Basic of Linear Inequalities Questions in Gujarati

(A) આપેલ અસમતા: $|4-x|+1 < 3$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $|4-x| < 2$
આના સમકક્ષ: $-2 < 4-x < 2$
બધા ભાગમાંથી $4$ બાદ કરતા: $-6 < -x < -2$
$-1$ વડે ગુણતા અને અસમતાની નિશાનીઓ ઉલટાવતા: $6 > x > 2$
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in (2, 6)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{2x+3}{5} - 2 < \frac{3(x-2)}{5}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખી અસમતાને $5$ વડે ગુણતા:
$(2x + 3) - 10 < 3(x - 2)$
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$2x - 7 < 3x - 6$
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા:
$-7 < x - 6$
બંને બાજુ $6$ ઉમેરતા:
$-1 < x$
તેથી,ઉકેલ $x > -1$ છે,જેને અંતરાલ સ્વરૂપમાં $(-1, \infty)$ તરીકે લખી શકાય.

(D) ધારો કે $y = |x-2|$.
તેથી અસમતા $\frac{y-1}{y-2} \leq 0$ બને છે.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $y=1$ અને $y=2$ છે.
અપૂર્ણાંક $\leq 0$ થાય તે માટે,$y$ એ બીજની વચ્ચે હોવું જોઈએ,જેમાં અંશનું બીજ સમાવિષ્ટ છે પરંતુ છેદનું બીજ બાકાત છે: $1 \leq y < 2$.
$y = |x-2|$ પાછું મૂકતા,આપણને $1 \leq |x-2| < 2$ મળે છે.
આ બે ભાગમાં વહેંચાય છે:
$1) |x-2| \geq 1 \implies x-2 \leq -1$ અથવા $x-2 \geq 1 \implies x \leq 1$ અથવા $x \geq 3$.
$2) |x-2| < 2 \implies -2 < x-2 < 2 \implies 0 < x < 4$.
આ શરતોનો છેદ લેતા:
$(x \leq 1 \text{ અથવા } x \geq 3) \cap (0 < x < 4) = (0, 1] \cup [3, 4)$.
આમ,$x \in (0, 1] \cup [3, 4)$.

(N/A) આપેલ છે,$-5 \leq \frac{2-3x}{4} \leq 9$.
બધી બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$-20 \leq 2-3x \leq 36$.
બધી બાજુમાંથી $2$ બાદ કરતા:
$-20-2 \leq -3x \leq 36-2$.
$-22 \leq -3x \leq 34$.
$-3$ વડે ભાગતા (અસમતાની નિશાની બદલાશે):
$\frac{-22}{-3} \geq x \geq \frac{34}{-3}$.
$\frac{22}{3} \geq x \geq -\frac{34}{3}$.
આમ,$-\frac{34}{3} \leq x \leq \frac{22}{3}$.
અંતરાલ સ્વરૂપમાં,$x \in \left[-\frac{34}{3}, \frac{22}{3}\right]$.

(B) આપેલ અસમતા $|x+2| \leq 9$ છે.
માનાંક અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ,$|u| \leq a$ નો અર્થ $-a \leq u \leq a$ થાય છે,જ્યાં $a > 0$.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$-9 \leq x+2 \leq 9$
બધા પદોમાંથી $2$ બાદ કરતા:
$-9 - 2 \leq x \leq 9 - 2$
$-11 \leq x \leq 7$
અંતરાલ સ્વરૂપમાં,આને $x \in [-11, 7]$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સંખ્યા રેખા પર $2$ આગળ ખુલ્લું વર્તુળ દર્શાવેલ છે,જે સૂચવે છે કે $2$ ઉકેલ ગણમાં સમાવિષ્ટ નથી.
છાયાંકિત ભાગ $2$ ની જમણી બાજુએ વિસ્તરેલો છે,જે $2$ કરતા મોટી તમામ કિંમતો દર્શાવે છે.
તેથી,અસમતા $x > 2$ છે.

