Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $E = \cos^2 \phi + \cos^2(\theta + \phi) - 2 \cos \theta \cos \phi \cos(\theta + \phi)$.
નિત્યસમ $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1 + \cos 2\phi}{2} + \frac{1 + \cos 2(\theta + \phi)}{2} - \cos \theta [\cos(2\phi + \theta) + \cos \theta]$
$E = 1 + \frac{1}{2} [\cos 2\phi + \cos(2\phi + 2\theta)] - \cos \theta \cos(2\phi + \theta) - \cos^2 \theta$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 1 + \cos(2\phi + \theta) \cos \theta - \cos \theta \cos(2\phi + \theta) - \cos^2 \theta$
$E = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
પરિણામ $\sin^2 \theta$ હોવાથી,આ પદાવલિ $\phi$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{4 \cos^{4} \theta + \sin^{2} 2 \theta} + 4 \cot \theta \cos^{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$
$= \sqrt{4 \cos^{4} \theta + (2 \sin \theta \cos \theta)^{2}} + 2 \cot \theta \left[2 \cos^{2} \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)\right]$
$= \sqrt{4 \cos^{4} \theta + 4 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta} + 2 \cot \theta \left[1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right]$
$= \sqrt{4 \cos^{2} \theta (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)} + 2 \cot \theta (1 + \sin \theta)$
$= |2 \cos \theta| + 2 \cot \theta + 2 \cot \theta \sin \theta$
$= |2 \cos \theta| + 2 \cot \theta + 2 \cos \theta$
અહીં $\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ હોવાથી,$\cos \theta < 0$,તેથી $|2 \cos \theta| = -2 \cos \theta$.
$= -2 \cos \theta + 2 \cot \theta + 2 \cos \theta$
$= 2 \cot \theta$

(D) આપેલ છે કે $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ એ સામાન્ય તફાવત $\theta$ સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $\alpha_{i+1} - \alpha_i = \theta$.
શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_i = \sec \alpha_i \sec \alpha_{i+1} = \frac{1}{\cos \alpha_i \cos \alpha_{i+1}}$ છે.
આપણે લખી શકીએ કે $T_i = \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{\sin(\alpha_{i+1} - \alpha_i)}{\cos \alpha_i \cos \alpha_{i+1}} = \operatorname{cosec} \theta (\tan \alpha_{i+1} - \tan \alpha_i)$.
શ્રેણીનો સરવાળો $S = \sum_{i=1}^{n-1} T_i = \operatorname{cosec} \theta \sum_{i=1}^{n-1} (\tan \alpha_{i+1} - \tan \alpha_i)$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $S = \operatorname{cosec} \theta (\tan \alpha_n - \tan \alpha_1)$.
$k(\tan \alpha_n - \tan \alpha_1)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \operatorname{cosec} \theta$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $k$ માટે $\sin(k\pi) = 0$ થાય છે.
આપેલ શ્રેણી $E = \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right)$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$n=1: \sin \left(\frac{\pi}{720}\right)$
$n=2: \sin \left(\frac{\pi}{360}\right)$
$n=3: \sin \left(\frac{\pi}{120}\right)$
$n=4: \sin \left(\frac{\pi}{30}\right)$
$n=5: \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$
$n=6: \sin(\pi) = 0$
બધા $n \ge 6$ માટે,$n!$ એ $720$ નો ગુણક છે,તેથી $\sin \left(\frac{n! \pi}{720}\right) = 0$ થાય છે.
આમ,સરવાળો $\sin \left(\frac{\pi}{720}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{360}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{120}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{30}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{6}\right)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$ અને $y = \sin x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $x \in [-2\pi, 2\pi]$ માટે $\sin x = \frac{1}{2}$ ઉકેલીએ.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ એ $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5\pi}{6}$ પર મળે છે.
અંતરાલ $[-2\pi, 0]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ એ $x = -2\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$ અને $x = -\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$ પર મળે છે.
આમ,ઉકેલો $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}\}$ છે.
આમ,કુલ $4$ છેદબિંદુઓ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \tan 2 \theta + \tan 3 \theta = 0$.
કારણ કે $3 \theta = \theta + 2 \theta$,તેથી $\tan 3 \theta = \tan (\theta + 2 \theta) = \frac{\tan \theta + \tan 2 \theta}{1 - \tan \theta \cdot \tan 2 \theta}$.
$\tan \theta + \tan 2 \theta = -\tan 3 \theta$ અને $\tan \theta \cdot \tan 2 \theta = k$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan 3 \theta = \frac{-\tan 3 \theta}{1 - k}$.
$\tan 3 \theta \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $\tan 3 \theta$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{-1}{1 - k}$.
$1 - k = -1$.
$k = 2$.

