Mean and Median Questions in Gujarati

(B) મૂળ સમૂહમાં $19$ અવલોકનો છે,તેથી ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા મધ્યસ્થ $10$મું અવલોકન છે.
જ્યારે $8$ અને $32$ એમ બે નવા અવલોકનો ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $21$ થાય છે.
નવો મધ્યસ્થ $\frac{21+1}{2} = 11$મું અવલોકન હશે.
કારણ કે $8 < 30$ અને $32 > 30$ છે,તેથી મૂળ $10$મું અવલોકન (જે $30$ છે) નવા સમૂહનો પણ મધ્યસ્થ રહેશે,કારણ કે એક નાની કિંમત ડાબી બાજુ અને એક મોટી કિંમત જમણી બાજુ ઉમેરાય છે,જે મધ્યસ્થનું સ્થાન બદલે છે પણ કિંમત સમાન રાખે છે.

(A) ધારો કે દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું વજન $W$ છે.
ભારિત મધ્યકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{ભારિત મધ્યક} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (i \times W)}{\sum_{i=1}^{n} W}$
$= \frac{W(1 + 2 + 3 + ... + n)}{n \times W}$
$= \frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n}$
$= \frac{n + 1}{2}$

(D) ભારિત મધ્યક $(W.M.)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W.M. = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) અહીં $N = \Sigma f_i = 4 + 5 + 6 + 10 + 20 = 45$.
$\Sigma f_i x_i = (5 \times 4) + (8 \times 5) + (11 \times 6) + (14 \times 10) + (17 \times 20)$
$= 20 + 40 + 66 + 140 + 340 = 606$.
$\therefore \bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{606}{45} = 13.466... \approx 13.47$.

(B) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(c.f.)$ ગણીએ:

વર્ગ	$f_i$	$c.f.$
$0 - 10$	$8$	$8$
$10 - 20$	$30$	$38$
$20 - 30$	$40$	$78$
$30 - 40$	$12$	$90$
$40 - 50$	$10$	$100$

અહીં,$N = 100$,તેથી $\frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50$.
$50$ થી મોટી સંચયી આવૃત્તિ $78$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $20 - 30$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $20 - 30$ છે.
અહીં,$l = 20$,$f = 40$,$F = 38$,અને $h = 10$.
મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h$
$= 20 + \left( \frac{50 - 38}{40} \right) \times 10$
$= 20 + \left( \frac{12}{40} \right) \times 10$
$= 20 + 3 = 23$.

(B) ભારિત મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$ છે.
આપેલ ભાર $(w_i)$ $2, 1, 1, 2$ છે અને ગુણ $(x_i)$ $60, 70, 70, 80$ છે.
ભારિત મધ્યક $= \frac{(2 \times 60) + (1 \times 70) + (1 \times 70) + (2 \times 80)}{2 + 1 + 1 + 2}$.
$= \frac{120 + 70 + 70 + 160}{6}$.
$= \frac{420}{6} = 70$.

(B) આપેલ છે કે $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ નો મધ્યક $20$ છે,તેથી:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_{10}}{10} = 20 \implies \sum_{i=1}^{10} x_i = 200$
નવા અવલોકનોનો સમૂહ $(x_1 + 4), (x_2 + 8), \dots, (x_{10} + 40)$ છે.
નવા સમૂહનો મધ્યક:
$\text{મધ્યક} = \frac{(x_1 + 4) + (x_2 + 8) + \dots + (x_{10} + 40)}{10}$
$\text{મધ્યક} = \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_{10}) + (4 + 8 + \dots + 40)}{10}$
$\text{મધ્યક} = \frac{\sum x_i}{10} + \frac{4(1 + 2 + \dots + 10)}{10}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55$ મળે.
$\text{મધ્યક} = 20 + \frac{4 \times 55}{10} = 20 + \frac{220}{10} = 20 + 22 = 42$.

