Limit of trigonometric function Questions in Gujarati

(C) અમે લક્ષની ગણતરી કરીએ છીએ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}\cot x}}{{1 - \cos x}}$.
નિત્યસમ $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ નો ઉપયોગ કરીને અથવા અનુબદ્ધ વડે ગુણીને:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}\cos x}}{{\sin x (1 - \cos x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \right) \cdot \frac{x^2}{1 - \cos x} \cdot \cos x$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{2\sin^2(x/2)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{( \sin(x/2) / (x/2) )^2} = 2$.
આમ,લક્ષ $1 \times 2 \times \cos(0) = 1 \times 2 \times 1 = 2$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.
તેથી,લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{x}$ બને છે.
આને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \sin x \right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2 \cdot 1 \cdot \sin(0) = 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} kx\,\text{cosec}\,x = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\,\text{cosec}\,kx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{cosec}\,\theta = \frac{1}{\sin \theta}$.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{kx}{\sin x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin kx}$
જમણી બાજુને $k$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{kx}{\sin x} = \frac{1}{k} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{kx}{\sin kx}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin \theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k(1) = \frac{1}{k}(1)$
$k = \frac{1}{k}$
$k^2 = 1$
$k = \pm 1$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $2$ વડે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \times \frac{\sin 2x}{2x} \right)$.
જેમ $x \to 0$ તેમ $2x \to 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$2 \times \mathop {\lim }\limits_{2x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \times 1 = 2$.

(C) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos mx}{1 - \cos nx} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(mx/2)}{2 \sin^2(nx/2)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ \left( \frac{\sin(mx/2)}{mx/2} \right)^2 \cdot \frac{m^2 x^2}{4} \cdot \left( \frac{nx/2}{\sin(nx/2)} \right)^2 \cdot \frac{4}{n^2 x^2} \right]$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી:
$= \frac{m^2}{n^2} \cdot 1 = \frac{m^2}{n^2}$.
વૈકલ્પિક રીત: $L$-Hospital નો નિયમ વાપરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos mx}{1 - \cos nx} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m \sin mx}{n \sin nx}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m^2 \cos mx}{n^2 \cos nx} = \frac{m^2(1)}{n^2(1)} = \frac{m^2}{n^2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1$.
આપેલ પદ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}3x}}{{{x^2}}}$ છે.
$= 2 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\sin 3x}}{x} \right)^2$.
$= 2 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 3 \times \frac{{\sin 3x}}{{3x}} \right)^2$.
$= 2 \times 3^2 \times \left( \mathop {\lim }\limits_{3x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{3x}} \right)^2$.
$= 2 \times 9 \times (1)^2 = 18$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$.
આપેલ લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$ છે.
$ax$ અને $bx$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \cdot ax \cdot \frac{1}{\frac{\sin bx}{bx} \cdot bx} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right) \cdot \left( \frac{bx}{\sin bx} \right) \cdot \frac{ax}{bx}$
$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x^\circ = \frac{\pi x}{180} \text{ રેડિયન}$.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin {x^\circ}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( \frac{\pi x}{180} \right)}}{x}$.
$\frac{\pi}{180}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\pi}{180} \right) \cdot \frac{{\sin \left( \frac{\pi x}{180} \right)}}{\frac{\pi x}{180}}$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી અભિવ્યક્તિ $\frac{\pi}{180} \cdot 1 = \frac{\pi}{180}$ થાય છે.

(D) સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ અને $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x + \sin 6x}}{{\sin 5x - \sin 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 \sin 4x \cos (-2x)}}{{2 \cos 4x \sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x \cos 2x}}{{\cos 4x \sin x}}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરવા માટે $4x$ અને $x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \right) \left( \frac{x}{\sin x} \right) \frac{4x \cos 2x}{x \cos 4x} = 1 \times 1 \times 4 \times \frac{\cos(0)}{\cos(0)} = 4 \times 1 = 4$.

