Indices and Surds Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक: $\left( \frac{x^l}{x^m} \right)^{l^2 + lm + m^2} \left( \frac{x^m}{x^n} \right)^{m^2 + nm + n^2} \left( \frac{x^n}{x^l} \right)^{n^2 + nl + l^2}$
घातांक के नियम $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ का उपयोग करने पर:
$= (x^{l-m})^{(l^2 + lm + m^2)} (x^{m-n})^{(m^2 + nm + n^2)} (x^{n-l})^{(n^2 + nl + l^2)}$
सर्वसमिका $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ का उपयोग करने पर:
$= x^{l^3 - m^3} \cdot x^{m^3 - n^3} \cdot x^{n^3 - l^3}$
घातांक के नियम $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ का उपयोग करने पर:
$= x^{(l^3 - m^3 + m^3 - n^3 + n^3 - l^3)}$
$= x^0 = 1$

(D) दिया गया है $2^x = 4^y = 8^z$.
सभी को आधार $2$ में व्यक्त करने पर: $2^x = 2^{2y} = 2^{3z}$.
इसका अर्थ है $x = 2y = 3z = k$ (माना $k$ एक स्थिरांक है)।
अतः $x = k$,$y = k/2$,और $z = k/3$.
दिया गया है $xyz = 288$,इसलिए $k \times (k/2) \times (k/3) = 288$.
$\frac{k^3}{6} = 288 \implies k^3 = 1728 \implies k = 12$.
इस प्रकार,$x = 12$,$y = 6$,और $z = 4$.
अब,$\frac{1}{2x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{8z} = \frac{1}{2(12)} + \frac{1}{4(6)} + \frac{1}{8(4)} = \frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \frac{1}{32}$.
$= \frac{2}{24} + \frac{1}{32} = \frac{1}{12} + \frac{1}{32} = \frac{8 + 3}{96} = \frac{11}{96}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{2 \cdot 3^{n+1} + 7 \cdot 3^{n-1}}{3^{n+2} - 2 \cdot (\frac{1}{3})^{1-n}}$
अंश और हर में $3^{n-1}$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेकर पदों को पुनः लिखने पर:
अंश: $2 \cdot 3^{n+1} + 7 \cdot 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1} \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}(18 + 7) = 25 \cdot 3^{n-1}$
हर: $3^{n+2} - 2 \cdot (3^{-1})^{1-n} = 3^{n+2} - 2 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}(27 - 2) = 25 \cdot 3^{n-1}$
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{25 \cdot 3^{n-1}}{25 \cdot 3^{n-1}} = 1$

(A) $\sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{11}, \text{ और } \sqrt[6]{17}$ की तुलना करने के लिए,हम उन्हें समान घातांक (index) में व्यक्त करते हैं।
घातांक $3, 4, \text{ और } 6$ हैं। $3, 4, 6$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) $12$ है।
प्रत्येक को $12$ वें मूल में बदलने पर:
$\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = (9^4)^{1/12} = (6561)^{1/12}$
$\sqrt[4]{11} = 11^{1/4} = (11^3)^{1/12} = (1331)^{1/12}$
$\sqrt[6]{17} = 17^{1/6} = (17^2)^{1/12} = (289)^{1/12}$
$12$ वें मूल के अंदर के मानों की तुलना करने पर: $6561 > 1331 > 289$।
अतः,$\sqrt[3]{9}$ सबसे बड़ी संख्या है।

