5 \, kg$,और $g = 10 \, ms^{-2}$ रखने पर:
$T = \frac{2 \times 3 \times 5 \times 10}{3 + 5} = \frac{300}{8} = 37.5 \, N$
स्ट्रेस को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $\text{Stress} = \frac{T}{A} = \frac{T}{\pi R^2}$.
ब्रेकिंग स्ट्रेस $\frac{24}{\pi} \times 10^2 \, Nm^{-2}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{24}{\pi} \times 10^2 = \frac{37.5}{\pi R^2}$
$2400 = \frac{37.5}{R^2}$
$R^2 = \frac{37.5}{2400} = \frac{375}{24000} = \frac{1}{64} \, m^2$
$R = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8} \, m = 0.125 \, m$
सेंटीमीटर में बदलने पर: $R = 0.125 \times 100 \, cm = 12.5 \, cm$.

(B) मान लीजिए पैन में रखा गया द्रव्यमान $m$ है। तार $W_{2}$ में तनाव $T_{2} = (m + 10)g$ है। तार $W_{1}$ में तनाव $T_{1} = (m + 10 + 20)g = (m + 30)g$ है।
ब्रेकिंग स्ट्रेस $\sigma_{b} = 1.25 \times 10^{9} \, N/m^{2}$ है।
तार $W_{2}$ के लिए: $T_{2,max} = \sigma_{b} \times A_{2} = (1.25 \times 10^{9}) \times (4 \times 10^{-7}) = 500 \, N$.
$(m + 10) \times 10 = 500 \Rightarrow m + 10 = 50 \Rightarrow m = 40 \, kg$.
तार $W_{1}$ के लिए: $T_{1,max} = \sigma_{b} \times A_{1} = (1.25 \times 10^{9}) \times (8 \times 10^{-7}) = 1000 \, N$.
$(m + 30) \times 10 = 1000 \Rightarrow m + 30 = 100 \Rightarrow m = 70 \, kg$.
चूंकि $m = 40 \, kg$ होने पर तार $W_{2}$ पहले टूट जाएगा,इसलिए रखा जा सकने वाला अधिकतम द्रव्यमान $40 \, kg$ है।

(A) हुक के नियम के अनुसार,तार में तनाव $T$ उसकी लंबाई में वृद्धि के साथ $T = k(l - l_{0})$ द्वारा संबंधित है,जहाँ $k$ बल नियतांक है,$l$ खींची गई लंबाई है और $l_{0}$ वास्तविक (प्राकृतिक) लंबाई है।
तनाव $T_{1}$ के लिए,लंबाई $l_{1}$ है: $T_{1} = k(l_{1} - l_{0})$ --- $(i)$
तनाव $T_{2}$ के लिए,लंबाई $l_{2}$ है: $T_{2} = k(l_{2} - l_{0})$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{l_{1} - l_{0}}{l_{2} - l_{0}}$
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$T_{1}(l_{2} - l_{0}) = T_{2}(l_{1} - l_{0})$
$T_{1}l_{2} - T_{1}l_{0} = T_{2}l_{1} - T_{2}l_{0}$
$l_{0}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$T_{1}l_{2} - T_{2}l_{1} = T_{1}l_{0} - T_{2}l_{0}$
$T_{1}l_{2} - T_{2}l_{1} = l_{0}(T_{1} - T_{2})$
$l_{0} = \frac{T_{1}l_{2} - T_{2}l_{1}}{T_{1} - T_{2}}$
अतः,तार की वास्तविक लंबाई $\frac{T_{1}l_{2} - T_{2}l_{1}}{T_{1} - T_{2}}$ है।

(C) मान लीजिए तार की प्राकृतिक लंबाई $\ell_0$ है और बल नियतांक $k$ है।
हुक के नियम के अनुसार,तार में तनाव $T = k(\ell - \ell_0)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ खींची गई लंबाई है।
प्रथम स्थिति के लिए: $T_{1} = k(l_{1} - \ell_0)$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $T_{2} = k(l_{2} - \ell_0)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{l_{1} - \ell_0}{l_{2} - \ell_0}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$T_{1}(l_{2} - \ell_0) = T_{2}(l_{1} - \ell_0)$
$T_{1}l_{2} - T_{1}\ell_0 = T_{2}l_{1} - T_{2}\ell_0$
$\ell_0$ के लिए हल करने पर:
$T_{2}\ell_0 - T_{1}\ell_0 = T_{2}l_{1} - T_{1}l_{2}$
$\ell_0(T_{2} - T_{1}) = T_{2}l_{1} - T_{1}l_{2}$
$\ell_0 = \frac{l_{1} T_{2} - l_{2} T_{1}}{T_{2} - T_{1}}$