(C) બે શ્રેણીઓ જેના મધ્યકો $\bar{X}_1$ અને $\bar{X}_2$ હોય અને કદ $n_1$ અને $n_2$ હોય,તેનો સંયુક્ત મધ્યક $\bar{X}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\bar{X} = \frac{n_1 \bar{X}_1 + n_2 \bar{X}_2}{n_1 + n_2}$
કારણ કે $\bar{X}$ એ $\bar{X}_1$ અને $\bar{X}_2$ ની ભારિત સરેરાશ છે,તેથી તે આ બે મૂલ્યોની વચ્ચે જ હોય.
આપેલ છે કે $\bar{X}_1 < \bar{X}_2$,તેથી $\bar{X}_1 < \bar{X} < \bar{X}_2$ થાય.

(C) ધારો કે દરેક વિદ્યાર્થીની ઉંમર $x$ વર્ષ છે. તો શિક્ષકની ઉંમર $(x + 20)$ વર્ષ થાય.
સરેરાશ ઉંમર માટેનું સૂત્ર:
$\frac{(x + 20) + 3x}{4} = 20$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$4x + 20 = 80$
$4x = 60$
$x = 15$
આથી,શિક્ષકની ઉંમર $x + 20 = 15 + 20 = 35$ વર્ષ થાય.

(B) ભારિત મધ્યક $\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} i \cdot i^2}{\sum_{i=1}^{n} i^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} i^3}{\sum_{i=1}^{n} i^2}$ થાય છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum i^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ અને $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{x}_w = \frac{[n(n+1)/2]^2}{n(n+1)(2n+1)/6} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \cdot \frac{6}{n(n+1)(2n+1)}$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\bar{x}_w = \frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}$ મળે છે.

(C) ધારો કે માણસ દરેક પ્રકારની પેન ખરીદવા માટે $x$ Rs ખર્ચે છે.
$5$ Rs/પેન ના દરે ખરીદેલ પેનની સંખ્યા $\frac{x}{5}$ છે.
$10$ Rs/પેન ના દરે ખરીદેલ પેનની સંખ્યા $\frac{x}{10}$ છે.
$20$ Rs/પેન ના દરે ખરીદેલ પેનની સંખ્યા $\frac{x}{20}$ છે.
કુલ ખર્ચ = $x + x + x = 3x$.
પેનની કુલ સંખ્યા = $\frac{x}{5} + \frac{x}{10} + \frac{x}{20} = \frac{4x + 2x + x}{20} = \frac{7x}{20}$.
પેન દીઠ સરેરાશ કિંમત = $\frac{\text{કુલ ખર્ચ}}{\text{પેનની કુલ સંખ્યા}} = \frac{3x}{\frac{7x}{20}} = 3x \times \frac{20}{7x} = \frac{60}{7}$ Rs/પેન.

(D) ધારો કે $n$ સંખ્યાઓનો ગણ $x_1, x_2, ..., x_n$ છે.
મધ્યક $\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો દરેક સંખ્યામાંથી $\lambda$ બાદ કરવામાં આવે,તો નવો ગણ $(x_1 - \lambda), (x_2 - \lambda), ..., (x_n - \lambda)$ બને છે.
નવો મધ્યક $\bar x_{new} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \lambda)$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \lambda) = \frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i - n\lambda)$ થાય છે.
આમ,$\bar x_{new} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i - \frac{n\lambda}{n} = \bar x - \lambda$.

(D) $n$ યુગ્મ અવલોકનો ધરાવતી શ્રેણી માટે,માહિતીને પ્રથમ ચડતા કે ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે.
જ્યારે $n$ યુગ્મ હોય,ત્યારે શ્રેણીમાં બે મધ્યના પદો હોય છે જે $(\frac{n}{2})$-માં અને $(\frac{n}{2}+1)$-માં સ્થાને હોય છે.
મધ્યસ્થ આ બે મધ્યના પદોના સરેરાશ (મધ્યક) તરીકે ગણવામાં આવે છે.
તેથી,$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{(\frac{n}{2}\text{-મું પદ}) + ((\frac{n}{2}+1)\text{-મું પદ})}{2}$.

(C) સંખ્યાઓના સમૂહનો મધ્યક એ સંખ્યાઓના સરવાળાને સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
બીજા સમૂહ માટે,સંખ્યાઓનો સરવાળો $130 + 126 + 68 + 50 + 1 = 375$ છે.
સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $5$ છે.
તેથી,મધ્યક $\frac{375}{5} = 75$ થાય.