(B) આપણે પ્રમાણિત લક્ષનું સૂત્ર જાણીએ છીએ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$.
આપેલ પદાવલિમાં આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta/4)}{\theta} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin(\theta/4)}{\theta/4}$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ જ્યાં $u = \theta/4$,
તેથી પદાવલિની કિંમત $\frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$ થશે.

(C) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\tan 3x}}{x} + \cos x} \right)$.
લક્ષના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)$,આપણને મળે છે:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 3x}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x$.
પ્રથમ પદ માટે,$3$ વડે ગુણી અને ભાગતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3 \cdot \frac{{\tan 3x}}{{3x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\tan \theta}}{\theta} = 1$,પ્રથમ પદ $3 \cdot 1 = 3$ થશે.
બીજા પદ માટે,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x = \cos(0) = 1$.
તેથી,કુલ લક્ષ $3 + 1 = 4$ છે.

(C) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,લક્ષ નીચે મુજબ મળે:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2(\theta/2)}{\theta^2} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2(\theta/2)}{4(\theta/2)^2} = \frac{2}{4} \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin(\theta/2)}{\theta/2} \right)^2 = \frac{1}{2} \times (1)^2 = \frac{1}{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital નો નિયમ વાપરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{2\theta} = \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.

(B) આપણે લક્ષ્યની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin 3\theta - \sin \theta }}{{\sin \theta }}$
$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) - \sin \theta }}{{\sin \theta }}$
$= \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{2\sin \theta - 4\sin^3 \theta }}{{\sin \theta }}$
$= \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} (2 - 4\sin^2 \theta)$
$= 2 - 4(0)^2 = 2$
વૈકલ્પિક રીતે,$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin n\theta }}{{\sin \theta }} = n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin 3\theta }}{{\sin \theta }} - \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{{\sin \theta }}$
$= 3 - 1 = 2$

(A) આપણે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{x}$ લક્ષની કિંમત શોધીએ.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(x/2)}{x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરવા માટે:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \left( \frac{\sin(x/2)}{x/2} \right)^2 \cdot \frac{x}{4} \right) = 2 \cdot (1)^2 \cdot 0 = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{1} = \sin(0) = 0$.

(B) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવી છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - \tan 2x}}{{\tan x}}$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{x} - \frac{\tan 2x}{x}}{\frac{\tan x}{x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x - 2 \cdot \frac{\tan 2x}{2x}}{\frac{\tan x}{x}}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{0 - 2(1)}{1} = -2$.

(A) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{5\theta \cos \theta - 2\sin \theta }{3\theta + \tan \theta }$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $\theta$ વડે ભાગતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\frac{5\theta \cos \theta - 2\sin \theta}{\theta}}{\frac{3\theta + \tan \theta}{\theta}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{5\cos \theta - 2\frac{\sin \theta}{\theta}}{3 + \frac{\tan \theta}{\theta}}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,અને $\cos(0) = 1$ હોવાથી:
$= \frac{5(1) - 2(1)}{3 + 1} = \frac{5 - 2}{4} = \frac{3}{4}$

(D) આપણી પાસે લક્ષ છે: $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2\left[ {\sqrt 3 \sin \left( {\frac{\pi }{6} + h} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{6} + h} \right)} \right]}}{{\sqrt 3 h(\sqrt 3 \cos h - \sin h)}}$
કૌંસની અંદર અંશ અને છેદને $\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{4\left[ {\frac{\sqrt 3}{2} \sin \left( {\frac{\pi }{6} + h} \right) - \frac{1}{2} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + h} \right)} \right]}}{{\sqrt 3 h(\sqrt 3 \cos h - \sin h)}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \frac{\pi}{6} + h$ અને $B = \frac{\pi}{6}$ છે:
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{4 \sin \left( {\frac{\pi }{6} + h - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{\sqrt 3 h(\sqrt 3 \cos h - \sin h)}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{4 \sin h}}{{\sqrt 3 h(\sqrt 3 \cos h - \sin h)}}$
$= \frac{4}{\sqrt 3} \times \left( \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\sqrt 3 \cos h - \sin h}} \right)$
$= \frac{4}{\sqrt 3} \times 1 \times \frac{1}{{\sqrt 3(1) - 0}} = \frac{4}{\sqrt 3} \times \frac{1}{\sqrt 3} = \frac{4}{3}$.