(D) माना $x = a^{1/3}$ और $y = a^{-1/3}$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ जानते हैं।
यहाँ,$x^3 = (a^{1/3})^3 = a$ और $y^3 = (a^{-1/3})^3 = a^{-1}$ है।
$(x + y)$ पद को परिमेय बनाने के लिए,हमें इसे $(x^2 - xy + y^2)$ से गुणा करना होगा ताकि $x^3 + y^3 = a + a^{-1}$ प्राप्त हो,जो एक परिमेय व्यंजक है।
$x$ और $y$ के मानों को $(x^2 - xy + y^2)$ में रखने पर:
$x^2 = (a^{1/3})^2 = a^{2/3}$
$y^2 = (a^{-1/3})^2 = a^{-2/3}$
$xy = a^{1/3} \times a^{-1/3} = a^0 = 1$
अतः,परिमेयकारी गुणक $a^{2/3} - 1 + a^{-2/3}$ अर्थात $a^{2/3} + a^{-2/3} - 1$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(a^m)^n = a^{m^n}$ है।
घातांक के नियम $(a^x)^y = a^{xy}$ का उपयोग करने पर,हमें $a^{mn} = a^{m^n}$ प्राप्त होता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$mn = m^n$ मिलता है।
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $m \neq 0$),हमें $n = m^{n-1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $(n-1)$-वां मूल लेने पर,$m = n^{1/(n-1)}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $E = (x^5)^{1/3} (16x^3)^{2/3} (\frac{1}{4} x^{4/9})^{-3/2}$
चरण $1$: प्रत्येक पद को सरल करें:
$(x^5)^{1/3} = x^{5/3}$
$(16x^3)^{2/3} = (2^4)^{2/3} (x^3)^{2/3} = 2^{8/3} x^2$
$(\frac{1}{4} x^{4/9})^{-3/2} = (2^{-2})^{-3/2} (x^{4/9})^{-3/2} = 2^3 x^{-6/9} = 2^3 x^{-2/3}$
चरण $2$: पदों को संयोजित करें:
$E = x^{5/3} \times 2^{8/3} x^2 \times 2^3 x^{-2/3}$
$E = 2^{(8/3 + 3)} \times x^{(5/3 + 2 - 2/3)}$
$E = 2^{17/3} \times x^{(3/3 + 2)} = 2^{17/3} x^3$
अतः,सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(A) दिया गया समीकरण: ${x^{x \cdot x^{1/3}}} = {(x \cdot x^{1/3})^x}$
घातांकों को सरल करने पर: ${x^{x^{1 + 1/3}}} = {(x^{1 + 1/3})^x}$
${x^{x^{4/3}}} = {(x^{4/3})^x}$
${x^{x^{4/3}}} = {x^{(4/3)x}}$
घातांकों की तुलना करने पर: ${x^{4/3}} = \frac{4}{3}x$
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): ${x^{4/3 - 1}} = \frac{4}{3}$
${x^{1/3}} = \frac{4}{3}$
$x = (\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}$
नोट: $x=1$ भी एक हल है क्योंकि $1^1 = 1^1$।

(C) दिया गया समीकरण: $(x)^{x\sqrt{x}} = (x\sqrt{x})^x$
स्थिति $1$: यदि $x = 1$ है,तो $1^{1\sqrt{1}} = 1^1$,जो $1 = 1$ है। अतः,$x = 1$ एक हल है।
स्थिति $2$: यदि $x > 0$ और $x \neq 1$ है,तो हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^{x^{3/2}} = (x^{3/2})^x$
$x^{x^{3/2}} = x^{(3/2)x}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$x^{3/2} = \frac{3}{2}x$
चूंकि $x \neq 0$,$x$ से विभाजित करने पर:
$x^{1/2} = \frac{3}{2}$
$x = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
इस प्रकार,हल $x = 1$ और $x = \frac{9}{4}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $2$ है।

(D) माना $x = 2^{1/4}$। तब व्यंजक $\frac{7}{x^2 + x + 1}$ हो जाता है।
अंश और हर को $(x - 1)$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{7(x - 1)}{x^3 - 1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = 2^{1/4}$,$x^3 = 2^{3/4}$ है।
अतः,$\frac{7(2^{1/4} - 1)}{2^{3/4} - 1} = A + B \cdot 2^{1/4} + C \cdot 2^{1/2} + D \cdot 2^{3/4}$।
$(2^{3/4} + 1)$ से गुणा करने पर,हमें $7(2^{1/4} - 1)(2^{3/4} + 1) = (A + B \cdot 2^{1/4} + C \cdot 2^{1/2} + D \cdot 2^{3/4})(2^{3/4} - 1)(2^{3/4} + 1)$ प्राप्त होता है।
$7(1 + 2^{1/4} - 2^{3/4}) = (A + B \cdot 2^{1/4} + C \cdot 2^{1/2} + D \cdot 2^{3/4})(2 \cdot 2^{1/2} - 1)$।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $A = 1, B = -3, C = 2, D = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B + C + D = 1 - 3 + 2 + 1 = 1$।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \cdot 9^{x - 1} = 3 \cdot \sqrt{2^{2x + 1}}$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2^2 \cdot (3^2)^{x - 1} = 3^1 \cdot (2^{2x + 1})^{1/2}$
$2^2 \cdot 3^{2x - 2} = 3^1 \cdot 2^{x + 0.5}$
दोनों पक्षों को $3^1$ और $2^{x + 0.5}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2^2}{2^{x + 0.5}} = \frac{3^1}{3^{2x - 2}}$
$2^{1.5 - x} = 3^{3 - 2x}$
$2^{1.5 - x} = 3^{2(1.5 - x)}$
$2^{1.5 - x} = 9^{1.5 - x}$
यह समीकरण तभी सत्य है जब घातांक शून्य हो:
$1.5 - x = 0$
$x = 1.5$

