Basic of Linear Inequalities Questions in Gujarati

(C) ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 2$ અને $x = 3$ છે.
કિસ્સો $1$: $x < 2$
$|x - 2| = -(x - 2)$ અને $|x - 3| = -(x - 3)$
$-(x - 2) - (x - 3) = 7$
$-x + 2 - x + 3 = 7$
$-2x + 5 = 7$
$-2x = 2$
$x = -1$ (જે $x < 2$ નું પાલન કરે છે)
કિસ્સો $2$: $2 \le x < 3$
$|x - 2| = x - 2$ અને $|x - 3| = -(x - 3)$
$(x - 2) - (x - 3) = 7$
$x - 2 - x + 3 = 7$
$1 = 7$ (જે અશક્ય છે)
કિસ્સો $3$: $x \ge 3$
$|x - 2| = x - 2$ અને $|x - 3| = x - 3$
$(x - 2) + (x - 3) = 7$
$2x - 5 = 7$
$2x = 12$
$x = 6$ (જે $x \ge 3$ નું પાલન કરે છે)
આમ,ઉકેલ $x = 6$ અથવા $x = -1$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x + y + z = a$ છે.
આ ત્રણ ચલ વાળું એક સરળ સુરેખ સમીકરણ છે.
$x + y + z$ પદાવલિની કિંમત સીધી રીતે $a$ આપેલી છે.

(A) અમને અસમતા $30x < 200$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $30$ વડે ભાગતા,આપણને $x < \frac{200}{30}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x < 6.66...$ થાય છે.
$x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $30x < 200$ છે.
બંને બાજુ $30$ વડે ભાગતા:
$x < \frac{200}{30}$
$x < 6.66...$
$x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$x$ ની કિંમતો $6.66...$ કરતા નાની હોવી જોઈએ.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $5x - 3 < 3x + 1$
બંને બાજુથી $3x$ બાદ કરતા: $5x - 3x - 3 < 1$
$2x - 3 < 1$
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા: $2x < 1 + 3$
$2x < 4$
$2$ વડે ભાગતા: $x < 2$
જ્યારે $x$ પૂર્ણાંક હોય અને $x < 2$ હોય,ત્યારે ઉકેલનો ગણ $\{..., -2, -1, 0, 1\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $24x < 100$ છે.
બંને બાજુ $24$ વડે ભાગતા:
$x < \frac{100}{24}$
$x < \frac{25}{6}$
$x < 4.166...$
$x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$x$ ની કિંમતો $4.166...$ કરતા નાની ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ.
આમ,$x$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3$ અને $4$ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{1, 2, 3, 4\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $24x < 100$ છે.
બંને બાજુ $24$ વડે ભાગતા:
$x < \frac{100}{24}$
$x < \frac{25}{6}$
$x < 4.166...$
$x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$x$ ની કિંમતો $4.166...$ થી નાની તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $-12x > 30$ છે.
બંને બાજુ $-12$ વડે ભાગતા,અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$x < \frac{30}{-12}$
$x < -2.5$
કારણ કે $x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ (એટલે કે $x \in \{1, 2, 3, ...\}$),અને $-2.5$ થી નાની કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી,તેથી આપેલ અસમતાનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ અસમતા $5x - 3 < 7$ છે.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા:
$5x - 3 + 3 < 7 + 3$
$5x < 10$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા:
$x < 2$
$x$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$x < 2$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યો $2$ થી નાની તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{..., -2, -1, 0, 1\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $5x - 3 < 7$ છે.
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા:
$5x - 3 + 3 < 7 + 3$
$5x < 10$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા:
$x < 2$
જ્યારે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,ત્યારે ઉકેલ ગણ $2$ થી નાની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in (-\infty, 2)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $3x + 8 > 2$ છે.
બંને બાજુથી $8$ બાદ કરતા:
$3x > 2 - 8$
$3x > -6$
બંને બાજુને $3$ વડે ભાગતા:
$x > -2$
$x$ એ $-2$ કરતા મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા હોવાથી,ઉકેલ ગણ $\{-1, 0, 1, 2, \dots\}$ થશે.