(A) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2(\frac{x}{2})$ અને $\sin^2 x = 4 \sin^2(\frac{x}{2}) \cos^2(\frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 \sin^2(\frac{x}{2})}}{{4 \sin^2(\frac{x}{2}) \cos^2(\frac{x}{2})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}$.
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $\cos(\frac{x}{2}) \to \cos(0) = 1$.
તેથી,લક્ષની કિંમત $\frac{1}{2(1)^2} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(C) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x + \sin x}}{x}$.
લક્ષના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને અલગ કરી શકીએ છીએ:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
પ્રથમ પદને $3$ વડે ગુણી અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$.
તેથી,$1 - \cos 6x = 2 \sin^2(3x)$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(3x)}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\sin^2(3x)}{x} \right)$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરવા માટે $9x$ વડે ગુણી અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot \frac{\sin^2(3x)}{(3x)^2} \cdot 9x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( 2 \cdot 1^2 \cdot 9x \right) = 0$.

(B) લિમિટ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(mx)}{\tan(nx)}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પ્રમાણિત લિમિટ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan(\theta)}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(mx)}{x}}{\frac{\tan(nx)}{x}}$
અંશમાં $m$ વડે અને છેદમાં $n$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{m \cdot \frac{\sin(mx)}{mx}}{n \cdot \frac{\tan(nx)}{nx}}$
જેમ $x \to 0$,તેમ $mx \to 0$ અને $nx \to 0$,તેથી લિમિટ:
$\frac{m \cdot 1}{n \cdot 1} = \frac{m}{n}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\sin x - (3\sin x - 4\sin^3 x)}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\sin^3 x}}{{{x^3}}}$
$= 4 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^3$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$= 4 \times (1)^3 = 4$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3}}}{{\sin {x^2}}}$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{\sin {x^2}} \times x \right)$.
લક્ષના ગુણધર્મ $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = x^2$,જેમ $x \to 0$,તેમ $u \to 0$.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin {x^2}} = 1$.
આમ,લક્ષનું મૂલ્ય: $1 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 1 \times 0 = 0$ થાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત લક્ષનું સૂત્ર $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = 1$ છે.
લક્ષનો વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}} = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x}}} = \frac{1}{1} = 1$.

(A) સીમા $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ એ કલનશાસ્ત્રમાં એક પ્રમાણિત સીમા છે.
$\sin x$ માટે ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
તેથી,$\frac{\sin x}{x} = \frac{x - \frac{x^3}{6} + \dots}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \dots$
જેમ $x \to 0$ થાય,તેમ આ પદ $1$ ની નજીક પહોંચે છે.

(C) સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(a+x) + \sin(a-x) = 2\sin a \cos x$.
લક્ષમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2\sin a \cos x - 2\sin a}{x \sin x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2\sin a (\cos x - 1)}{x \sin x}$.
$= -2\sin a \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{x}{\sin x} \right)$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ અને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$,તેથી:
$= -2\sin a \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = -\sin a$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{\sin a - \tan a}}{{{{\sin }^3}a}}$
$\tan a$ ને $\frac{\sin a}{\cos a}$ તરીકે લખતા:
$\mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{\sin a - \frac{\sin a}{\cos a}}}{{{{\sin }^3}a}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{\sin a(\cos a - 1)}}{{\cos a \cdot \sin^3 a}}$
$\sin a$ ને છેદતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{\cos a - 1}}{{\cos a \cdot \sin^2 a}}$
$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = (1 - \cos a)(1 + \cos a)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{-(\cos a - 1)}}{{\cos a \cdot (1 - \cos a)(1 + \cos a)}}$
$(1 - \cos a)$ ને છેદતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{a \to 0} \frac{{-1}}{{\cos a(1 + \cos a)}}$
$a = 0$ મૂકતા:
$= \frac{{-1}}{{1(1 + 1)}} = -\frac{1}{2}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{k^u - 1}{u} = \ln k$.
આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{a^{\sin x} - 1}{b^{\sin x} - 1}$.
$\sin x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{a^{\sin x} - 1}{\sin x} \times \frac{\sin x}{b^{\sin x} - 1} \right)$.
જેમ $x \to 0$,તેમ $\sin x \to 0$. તેથી,પદ $\ln a \times \frac{1}{\ln b}$ બને છે.
તેથી,જવાબ $\frac{\log a}{\log b}$ છે.