(B) રંગીન પ્રદેશ કાર્તેઝિયન સમતલના બીજા ચરણમાં આવેલો છે.
બીજા ચરણમાં,$x$-યામ અ-ધન $(x \leq 0)$ છે અને $y$-યામ અ-ઋણ $(y \geq 0)$ છે.
અક્ષો છાયાંકિત પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,અસમતાઓ $x \leq 0$ અને $y \geq 0$ છે.

(D) કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $|x-1| \geq 0$ થાય.
આપેલ અસમતા $|x-1| \leq -1$ માટે,આપણે $x$ ની એવી કિંમતો શોધી રહ્યા છીએ જેના માટે નિરપેક્ષ મૂલ્ય $-1$ કરતા નાનું અથવા તેના જેટલું હોય.
અ-ઋણ સંખ્યા ક્યારેય ઋણ સંખ્યા કરતા નાની કે તેના જેટલી હોઈ શકે નહીં,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ શરતનું પાલન કરે.
તેથી,ઉકેલ ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\emptyset$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) અસમતા $|x| + |x-2| < 2$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે નિર્ણાયક બિંદુઓ $x=0$ અને $x=2$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $x < 0$
$-x - (x-2) < 2 \implies -2x + 2 < 2 \implies -2x < 0 \implies x > 0$. આ $x < 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે,તેથી અહીં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $0 \leq x < 2$
$x - (x-2) < 2 \implies 2 < 2$,જે અસત્ય છે. અહીં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $3$: $x \geq 2$
$x + (x-2) < 2 \implies 2x - 2 < 2 \implies 2x < 4 \implies x < 2$. આ $x \geq 2$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે,તેથી અહીં કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,આપેલ અસમતા માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(C) આપણને અસમતા $|x-1| + |x+1| < 2$ આપેલી છે.
કિસ્સો $1$: જો $x < -1$ હોય,તો $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ અને $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.
અસમતા $(-x+1) + (-x-1) < 2$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $-2x < 2$ અથવા $x > -1$ થાય છે.
આ આપણી ધારણા $x < -1$ થી વિરોધાભાસી હોવાથી,આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $-1 \le x < 1$ હોય,તો $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ અને $|x+1| = x+1$.
અસમતા $(-x+1) + (x+1) < 2$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2 < 2$ થાય છે.
આ એક વિરોધાભાસ છે,તેથી આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $3$: જો $x \ge 1$ હોય,તો $|x-1| = x-1$ અને $|x+1| = x+1$.
અસમતા $(x-1) + (x+1) < 2$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2x < 2$ અથવા $x < 1$ થાય છે.
આ આપણી ધારણા $x \ge 1$ થી વિરોધાભાસી હોવાથી,આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલ ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\emptyset$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ અસમતા $\frac{1}{x-4} < 0$ છે.
અંશ ધન અચળાંક $(1 > 0)$ હોવાથી,અપૂર્ણાંક ત્યારે જ ઋણ થશે જો છેદ ઋણ હોય.
તેથી,$x - 4 < 0$ હોવું જોઈએ.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x < 4$ મળે છે.
અંતરાલ સંકેતમાં,આ $x \in (-\infty, 4)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ અસમતા $5x \geq -10$ છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,આપણને $x \geq -2$ મળે છે.
અહીં આપેલ છે કે $x \in N$,જ્યાં $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $\{1, 2, 3, \dots\}$ છે.
બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $-2$ કરતા મોટી હોવાથી,ઉકેલ ગણ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $N$ છે.