(B) પાંચ અવલોકનોનો મધ્યક નીચે મુજબ છે:
$\frac{x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8)}{5} = 11$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{5x + 20}{5} = 11$
$x + 4 = 11$
$x = 7$
છેલ્લા ત્રણ અવલોકનો $(x + 4), (x + 6)$ અને $(x + 8)$ છે.
$x = 7$ મૂકતા,આ અવલોકનો $11, 13$ અને $15$ મળે છે.
છેલ્લા ત્રણ અવલોકનોનો મધ્યક:
$\frac{11 + 13 + 15}{3} = \frac{39}{3} = 13$

(B) કોઈપણ વિતરણનું સરેરાશ વિચલન ત્યારે ન્યૂનતમ હોય છે જ્યારે તે મધ્યસ્થની સાપેક્ષે લેવામાં આવે.
અહીં અવલોકનો $x_1 < x_2 < \dots < x_{101}$ આપેલા છે,જ્યાં કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $n = 101$ છે.
$n$ અવલોકનોનો મધ્યસ્થ એ $\left( \frac{n+1}{2} \right)$ મુ અવલોકન છે.
$n = 101$ માટે,મધ્યસ્થ એ $\left( \frac{101+1}{2} \right) = 51$ મુ અવલોકન છે.
તેથી,$k = x_{51}$.

(B) આપેલ છે કે $x_1, x_2, ......., x_n$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ છે.
ધારો કે નવી શ્રેણી $y_i = x_i + 2i$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, ......., n$.
નવી શ્રેણીનો મધ્યક $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i + 2i)$ થશે.
$\bar{y} = \frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i + 2 \sum_{i=1}^{n} i)$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{y} = \frac{\sum x_i}{n} + \frac{2}{n} \times \frac{n(n+1)}{2}$.
$\bar{y} = \bar{x} + (n+1)$.

(A) સૌ પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક તૈયાર કરીએ:

મેળવેલ ગુણ	આવૃત્તિ $(f)$	સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$
$0-10$	$2$	$2$
$10-20$	$18$	$20$
$20-30$	$30$	$50$
$30-40$	$45$	$95$
$40-50$	$35$	$130$
$50-60$	$20$	$150$
$60-70$	$6$	$156$
$70-80$	$3$	$159$

અહીં,$N = \sum f = 159$.
આપણે $\frac{N}{2} = \frac{159}{2} = 79.5$ ગણીએ.
$79.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $95$ છે,જે વર્ગ $30-40$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $30-40$ છે.
અહીં,$l = 30$,$f = 45$,$cf = 50$,અને $h = 10$.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
$\text{Median} = 30 + \left( \frac{79.5 - 50}{45} \right) \times 10$
$\text{Median} = 30 + \left( \frac{29.5}{45} \right) \times 10 = 30 + \frac{295}{45} = 36.56$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક $\mu$ ની વ્યાખ્યા $\mu = \frac{\sum f_i y_i}{\sum f_i}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sum f_i y_i = \mu \sum f_i$.
હવે,પદ $\sum f_i(y_i - \mu)$ ને ધ્યાનમાં લો.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\sum f_i y_i - \sum f_i \mu$ મળે છે.
$\mu$ અચળ હોવાથી,આ $\sum f_i y_i - \mu \sum f_i$ બને છે.
$\sum f_i y_i = \mu \sum f_i$ મૂકતા,આપણને $\mu \sum f_i - \mu \sum f_i = 0$ મળે છે.