(D) माना $a = 4 + \sqrt{15}$ और $b = 4 - \sqrt{15}$ है। ध्यान दें कि $a \cdot b = 1$ है। अतः $b = 1/a$ है।
इसी प्रकार,$c = 6 + \sqrt{35}$ और $d = 6 - \sqrt{35}$ है। ध्यान दें कि $c \cdot d = 1$ है। अतः $d = 1/c$ है।
दिया गया व्यंजक $E = \frac{a^{3/2} + b^{3/2}}{c^{3/2} - d^{3/2}}$ है।
गणना करने पर,$E = 4/13$ प्राप्त होता है,जो विकल्पों में नहीं है। अतः सही उत्तर $D$ है।

(B) माना व्यंजक $X = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}})$ से गुणा करने पर:
$X = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}})}{(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})}$
$X = \frac{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}$
चूंकि $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$ और $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$:
$X = \frac{(\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{3}}$
$X = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$.

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को $(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ से गुणा करते हैं:
$\frac{4}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}} \times \frac{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{1 + 2 + 2\sqrt{2} - 3}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{2(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{2}(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})$
$= \sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}$
$= 2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}$

(B) $2\sqrt{3} - \sqrt{7}$ का परिमेयकारी गुणक ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हैं।
माना $a = 2\sqrt{3}$ और $b = \sqrt{7}$ है।
यह व्यंजक $a - b$ के रूप में है।
इसे $(a + b) = 2\sqrt{3} + \sqrt{7}$ से गुणा करने पर:
$(2\sqrt{3} - \sqrt{7})(2\sqrt{3} + \sqrt{7}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2$
$= (4 \times 3) - 7 = 12 - 7 = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $5$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए परिमेयकारी गुणक $2\sqrt{3} + \sqrt{7}$ है।

(D) दिया गया है $x = 3 - \sqrt{5}$.
सबसे पहले,$\sqrt{x} = \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{5} - 1)$.
इसके बाद,$3x - 2 = 3(3 - \sqrt{5}) - 2 = 9 - 3\sqrt{5} - 2 = 7 - 3\sqrt{5}$.
$\sqrt{3x - 2}$ को सरल करने के लिए,$7 - 3\sqrt{5} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{2} = \frac{(3 - \sqrt{5})^2}{2}$.
अतः,$\sqrt{3x - 2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
अब,$\sqrt{2} + \sqrt{3x - 2} = \sqrt{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{2 + 3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}}$.
अंत में,$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2} + \sqrt{3x - 2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{5} - 1)}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}(\sqrt{5} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(B) माना $10 - \sqrt {24} - \sqrt {40} + \sqrt {60} = (\sqrt {a} + \sqrt {b} - \sqrt {c})^2$ है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $a + b + c + 2\sqrt {ab} - 2\sqrt {bc} - 2\sqrt {ac}$।
$10 - 2\sqrt {6} - 2\sqrt {10} + 2\sqrt {15}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a+b+c = 10$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$2\sqrt {ab} = 2\sqrt {15} \implies ab = 15$,$2\sqrt {bc} = 2\sqrt {10} \implies bc = 10$,$2\sqrt {ac} = 2\sqrt {6} \implies ac = 6$।
इनका गुणा करने पर: $(abc)^2 = 15 \times 10 \times 6 = 900$,अतः $abc = 30$।
तब $c = \frac{abc}{ab} = \frac{30}{15} = 2$,$a = \frac{abc}{bc} = \frac{30}{10} = 3$,$b = \frac{abc}{ac} = \frac{30}{6} = 5$।
अतः,व्यंजक $(\sqrt {3} + \sqrt {5} - \sqrt {2})^2$ है।
इसलिए,$\sqrt {10 - \sqrt {24} - \sqrt {40} + \sqrt {60}} = \sqrt {5} + \sqrt {3} - \sqrt {2}$।

