एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी के पलायन वेग के $x$ गुना वेग $(x < 1)$ से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। पृथ्वी के केंद्र से वह अधिकतम ऊँचाई क्या है जहाँ तक वह पहुँचती है? (पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है)

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I:$ किसी ग्रह के लिए,यदि ग्रह के द्रव्यमान और उसकी त्रिज्या का अनुपात बढ़ता है,तो ग्रह से पलायन वेग भी बढ़ता है।
कथन $II:$ पलायन वेग ग्रह की त्रिज्या से स्वतंत्र होता है।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें:

नीचे दो कथन दिए गए हैं: एक को अभिकथन $A$ और दूसरे को कारण $R$ के रूप में लेबल किया गया है।
अभिकथन $A$: पृथ्वी पर वायुमंडल है जबकि चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है।
कारण $R$: पृथ्वी की तुलना में चंद्रमा पर पलायन वेग (escape velocity) बहुत कम है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

एक अंतरिक्ष यान मंगल ग्रह पर स्थित है। इसे सौर मंडल से बाहर भेजने के लिए अंतरिक्ष यान पर कितनी ऊर्जा खर्च करनी होगी? अंतरिक्ष यान का द्रव्यमान $= 1000 \; kg$,सूर्य का द्रव्यमान $= 2 \times 10^{30} \; kg$,मंगल का द्रव्यमान $= 6.4 \times 10^{23} \; kg$,मंगल की त्रिज्या $= 3395 \; km$,मंगल की कक्षा की त्रिज्या $= 2.28 \times 10^{8} \; km$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^{2} kg^{-2}$.

$m$ द्रव्यमान की एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से $\sqrt{3} v_e$ की गति से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,जहाँ $v_e$ पृथ्वी की सतह से पलायन वेग है। वस्तु का अंतिम वेग क्या होगा?

पृथ्वी से किसी पिंड का पलायन वेग $11.2 \,km/s$ है। यदि किसी ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की एक-तिहाई और द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का एक-छठा भाग हो, तो उस ग्रह से पलायन वेग क्या होगा ($\,km/s$ में)?