(A) આપેલ છે: $\sin A = \sin^2 B$ અને $2 \cos^2 A = 3 \cos^2 B$.
$A$ અને $B$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin A, \sin B, \cos A, \cos B > 0$.
બીજા સમીકરણમાં $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ અને $\cos^2 B = 1 - \sin^2 B$ મૂકતા:
$2(1 - \sin^2 A) = 3(1 - \sin^2 B)$.
$\sin^2 B = \sin A$ મૂકતા:
$2 - 2 \sin^2 A = 3(1 - \sin A) = 3 - 3 \sin A$.
$2 \sin^2 A - 3 \sin A + 1 = 0$.
$(2 \sin A - 1)(\sin A - 1) = 0$.
તેથી,$\sin A = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin A = 1$.
$A$ લઘુકોણ હોવાથી,$\sin A = 1$ નો અર્થ $A = \frac{\pi}{2}$ થાય,જે લઘુકોણ નથી.
તેથી,$\sin A = \frac{1}{2}$,જે $A = \frac{\pi}{6}$ આપે છે.
પછી $\sin^2 B = \sin A = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ($B$ લઘુકોણ હોવાથી).
તેથી,$B = \frac{\pi}{4}$.
ઉકેલ $(A, B) = \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(\sin x - x)(\cos x - x^2) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin x = x$ અથવા $\cos x = x^2$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\sin x = x$,માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 0$ છે.
બીજા ભાગ માટે,$\cos x = x^2$,આપણે $y = \cos x$ અને $y = x^2$ ના આલેખ જોઈએ.
$x = 0$ આગળ,$\cos(0) = 1$ અને $0^2 = 0$,તેથી આ ભાગ માટે $x=0$ ઉકેલ નથી.
જેમ જેમ $x$ એ $0$ થી $\pi$ તરફ જાય છે,$\cos x$ એ $1$ થી $-1$ સુધી ઘટે છે,અને $x^2$ એ $0$ થી $\pi^2$ સુધી વધે છે,તેથી અંતરાલ $(0, 1)$ માં બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
સંમિતિને કારણે,અંતરાલ $(-1, 0)$ માં પણ બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
આમ,$\cos x = x^2$ ના $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.
પ્રથમ ભાગના $x = 0$ ઉકેલને ઉમેરતા,કુલ વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $1 + 2 = 3$ થાય છે.