(A) અસમતા $|x-1|+|x-2| < 3$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=1$ અને $x=2$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
કિસ્સો $1$: જો $x < 1$,તો $-(x-1) - (x-2) < 3 \implies -x+1-x+2 < 3 \implies -2x+3 < 3 \implies -2x < 0 \implies x > 0$. તેથી,$0 < x < 1$.
કિસ્સો $2$: જો $1 \le x < 2$,તો $(x-1) - (x-2) < 3 \implies x-1-x+2 < 3 \implies 1 < 3$,જે $1 \le x < 2$ માટે હંમેશા સાચું છે.
કિસ્સો $3$: જો $x \ge 2$,તો $(x-1) + (x-2) < 3 \implies 2x-3 < 3 \implies 2x < 6 \implies x < 3$. તેથી,$2 \le x < 3$.
બધા કિસ્સાઓને જોડતા,ઉકેલ ગણ $(0, 1) \cup [1, 2) \cup [2, 3) = (0, 3)$ મળે છે.

(C) અમે $x$ માટે અલગ-અલગ અંતરાલોને ધ્યાનમાં લઈને અસમતા $|x-1| + |x+1| < 2$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. જો $x < -1$ હોય,તો $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ અને $|x+1| = -(x+1) = -x-1$ થાય. અસમતા $(-x+1) + (-x-1) < 2$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $-2x < 2$ અથવા $x > -1$ થાય છે. આ અમારી ધારણા $x < -1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે,તેથી આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી.
$2$. જો $-1 \le x < 1$ હોય,તો $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ અને $|x+1| = x+1$ થાય. અસમતા $(-x+1) + (x+1) < 2$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2 < 2$ થાય છે. આ એક ખોટું વિધાન છે,તેથી આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી.
$3$. જો $x \ge 1$ હોય,તો $|x-1| = x-1$ અને $|x+1| = x+1$ થાય. અસમતા $(x-1) + (x+1) < 2$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2x < 2$ અથવા $x < 1$ થાય છે. આ અમારી ધારણા $x \ge 1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે,તેથી આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,$x$ ની કોઈ કિંમત અસમતાનું સમાધાન કરતી નથી,તેથી ઉકેલ ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ અસમતા $|x-2| \geq 8$ છે.
માનાંક અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ,$|u| \geq a$ નો અર્થ $u \leq -a$ અથવા $u \geq a$ થાય છે.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$x - 2 \leq -8$ અથવા $x - 2 \geq 8$.
પ્રથમ ભાગ ઉકેલતા: $x \leq -8 + 2 \implies x \leq -6$.
બીજો ભાગ ઉકેલતા: $x \geq 8 + 2 \implies x \geq 10$.
આમ,$x \in (-\infty, -6] \cup [10, \infty)$.

(A) આપેલ અસમતા $|x+2| \leq 8$ છે.
માનાંક અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ,$|u| \leq a$ નો અર્થ $-a \leq u \leq a$ થાય છે.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$-8 \leq x+2 \leq 8$.
અસમતાના દરેક ભાગમાંથી $2$ બાદ કરતા:
$-8 - 2 \leq x \leq 8 - 2$.
$-10 \leq x \leq 6$.
તેથી,$x \in [-10, 6]$.

(C) કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$x^{2} \ge 0$ થાય.
કારણ કે $x^{2} \ge 0$,તેથી $x^{2} + 1 \ge 1 > 0$ થાય.
આમ,છેદ $x^{2} + 1$ એ તમામ $x \in R$ માટે હંમેશા ધન છે.
અપૂર્ણાંક $\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$ એ અ-ઋણ સંખ્યા અને ધન સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે,જે સૂચવે છે કે તમામ $x \in R$ માટે $\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \ge 0$ થાય.
તેથી,$x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જેના માટે $\frac{x^{2}}{x^{2}+1} < 0$ થાય.
આથી,ઉકેલ ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) માનાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ $|a| = a$ જો $a \ge 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $|x-3| = x-3$ ત્યારે જ શક્ય છે જો માનાંકની અંદરની કિંમત અઋણ હોય.
તેથી,$x-3 \ge 0$ હોવું જોઈએ.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $x \ge 3$ મળે છે.
અંતરાલ સ્વરૂપમાં,આને $[3, \infty)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) અમને અસમતા $\left|x+\frac{1}{x}\right| \geq 2$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x > 0$ હોય,તો $x + \frac{1}{x} \geq 2$. $AM-GM$ અસમતા મુજબ,$x > 0$ માટે,$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1$,જે સૂચવે છે કે $x + \frac{1}{x} \geq 2$. આ તમામ $x > 0$ માટે સાચું છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો ધારો કે $x = -y$ જ્યાં $y > 0$. તો $\left|-y - \frac{1}{y}\right| = \left|-(y + \frac{1}{y})\right| = y + \frac{1}{y} \geq 2$. આ પણ તમામ $y > 0$ માટે સાચું છે,એટલે કે તે તમામ $x < 0$ માટે સાચું છે.
કારણ કે $x$ એ $0$ હોઈ શકે નહીં (કારણ કે $\frac{1}{x}$ અવ્યાખ્યાયિત છે),તેથી આ અસમતા તમામ $x \in R - \{0\}$ માટે સાચી છે.