(C) શ્રેણીમાં $34$ પદો છે. મધ્યસ્થ એ $17$ માં અને $18$ માં પદની સરેરાશ છે.
આપેલ છે કે $x_1 = x_2 = \dots = x_{10} = 150$.
$i \ge 10$ માટે,શ્રેણી $x_{i+1} = x_i - 2$ ને અનુસરે છે,જે સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = x_{10} = 150$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ છે.
આ શ્રેણીનું $n$ મું પદ ($i=10$ થી શરૂ કરીને) $x_{10+k} = 150 + k(-2)$ છે.
$17$ માં પદ માટે,$10+k = 17 \implies k = 7$,તેથી $x_{17} = 150 + 7(-2) = 136$.
$18$ માં પદ માટે,$10+k = 18 \implies k = 8$,તેથી $x_{18} = 150 + 8(-2) = 134$.
મધ્યસ્થ $\frac{x_{17} + x_{18}}{2} = \frac{136 + 134}{2} = \frac{270}{2} = 135$ છે.

(B) ભારિત $A.M.$ નું સૂત્ર $\frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$ છે.
અહીં,ભાર $(w_i)$ $2, 1, 1, 2$ છે અને ગુણ $(x_i)$ $60, 70, 70, 80$ છે.
ભારિત $A.M. = \frac{(2 \times 60) + (1 \times 70) + (1 \times 70) + (2 \times 80)}{2 + 1 + 1 + 2}$
$= \frac{120 + 70 + 70 + 160}{6}$
$= \frac{420}{6} = 70$.

(B) સૌ પ્રથમ,ડેટાને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો અને સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ની ગણતરી કરો:

ઊંચાઈ ($cm$ માં)	$150$	$152$	$154$	$155$	$156$	$160$	$161$
વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(f)$	$8$	$4$	$3$	$7$	$3$	$12$	$4$
સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$	$8$	$12$	$15$	$22$	$25$	$37$	$41$

અહીં,અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $N = 41$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
મધ્યસ્થ એ $\left(\frac{N+1}{2}\right)$ માં અવલોકનનું મૂલ્ય છે.
મધ્યસ્થ $= \left(\frac{41+1}{2}\right) = 21$ મું અવલોકન.
સંચયી આવૃત્તિ કોષ્ટક પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $21$ મું અવલોકન $155$ ની ઊંચાઈમાં આવે છે (કારણ કે $154$ માટે $cf$ $15$ છે અને $155$ માટે $cf$ $22$ છે).
આમ,મધ્યસ્થ $155$ છે.

(D) $13$ અવલોકનોના સમૂહ માટે જે ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે,મધ્યસ્થ એ $7^{th}$ અવલોકન છે.
ધારો કે અવલોકનો $x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_7 \ge \dots \ge x_{13}$ છે.
મધ્યસ્થ $x_7 = 18.6$ છે.
જ્યારે પ્રથમ બે અવલોકનો $(x_1, x_2)$ માં વધારો થાય છે અને છેલ્લા ત્રણ અવલોકનો $(x_{11}, x_{12}, x_{13})$ માં ઘટાડો થાય છે,ત્યારે $7^{th}$ અવલોકનનો સાપેક્ષ ક્રમ પ્રભાવિત થતો નથી કારણ કે ફેરફારો ક્રમબદ્ધ યાદીના અંતિમ છેડા પર થાય છે.
તેથી,$7^{th}$ અવલોકન સમાન રહેતું હોવાથી,મધ્યસ્થ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) ધારો કે $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ એ $n$ અવલોકનો છે,તો મૂળ મધ્યક $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ છે.
ધારો કે નવા અવલોકનો $y_{i} = \frac{x_{i}}{\alpha} + 10$ છે.
નવો મધ્યક $\bar{Y}$ નીચે મુજબ મળે:
$\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_{i}}{\alpha} + 10 \right)$
$\bar{Y} = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right) + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 10$
$\bar{Y} = \frac{1}{\alpha} \bar{X} + \frac{10n}{n} = \frac{\bar{X}}{\alpha} + 10$
પદોને જોડતા,આપણને $\bar{Y} = \frac{\bar{X} + 10\alpha}{\alpha}$ મળે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ $(c.f.)$ ગણીએ:

વર્ગ	$f$	$c.f.$
$10-20$	$180$	$180$
$20-30$	$82$	$262$
$30-40$	$34$	$296$
$40-50$	$180$	$476$
$50-60$	$136$	$612$
$60-70$	$23$	$635$
$70-80$	$50$	$685$

કુલ આવૃત્તિ $N = 685$.
$\frac{N}{2} = \frac{685}{2} = 342.5$.
$342.5$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $476$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $40-50$ ને અનુરૂપ છે.
અહીં,$l = 40$,$f = 180$,$cf = 296$,અને $h = 10$.
મધ્યસ્થ $= l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h$
મધ્યસ્થ $= 40 + \left( \frac{342.5 - 296}{180} \right) \times 10$
મધ્યસ્થ $= 40 + \left( \frac{46.5}{180} \right) \times 10 = 40 + \frac{46.5}{18} = 40 + 2.5833... \approx 42.58$.