(A) આપણે ગણ $\{x \in R: |\cos x| \geq \sin x\}$ નો અંતરાલ $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ સાથેનો છેદગણ શોધવાનો છે.
અંતરાલ $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ માં $y = |\cos x|$ અને $y = \sin x$ ના આલેખને ધ્યાનમાં લો.
$1$. અંતરાલ $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ માં,$\cos x \geq \sin x$ છે,તેથી $|\cos x| \geq \sin x$ સાચું છે.
$2$. અંતરાલ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$ માં,$\sin x > \cos x$ છે,તેથી $|\cos x| < \sin x$ થાય.
$3$. અંતરાલ $\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ માં,$\cos x$ ઋણ છે,તેથી $|\cos x| = -\cos x$ થાય. આમ,$-\cos x \geq \sin x$ એટલે કે $\cos x + \sin x \leq 0$ થાય,જે $x \in \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ માટે સાચું છે.
આમ,ઉકેલ $\left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$. વળી,$\cot \frac{4 \pi}{5} = -\cot \frac{\pi}{5}$.
આપેલ પદાવલિને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\cot \frac{\pi}{5}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $S = \cos \frac{2 \pi}{7} + \cos \frac{4 \pi}{7} + \cos \frac{6 \pi}{7}$.
$2 \sin \frac{\pi}{7}$ વડે ગુણતા:
$2 \sin \frac{\pi}{7} S = 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} + 2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{6 \pi}{7}$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) - \sin(B-A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \frac{\pi}{7} S = (\sin \frac{3 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}) + (\sin \frac{5 \pi}{7} - \sin \frac{3 \pi}{7}) + (\sin \frac{7 \pi}{7} - \sin \frac{5 \pi}{7})$.
$\sin \frac{7 \pi}{7} - \sin \frac{\pi}{7}$ સિવાયના તમામ પદો ઉડી જાય છે.
$\sin \pi = 0$ હોવાથી,આપણને $2 \sin \frac{\pi}{7} S = -\sin \frac{\pi}{7}$ મળે છે.
$\sin \frac{\pi}{7} \neq 0$ હોવાથી,$S = -\frac{1}{2}$.
આમ,સરવાળો એક ઋણ સંખ્યા છે.

(A, C) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,વિધેય $f(x) = \cos x$ એ ઘટતું વિધેય છે.
$(a)$ $\frac{\theta}{2} < \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{\theta}{2} > \cos \theta$ થાય. તેથી $(\cos \theta)^{1/2} \leq \cos \frac{\theta}{2}$ સાચું છે.
$(b)$ $\frac{3\theta}{4} < \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{3\theta}{4} > \cos \theta$ થાય. તેથી $(\cos \theta)^{3/4} < \cos \frac{3\theta}{4}$ થાય,જે ખોટું છે.
$(c)$ $\frac{5\theta}{6} < \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{5\theta}{6} > \cos \theta$ થાય. તેથી $\cos \frac{5\theta}{6} > (\cos \theta)^{5/6}$ સાચું છે.
$(d)$ $\frac{7\theta}{8} < \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{7\theta}{8} > \cos \theta$ થાય. તેથી $\cos \frac{7\theta}{8} > (\cos \theta)^{7/8}$ થાય,જે ખોટું છે.

(A) આપેલ છે: $\frac{\tan(A-B)}{\tan A} + \frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}A} = 1$
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A - \tan B}{\tan A(1 + \tan A \tan B)} + \frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}A} = 1$
ધારો કે $\tan A = x, \tan B = y, \tan C = z$.
$\sin^{2}C = \frac{z^{2}}{1 + z^{2}}$ અને $\sin^{2}A = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ લેતા:
$\frac{x-y}{x(1+xy)} + \frac{z^{2}(1+x^{2})}{x^{2}(1+z^{2})} = 1$
સાદુરૂપ આપતા:
$z^{2} = xy$
$\therefore \tan^{2}C = \tan A \cdot \tan B$
આમ,$\tan A, \tan C, \tan B$ એ $G$.$P$. માં છે.

(C) આપેલ છે કે $\cot x = \frac{5}{12}$ અને $x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$,તેથી $\cos x = -\frac{5}{13}$ અને $\sin x = -\frac{12}{13}$.
$\frac{x}{2} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$ હોવાથી,$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$ અને $\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.
આપેલ પદાવલિ: $\cos(7x - \frac{13x}{2}) + \sin(7x - \frac{13x}{2}) = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$.
કિંમત મૂકતા: $-\frac{2}{\sqrt{13}} + \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$.

(C) ધારો કે $E = \frac{\sqrt{3}\text{cosec } 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\sqrt{3}\text{cosec } 20^{\circ}-\sec 20^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}\cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}} = \frac{2\sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}} = \frac{2\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$E = \frac{2\sin 40^{\circ} / (\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ})}{1/16} = \frac{4\sin 40^{\circ} / \sin 40^{\circ}}{1/16} = 4 \times 16 = 64$.

