Complement of a Set Questions in Gujarati

(D) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ થાય.
તેથી,$A \cap (A \cap B)^c = A \cap (A^c \cup B^c)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(A \cap A^c) \cup (A \cap B^c)$ મળે.
કારણ કે $A \cap A^c = \phi$,તેથી પદાવલિ $\phi \cup (A \cap B^c) = A \cap B^c$ બને છે.

(C) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \cup B)' = A' \cap B'$.
તેથી,$A \cap (A \cup B)' = A \cap (A' \cap B')$.
ગણના જૂથના નિયમ (associative law) મુજબ,આને $(A \cap A') \cap B'$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $A \cap A' = \phi$,તેથી $\phi \cap B' = \phi$ થાય.
આમ,$A \cap (A \cup B)' = \phi$.

(B) ગણના પૂરક ગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$A'$ માં સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે $A$ માં નથી.
તેથી,ગણ $A$ અને તેના પૂરક ગણ $A'$ નો યોગગણ $A$ ના તમામ ઘટકો અને $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ કરે છે જે $A$ માં નથી,જે પરિણામે સાર્વત્રિક ગણ $U$ આપે છે.
આમ,$A \cup A' = U$.

(C) વેન આકૃતિ પરથી,ગણ $\{ (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A) \}$ એવા ઘટકો દર્શાવે છે જે ગણ $A, B,$ અથવા $C$ માંથી માત્ર એકમાં હોય,અથવા જે માત્ર બે ગણમાં હોય.
ચોક્કસ રીતે,પ્રદેશ $\{ (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A) \}$ એ $A \cup B \cup C$ ના તમામ ભાગોને આવરી લે છે,સિવાય કે મધ્યના છેદ પ્રદેશ $A \cap B \cap C$ ને.
તેથી,સાર્વત્રિક ગણ $U = A \cup B \cup C$ માં આ ગણનો પૂરક ગણ એ મધ્યનો પ્રદેશ પોતે જ છે.
આમ,$\{ (A - B) \cup (B - C) \cup (C - A) \}' = A \cap B \cap C$.

(B) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,બે ગણના છેદગણનો પૂરક ગણ એ તેમના પૂરક ગણના યોગગણ બરાબર હોય છે.
આમ,$(A \cap B)' = A' \cup B'$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ અને $B$ ના યોગગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cup B) = 12 + 9 - 4 = 17$
હવે,આપણે સાર્વત્રિક ગણ $U$ નો ઉપયોગ કરીને $(A \cup B)$ ના પૂરકગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા શોધીએ:
$n((A \cup B)^C) = n(U) - n(A \cup B)$
$n((A \cup B)^C) = 20 - 17 = 3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ઘટના $A$ ન બને તેની સંભાવના પૂરક ઘટનાના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$P(\text{not } A) = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
અહીં $P(A) = 0.38$ આપેલ છે,
તેથી $P(\bar{A}) = 1 - 0.38 = 0.62$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,$P(\bar{E}) = 1 - P(E)$.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.65$,તેથી $P(\bar{A}) = 1 - 0.65 = 0.35$.
આપેલ છે કે $P(B) = 0.15$,તેથી $P(\bar{B}) = 1 - 0.15 = 0.85$.
તેથી,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 0.35 + 0.85 = 1.2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.25$ અને $P(A \cap B) = 0.14$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(A \cap \bar{B}) = 0.25 - 0.14 = 0.11$ મળે છે.
$0.11$ એ વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં આપેલ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cap \overline{B})$ એ ઘટના $A$ બને અને ઘટના $B$ ન બને તેની સંભાવના દર્શાવે છે.
આને $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
આપેલ છે કે $P(A) = 0.25$ અને $P(A \cap B) = 0.14$.
કિંમતો મૂકતા: $P(A \cap \overline{B}) = 0.25 - 0.14 = 0.11$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $B$ નો ઉપગણ નથી $(A \not\subseteq B)$.
આનો અર્થ એ છે કે ઓછામાં ઓછો એક ઘટક $x$ એવો અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે $x \in A$ અને $x \notin B$.
$x \notin B$ હોવાથી,$x \in B^c$ થાય (જ્યાં $B^c$ એ $X$ માં $B$ નો પૂરકગણ છે).
આમ,$x \in A \cap B^c$.
$A$ અને $B^c$ ના છેદગણમાં ઓછામાં ઓછો એક ઘટક હોવાથી,$A$ અને $B^c$ પરસ્પર અલગ નથી.