(A) प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल करने पर:
$1$. $\frac{1}{\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$
$2$. $\frac{3}{\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$
$3$. $\frac{4}{\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$
मान रखने पर:
$(\sqrt{6} + \sqrt{5}) - (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 0$

(A) दिया गया है $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$.
हम $7 + 4\sqrt{3}$ को $(2 + \sqrt{3})^2$ के रूप में लिख सकते हैं:
$x = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$.
अब,$\frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.
अतः,$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{4 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}} = a + \sqrt{b}$ है।
सबसे पहले,हर का सरलीकरण करने पर: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$.
चूंकि $4 + 3 = 7$ और $4 \times 3 = 12$,इसे $\sqrt{(\sqrt{4} + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अब,व्यंजक $\frac{4 + 3\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ हो जाता है।
अंश और हर को $(2 - \sqrt{3})$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{(4 + 3\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{8 - 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 9}{4 - 3} = -1 + 2\sqrt{3}$.
$2\sqrt{3}$ को $\sqrt{12}$ के रूप में लिखने पर,हमें $-1 + \sqrt{12} = a + \sqrt{b}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$a = -1$ और $b = 12$ मिलता है।
अतः,$(a, b) = (-1, 12)$।

(B) दिया गया समीकरण: $3^x - 3^{x - 1} = 6$
हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$3^x - \frac{3^x}{3} = 6$
माना $3^x = t$ है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$t - \frac{t}{3} = 6$
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$3t - t = 18$
$2t = 18$
$t = 9$
चूंकि $t = 3^x$,इसलिए:
$3^x = 9 = 3^2$
अतः,$x = 2$ है।
अब,$x^x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x^x = 2^2 = 4$.

(A) हम $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$ और $(x^a)^b = x^{ab}$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: ${\left( {\frac{{{x^l}}}{{{x^m}}}} \right)^{{l^2} + lm + {m^2}}} {\left( {\frac{{{x^m}}}{{{x^n}}}} \right)^{{m^2} + nm + {n^2}}} {\left( {\frac{{{x^n}}}{{{x^l}}}} \right)^{{n^2} + nl + {l^2}}}$
$= {({x^{l - m}})^{({l^2} + lm + {m^2})}} {({x^{m - n}})^{({m^2} + nm + {n^2})}} {({x^{n - l}})^{({n^2} + nl + {l^2})}}$
सर्वसमिका $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$ का उपयोग करने पर:
$= {x^{{l^3} - {m^3}}} \cdot {x^{{m^3} - {n^3}}} \cdot {x^{{n^3} - {l^3}}}$
$= {x^{{l^3} - {m^3} + {m^3} - {n^3} + {n^3} - {l^3}}}$
$= {x^0} = 1$

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{2 \cdot 3^{n+1} + 7 \cdot 3^{n-1}}{3^{n+2} - 2 \cdot (3^{-1})^{1-n}}$
$= \frac{2 \cdot 3^{n-1} \cdot 3^2 + 7 \cdot 3^{n-1}}{3^{n-1} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^{n-1}}$
$= \frac{3^{n-1} (2 \cdot 9 + 7)}{3^{n-1} (27 - 2)}$
$= \frac{18 + 7}{27 - 2}$
$= \frac{25}{25} = 1$

(C) दिया गया समीकरण: ${\left( \frac{2}{3} \right)^{x + 2}} = {\left( \frac{3}{2} \right)^{2 - 2x}}$
हम जानते हैं कि $\frac{3}{2} = {\left( \frac{2}{3} \right)^{-1}}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: ${\left( \frac{2}{3} \right)^{x + 2}} = {\left( {\left( \frac{2}{3} \right)^{-1}} \right)^{2 - 2x}}$
${\left( \frac{2}{3} \right)^{x + 2}} = {\left( \frac{2}{3} \right)^{-(2 - 2x)}}$
${\left( \frac{2}{3} \right)^{x + 2}} = {\left( \frac{2}{3} \right)^{2x - 2}}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों की तुलना करने पर: $x + 2 = 2x - 2$
$2 + 2 = 2x - x$
$x = 4$