(B) આપેલ અસમતા $|x-2| \geq |x-4|$ છે.
બંને બાજુઓ અ-ઋણ હોવાથી,આપણે બંને બાજુનો વર્ગ કરી શકીએ:
$(x-2)^2 \geq (x-4)^2$
$x^2 - 4x + 4 \geq x^2 - 8x + 16$
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા:
$-4x + 4 \geq -8x + 16$
બંને બાજુ $8x$ ઉમેરતા:
$4x + 4 \geq 16$
બંને બાજુથી $4$ બાદ કરતા:
$4x \geq 12$
$4$ વડે ભાગતા:
$x \geq 3$
આમ,$x \in [3, \infty)$.

(A) આપેલ અસમતા $\frac{x^{2}}{x-5} < 0$ છે.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 \ge 0$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{x^2}{x-5}$ ત્યારે જ ઋણ હોય જ્યારે છેદ ઋણ હોય અને અંશ શૂન્ય ન હોય.
$1$. અંશ $x^2 > 0$ સૂચવે છે કે $x \neq 0$.
$2$. છેદ $x-5 < 0$ સૂચવે છે કે $x < 5$.
આ શરતોને જોડતા,આપણને $x < 5$ અને $x \neq 0$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $\frac{|x-1|}{x-1} \leq 0$ છે.
પદાવલિ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $x - 1 \neq 0$,જેનો અર્થ છે $x \neq 1$.
કિસ્સો $1$: જો $x > 1$ હોય,તો $|x-1| = x-1$. પદાવલિ $\frac{x-1}{x-1} = 1$ બને છે. $1 \not\leq 0$ હોવાથી,આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $x < 1$ હોય,તો $|x-1| = -(x-1)$. પદાવલિ $\frac{-(x-1)}{x-1} = -1$ બને છે. $-1 \leq 0$ સત્ય હોવાથી,તમામ $x < 1$ અસમતાનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in (-\infty, 1)$ છે.

(B) છાયાંકિત પ્રદેશ કાર્તેઝિયન સમતલના બીજા ચરણમાં આવેલો છે.
બીજા ચરણમાં,$x$-યામ હંમેશા શૂન્ય અથવા શૂન્યથી નાનો $(x \leq 0)$ હોય છે અને $y$-યામ હંમેશા શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટો $(y \geq 0)$ હોય છે.
તેથી,છાયાંકિત પ્રદેશ $x \leq 0, y \geq 0$ અસમતા દર્શાવે છે.

(A) આપેલ અસમતાઓ:
$a + b < c + d \quad (i)$
$b + c < d + e \quad (ii)$
$c + d < e + a \quad (iii)$
$d + e < a + b \quad (iv)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a + b) + (c + d) < (c + d) + (e + a)$
$a + b + c + d < a + c + d + e$
$b < e \quad (v)$
$(ii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(b + c) + (d + e) < (d + e) + (a + b)$
$b + c + d + e < a + b + d + e$
$c < a \quad (vi)$
$(i)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a + b) + (d + e) < (c + d) + (a + b)$
$a + b + d + e < a + b + c + d$
$e < c \quad (vii)$
$(v), (vi), (vii)$ ને જોડતા:
$b < e < c < a$
આમ,સૌથી મોટી કિંમત $a$ અને સૌથી નાની કિંમત $b$ છે.