(D) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$A \cap (A^c \cup B^c)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(A \cap A^c) \cup (A \cap B^c)$
કારણ કે $A \cap A^c = \phi$:
$\phi \cup (A \cap B^c) = A \cap B^c$.

(B) ગણના તફાવતની વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $A - B$ માં એવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે $A$ માં હોય પરંતુ $B$ માં ન હોય.
આ $A$ અને $B$ ના પૂરક ગણના છેદગણ જેટલું છે.
તેથી,$A - B = A \cap \bar{B}$.

(B) ગણ સિદ્ધાંતમાં ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,બે ગણના છેદગણનો પૂરક ગણ એ તેમના પૂરક ગણોના યોગગણ બરાબર હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $(A \cap B)' = A' \cup B'$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ગણ તફાવત $A - B$ એ એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં હોય પણ $B$ માં ન હોય.
$1$. $A - B = A \cap B'$ એ પ્રમાણિત નિત્યસમ છે.
$2$. $A - (A \cap B) = A \cap (A \cap B)' = A \cap (A' \cup B') = (A \cap A') \cup (A \cap B') = \emptyset \cup (A \cap B') = A \cap B'$. તેથી,$A - B = A - (A \cap B)$ સાચું છે.
$3$. $(A \cup B) - B = (A \cup B) \cap B' = (A \cap B') \cup (B \cap B') = (A \cap B') \cup \emptyset = A \cap B'$. તેથી,$A - B = (A \cup B) - B$ સાચું છે.
$4$. $A - B'$ એ $A$ ના એવા ઘટકો છે જે $B'$ માં નથી,એટલે કે $A$ ના એવા ઘટકો જે $B$ માં છે. તેથી,$A - B' = A \cap B$.
સામાન્ય રીતે $A \cap B \neq A \cap B'$ હોવાથી,વિધાન $A - B = A - B'$ ખોટું છે.

(C) પાસો ફેંકવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ઘટના $A$ એ 'અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવાની' છે,તેથી $A = \{2, 3, 5\}$.
ઘટના 'not $A$' એ $A$ નો પૂરક ગણ છે,જેને $A^c$ અથવા $A'$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$A^c = S - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{2, 3, 5\} = \{1, 4, 6\}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $36$ પરિણામો હોય છે:
$S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \}$.
ઘટના $A$ ને પ્રથમ પાસા પર બેકી સંખ્યા મેળવવા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે:
$A = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) \}$.
પૂરક ઘટના $A^{\prime}$ માં $S$ ના તમામ પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે જે $A$ માં નથી. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ પાસા પર એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ:
$A^{\prime} = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) \}$.
ઘટના $B$ (પ્રથમ પાસા પર એકી સંખ્યા મેળવવી) ની વ્યાખ્યા સાથે આની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A^{\prime} = B$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $36$ પરિણામો હોય છે:
$S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$.
ઘટના $B$ ને પ્રથમ પાસા પર એકી સંખ્યા મેળવવા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે:
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$.
ઘટના $\text{not } B$ (જેને $B'$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે) માં નિદર્શાવકાશ $S$ ના એવા તમામ પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે જે $B$ માં નથી.
કારણ કે $B$ માં એવા તમામ પરિણામો છે જ્યાં પ્રથમ પાસો એકી છે,તેથી $B'$ માં એવા તમામ પરિણામો છે જ્યાં પ્રથમ પાસો બેકી છે.
તેથી,$B' = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$.
આ ઘટના $A$ ની સમાન છે.

(A) ગણ $A$ નો પૂરક ગણ $A^{\prime}$,સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના એવા ઘટકોનો બનેલો છે જે $A$ માં નથી.
આપેલ છે કે $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ અને $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$.
$U$ ના એવા ઘટકો શોધો જે $A$ માં નથી:
$A^{\prime} = U \setminus A = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\}$.
$U$ માંથી $A$ ના ઘટકો દૂર કરતા આપણને મળે છે:
$A^{\prime} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$.