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(1 - \cos 2x)\sin 5x}{x^2 \sin 3x}$
નિત્યસમ $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x \sin 5x}{x^2 \sin 3x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{\sin 5x}{\sin 3x}$
$5x$ અને $3x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5x}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$:
$= 2 \cdot (1)^2 \cdot \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{10}{3}$.

(B) આપણે લક્ષ $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi {{\cos }^2}x)}}{{{x^2}}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ હોવાથી,આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi (1 - \sin^2 x))}}{{{x^2}}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi - \pi \sin^2 x)}}{{{x^2}}}$
નિત્યસમ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\pi \sin^2 x)}}{{{x^2}}}$
અંશ અને છેદને $\pi \sin^2 x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\sin (\pi \sin^2 x)}}{{\pi \sin^2 x}} \right) \times \frac{{\pi \sin^2 x}}{{{x^2}}}$
જેમ $x \to 0$,તેમ $\pi \sin^2 x \to 0$,તેથી $\frac{{\sin (\pi \sin^2 x)}}{{\pi \sin^2 x}} \to 1$.
વળી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin^2 x}}{{{x^2}}} = 1$.
તેથી,$L = 1 \times \pi \times 1 = \pi $.

(D) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos (\sin x) - 1}}{{{x^2}}}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \theta - 1 = -2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરીને,$\theta = \sin x$ મૂકતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 2 \sin^2(\frac{\sin x}{2})}}{{{x^2}}}$
$= -2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin(\frac{\sin x}{2})}{\frac{\sin x}{2}} \cdot \frac{\sin x}{2x} \right)^2$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી:
$= -2 \cdot (1)^2 \cdot (1/2)^2 = -2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{4\theta (\tan \theta - \sin \theta )}}{{{{(1 - \cos 2\theta )}^2}}}$.
$\tan \theta - \sin \theta = \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta )}{\cos \theta }$ અને $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{4\theta \sin \theta (1 - \cos \theta )}}{{\cos \theta (2\sin^2 \theta )^2}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{2\theta \sin^2(\theta /2)}}{{\sin^3 \theta \cos \theta }} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (1 - x)\tan \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right)$.
$y = 1 - x$ આદેશ લેતા,જ્યારે $x \to 1$,ત્યારે $y \to 0$ અને $x = 1 - y$.
તેથી $L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{{\pi (1 - y)}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi y}}{2}} \right)$.
નિત્યસમ $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} y \cot \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{y}{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}$.
$\frac{\pi }{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\pi }{2}} \cdot \frac{{\frac{{\pi y}}{2}}}{{\tan \left( {\frac{{\pi y}}{2}} \right)}} = \frac{2}{\pi } \cdot 1 = \frac{2}{\pi }$.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{\sqrt{1 - \cos\{2(x - 2)\}}}{x - 2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 - \cos\{2(x - 2)\} = 2\sin^2(x - 2)$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{\sqrt{2\sin^2(x - 2)}}{x - 2} = \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$. જ્યારે $x \to 2^-$,ત્યારે $(x - 2) < 0$,તેથી $|\sin(x - 2)| = -\sin(x - 2)$.
$LHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{-\sqrt{2}\sin(x - 2)}{x - 2} = -\sqrt{2}(1) = -\sqrt{2}$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$. જ્યારે $x \to 2^+$,ત્યારે $(x - 2) > 0$,તેથી $|\sin(x - 2)| = \sin(x - 2)$.
$RHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{2}\sin(x - 2)}{x - 2} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
અહીં $LHL \neq RHL$ હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cot x - \cos x}}{{{{\left( {\pi - 2x} \right)}^3}}}$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x(1 - \sin x)}}{{\sin x \cdot 8{{\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}^3}}}$.
$t = \frac{\pi }{2} - x$ આદેશ લેતા. જ્યારે $x \to \frac{\pi }{2}$,ત્યારે $t \to 0$. તેથી $x = \frac{\pi }{2} - t$ અને $\cos x = \sin t$,$\sin x = \cos t$.
$L = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t(1 - \cos t)}}{{8{t^3}\cos t}}$.
$L = \frac{1}{8} \cdot \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( \frac{{\sin t}}{t} \right) \cdot \left( \frac{{1 - \cos t}}{{{t^2}}} \right) \cdot \frac{1}{{\cos t}}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t}}{t} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{1 - \cos t}}{{{t^2}}} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{1}{8} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{{16}}$.

