Complement of a Set Questions in Gujarati

(A) ગણ $A$ નો પૂરકગણ,જેને $A^{\prime}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તેમાં સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના એવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે $A$ માં નથી.
વ્યાખ્યા મુજબ,$A$ અને $A^{\prime}$ પરસ્પર અલગ ગણ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની વચ્ચે કોઈ સામાન્ય ઘટક નથી.
તેથી,ગણ અને તેના પૂરકગણનો છેદગણ ખાલી ગણ થાય છે.
$A \cap A^{\prime} = \varnothing$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સાર્વત્રિક ગણ $U$ નો પૂરક ગણ એ ખાલી ગણ છે,જેને $\varnothing$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$U^{\prime} = \varnothing$.
આમ,$U^{\prime} \cap A = \varnothing \cap A = \varnothing$.
તેથી,$U^{\prime} \cap A = \varnothing$.

(A) ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{11}$ આપેલ છે.
'not $A$' ઘટનાની સંભાવના,જેને $P(\text{not } A)$ અથવા $P(A')$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$P(\text{not } A) = 1 - P(A)$.
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$P(\text{not } A) = 1 - \frac{2}{11} = \frac{11 - 2}{11} = \frac{9}{11}$.

(A) આપેલ છે કે $P(A) = 0.42$,$P(B) = 0.48$,અને $P(A \cap B) = 0.16$.
આપણે $P(\text{not } A)$ શોધવાનું છે,જે ઘટના $A$ ની પૂરક ઘટના છે,જેને $P(A^c)$ અથવા $P(A')$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ઘટનાની પૂરક ઘટના માટેનું સૂત્ર $P(A^c) = 1 - P(A)$ છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $P(A^c) = 1 - 0.42 = 0.58$.

(A) આપેલ છે કે $P(B) = 0.48$.
ઘટના $B$ ની પૂરક ઘટનાની સંભાવના,જેને $P(\text{not } B)$ અથવા $P(B^c)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P(B^c) = 1 - P(B)$.
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$P(\text{not } B) = 1 - 0.48 = 0.52$.

(C) મધ્યકમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| = |\cos(c) \cdot (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})|$ કોઈ $c \in (\sqrt{n}, \sqrt{n+1})$ માટે.
કારણ કે $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$,આપણી પાસે $|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| = |\cos(c)| \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ છે.
જેમ $n \to \infty$,તેમ $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0$.
કારણ કે $|\cos(c)| \le 1$,પદ $|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})|$ જેમ $n \to \infty$ તેમ $0$ ને અનુલક્ષે છે.
કોઈપણ $\lambda > 0$ માટે,એવો $N$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ $n > N$ માટે,$|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| < \lambda$ થાય.
આમ,$A_\lambda$ માં $N$ કરતા મોટી તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,જે $A_\lambda$ ને અનંત ગણ બનાવે છે.
પરિણામે,પૂરક ગણ $A_\lambda^c$ માં માત્ર શાંત સંખ્યાના ઘટકો હોય છે (જે $n \le N$ છે જે અસમતાનું પાલન કરતા નથી).
તેથી,$A_{1/2}^c, A_{1/3}^c, A_{2/5}^c$ બધા શાંત ગણ છે.

(C) આપેલ ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે,જ્યાં $n=9$.
કુલ ઉપગણો $= 2^9 = 512$.
આપણે એવા ઉપગણો શોધવા માંગીએ છીએ જેમાં ઓછામાં ઓછી એક એકી સંખ્યા હોય.
પૂરક ગણની ગણતરી કરવી સરળ છે: એવા ઉપગણો જેમાં એક પણ એકી સંખ્યા ન હોય.
ઉપગણમાં એક પણ એકી સંખ્યા ન હોય જો અને માત્ર જો તેના તમામ ઘટકો બેકી હોય.
ગણમાં બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8\}$ છે.
માત્ર આ બેકી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને બનતા ઉપગણોની સંખ્યા $2^4 = 16$ છે.
આ $16$ ઉપગણોમાં ખાલી ગણ $\emptyset$ નો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક એકી સંખ્યા ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા $=$ કુલ ઉપગણો $-$ માત્ર બેકી સંખ્યાઓ ધરાવતા ઉપગણો.
જરૂરી સંખ્યા $= 512 - 16 = 496$.