(N/A) સાર્વત્રિક ગણ $U$ માં ધોરણ $XI$ ના તમામ વિદ્યાર્થીઓનો સમાવેશ થાય છે,જેમાં છોકરાઓ અને છોકરીઓ બંનેનો સમાવેશ થાય છે.
$A$ એ ધોરણ $XI$ ની તમામ છોકરીઓનો ગણ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ગણ $A$ નો પૂરક ગણ,જેને $A'$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $U$ ના તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં નથી.
તેથી,$A' = U - A$ એ ધોરણ $XI$ ના એવા તમામ વિદ્યાર્થીઓનો ગણ દર્શાવે છે જે છોકરીઓ નથી,જેનો અર્થ છે કે $A'$ એ ધોરણ $XI$ ના તમામ છોકરાઓનો ગણ છે.

(A) આપેલ છે કે $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,$A = \{2, 3\}$ અને $B = \{3, 4, 5\}$.
$A' = U - A = \{1, 4, 5, 6\}$.
$B' = U - B = \{1, 2, 6\}$.
$A' \cap B' = \{1, 4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 6\} = \{1, 6\}$.
$A \cup B = \{2, 3, 4, 5\}$.
$(A \cup B)' = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{2, 3, 4, 5\} = \{1, 6\}$.
અહીં $(A \cup B)' = \{1, 6\}$ અને $A' \cap B' = \{1, 6\}$ હોવાથી,$(A \cup B)' = A' \cap B'$ સાબિત થાય છે.
આ ડી મોર્ગનનો નિયમ દર્શાવે છે.

(A) ગણ $A$ નો પૂરક ગણ,જેને $A^{\prime}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં નથી.
આપેલ છે કે $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ અને $A = \{1, 2, 3, 4\}$.
$A^{\prime} = U - A = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\}$.
$U$ માંથી $A$ ના ઘટકો દૂર કરતા,આપણને $A^{\prime} = \{5, 6, 7, 8, 9\}$ મળે છે.

(A) ગણ $B$ નો પૂરક ગણ,જેને $B^{\prime}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $B$ માં નથી.
આપેલ છે કે $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ અને $B = \{2, 4, 6, 8\}$.
$B^{\prime} = U - B = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin B\}$.
$U$ માંથી $B$ ના ઘટકો દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$B^{\prime} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $C = \{3, 4, 5, 6\}$ છે.
પ્રથમ,ગણ $A$ અને $C$ નો યોગગણ શોધો:
$A \cup C = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{3, 4, 5, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
પૂરક ગણ $(A \cup C)'$ એ $U \setminus (A \cup C)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
$(A \cup C)' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \setminus \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \{7, 8, 9\}$.

(A) આપેલ ગણ $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,$A = \{1, 2, 3, 4\}$,અને $B = \{2, 4, 6, 8\}$ છે.
પ્રથમ,ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ શોધો:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$.
હવે,$(A \cup B)$ નો પૂરક ગણ શોધો,જે $(A \cup B)' = U \setminus (A \cup B)$ છે:
$(A \cup B)' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \setminus \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} = \{5, 7, 9\}$.

(C) ગણ $A$ નો પૂરક ગણ,જેને $A'$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં નથી.
આપેલ છે કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,તેથી $A' = U \setminus A = \{5, 6, 7, 8, 9\}$ મળે.
ગણ $A$ ના દ્વિ-પૂરક ગણનો ગુણધર્મ $(A')' = A$ છે.
તેથી,$(A')' = \{1, 2, 3, 4\}$.

(A) આપેલ ગણ $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,$B = \{2, 4, 6, 8\}$ અને $C = \{3, 4, 5, 6\}$ છે.
પ્રથમ,તફાવત $B - C$ શોધો,જેમાં $B$ ના ઘટકો હોય પરંતુ $C$ ના ન હોય.
$B - C = \{2, 8\}$.
પૂરક ગણ $(B - C)'$ એટલે $U \setminus (B - C)$,જેમાં $\{2, 8\}$ સિવાયના $U$ ના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
$(B - C)' = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$.