(A) $4x + 3 < 5x + 7$
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા:
$4x < 5x + 4$
બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરતા:
$4x - 5x < 4$
$-x < 4$
$-1$ વડે ગુણતા અને અસમતાની નિશાની બદલતા:
$x > -4$
આમ,ઉકેલ ગણ $(-4, \infty)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $3x - 7 > 5x - 1$
બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરતા:
$3x - 5x - 7 > -1$
$-2x - 7 > -1$
બંને બાજુ $7$ ઉમેરતા:
$-2x > -1 + 7$
$-2x > 6$
$-2$ વડે ભાગતા (નોંધો કે ઋણ સંખ્યા વડે ભાગવાથી અસમતાની નિશાની બદલાય છે):
$x < \frac{6}{-2}$
$x < -3$
આમ,ઉકેલ ગણ $(-\infty, -3)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $3(x-1) \leq 2(x-3)$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $3x - 3 \leq 2x - 6$
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા: $3x - 2x - 3 \leq -6$
સરળ કરતા: $x - 3 \leq -6$
બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા: $x \leq -6 + 3$
પરિણામ: $x \leq -3$
આમ,ઉકેલ ગણ $(-\infty, -3]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3} < 11$
$x$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$x(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})<11$
કૌંસની અંદરના પદો માટે સામાન્ય છેદ શોધતા:
$x(\frac{6+3+2}{6})<11$
$x(\frac{11}{6})<11$
બંને બાજુ $\frac{6}{11}$ વડે ગુણતા:
$x < 11 \times \frac{6}{11}$
$x < 6$
આમ,$6$ કરતા નાની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ એ આપેલ અસમતાના ઉકેલો છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $(-\infty, 6)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{x}{3} > \frac{x}{2} + 1$
બંને બાજુથી $\frac{x}{2}$ બાદ કરતા:
$\frac{x}{3} - \frac{x}{2} > 1$
લસાઅ $(6)$ લેતા:
$\frac{2x - 3x}{6} > 1$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$-\frac{x}{6} > 1$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$-x > 6$
$-1$ વડે ગુણતા અને અસમતાની નિશાની બદલતા:
$x < -6$
આમ,ઉકેલ ગણ $(-\infty, -6)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}$
બંને બાજુ $15$ વડે ગુણતા:
$9(x-2) \leq 25(2-x)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$9x - 18 \leq 50 - 25x$
બંને બાજુ $25x$ ઉમેરતા:
$9x + 25x - 18 \leq 50$
$34x - 18 \leq 50$
બંને બાજુ $18$ ઉમેરતા:
$34x \leq 50 + 18$
$34x \leq 68$
$34$ વડે ભાગતા:
$x \leq 2$
આમ,ઉકેલ ગણ $(-\infty, 2]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{1}{2}\left(\frac{3x}{5}+4\right) \geq \frac{1}{3}(x-6)$
છેદ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$3\left(\frac{3x}{5}+4\right) \geq 2(x-6)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{9x}{5} + 12 \geq 2x - 12$
$x$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$12 + 12 \geq 2x - \frac{9x}{5}$
$24 \geq \frac{10x - 9x}{5}$
$24 \geq \frac{x}{5}$
$5$ વડે ગુણતા:
$120 \geq x$
આમ,તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ જ્યાં $x \leq 120$ એ ઉકેલ છે.
ઉકેલ ગણ $(-\infty, 120]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $2(2x + 3) - 10 < 6(x - 2)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $4x + 6 - 10 < 6x - 12$
સાદું રૂપ આપતા: $4x - 4 < 6x - 12$
$x$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા: $-4 + 12 < 6x - 4x$
$8 < 2x$
$2$ વડે ભાગતા: $4 < x$ અથવા $x > 4$
આમ,$4$ કરતા મોટી તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ એ ઉકેલ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $(4, \infty)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $37-(3x+5) \geq 9x-8(x-3)$
પગલું $1$: અસમતાની બંને બાજુઓનું સાદુંરૂપ આપો.
$37-3x-5 \geq 9x-8x+24$
$32-3x \geq x+24$
પગલું $2$: $x$ વાળા પદોને એક બાજુ અને અચળ પદોને બીજી બાજુ લો.
$32-24 \geq x+3x$
$8 \geq 4x$
પગલું $3$: $4$ વડે ભાગતા.
$2 \geq x$ અથવા $x \leq 2$
આમ,$2$ કે તેથી નાની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ એ ઉકેલ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $(-\infty, 2]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{x}{4} < \frac{5x-2}{3} - \frac{7x-3}{5}$
જમણી બાજુના છેદનો લસાઅ લેતા:
$\frac{x}{4} < \frac{5(5x-2) - 3(7x-3)}{15}$
$\frac{x}{4} < \frac{25x - 10 - 21x + 9}{15}$
$\frac{x}{4} < \frac{4x - 1}{15}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$15x < 4(4x - 1)$
$15x < 16x - 4$
પદોને ગોઠવતા:
$4 < 16x - 15x$
$4 < x$ અથવા $x > 4$
આમ,$4$ કરતા મોટી તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ એ ઉકેલ છે.
ઉકેલ ગણ $(4, \infty)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{(2x-1)}{3} \geq \frac{(3x-2)}{4} - \frac{(2-x)}{5}$
જમણી બાજુના છેદનો લસાઅ લેતા: $\frac{(2x-1)}{3} \geq \frac{5(3x-2) - 4(2-x)}{20}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(2x-1)}{3} \geq \frac{15x - 10 - 8 + 4x}{20}$
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(2x-1)}{3} \geq \frac{19x - 18}{20}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $20(2x - 1) \geq 3(19x - 18)$
$40x - 20 \geq 57x - 54$
પદોની ગોઠવણી કરતા: $-20 + 54 \geq 57x - 40x$
$34 \geq 17x$
$17$ વડે ભાગતા: $2 \geq x$ અથવા $x \leq 2$
આમ,ઉકેલ ગણ $(-\infty, 2]$ છે.