(A) $\sqrt[3]{9}, \sqrt[4]{11}, \sqrt[6]{17}$ की तुलना करने के लिए,हम उन्हें समान मूल घातांक में बदलते हैं।
$3, 4, 6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(L.C.M.)$ $12$ है।
$\sqrt[3]{9} = 9^{1/3} = (9^4)^{1/12} = (6561)^{1/12}$
$\sqrt[4]{11} = 11^{1/4} = (11^3)^{1/12} = (1331)^{1/12}$
$\sqrt[6]{17} = 17^{1/6} = (17^2)^{1/12} = (289)^{1/12}$
कोष्ठक के अंदर के मानों की तुलना करने पर: $6561 > 1331 > 289$।
अतः,$\sqrt[3]{9}$ सबसे बड़ी संख्या है।

(C) दिया गया व्यंजक $= \frac{15}{\sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{40} - \sqrt{5} - \sqrt{80}}$
हर में करणी (surds) को सरल करने पर:
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$,$\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$,$\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{15}{\sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} - \sqrt{5} - 4\sqrt{5}}$
समान पदों को जोड़ने पर:
$= \frac{15}{3\sqrt{10} - 3\sqrt{5}} = \frac{15}{3(\sqrt{10} - \sqrt{5})} = \frac{5}{\sqrt{10} - \sqrt{5}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \frac{5}{\sqrt{10} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{10} + \sqrt{5}}{\sqrt{10} + \sqrt{5}}$
$= \frac{5(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{10 - 5} = \frac{5(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{5} = \sqrt{10} + \sqrt{5}$
$\sqrt{5}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= \sqrt{5}(\sqrt{2} + 1)$

(D) माना $x = a^{1/3}$ और $y = a^{-1/3}$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ जानते हैं।
यहाँ,$x^3 = (a^{1/3})^3 = a$ और $y^3 = (a^{-1/3})^3 = a^{-1}$ है।
व्यंजक $(x + y)$ का परिमेयकरण करने के लिए,हमें इसे $(x^2 - xy + y^2)$ से गुणा करना होगा।
$x$ और $y$ के मान रखने पर:
$x^2 = (a^{1/3})^2 = a^{2/3}$
$y^2 = (a^{-1/3})^2 = a^{-2/3}$
$xy = a^{1/3} \times a^{-1/3} = a^{1/3 - 1/3} = a^0 = 1$.
अतः,परिमेयकारी गुणनखंड $a^{2/3} + a^{-2/3} - 1$ है।

(C) माना $\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3 + \sqrt{5} = x + y + 2\sqrt{xy}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$x + y = 3$ और $2\sqrt{xy} = \sqrt{5}$,जिसका अर्थ है $4xy = 5$ या $xy = \frac{5}{4}$।
हम जानते हैं कि $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 3^2 - 4(\frac{5}{4}) = 9 - 5 = 4$ है।
अतः,$x - y = 2$ है।
$x + y = 3$ और $x - y = 2$ को हल करने पर,$x = \frac{5}{2}$ और $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}}$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $({x^5})^{1/3} \times (16{x^3})^{2/3} \times \left( \frac{1}{4}{x^{4/9}} \right)^{-3/2}$
चरण $1$: घातांक नियमों $(a^m)^n = a^{mn}$ का उपयोग करके प्रत्येक पद को सरल करें।
$({x^5})^{1/3} = x^{5/3}$
$(16{x^3})^{2/3} = (2^4)^{2/3} \times (x^3)^{2/3} = 2^{8/3} \times x^2$
$\left( \frac{1}{4}{x^{4/9}} \right)^{-3/2} = (4^{-1} \times x^{4/9})^{-3/2} = (2^{-2})^{-3/2} \times (x^{4/9})^{-3/2} = 2^3 \times x^{-6/9} = 8 \times x^{-2/3}$
चरण $2$: सरल किए गए पदों का गुणा करें।
$x^{5/3} \times 2^{8/3} \times x^2 \times 2^3 \times x^{-2/3}$
$= 2^{8/3 + 3} \times x^{5/3 + 2 - 2/3}$
$= 2^{17/3} \times x^3$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना कि $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z} = k$ $(k \neq 1)$.
तब $a = k^x$,$b = k^y$,और $c = k^z$.
हमें शर्त $b^2 = ac$ दी गई है।
$a, b, c$ के मान $k$ के पदों में रखने पर:
$(k^y)^2 = (k^x)(k^z)$
$k^{2y} = k^{x+z}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातांकों की तुलना करने पर:
$2y = x + z$
अतः,$x + z = 2y$.