(A) સાર્વત્રિક ગણ $U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ આપેલ છે.
ગણ $A = \{a, b, c\}$ આપેલ છે.
ગણ $A$ નો પૂરક ગણ,જેને $A'$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં નથી.
$A' = U - A = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin A\}$.
$U$ માંથી $A$ ના ઘટકો દૂર કરતા,આપણને $A' = \{d, e, f, g, h\}$ મળે છે.

(A) સાર્વત્રિક ગણ $U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ છે.
આપેલ ગણ $B = \{d, e, f, g\}$ છે.
ગણ $B$ નો પૂરક ગણ,જેને $B'$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $B$ માં નથી.
$B' = U - B = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin B\}$.
$U$ માંથી $B$ ના ઘટકો દૂર કરતા,આપણને $B' = \{a, b, c, h\}$ મળે છે.

(A) સાર્વત્રિક ગણ $U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ છે.
આપેલ ગણ $C = \{a, c, e, g\}$ છે.
ગણ $C$ નો પૂરક ગણ,જેને $C'$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $C$ માં નથી.
$C' = U - C = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin C\}$.
$U$ માંથી $C$ ના ઘટકો દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$C' = \{b, d, f, h\}$.

(A) સાર્વત્રિક ગણ $U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$ આપેલ છે.
ગણ $D = \{f, g, h, a\}$ આપેલ છે.
ગણ $D$ નો પૂરક ગણ,જેને $D'$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $D$ માં નથી.
$D' = U \setminus D = \{x : x \in U \text{ અને } x \notin D\}$.
$U$ માંથી $D$ ના ઘટકો દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$D' = \{b, c, d, e\}$.

(N/A) ધારો કે $U = N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
આપેલ ગણ $A = \{ x : x \text{ એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે} \}$.
ગણ $A$ ના પૂરક ગણને $A^\prime$ અથવા $A^c$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$A^\prime = U - A = \{ x : x \in N \text{ અને } x \notin A \}$.
$N$ એ બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ હોવાથી,તેમાંથી યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ બાદ કરતાં માત્ર અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ બાકી રહે છે.
તેથી,$A^\prime = \{ x : x \text{ એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે} \}$.

(N/A) ધારો કે $U = \mathbb{N}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
ગણ $A$ નો પૂરક ગણ,જેને $A^\prime$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $A^\prime = U - A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $A = \{ x : x \text{ એ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે} \}$.
તેથી,$A^\prime = \{ x : x \in \mathbb{N} \text{ અને } x \text{ એ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી} \}$.
પ્રાકૃતિક સંખ્યા કાં તો એકી હોય અથવા બેકી હોય,તેથી એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણનો પૂરક ગણ એ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
આમ,$A^\prime = \{ x : x \text{ એ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે} \}$.

(N/A) ધારો કે $U = N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
ગણ $A$ નો પૂરક ગણ,જેને $A'$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $A' = \{ x : x \in U \text{ અને } x \notin A \}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
અહીં $A = \{ x : x \text{ એ } 3 \text{ નો ધન ગુણક છે } \}$ આપેલ છે.
તેથી,પૂરક ગણ $A' = \{ x : x \in N \text{ અને } x \text{ એ } 3 \text{ નો ગુણક નથી } \}$.

(B) ધારો કે $U = N = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \dots \}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સાર્વત્રિક ગણ છે.
ધારો કે $A = \{ x : x \text{ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે} \} = \{ 2, 3, 5, 7, 11, \dots \}$.
ગણ $A$ નો પૂરક ગણ,જેને $A^\prime$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $A^\prime = U - A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$A^\prime = \{ x : x \in N \text{ અને } x \text{ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી} \}$.
$1$ એ અવિભાજ્ય પણ નથી અને વિભાજ્ય પણ નથી,અને બાકીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કાં તો અવિભાજ્ય છે અથવા વિભાજ્ય છે,તેથી અવિભાજ્ય ન હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણમાં $1$ અને તમામ વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,$A^\prime = \{ x : x \text{ એ વિભાજ્ય સંખ્યા છે અથવા } x = 1 \}$.