(N/A) $3x - 2 < 2x + 1$
$\Rightarrow 3x - 2x < 1 + 2$
$\Rightarrow x < 3$
આપેલ અસમતાના ઉકેલનું સંખ્યા રેખા પરનું નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
(આલેખમાં સંખ્યા રેખા પર $3$ આગળ એક ખુલ્લું વર્તુળ છે,અને $3$ ની ડાબી બાજુનો ભાગ $3$ થી નાની તમામ કિંમતો દર્શાવવા માટે ઘાટો કરેલો છે.)

(N/A) $5x - 3 \geq 3x - 5$
$\Rightarrow 5x - 3x \geq -5 + 3$
$\Rightarrow 2x \geq -2$
$\Rightarrow \frac{2x}{2} \geq \frac{-2}{2}$
$\Rightarrow x \geq -1$
સંખ્યા રેખા પર ઉકેલ $x \geq -1$ નું આલેખન નીચે મુજબ છે. બિંદુ $-1$ નો સમાવેશ થાય છે (ઘટ્ટ ટપકા દ્વારા દર્શાવેલ છે),અને $-1$ ની જમણી બાજુની તમામ કિંમતોને છાયાંકિત કરવામાં આવી છે.

(N/A) $3(1-x) < 2(x+4)$
$\Rightarrow 3-3x < 2x+8$
$\Rightarrow 3-8 < 2x+3x$
$\Rightarrow -5 < 5x$
$\Rightarrow \frac{-5}{5} < \frac{5x}{5}$
$\Rightarrow -1 < x$
સંખ્યા રેખા પર ઉકેલ $x > -1$ નું આલેખન $-1$ પર ખુલ્લા વર્તુળ દ્વારા અને જમણી તરફ જતી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) આપેલ અસમતા: $\frac{x}{2} \geq \frac{5x-2}{3} - \frac{7x-3}{5}$
$\Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{5(5x-2) - 3(7x-3)}{15}$
$\Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{25x - 10 - 21x + 9}{15}$
$\Rightarrow \frac{x}{2} \geq \frac{4x - 1}{15}$
બંને બાજુ $30$ વડે ગુણતા:
$\Rightarrow 15x \geq 2(4x - 1)$
$\Rightarrow 15x \geq 8x - 2$
$\Rightarrow 15x - 8x \geq -2$
$\Rightarrow 7x \geq -2$
$\Rightarrow x \geq -\frac{2}{7}$
ઉકેલ ગણ $[-\frac{2}{7}, \infty)$ છે. આલેખમાં $-\frac{2}{7}$ પર ઘટ્ટ ટપકું કરીને જમણી તરફ રેખા દોરવામાં આવે છે.

(N/A) આપેલ અસમતા: $-5 \leq \frac{5-3x}{2} \leq 8$
બધા પદોને $2$ વડે ગુણતા:
$-10 \leq 5-3x \leq 16$
બધા પદોમાંથી $5$ બાદ કરતા:
$-15 \leq -3x \leq 11$
$-3$ વડે ભાગતા (નોંધો કે ઋણ સંખ્યા વડે ભાગતી વખતે અસમતાની નિશાનીઓ ઉલટાઈ જાય છે):
$5 \geq x \geq -\frac{11}{3}$
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{11}{3} \leq x \leq 5$