(B) ધારો કે $L = \lim_{x \to 0} (\cos ax)^{\csc^2 bx}$. આ $1^\infty$ સ્વરૂપ છે.
સૂત્ર $\lim_{x \to 0} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to 0} g(x)(f(x)-1)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = e^{\lim_{x \to 0} \csc^2 bx (\cos ax - 1)}$
$L = e^{-\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ax}{\sin^2 bx}}$
$1 - \cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$ અને $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = e^{-\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(ax/2)}{\sin^2 bx}} = e^{-\lim_{x \to 0} \frac{2(ax/2)^2}{(bx)^2}} = e^{-\frac{2(a^2/4)}{b^2}} = e^{-\frac{a^2}{2b^2}}$

(D) નાના ધન ખૂણા $\theta$ (રેડિયનમાં) માટે,આપણે એકમ વર્તુળની ભૂમિતિ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
પ્રથમ ચરણમાં,$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,નીચેની અસમતા સાચી છે: $\sin \theta < \theta < \tan \theta$.
આખી અસમતાને $\sin \theta$ (જે ધન છે) વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $1 < \frac{\theta}{\sin \theta} < \frac{1}{\cos \theta}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે: $\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1$.
વળી,મૂળ અસમતા $\sin \theta < \theta < \tan \theta$ ને $\theta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{\sin \theta}{\theta} < 1 < \frac{\tan \theta}{\theta}$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{\tan \theta}{\theta} > 1 > \frac{\sin \theta}{\theta}$,જે સાબિત કરે છે કે $\frac{\tan \theta}{\theta} > \frac{\sin \theta}{\theta}$.
આમ,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\sin }^2}x + \cos x \cos (x + 2) - {{\cos }^2}(x + 1)}}$ છે.
નિત્યસમ $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos x \cos (x+2) = \frac{1}{2} [\cos(2x+2) + \cos 2]$ મળે.
તેથી,છેદ $\sin(x+1) \sin(x-1)$ માં પરિણમે છે.
આમ,$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{\sin(x+1) \sin(x-1)} = \frac{2}{\sin 2}$.

(A) આપેલ લક્ષ $1^\infty$ સ્વરૂપનું છે.
સૂત્ર $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {f(x)^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) - 1)g(x)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\cos ax - 1) \csc^2 bx}$
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{-(1 - \cos ax)}{\sin^2 bx}}$
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} -\left( \frac{1 - \cos ax}{(ax)^2} \right) \cdot \frac{(ax)^2}{\left( \frac{\sin bx}{bx} \cdot bx \right)^2}}$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ અને $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$:
$L = e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{b^2}} = e^{\left( -\frac{a^2}{2b^2} \right)}$