(N/A) ધારો કે $U = N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
આપેલ ગણ $A = \{ x : x \text{ એ } 3 \text{ અને } 5 \text{ વડે વિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે } \}$ છે.
$3$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યા એ તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી એટલે કે $15$ વડે વિભાજ્ય હોય,તેથી $A = \{ x : x \text{ એ } 15 \text{ વડે વિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે } \}$ લખી શકાય.
ગણ $A$ નો પૂરક ગણ,જેને $A'$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં નથી.
તેથી,$A' = \{ x : x \in N \text{ અને } x \text{ એ } 15 \text{ વડે વિભાજ્ય નથી } \}$.

(N/A) ધારો કે $U = \mathbb{N}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
ગણ $A$ ના પૂરક ગણને $A^\prime$ અથવા $A^c$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$A^\prime = U - A = \{ x : x \in \mathbb{N} \text{ અને } x \notin A \}$.
તેથી,$A^\prime = \{ x : x \in \mathbb{N} \text{ અને } x \text{ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી} \}$.

(A) ધારો કે $U = N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સાર્વત્રિક ગણ છે.
ગણ $A$ નો પૂરક ગણ $A' = \{ x : x \in U \text{ અને } x \notin A \}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $A = \{ x : x \text{ એ પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે} \}$.
તેથી,પૂરક ગણ $A'$ એ એવી તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે જે પૂર્ણ ઘન નથી.
$A' = \{ x : x \in N \text{ અને } x \text{ એ પૂર્ણ ઘન સંખ્યા નથી} \}$.

(N/A) ધારો કે સાર્વત્રિક ગણ $U = N$,જ્યાં $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
ધારો કે $A = \{x: x+5=8\}$.
સમીકરણ $x+5=8$ ઉકેલતા,આપણને $x=3$ મળે છે.
તેથી,$A = \{3\}$.
ગણ $A$ ના પૂરક ગણને $A^\prime$ અથવા $A^c$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$A^\prime = U - A = \{x: x \in N \text{ અને } x \neq 3\}$.

(N/A) આપેલ સાર્વત્રિક ગણ $U = N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ) છે.
ધારો કે ગણ $A = \{x: 2x + 5 = 9\}$ છે.
સમીકરણ ઉકેલતા: $2x + 5 = 9 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
તેથી,$A = \{2\}$.
ગણ $A$ નો પૂરક ગણ $A' = U - A = \{x: x \in N \text{ અને } x \neq 2\}$ થાય.

(N/A) ધારો કે સાર્વત્રિક ગણ $U = N$ છે,જ્યાં $N$ એ બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
આપેલ ગણ $A = \{ x: x \in N \text{ અને } x \ge 7 \}$ છે.
ગણ $A$ નો પૂરક ગણ,જેને $A^\prime$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $A^\prime = \{ x: x \in U \text{ અને } x \notin A \}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $A$ માં $7$ કે તેથી મોટી બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,તેથી તેના પૂરક ગણ $A^\prime$ માં $7$ થી નાની બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થશે.
તેથી,$A^\prime = \{ x: x \in N \text{ અને } x < 7 \}$.

સાર્વત્રિક ગણ $U = N = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots \}$ છે.
આપેલ ગણ $A = \{ x : x \in N \text{ અને } 2x + 1 > 10 \}$ છે.
અસમતા ઉકેલતા: $2x > 9 \implies x > 4.5$.
$x \in N$ હોવાથી,ગણ $A = \{5, 6, 7, 8, \dots \}$ થાય.
$A$ નો પૂરક ગણ $A' = U - A$ છે.
$A' = \{ x : x \in N \text{ અને } x \le 4.5 \}$.
$x \in N$ હોવાથી,$A' = \{1, 2, 3, 4 \}$ થાય.