(N/A) અસમતા $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$3x - 7 < 5 + x$
$2x < 12$
$x < 6$ ..... $(3)$
અસમતા $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$11 - 5x \leqslant 1$
$-5x \leqslant 1 - 11$
$-5x \leqslant -10$
$-5$ વડે ભાગતા અસમતાની નિશાની બદલાય છે:
$x \geqslant 2$ ..... $(4)$
$(3)$ અને $(4)$ ને જોડતા,ઉકેલ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ નો ગણ છે જે $2 \leqslant x < 6$ છે.

(A) આપેલ ગણ ${ x:x \in R, -12 < x < -10 }$ છે.
અસમતા કડક $( < )$ હોવાથી,અંત્યબિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી.
તેથી,અંતરાલ $(-12, -10)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $6 \leq -3(2x - 4) < 12$
આખી અસમતાને $-3$ વડે ભાગતા. યાદ રાખો કે ઋણ સંખ્યા વડે ભાગવાથી અસમતાની નિશાનીઓ ઉલટાઈ જાય છે:
$-2 \geq 2x - 4 > -4$
અસમતાના દરેક ભાગમાં $4$ ઉમેરતા:
$-2 + 4 \geq 2x > -4 + 4$
$2 \geq 2x > 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$1 \geq x > 0$
આમ,ઉકેલ ગણ $(0, 1]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $-3 \leq 4 - \frac{7x}{2} \leq 18$
બધા ભાગમાંથી $4$ બાદ કરતા:
$-3 - 4 \leq -\frac{7x}{2} \leq 18 - 4$
$-7 \leq -\frac{7x}{2} \leq 14$
$-1$ વડે ગુણતા અને અસમતાની નિશાની બદલતા:
$7 \geq \frac{7x}{2} \geq -14$
$7$ વડે ભાગતા:
$1 \geq \frac{x}{2} \geq -2$
$2$ વડે ગુણતા:
$2 \geq x \geq -4$
આમ,ઉકેલ ગણ $[-4, 2]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $-15 < \frac{3(x-2)}{5} \leq 0$
બધા પદોને $5$ વડે ગુણતા:
$-75 < 3(x-2) \leq 0$
બધા પદોને $3$ વડે ભાગતા:
$-25 < x-2 \leq 0$
બધા પદોમાં $2$ ઉમેરતા:
$-25 + 2 < x \leq 0 + 2$
$-23 < x \leq 2$
આમ,ઉકેલ ગણ $(-23, 2]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $7 \leq \frac{3x+11}{2} \leq 11$
બધા પદોને $2$ વડે ગુણતા:
$14 \leq 3x+11 \leq 22$
બધા પદોમાંથી $11$ બાદ કરતા:
$14 - 11 \leq 3x \leq 22 - 11$
$3 \leq 3x \leq 11$
$3$ વડે ભાગતા:
$1 \leq x \leq \frac{11}{3}$
આમ,ઉકેલ ગણ $[1, 11/3]$ છે.