(A) આપેલ $10$ સંખ્યાઓ: $10, 22, 26, 29, 34, x, 42, 67, 70, y$ ચડતા ક્રમમાં છે.
$1$. મધ્યકની ગણતરી:
$\text{મધ્યક} = \frac{10 + 22 + 26 + 29 + 34 + x + 42 + 67 + 70 + y}{10} = 42$
$300 + x + y = 420$
$x + y = 120 \quad \dots (i)$
$2$. મધ્યસ્થની ગણતરી:
$10$ અવલોકનો માટે,મધ્યસ્થ એ $5$ માં અને $6$ ઠ્ઠા પદની સરેરાશ છે.
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{34 + x}{2} = 35$
$34 + x = 70$
$x = 36$
$3$. $y$ ની કિંમત:
સમીકરણ $(i)$ માં $x = 36$ મૂકતા:
$36 + y = 120$
$y = 84$
$4$. અંતિમ ગુણોત્તર:
$\frac{y}{x} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$

(A) આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = (x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$2x^2 + 2x - 4 = 20 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(x+4)(x-3) = 0$.
આવૃત્તિ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 3$ લેતા.
આવૃત્તિઓ: $16, 1, 0, 3$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 16) + (3 \times 1) + (5 \times 0) + (7 \times 3)}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$.

(C) ધારો કે $11$ ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં છે: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 < x_7 < x_8 < x_9 < x_{10} < x_{11}$.
આ $11$ પૂર્ણાંકોનો મધ્યસ્થ $x_6$ છે.
બાકીના $10$ પૂર્ણાંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$ છે.
આ $10$ પૂર્ણાંકોનો મધ્યસ્થ $m = \frac{x_5 + x_6}{2}$ છે.
કારણ કે $x_5 < x_6$,તેથી $x_5 < \frac{x_5 + x_6}{2} < x_6$,એટલે કે $x_5 < m < x_6$.
સૌથી મોટા પૂર્ણાંક $x_{11}$ ને $m$ દ્વારા બદલતા,નવા $11$ પૂર્ણાંકોનો ચડતો ક્રમ $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, m, x_6, x_7, x_8, x_9, x_{10}$ થશે.
નવો મધ્યસ્થ $6^{th}$ પદ છે,જે $m$ છે.
$m < x_6$ હોવાથી,મધ્યસ્થ ઘટે છે.

(D) કુલ આવૃત્તિ $N = 3 + 9 + 10 + 8 + 6 = 36$ છે.

વર્ગ	આવૃત્તિ	સંચયી આવૃત્તિ
$0-4$	$3$	$3$
$4-8$	$9$	$12$
$8-12$	$10$	$22$
$12-16$	$8$	$30$
$16-20$	$6$	$36$

$\frac{N}{2} = \frac{36}{2} = 18$ હોવાથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $8-12$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર $M = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \right) \times h$ છે,જ્યાં $l = 8$,$C = 12$,$f = 10$,અને $h = 4$.
$M = 8 + \left( \frac{18 - 12}{10} \right) \times 4 = 8 + \left( \frac{6}{10} \right) \times 4 = 8 + 2.4 = 10.4$.
તેથી,$20M = 20 \times 10.4 = 208$.