(A) આપેલ છે $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ અને $\cot \theta = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $\sin (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta + \sin (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta + \cos (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta - \cos (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta$.
પદોને ગોઠવતા: $(\cos (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta + \sin (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta) + (\sin (\frac{15 \theta}{2}) \cos 8 \theta - \cos (\frac{15 \theta}{2}) \sin 8 \theta)$.
નિત્યસમ $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ અને $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos (8 \theta - \frac{15 \theta}{2}) + \sin (\frac{15 \theta}{2} - 8 \theta) = \cos (\frac{\theta}{2}) - \sin (\frac{\theta}{2})$.
$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ હોવાથી,$\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $\sin (\frac{\theta}{2}) > \cos (\frac{\theta}{2})$,તેથી $\cos (\frac{\theta}{2}) - \sin (\frac{\theta}{2}) < 0$.
પદાવલિનો વર્ગ કરતા: $(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2 = 1 - \sin \theta$.
આપેલ $\cot \theta = -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ પરથી,$\sin \theta = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2 = 1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} = \frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{3}$.
વર્ગમૂળ લેતા,પદાવલિ ઋણ હોવાથી: $\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} = -\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ પદ: $\frac{1}{\sin 10^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}$
$= \frac{\cos 10^{\circ} - \sqrt{3} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\frac{1}{2} \cos 10^{\circ} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$= \frac{2(\sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ} - \cos 30^{\circ} \sin 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin(30^{\circ} - 10^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}} = \frac{2 \sin 20^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin 20^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 20^{\circ}} = 4$

(C) આપેલ પદાવલિ $2(\cos^8 \theta - \sin^8 \theta) \sec 2\theta = a^2$ છે.
વર્ગોના તફાવતનો ઉપયોગ કરતા,$\cos^8 \theta - \sin^8 \theta = (\cos^4 \theta - \sin^4 \theta)(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = \cos 2\theta (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$ થાય.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $2 \cos 2\theta (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) \cdot \frac{1}{\cos 2\theta} = 2(\cos^4 \theta + \sin^4 \theta) = a^2$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta$ થાય.
તેથી,$a^2 = 2(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta) = 2 - \sin^2 2\theta$ થાય.
ચૂકી $0 \le \sin^2 2\theta \le 1$ છે,તેથી $2 - 1 \le a^2 \le 2 - 0$,એટલે કે $1 \le a^2 \le 2$ મળે.
ચૂકી $a \in \mathbb{Z}$ છે,તેથી $a^2$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ. $[1, 2]$ અંતરાલમાં માત્ર $1$ જ પૂર્ણ વર્ગ છે.
તેથી,$a^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$ અથવા $a = -1$.
આમ,ગણ $S$ માં $2$ ઘટકો છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x - 2 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 2)(x - 1) = 0$.
આથી બીજ $x = 1$ અને $x = -2$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે $(\tan \beta)^{1020}$ એ આ સમીકરણનું બીજ છે.
કારણ કે $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$,તેથી $\tan \beta > 0$,અને $(\tan \beta)^{1020}$ ધન હોવું જોઈએ.
તેથી,$(\tan \beta)^{1020} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan \beta = 1$,એટલે કે $\beta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $45^\circ$.
હવે,આપણે $\sin^2 \beta + 3 \cos^2 \beta$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\beta = 45^\circ$ મૂકતા: $\sin^2(45^\circ) + 3 \cos^2(45^\circ) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 3(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.
$= \frac{1}{2} + 3(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\tan \theta - \tan \phi = \frac{\sin(\theta - \phi)}{\cos \theta \cos \phi}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$B = \tan 81^\circ - \tan 3^\circ$ માટે,આપણને મળે $B = \frac{\sin(81^\circ - 3^\circ)}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ} = \frac{\sin 78^\circ}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ}$.
$\sin x = \cos(90^\circ - x)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$B = \frac{\cos 12^\circ}{\cos 81^\circ \cos 3^\circ}$ મળે.
હવે $A$ ના પદોને ધ્યાનમાં લો. $\frac{\sin x}{\cos 3x} = \frac{\tan 3x - \tan x}{2 \cos 2x}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આ પદોનો સરવાળો કરતા $A = B$ મળે છે.
તેથી,$\frac{B}{A} = 1$ થાય.