(C) ग्राफ से,ढाल यंग मापांक के व्युत्क्रम को दर्शाती है,$1/Y = \frac{\text{विकृति}}{\text{प्रतिबल}}$.
दिए गए समाधान के अनुसार,$Y = 2.0 \times 10^{10} \; N/m^2$ लेते हुए।
ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति} = \frac{1}{2} Y (\text{विकृति})^2$.
$u = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{10}) \times (5 \times 10^{-4})^2$.
$u = 1.0 \times 10^{10} \times 25 \times 10^{-8} = 2500 \; J/m^3 = 2.5 \; kJ/m^3$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $25$ है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
अपरूपण विकृति को किसी पिंड के आयतन में बिना किसी परिवर्तन के उसके आकार में होने वाले परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस प्रकार का विरूपण तब होता है जब किसी पिंड की सतह पर स्पर्शरेखीय बल लगाया जाता है।
द्रव और गैसें (तरल पदार्थ) स्थिर अपरूपण प्रतिबल को सहन नहीं कर सकते क्योंकि ऐसे बल लगाए जाने पर वे बहने लगते हैं।
इसलिए,अपरूपण विकृति केवल ठोस पदार्थों में ही संभव है,क्योंकि उनके पास एक निश्चित आकार होता है और वे विरूपण का विरोध करने के लिए कठोरता रखते हैं।

(A) माना कि दो तारों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं,तो $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$ (दिया गया है)।
हम जानते हैं कि प्रतिबल (Stress) = $\frac{F}{A}$,जहाँ $F$ बल है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूँकि दोनों तारों पर लगाया गया बल $F$ समान है,इसलिए प्रतिबल क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\text{Stress} \propto \frac{1}{A}$।
वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
अतः,दोनों तारों में उत्पन्न प्रतिबल का अनुपात होगा:
$\frac{\text{Stress}_1}{\text{Stress}_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$।
दिया गया है कि $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$।
इस मान को रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\text{Stress}_1}{\text{Stress}_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।

(C) हम जानते हैं कि प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगाए गए बल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\text{प्रतिबल} (S) = \frac{F}{A}$
चूंकि वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{F}{\pi r^2}$
यह दिया गया है कि दोनों तारों पर लगाया गया बल $F$ समान है,इसलिए प्रतिबल त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$S \propto \frac{1}{r^2}$
अतः,प्रतिबलों का अनुपात $S_1 : S_2$ होगा:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$
त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 2 : 1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$ होगा।
इस मान को रखने पर:
$\frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$
इस प्रकार,प्रतिबलों का अनुपात $1: 4$ है।

(C) लंबवत लटके हुए तार का ब्रेकिंग स्ट्रेस निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Breaking Stress} = \rho \cdot g \cdot L$,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $L$ तार की लंबाई है।
दिया गया है:
ब्रेकिंग स्ट्रेस $= 7.5 \times 10^7 \,N m^{-2}$
घनत्व $\rho = 2.7 \times 10^3 \,kg m^{-3}$
$g = 9.8 \,m s^{-2}$
$L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$L = \frac{\text{Breaking Stress}}{\rho \cdot g}$
$L = \frac{7.5 \times 10^7}{2.7 \times 10^3 \times 9.8}$
$L = \frac{7.5 \times 10^7}{26.46 \times 10^3}$
$L \approx 0.2834 \times 10^4 \,m = 2.834 \times 10^3 \,m$.
निकटतम मान लेने पर,$L \approx 2.83 \times 10^3 \,m$।

(A) प्रत्यास्थ बल किसी पदार्थ में प्रतिबल और विकृति के बीच के संबंध द्वारा परिभाषित होते हैं।
जबकि हुक का नियम $(F = -kx)$ आदर्श प्रत्यास्थ व्यवहार का वर्णन करता है जहाँ बल संरक्षी होते हैं,वास्तविक पदार्थ अक्सर उच्च प्रतिबल के तहत हिस्टैरिसीस या प्लास्टिक विरूपण प्रदर्शित करते हैं।
ऐसे मामलों में,प्रत्यास्थ बल द्वारा किया गया कार्य अपनाए गए पथ पर निर्भर करता है और ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,प्रत्यास्थ बल हमेशा संरक्षी नहीं होते हैं; वे केवल तभी संरक्षी होते हैं जब पदार्थ पूरी तरह से प्रत्यास्थ रूप से व्यवहार करता है (ऊर्जा हानि के बिना हुक के नियम का पालन करता है)।