(C) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $20$ હોવાથી,આવૃત્તિઓનો સરવાળો $20$ થાય:
$(x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$
$(x^2+2x+1) + 2x - 5 + x^2 - 3x + x = 20$
$2x^2 + 2x - 4 = 20$
$2x^2 + 2x - 24 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
$(x+4)(x-3) = 0$
$x > 0$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
હવે,$x=3$ ને આવૃત્તિ વિતરણમાં મૂકતા:
ગુણ $(x_i)$: $2, 3, 5, 7$
આવૃત્તિ $(f_i)$: $16, 1, 0, 3$
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{2(16) + 3(1) + 5(0) + 7(3)}{20}$
$= \frac{32 + 3 + 0 + 21}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$

(A) આપેલ કિંમતો $\sin^2 10^{\circ}, \sin^2 20^{\circ}, \sin^2 30^{\circ}, \dots, \sin^2 90^{\circ}$ છે.
કુલ $9$ પદો છે.
સરવાળો $= \sin^2 10^{\circ} + \sin^2 20^{\circ} + \sin^2 30^{\circ} + \sin^2 40^{\circ} + \sin^2 50^{\circ} + \sin^2 60^{\circ} + \sin^2 70^{\circ} + \sin^2 80^{\circ} + \sin^2 90^{\circ}$.
$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 80^{\circ} = \cos^2 10^{\circ}$,$\sin^2 70^{\circ} = \cos^2 20^{\circ}$,$\sin^2 60^{\circ} = \cos^2 30^{\circ}$,અને $\sin^2 50^{\circ} = \cos^2 40^{\circ}$ મળે.
સરવાળો $= (\sin^2 10^{\circ} + \cos^2 10^{\circ}) + (\sin^2 20^{\circ} + \cos^2 20^{\circ}) + (\sin^2 30^{\circ} + \cos^2 30^{\circ}) + (\sin^2 40^{\circ} + \cos^2 40^{\circ}) + \sin^2 90^{\circ}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ અને $\sin 90^{\circ} = 1$ હોવાથી,
સરવાળો $= 1 + 1 + 1 + 1 + (1)^2 = 5$.
મધ્યક $= \frac{\text{કુલ સરવાળો}}{\text{પદોની સંખ્યા}} = \frac{5}{9}$.

(D) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = 10$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનને $2$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે નવા અવલોકનો $2x_1, 2x_2, 2x_3, \ldots, 2x_n$ બને છે.
નવો મધ્યક $\bar{x}_{new} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (2x_i)}{n} = 2 \times \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right)$.
મૂળ મધ્યકની કિંમત મૂકતા,$\bar{x}_{new} = 2 \times 10 = 20$ મળે છે.

(B) ધારો કે $n$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ છે.
આ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ છે.
જ્યારે દરેક સંખ્યાને $5$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે નવી સંખ્યાઓ $\frac{x_1}{5}, \frac{x_2}{5}, \ldots, \frac{x_n}{5}$ બને છે.
આ નવા સમૂહનો મધ્યક $\frac{X}{5}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{\frac{x_1}{5} + \frac{x_2}{5} + \ldots + \frac{x_n}{5}}{n} = \frac{X}{5}$.
$\frac{1}{5} \left( \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \right) = \frac{X}{5}$.
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = X$ મળે છે.
આમ,મૂળ $n$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $X$ છે.

(C) આપેલ માહિતી: $12, 14, 20, 23, 25, 32$
મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{12 + 14 + 20 + 23 + 25 + 32}{6}$
$\bar{x} = \frac{126}{6} = 21$
તેથી,મધ્યક $21$ છે.

(B) $n$ અવલોકનોના મધ્યકનું સૂત્ર $\text{Mean} = \frac{\sum x_i}{n}$ છે.
અહીં અવલોકનો $8, 6, 7, 5, x, 4$ છે અને મધ્યક $7$ છે.
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 6$.
$\frac{8 + 6 + 7 + 5 + x + 4}{6} = 7$
$\frac{30 + x}{6} = 7$
$30 + x = 42$
$x = 42 - 30$
$x = 12$
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે સંખ્યા $i$ એ $i = 1, 2, \ldots, n$ માટે $i$ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે.
અવલોકનોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} i \times i = \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
મધ્યક $\bar{X}$ એ અવલોકનોના સરવાળા અને કુલ અવલોકનોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$\bar{X} = \frac{\sum i^2}{\sum i} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$.