(N/A) $5x + 1 > -24 \Rightarrow 5x > -25$
$\Rightarrow x > -5$ ..... $(1)$
$5x - 1 < 24 \Rightarrow 5x < 25$
$\Rightarrow x < 5$ ..... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,એવું તારણ કાઢી શકાય છે કે આપેલી અસમતાઓ માટે ઉકેલ ગણ $(-5, 5)$ છે. આપેલી અસમતાઓનો ઉકેલ સંખ્યા રેખા પર નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
(સંખ્યા રેખા $-5$ અને $5$ ની વચ્ચેનો ખુલ્લો અંતરાલ દર્શાવે છે,જેમાં $-5$ અને $5$ પર ખુલ્લા વર્તુળો છે જે દર્શાવે છે કે આ બિંદુઓ ઉકેલ ગણમાં સમાવિષ્ટ નથી.)

(N/A) પ્રથમ,પ્રથમ અસમતા ઉકેલો:
$2(x-1) < x+5$
$2x - 2 < x + 5$
$2x - x < 5 + 2$
$x < 7$ ..... $(1)$
ત્યારબાદ,બીજી અસમતા ઉકેલો:
$3(x+2) > 2-x$
$3x + 6 > 2 - x$
$3x + x > 2 - 6$
$4x > -4$
$x > -1$ ..... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,ઉકેલ ગણ $x < 7$ અને $x > -1$ નો છેદગણ છે,જે $(-1, 7)$ છે.
ઉકેલ ગણ $(-1, 7)$ ને સંખ્યા રેખા પર $-1$ અને $7$ ની વચ્ચેના ખુલ્લા અંતરાલ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) પ્રથમ,પ્રથમ અસમતા ઉકેલો:
$3x - 7 > 2(x - 6)$
$3x - 7 > 2x - 12$
$3x - 2x > -12 + 7$
$x > -5$ ..... $(1)$
ત્યારબાદ,બીજી અસમતા ઉકેલો:
$6 - x > 11 - 2x$
$-x + 2x > 11 - 6$
$x > 5$ ..... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,સામાન્ય ઉકેલ બંને અંતરાલોનો છેદ છે,જે $x > 5$ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(5, \infty)$ છે.
સંખ્યા રેખા પર તેનું આલેખન નીચે મુજબ છે:

(N/A) આપેલ અસમતા: $x + 2 < -8$.
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા: $x < -8 - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x < -10$ થાય છે.
$(1)$ $x \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) માટે: $-10$ થી નાની કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા ન હોવાથી,ઉકેલ ગણ $\phi$ (રિક્ત ગણ) છે.
$(2)$ $x \in Z$ (પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ) માટે: $-10$ થી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $\{\ldots, -13, -12, -11\}$ છે.
$(3)$ $x \in R$ (વાસ્તવિક સંખ્યાઓ) માટે: ઉકેલ ગણ અંતરાલ $(-\infty, -10)$ છે.

(N/A) આપેલ અસમતા: $-6x \leq 18$
બંને બાજુ $-6$ વડે ભાગતા. યાદ રાખો કે ઋણ સંખ્યા વડે ભાગવાથી અસમતાની નિશાની બદલાઈ જાય છે:
$x \geq \frac{18}{-6}$
$x \geq -3$
$(1)$ જો $x \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ: $\{1, 2, 3, \ldots\}$),તો $x \in \{1, 2, 3, \ldots\}$.
$(2)$ જો $x \in Z$ (પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ: $\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$),તો $x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$.
$(3)$ જો $x \in R$ (વાસ્તવિક સંખ્યાઓ),તો $x \in [-3, \infty)$.