(B) આપેલ વક્રોના સમીકરણો:
$y = 2x^3 + ax + b$ $(i)$
$y = 2x^3 + cx + d$ $(ii)$
વક્રોને કોઈ સામાન્ય બિંદુ ન હોવા માટે,સમીકરણ $2x^3 + ax + b = 2x^3 + cx + d$ નો $x$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન હોવો જોઈએ.
આ સમીકરણ $(a - c)x = d - b$ માં પરિણમે છે.
જો $a - c \neq 0$ હોય,તો $x = \frac{d - b}{a - c}$ એ હંમેશા વાસ્તવિક ઉકેલ મળે,જે શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$a - c = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a = c$.
સમીકરણમાં $a = c$ મૂકતા,આપણને $0 = d - b$ મળે,એટલે કે $b = d$.
પરંતુ,વક્રોને કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી,જેનો અર્થ છે કે $(a - c)x = d - b$ અસંગત હોવું જોઈએ.
જો $a = c$ હોય,તો $0 = d - b$. આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે $d - b \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આપણે $(a - c)^2 + b - d$ ને મહત્તમ બનાવવું છે. $a = c$ હોવાથી,આ પદ $0 + b - d = b - d$ બને છે.
જ્યાં $b, d \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ અને $b \neq d$ હોય ત્યારે $b - d$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $b = 6$ અને $d = 1$ લઈએ છીએ.
આમ,મહત્તમ કિંમત $6 - 1 = 5$ છે.

(D) આપેલ અસમતા $\frac{\sqrt{x+5}}{1-x} > 1$ છે.
વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$ અને $x \neq 1$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $1-x > 0$,એટલે કે $x < 1$,તો $\sqrt{x+5} > 1-x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x+5 > (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$.
$x^2 - 3x - 4 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) < 0$.
આથી $-1 < x < 4$.
$x < 1$ સાથે જોડતા,આપણને $-1 < x < 1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $1-x < 0$,એટલે કે $x > 1$,તો $\sqrt{x+5} < 1-x$ જે અશક્ય છે કારણ કે ડાબી બાજુ ધન અને જમણી બાજુ ઋણ છે.
તેથી,ઉકેલ $-1 < x < 1$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $|3x - 2| \leq \frac{1}{2}$ છે.
માનાંકના ગુણધર્મ મુજબ,જો $|u| \leq a$ હોય,તો $-a \leq u \leq a$.
તેથી,$-\frac{1}{2} \leq 3x - 2 \leq \frac{1}{2}$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $2$ ઉમેરતા:
$-\frac{1}{2} + 2 \leq 3x \leq \frac{1}{2} + 2$.
$\frac{3}{2} \leq 3x \leq \frac{5}{2}$.
$3$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{6}$.
આમ,$x \in [\frac{1}{2}, \frac{5}{6}]$.

(D) આપેલ છે,$a < b$.
કારણ કે $x < 0$,અસમતાની બંને બાજુઓને $x$ વડે ભાગતા અસમતાની નિશાની બદલાઈ જાય છે.
તેથી,$\frac{a}{x} > \frac{b}{x}$.

(A) આપેલ અસમતા $|3x - 5| \leq 2$ છે.
માનાંક અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ,$|f(x)| \leq a \iff -a \leq f(x) \leq a$.
તેથી,$-2 \leq 3x - 5 \leq 2$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $5$ ઉમેરતા:
$-2 + 5 \leq 3x \leq 2 + 5$
$3 \leq 3x \leq 7$.
$3$ વડે ભાગતા:
$1 \leq x \leq \frac{7}{3}$.