(C) तार में विस्तार $\Delta x$ का सूत्र $\Delta x = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ भार है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि सभी तारों की लंबाई $L$ समान है और वे एक ही पदार्थ (समान $Y$) से बने हैं,इसलिए एक स्थिर भार $F$ के लिए,हमारे पास $\Delta x \propto \frac{1}{A}$ है।
इसका मतलब है कि दिए गए भार के लिए,जिस तार में अधिकतम विस्तार होगा,उसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल न्यूनतम होगा,जिससे वह सबसे पतला तार बन जाएगा।
ग्राफ को देखने पर,एक निश्चित भार के लिए,रेखा $OA$ के लिए विस्तार अधिकतम है।
इसलिए,$OA$ सबसे पतले तार का प्रतिनिधित्व करता है।

(A) हुक का नियम बताता है कि प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे समानुपाती होता है $(Stress \propto Strain)$।
यह समानुपातिकता प्रत्यास्थ पदार्थों की एक मूलभूत विशेषता है,जहाँ विरूपक बल को हटाने के बाद पदार्थ अपने मूल आकार में वापस आ जाता है।
प्लास्टिक पदार्थ स्थायी विरूपण से गुजरते हैं और इस रैखिक संबंध का पालन नहीं करते हैं।
इलास्टोमर्स,हालांकि प्रत्यास्थ होते हैं,लेकिन वे प्रतिबल-विकृति वक्र पर हुक के नियम का व्यापक श्रेणी में पालन नहीं करते हैं।
इसलिए,हुक का नियम केवल प्रत्यास्थ पदार्थों के लिए ही लागू होता है।

(C) तार का बल नियतांक $K$,तार पर लगाए गए बल $F$ और उसमें उत्पन्न विस्तार $\Delta x$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$K = \frac{F}{\Delta x}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10 \,kg$,इसलिए बल $F = mg = 10 \times 10 = 100 \,N$ ($g = 10 \,m/s^2$ लेते हुए)।
विस्तार $\Delta x = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m = 0.002 \,m$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{100}{0.002} = \frac{100000}{2} = 5 \times 10^4 \,N/m$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
जिन पदार्थों में बहुत छोटा प्लास्टिक क्षेत्र होता है,उन्हें भंगुर (brittle) पदार्थ कहा जाता है।
भंगुर पदार्थों में,प्रत्यास्थ सीमा (elastic limit) तक पहुँचने के तुरंत बाद पदार्थ टूट जाता है,जिसका अर्थ है कि टूटने से पहले उनमें बहुत कम मात्रा में स्थायी (प्लास्टिक) विरूपण हो सकता है।

(D) सही युग्म $D$ है।
$1$. अनुदैर्ध्य विकृति लंबाई में परिवर्तन से संबंधित है।
$2$. अपरूपण विकृति आकार में परिवर्तन से संबंधित है।
$3$. आयतन विकृति (Bulk strain) आयतन में परिवर्तन से संबंधित है।
$4$. आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B)$ के व्युत्क्रम को संपीड्यता $(K = 1/B)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(B) तनन प्रतिबल को किसी बिंदु पर तनाव बल और छड़ के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊपरी आधार से $x$ दूरी पर छड़ में तनाव उस बिंदु के नीचे कार्य करने वाले कुल भार के बराबर होता है।
$x$ दूरी पर स्थित बिंदु के नीचे छड़ की लंबाई $(l-x)$ है।
छड़ के इस भाग का द्रव्यमान $m \times (l-x)$ है।
इस भाग का भार $mg(l-x)$ है।
नीचे लटका हुआ $M$ द्रव्यमान का भार भी तनाव में योगदान देता है,जिसका भार $Mg$ है।
अतः,$x$ दूरी पर कुल तनाव $T = Mg + mg(l-x)$ है।
तनन प्रतिबल $\sigma = \frac{T}{A} = \frac{Mg + mg(l-x)}{A}$ होगा।

(C) किसी तार द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम भार या ब्रेकिंग बल उसके ब्रेकिंग प्रतिबल (stress) पर निर्भर करता है।
ब्रेकिंग प्रतिबल पदार्थ का एक गुण है और यह तार की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है।
ब्रेकिंग प्रतिबल $= \frac{\text{ब्रेकिंग बल}}{\text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल}} = \frac{F}{A}$.
चूंकि तार को छोटे टुकड़ों में काटने पर पदार्थ और तार का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ समान रहता है,इसलिए ब्रेकिंग प्रतिबल स्थिर रहता है।
अतः,प्रत्येक भाग द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम भार मूल तार के समान ही रहता है।
इस प्रकार,प्रत्येक भाग $15 \, kg$ का भार सहन कर सकता है।