(A) આપેલ અસમતા: $3x - 22 \geq 5$.
બંને બાજુ $22$ ઉમેરતા: $3x \geq 5 + 22$.
$3x \geq 27$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા: $x \geq 9$.
$x \in R$ હોવાથી,ઉકેલ ગણ $[9, \infty)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $3(2x - 1) + 5 \leq \frac{1}{2}(x + 15)$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $6(2x - 1) + 10 \leq x + 15$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $12x - 6 + 10 \leq x + 15$
સાદુરૂપ આપતા: $12x + 4 \leq x + 15$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા: $11x + 4 \leq 15$
બંને બાજુથી $4$ બાદ કરતા: $11x \leq 11$
$11$ વડે ભાગતા: $x \leq 1$
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in (-\infty, 1]$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{3-2x}{5} < \frac{x}{3} + 2$
છેદ દૂર કરવા માટે આખી અસમતાને $15$ (જે $5$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) વડે ગુણતા:
$15 \times \frac{3-2x}{5} < 15 \times (\frac{x}{3} + 2)$
$3(3-2x) < 5x + 30$
$9 - 6x < 5x + 30$
બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરતા:
$9 - 11x < 30$
બંને બાજુથી $9$ બાદ કરતા:
$-11x < 21$
$-11$ વડે ભાગતા અને અસમતાની નિશાની બદલતા:
$x > -\frac{21}{11}$
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in (-\frac{21}{11}, \infty)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{x+1}{2} > 6(x+2)$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $x+1 > 12(x+2)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x+1 > 12x + 24$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા: $1 > 11x + 24$
બંને બાજુથી $24$ બાદ કરતા: $-23 > 11x$
$11$ વડે ભાગતા: $-\frac{23}{11} > x$
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in (-\infty, -\frac{23}{11})$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $3(x-1)+2(x-2) < 5(x+2)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $3x-3+2x-4 < 5x+10$
ડાબી બાજુ સમાન પદોને ભેગા કરતા: $5x-7 < 5x+10$
બંને બાજુથી $5x$ બાદ કરતા: $-7 < 10$
કારણ કે $-7 < 10$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે સાચું વિધાન છે,તેથી ઉકેલ ગણ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,$x \in \mathbb{R}$.

આપેલ અસમતા: $\frac{2x-1}{3} + 5 < \frac{3x-1}{2} - 2$
છેદ દૂર કરવા માટે આખી અસમતાને $6$ વડે ગુણતા:
$2(2x-1) + 30 < 3(3x-1) - 12$
$4x - 2 + 30 < 9x - 3 - 12$
$4x + 28 < 9x - 15$
બંને બાજુથી $4x$ બાદ કરતા:
$28 < 5x - 15$
બંને બાજુ $15$ ઉમેરતા:
$43 < 5x$
$5$ વડે ભાગતા:
$x > \frac{43}{5}$ અથવા $x > 8.6$
ઉકેલ ગણ $(8.6, \infty)$ છે.
સંખ્યા રેખા પર,આ $8.6$ પર એક ખુલ્લા વર્તુળ અને જમણી તરફ જતી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) આપેલ અસમતા: $\frac{3x}{2} + 15 \leq \frac{2x}{3} + 6$
બંને બાજુથી $15$ બાદ કરતા: $\frac{3x}{2} \leq \frac{2x}{3} - 9$
બંને બાજુથી $\frac{2x}{3}$ બાદ કરતા: $\frac{3x}{2} - \frac{2x}{3} \leq -9$
સામાન્ય છેદ $(6)$ લેતા: $\frac{9x - 4x}{6} \leq -9$
$\frac{5x}{6} \leq -9$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા: $5x \leq -54$
$5$ વડે ભાગતા: $x \leq -10.8$
ઉકેલ ગણ $(-\infty, -10.8]$ છે.
સંખ્યા રેખા પર,આને $-10.8$ પર ઘાટા ટપકાં (solid circle) અને ડાબી તરફ જતી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) આપેલ અસમતા: $\frac{4x+1}{9} > \frac{9x+1}{4} - 2$
બંને બાજુ $36$ ( $9$ અને $4$ નો લ.સા.અ.) વડે ગુણતા:
$4(4x+1) > 9(9x+1) - 72$
$16x + 4 > 81x + 9 - 72$
$16x + 4 > 81x - 63$
$4 + 63 > 81x - 16x$
$67 > 65x$
$x < \frac{67}{65}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left(-\infty, \frac{67}{65}\right)$ છે.
સંખ્યા રેખા પર નિરૂપણ $\frac{67}{65}$ પર ખુલ્લા વર્તુળ સાથે તેની ડાબી બાજુની તમામ કિંમતો દર્શાવે છે.