(C) આપેલ અસમતા $|x+5| \geq 10$ છે.
માનાંક અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ,$|u| \geq a$ એટલે $u \leq -a$ અથવા $u \geq a$ થાય.
તેથી,$x+5 \leq -10$ અથવા $x+5 \geq 10$.
પ્રથમ ભાગ ઉકેલતા: $x \leq -10 - 5 \Rightarrow x \leq -15$.
બીજો ભાગ ઉકેલતા: $x \geq 10 - 5 \Rightarrow x \geq 5$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \in (-\infty, -15] \cup [5, \infty)$ મળે છે.

(A) આપેલ અસમતા $|x-2| \leq 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગુણધર્મ $|x| \leq a$ એ $-a \leq x \leq a$ ને સમાન છે.
આ ગુણધર્મને આપેલ અસમતા પર લાગુ કરતાં,આપણને $-1 \leq x-2 \leq 1$ મળે છે.
અસમતાના તમામ ભાગોમાં $2$ ઉમેરતા,આપણને $-1 + 2 \leq x \leq 1 + 2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 \leq x \leq 3$ મળે છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in [1, 3]$ છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{x : |2x + 3| < 7\}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અસમતા $|f(x)| < a$ એ $-a < f(x) < a$ ને સમતુલ્ય છે.
આપેલ અસમતા પર આ લાગુ પાડતા:
$-7 < 2x + 3 < 7$
બધા પદોમાંથી $3$ બાદ કરતા:
$-7 - 3 < 2x < 7 - 3$
$-10 < 2x < 4$
$2$ વડે ભાગતા:
$-5 < x < 2$
હવે,ગણ $D = \{x : 0 < x + 5 < 7\}$ માટે શરત તપાસીએ:
$0 < x + 5 < 7$
બધા પદોમાંથી $5$ બાદ કરતા:
$0 - 5 < x < 7 - 5$
$-5 < x < 2$
ગણ $A$ અને ગણ $D$ માટે $x$ નો વિસ્તાર સમાન હોવાથી,ગણ $A$ એ ગણ $D$ ની બરાબર છે.

(A) આપેલ અસમતા: $16(2^x) > 16^{-1/x}$ \\
$16 = 2^4$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $2^4 \cdot 2^x > (2^4)^{-1/x}$ \\
$2^{x+4} > 2^{-4/x}$ \\
આધાર $2 > 1$ હોવાથી,ઘાતાંકો માટે અસમતા સાચી છે: $x + 4 > -4/x$ \\
$x + 4 + 4/x > 0$ \\
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x} > 0$ \\
$\frac{(x+2)^2}{x} > 0$ \\
$x \neq -2$ માટે $(x+2)^2 > 0$ હોવાથી,અસમતા ત્યારે જ સાચી છે જ્યારે $x > 0$ હોય. \\
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{x \in R: x > 0\}$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$.
આપણે પદોને જૂથબદ્ધ કરીને અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$f(x) = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,$f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$ તરીકે વિચારો.
જો $x \ge 1$ હોય,તો $x^9(x^3 - 1) \ge 0$ અને $x(x^3 - 1) \ge 0$,તેથી $f(x) \ge 1 > 0$.
જો $x \le 0$ હોય,તો $f(x) = x^{12} + x^4 + (-x^9 - x) + 1$. કારણ કે $x \le 0$,$-x^9 \ge 0$ અને $-x \ge 0$,તેથી $f(x) > 0$.
જો $0 < x < 1$ હોય,તો આપણે $f(x) = x^{12} + x^4(1 - x^5) + (1 - x)$ લખી શકીએ. કારણ કે $x^5 < 1$ અને $x < 1$,બધા પદો ધન છે,તેથી $f(x) > 0$.
આમ,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) > 0$ હોવાથી,સૌથી મોટો અંતરાલ $(-\infty, \infty)$ છે.