આપેલ છે $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,$A = \{2, 4, 6, 8\}$ અને $B = \{2, 3, 5, 7\}$.
પ્રથમ,$A \cap B = \{2\}$ શોધો.
તેથી,$(A \cap B)^{\prime} = U \setminus \{2\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
આગળ,$A^{\prime} = U \setminus A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ શોધો.
$B^{\prime} = U \setminus B = \{1, 4, 6, 8, 9\}$ શોધો.
તેથી,$A^{\prime} \cup B^{\prime} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{1, 4, 6, 8, 9\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
આમ,$(A \cap B)^{\prime} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ અને $A^{\prime} \cup B^{\prime} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ હોવાથી,તે ચકાસાય છે કે $(A \cap B)^{\prime} = A^{\prime} \cup B^{\prime}$.

(N/A) $(A \cup B)'$ માટે વેન આકૃતિ દોરવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સાર્વત્રિક ગણ $U$ દર્શાવવા માટે એક લંબચોરસ દોરો.
$2$. ગણ $A$ અને $B$ દર્શાવવા માટે લંબચોરસની અંદર બે છેદતા વર્તુળો દોરો.
$3$. પ્રદેશ $A \cup B$ એ ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ દર્શાવે છે,જેમાં $A$ માં,$B$ માં અથવા બંનેમાં હોય તેવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
$4$. પૂરક ગણ $(A \cup B)'$ એ સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના એવા તમામ ઘટકો દર્શાવે છે જે $A \cup B$ માં નથી.
$5$. તેથી,લંબચોરસ $U$ ની અંદરનો તે તમામ ભાગ છાયાંકિત કરો જે બંને વર્તુળો $A$ અને $B$ ની બહાર છે.

(N/A) $(A \cap B)^{\prime}$ માટે વેન આકૃતિ દોરવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સાર્વત્રિક ગણ $U$ દર્શાવવા માટે એક લંબચોરસ દોરો.
$2$. ગણ $A$ અને $B$ દર્શાવવા માટે લંબચોરસની અંદર બે છેદતા વર્તુળો દોરો.
$3$. છેદગણ $A \cap B$ એ બંને વર્તુળોમાં સામાન્ય પ્રદેશ છે.
$4$. પૂરક ગણ $(A \cap B)^{\prime}$ એ સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના એવા તમામ ઘટકો દર્શાવે છે જે છેદગણ $A \cap B$ માં નથી.
$5$. તેથી,બે વર્તુળોના સામાન્ય ભાગ (છેદગણ) સિવાય લંબચોરસની અંદરના સમગ્ર પ્રદેશને છાયાંકિત કરો.

(A) સાર્વત્રિક ગણ $U$ માં સમતલના તમામ ત્રિકોણોનો સમાવેશ થાય છે.
ગણ $A$ માં એવા તમામ ત્રિકોણો છે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક ખૂણો $60^{\circ}$ નથી.
પૂરક ગણ $A^{\prime}$ માં $U$ ના એવા તમામ ત્રિકોણો છે જે $A$ માં નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $A^{\prime}$ માં એવા તમામ ત્રિકોણો છે જેમાં દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,જો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોય,તો તે ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ જ હોય.
તેથી,$A^{\prime}$ એ તમામ સમબાજુ ત્રિકોણોનો ગણ છે.

(A) ગણના પૂરક ગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$A^{\prime}$ એ સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના એવા તમામ ઘટકો ધરાવે છે જે $A$ માં નથી.
તેથી,ગણ $A$ અને તેના પૂરક ગણ $A^{\prime}$ નો યોગગણ એ $A$ ના તમામ ઘટકો અને $U$ ના $A$ માં ન હોય તેવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ કરે છે,જે સાર્વત્રિક ગણ $U$ આપે છે.
આમ,$A \cup A^{\prime} = U$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ખાલી ગણ $\varnothing$ નો પૂરક ગણ એ સાર્વત્રિક ગણ $U$ છે,એટલે કે $\varnothing^{\prime} = U$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\varnothing^{\prime} \cap A = U \cap A$.
ગણ $A$ એ સાર્વત્રિક ગણ $U$ નો ઉપગણ હોવાથી,$U$ અને $A$ નો છેદગણ $A$ થાય છે.
તેથી,$\varnothing^{\prime} \cap A = A$.