(A) આપેલ લક્ષ: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - \cos 2ax} }}{{\sin bx}}$
નિત્યસમ $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {2\sin^2 ax} }}{{\sin bx}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt{2} |\sin ax|}}{{\sin bx}}$
અહીં $x \to 0^+$ અને $a > 0$ હોવાથી,$ax > 0$,તેથી $|\sin ax| = \sin ax$.
$L = \sqrt{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \sqrt{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( \frac{\sin ax}{ax} \cdot \frac{bx}{\sin bx} \cdot \frac{ax}{bx} \right)$
$L = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a\sqrt{2}}{b}$

(B) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5\sin x + x\cos x}}{{2\tan x - {x^2}}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{5\sin x}{x} + \frac{x\cos x}{x}}}{{\frac{2\tan x}{x} - \frac{x^2}{x}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5(\frac{\sin x}{x}) + \cos x}}{{2(\frac{\tan x}{x}) - x}}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{5(1) + \cos(0)}{2(1) - 0} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

(D) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\tan 2x - 2x\tan x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}$.
$\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}$ અને $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} \right) - 2x\tan x}}{{{{\left( {2\sin^2 x} \right)}^2}}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x\tan x - 2x\tan x(1 - {{\tan }^2}x)}}{{(1 - {{\tan }^2}x) \cdot 4\sin^4 x}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x\tan^3 x}}{{4\sin^4 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ હોવાથી:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x}}}{{4\sin^4 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{4\sin x \cdot \cos^3 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{2\sin x} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos^3 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1(1 - 0)} = \frac{1}{2}$.

(D) આપણે લક્ષની કિંમત મેળવવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi {{\cos }^2}x} \right)}}{{{x^2}}}$
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi (1 - \sin^2 x)} \right)}}{{{x^2}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi - \pi \sin^2 x} \right)}}{{{x^2}}}$
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ હોવાથી:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi \sin^2 x} \right)}}{{{x^2}}}$
$\pi \sin^2 x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\sin \left( {\pi \sin^2 x} \right)}}{{\pi \sin^2 x}} \times \frac{{\pi \sin^2 x}}{{{x^2}}} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta}}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 \times \pi \times (\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x})^2 = 1 \times \pi \times 1^2 = \pi$

(D) આપેલ લક્ષ: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cot(4x)}{\sin^2 x \cot^2(2x)}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ મૂકતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cos(4x) \sin^2(2x)}{\sin^2 x \sin(4x) \cos^2(2x)}$
$\sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cos(4x) \sin^2(2x)}{\sin^2 x (2 \sin(2x) \cos(2x)) \cos^2(2x)}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \right)^2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{\cos(4x)}{\cos^3(2x)}$
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $\frac{\sin \theta}{\theta} \to 1$ અને $\cos \theta \to 1$:
$L = (1)^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1^3} = 1$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 2x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4x \cdot \frac{1}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin 4x}{4x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{4x}{2x} \right)$
$= \left( \mathop {\lim }\limits_{4x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \right) \cdot \left( \mathop {\lim }\limits_{2x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} \right) \cdot 2$
$= 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$.

(A) આપણી પાસે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}$ છે
$= \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \right)$
$= 1 \times \frac{1}{\cos(0)} = 1 \times 1 = 1$

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx}$
$x=0$ મુકતા,વિધેય $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \times \frac{ax}{bx} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right) \times \frac{a}{b}$
જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $ax \to 0$ થાય. તેથી:
$= \frac{a}{b} \times \mathop {\lim }\limits_{ax \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right)$
$= \frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b}$

(A) અમને આપેલ લક્ષ છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$.
$x=0$ મુકતા,પદ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.
આપણે પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \cdot ax \cdot \frac{1}{\frac{\sin bx}{bx} \cdot bx} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right) \cdot \frac{1}{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{\sin bx}{bx} \right)} \cdot \frac{ax}{bx}$
$= 1 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)}$
ધારો કે $y = \pi - x$. જેમ $x \to \pi$,તેમ $y \to 0$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{\sin y}{\pi y}$
$= \frac{1}{\pi} \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}$
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{\pi} \times 1 = \frac{1}{\pi}$