(A) दिया गया है,शरीर का द्रव्यमान,$m = 50 \, kg$।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, m/s^2$।
दो जांघ की हड्डियों का कुल अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 2 \times 10 \, cm^2 = 20 \, cm^2$।
क्षेत्रफल को $m^2$ में बदलने पर: $A = 20 \times 10^{-4} \, m^2 = 2 \times 10^{-3} \, m^2$।
शरीर के ऊपरी हिस्से द्वारा लगाया गया बल उसके भार के बराबर होता है,$F = mg = 50 \times 10 = 500 \, N$।
दबाव $P = \frac{F}{A} = \frac{500}{2 \times 10^{-3}} = 250 \times 10^3 = 2.5 \times 10^5 \, N/m^2$।

(D) तटस्थ परमाणुओं या अणुओं के लिए बड़ी दूरी पर अंतर-परमाण्विक स्थितिज ऊर्जा $U(R)$ पर वान डर वाल्स आकर्षण का प्रभाव होता है,जो प्रेरित द्विध्रुव-प्रेरित द्विध्रुव अन्योन्यक्रियाओं (लंदन परिक्षेपण बल) से उत्पन्न होता है।
इन अन्योन्यक्रियाओं के सिद्धांत के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा $U$ अंतर-परमाण्विक दूरी $R$ की छठी घात के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे $U(R) \propto R^{-6}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,$\text{Stress} = \frac{F}{A}$।
प्रत्यास्थ सीमा के लिए,प्रतिबल $3.5 \times 10^{10} \, N/m^2$ दिया गया है।
तार के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
व्यास $0.75 \, mm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{0.75}{2} \times 10^{-3} \, m$ है।
इन मानों को सूत्र $F = A \times \text{Stress}$ में रखने पर:
$F = \pi \times \left( \frac{0.75}{2} \times 10^{-3} \right)^2 \times 3.5 \times 10^{10}$
$F = 3.14 \times \frac{0.5625}{4} \times 10^{-6} \times 3.5 \times 10^{10}$
$F = 3.14 \times 0.140625 \times 3.5 \times 10^4$
$F \approx 1.545 \times 10^4 \, N \approx 1.55 \times 10^4 \, N$।

(C) निर्माण में स्टील का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसमें उच्च तन्यता शक्ति (tensile strength) और उच्च प्रत्यास्थता सीमा होती है।
प्रत्यास्थता को विरूपक बल को हटाने के बाद किसी सामग्री की अपने मूल आकार में वापस आने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है।
स्टील रबर जैसी कई अन्य सामग्रियों की तुलना में अधिक प्रत्यास्थ है क्योंकि समान विकृति (strain) उत्पन्न करने के लिए इसे बहुत अधिक बल की आवश्यकता होती है,और इसकी प्रत्यास्थता सीमा अधिक होती है,जिसका अर्थ है कि यह स्थायी विरूपण के बिना महत्वपूर्ण तनाव का सामना कर सकता है।
इसलिए,अभिकथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण यह सही व्याख्या प्रदान करता है कि निर्माण में स्टील को क्यों प्राथमिकता दी जाती है।

(C) तन्य प्रतिबल $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर लगने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F = mg$ और $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ है।
दिया गया है: $\sigma = 7 \times 10^5\,N m^{-2}$,$D = 14\,mm = 14 \times 10^{-3}\,m$,$g = 9.8\,m s^{-2}$,और $\pi = \frac{22}{7}$।
इन मानों को सूत्र $\sigma = \frac{4mg}{\pi D^2}$ में रखने पर:
$m = \frac{\sigma \pi D^2}{4g}$
$m = \frac{(7 \times 10^5) \times (22/7) \times (14 \times 10^{-3})^2}{4 \times 9.8}$
$m = \frac{(7 \times 10^5) \times (22/7) \times (196 \times 10^{-6})}{39.2}$
$m = \frac{22 \times 10^5 \times 28 \times 10^{-6}}{39.2} = \frac{616 \times 10^{-1}}{39.2} = \frac{61.6}{39.2} = 11\,kg$.