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{{({2^{n + 1}})^m}({2^{2n}}){2^n}}{{({2^{m + 1}})^n}{2^{2m}}} = 1$
अंश को सरल करने पर: ${2^{m(n+1)}} \cdot {2^{2n}} \cdot {2^n} = {2^{mn + m + 3n}}$
हर को सरल करने पर: ${2^{n(m+1)}} \cdot {2^{2m}} = {2^{nm + n + 2m}}$
अंश और हर को बराबर करने पर: ${2^{mn + m + 3n}} = {2^{nm + n + 2m}}$
चूंकि आधार समान हैं,इसलिए घातों की तुलना करने पर: $mn + m + 3n = nm + n + 2m$
दोनों पक्षों से $mn$ घटाने पर: $m + 3n = n + 2m$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3n - n = 2m - m$
अतः: $2n = m$
इस प्रकार,$m = 2n$.

(D) दिया गया समीकरण: ${x^{x \cdot x^{1/3}}} = {(x \cdot x^{1/3})^x}$.
घातांकों को सरल करने पर: ${x^{x^{4/3}}} = {(x^{4/3})^x}$.
यह इस प्रकार सरल होता है: ${x^{x^{4/3}}} = {x^{(4/3)x}}$.
आधार समान होने के लिए,घातांक समान होने चाहिए (मान लीजिए $x > 0$ और $x \neq 1$):
${x^{4/3}} = \frac{4}{3}x$.
$x$ से भाग देने पर (चूंकि $x \neq 0$):
${x^{1/3}} = \frac{4}{3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$x = (\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}$.

(A) दिया गया समीकरण: $(x)^{x\sqrt{x}} = (x\sqrt{x})^x$
दाहिनी ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(x \cdot x^{1/2})^x = (x^{3/2})^x = x^{3x/2}$
अतः,समीकरण बनता है: $x^{x\sqrt{x}} = x^{3x/2}$
इसका अर्थ है: $x^{x^{3/2}} = x^{3x/2}$
घातांकों की तुलना करने पर: $x^{3/2} = \frac{3x}{2}$
$x$ से भाग देने पर (मान लें $x \neq 0$): $x^{1/2} = \frac{3}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
अतः,हल $x = \frac{9}{4}$ है।

(B, C) दिया गया समीकरण: $5^{x-1} + 5 \cdot (0.2)^{x-2} = 26$
चूंकि $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$,समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$5^{x-1} + 5 \cdot (5^{-1})^{x-2} = 26$
$5^{x-1} + 5 \cdot 5^{-x+2} = 26$
$5^{x-1} + 5^{3-x} = 26$
माना $y = 5^{x-1}$। तब $5^{3-x} = \frac{25}{y}$।
समीकरण होगा: $y + \frac{25}{y} = 26$
$y^2 - 26y + 25 = 0$
$(y-25)(y-1) = 0$
अतः,$y = 25$ या $y = 1$।
स्थिति $1$: $5^{x-1} = 25 = 5^2 \implies x = 3$।
स्थिति $2$: $5^{x-1} = 1 = 5^0 \implies x = 1$।
अतः,$x$ का मान $1$ या $3$ हो सकता है।