(N/A) આપેલ અસમતા: $\frac{x-1}{2}+5 \geq \frac{2x-1}{3}+15$
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા: $\frac{x-1}{2} \geq \frac{2x-1}{3}+10$
છેદ દૂર કરવા માટે $6$ વડે ગુણતા: $3(x-1) \geq 2(2x-1) + 60$
વિસ્તરણ કરતા: $3x-3 \geq 4x-2+60$
સાદુરૂપ આપતા: $3x-3 \geq 4x+58$
પદોની ગોઠવણી કરતા: $-3-58 \geq 4x-3x$
પરિણામ: $-61 \geq x$ અથવા $x \leq -61$
ઉકેલ ગણ $(-\infty, -61]$ છે.
સંખ્યા રેખા પર $-61$ પર ઘાટું ટપકું કરીને ડાબી તરફ રેખા દોરવામાં આવે છે.

(N/A) આપેલ અસમતા: $\frac{x}{3} + 5 \geq \frac{x}{2} + 7$
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા:
$\frac{x}{3} \geq \frac{x}{2} + 2$
બંને બાજુથી $\frac{x}{2}$ બાદ કરતા:
$\frac{x}{3} - \frac{x}{2} \geq 2$
સામાન્ય છેદ $(6)$ લેતા:
$\frac{2x - 3x}{6} \geq 2$
$-\frac{x}{6} \geq 2$
બંને બાજુ $-6$ વડે ગુણતા (યાદ રાખો કે ઋણ સંખ્યા વડે ગુણતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાય છે):
$x \leq -12$
ઉકેલ ગણ $(-\infty, -12]$ છે.
આને સંખ્યા રેખા પર $-12$ પર ઘાટા ટપકાં અને ડાબી તરફ જતી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) આપેલ અસમતા $|x-2| \geq 8$ છે.
માનાંક અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ,$|u| \geq a$ નો અર્થ $u \leq -a$ અથવા $u \geq a$ થાય છે.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$x-2 \leq -8$ અથવા $x-2 \geq 8.$
પ્રથમ ભાગ ઉકેલતા:
$x \leq -8 + 2$
$x \leq -6.$
બીજો ભાગ ઉકેલતા:
$x \geq 8 + 2$
$x \geq 10.$
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $x \in (-\infty, -6] \cup [10, \infty)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\left|\frac{3x-4}{2}\right| \leq \frac{5}{12}$
આને આ રીતે લખી શકાય: $-\frac{5}{12} \leq \frac{3x-4}{2} \leq \frac{5}{12}$
આખી અસમતાને $2$ વડે ગુણતા: $-\frac{5}{6} \leq 3x-4 \leq \frac{5}{6}$
બધા પદોમાં $4$ ઉમેરતા: $4 - \frac{5}{6} \leq 3x \leq 4 + \frac{5}{6}$
$\frac{24-5}{6} \leq 3x \leq \frac{24+5}{6}$
$\frac{19}{6} \leq 3x \leq \frac{29}{6}$
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{19}{18} \leq x \leq \frac{29}{18}$
આમ,ઉકેલ ગણ $[\frac{19}{18}, \frac{29}{18}]$ છે.