(C) अनुदैर्ध्य प्रतिबल को प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर लगने वाले आंतरिक प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इस स्थिति में,तार के मुक्त सिरे पर लटकाया गया भार $W$ नीचे की ओर एक बल लगाता है,जो तार के किसी भी अनुप्रस्थ काट पर समान और विपरीत आंतरिक प्रत्यानयन बल $F = W$ द्वारा संतुलित होता है।
इसलिए,अनुदैर्ध्य प्रतिबल इस प्रकार है:
$\text{प्रतिबल} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{W}{A}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) अभिकथन $(A)$ प्रत्यास्थता को उस गुण के रूप में सही ढंग से परिभाषित करता है जिसके द्वारा कोई वस्तु विरूपक बल को हटाने के बाद अपना मूल आकार और आकृति पुनः प्राप्त कर लेती है।
कारण $(R)$ सही ढंग से बताता है कि प्रत्यानयन बल,जो वस्तु को उसकी मूल स्थिति में वापस लाता है,ठोस पदार्थ के भीतर अंतर-आणविक और अंतर-परमाणु बलों के कारण उत्पन्न होता है।
चूंकि प्रत्यानयन बल वह भौतिक तंत्र है जो प्रत्यास्थता के गुण को सक्षम बनाता है,इसलिए कारण $(R)$,अभिकथन $(A)$ की सही व्याख्या है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सूची-$I$ में दी गई परिभाषाएँ सूची-$II$ की निम्नलिखित भौतिक अवधारणाओं के अनुरूप हैं:
$(A)$ एक बल जो इकाई क्षेत्रफल वाले एक प्रत्यास्थ पिंड को उसकी मूल अवस्था में वापस लाता है,वह $\text{Stress} = \frac{F_{\text{restoring}}}{A}$ की परिभाषा है। यदि $A = 1$ है,तो $\text{Stress} = F_{\text{restoring}}$। अतः,$(A)-(III)$।
$(B)$ किसी पिंड के विपरीत फलकों के समानांतर कार्य करने वाले दो समान और विपरीत बल आयतन को बदले बिना आकार में परिवर्तन करते हैं,जो $\text{Shear modulus}$ से संबंधित है। अतः,$(B)-(IV)$।
$(C)$ प्रति इकाई क्षेत्रफल सतह पर हर जगह लंबवत कार्य करने वाले बल,जो हर जगह समान होते हैं,आयतन प्रतिबल (volumetric stress) उत्पन्न करते हैं,जो $\text{Bulk modulus}$ से संबंधित है। अतः,$(C)-(I)$।
$(D)$ विपरीत फलकों के लंबवत कार्य करने वाले दो समान और विपरीत बल लंबाई में परिवर्तन करते हैं,जो $\text{Young's modulus}$ से संबंधित है। अतः,$(D)-(II)$।
अतः,सही मिलान $(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(II)$ है।

(B) हुक ने $1679$ में प्रयोगात्मक रूप से दिखाया कि यदि विकृति कम है,तो प्रतिबल विकृति के समानुपाती होता है।
प्रतिबल और विकृति का अनुपात दिए गए पदार्थ के लिए स्थिर होता है और इसे प्रत्यास्थता गुणांक $E$ कहा जाता है।
अतः,$E = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \text{constant}$.
इसलिए,यदि प्रतिबल को बढ़ाया जाता है (प्रत्यास्थ सीमा के भीतर),तो प्रतिबल और विकृति का अनुपात स्थिर रहता है।

(C) तार का तोड़ने वाला बल $F$ उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होता है।
चूँकि $A = \pi r^2$, तोड़ने वाला बल $F = \text{Breaking Stress} \times \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समान पदार्थ के तारों के लिए, ब्रेकिंग स्ट्रेस स्थिर रहता है।
इसलिए, $F \propto r^2$.
यहाँ $r_1 = 1 \,mm$ के लिए $F_1 = 10 \,N$ और $r_2 = 3 \,mm$ दिया गया है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
मान रखने पर: $\frac{F_2}{10} = \frac{3^2}{1^2} = 9$.
अतः, $F_2 = 10 \times 9 = 90 \,N$.

(C) जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित होती है,तो रस्सी पर लगने वाला कुल बल $F = M(g+a)$ होता है।
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $s = \frac{F}{A} = \frac{M(g+a)}{\pi r^2}$,जहाँ $r$ रस्सी की त्रिज्या है।
$r^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $r^2 = \frac{M(g+a)}{\pi s}$ प्राप्त होता है।
चूंकि व्यास $D = 2r$ है,इसलिए $r = \frac{D}{2}$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(\frac{D}{2})^2 = \frac{M(g+a)}{\pi s} \implies \frac{D^2}{4} = \frac{M(g+a)}{\pi s}$।
$D$ के लिए हल करने पर,हमें $D^2 = \frac{4 M(g+a)}{\pi s}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $D = \left[\frac{4 M(g+a)}{\pi s}\right]^{\frac{1}{2}}$।