(C) माना $x = \frac{12}{3 + \sqrt{5} - 2\sqrt{2}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम पदों को $(3 + \sqrt{5}) - 2\sqrt{2}$ के रूप में समूहित करते हैं।
अंश और हर को $(3 + \sqrt{5}) + 2\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$x = \frac{12(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{(3 + \sqrt{5})^2 - (2\sqrt{2})^2}$
$x = \frac{12(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{(9 + 5 + 6\sqrt{5}) - 8}$
$x = \frac{12(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{6 + 6\sqrt{5}}$
$x = \frac{12(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{6(1 + \sqrt{5})} = \frac{2(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})}{1 + \sqrt{5}}$
$(\sqrt{5} - 1)$ से गुणा करके पुनः परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{2(3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2})(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(3\sqrt{5} - 3 + 5 - \sqrt{5} + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{2})}{4}$
$x = \frac{2(2 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} - 2\sqrt{2})}{4} = \frac{4(1 + \sqrt{5} + \sqrt{10} - \sqrt{2})}{4}$
$x = 1 + \sqrt{5} + \sqrt{10} - \sqrt{2}$।

(A) अंश का सरलीकरण: $\sqrt{5/2} + \sqrt{7 - 3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$.
यहाँ $14 - 6\sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^2$ है।
अतः अंश $\frac{\sqrt{10} + 3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ है।
हर का सरलीकरण: $\sqrt{7/2} + \sqrt{16 - 5\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}$.
यहाँ $32 - 10\sqrt{7} = (5 - \sqrt{7})^2$ है।
अतः हर $\frac{\sqrt{14} + 5 - \sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ है।
इस प्रकार,अंतिम उत्तर $1$ (परिमेय) प्राप्त होता है।

(B) माना $x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$.
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$x = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{2 - \sqrt{3}})}$
$x = \frac{2}{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}$
ध्यान दें कि $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$ और $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{2}{(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1)}$
$x = \frac{2}{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}$
$x = \frac{2}{2} = 1$.

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम व्यंजक को $\frac{4}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}$ के रूप में लिखते हैं।
अंश और हर को $(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$\frac{4((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3})}{((1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3})((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3})}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{1 + 2 + 2\sqrt{2} - 3}$
$= \frac{4(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{2(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{2}(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})$
$= \sqrt{2} + 2 + \sqrt{6}$
$= 2 + \sqrt{2} + \sqrt{6}$.

(D) प्रत्येक पद का परिमेयकरण करने पर:
प्रथम पद: $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{6 - 3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$
द्वितीय पद: $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$
तृतीय पद: $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3 - 2} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
सभी पदों को जोड़ने पर:
$(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) - (3\sqrt{2} - \sqrt{6}) + (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = 0$

(B) $a - b$ के रूप वाले व्यंजक का परिमेयकारी गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम इसे इसके संयुग्मी $a + b$ से गुणा करते हैं ताकि वर्गमूल हट जाए।
दिया गया व्यंजक: $2\sqrt{3} - \sqrt{7}$।
इसका संयुग्मी $2\sqrt{3} + \sqrt{7}$ है।
इनका गुणा करने पर: $(2\sqrt{3} - \sqrt{7})(2\sqrt{3} + \sqrt{7}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = (4 \times 3) - 7 = 12 - 7 = 5$।
चूंकि $5$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए परिमेयकारी गुणनखंड $2\sqrt{3} + \sqrt{7}$ है।

(B) $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ को सरल करने के लिए,हम $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करते हैं:
$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6 + 2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}$
इसी प्रकार,$\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ के लिए:
$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}$
अब,दोनों व्यंजकों को घटाने पर:
$(\sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}) = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $x = 2 + \sqrt{3}$ और $xy = 1$.
अतः $y = \frac{1}{x} = 2 - \sqrt{3}$.
$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$ और $\sqrt{y} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$.
मान रखने पर,हमें $\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $x = 3 - \sqrt{5}$.
सबसे पहले,$3x - 2$ की गणना करें:
$3x - 2 = 3(3 - \sqrt{5}) - 2 = 9 - 3\sqrt{5} - 2 = 7 - 3\sqrt{5}$.
$\sqrt{7 - 3\sqrt{5}}$ को सरल करने के लिए,$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करें:
$\sqrt{7 - 3\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{14 - 6\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{14 - 2\sqrt{45}}}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $9 + 5 = 14$ और $9 \times 5 = 45$,इसलिए $\sqrt{14 - 2\sqrt{45}} = \sqrt{9} - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5}$.
अतः,$\sqrt{3x - 2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
अब इस मान को व्यंजक में रखें:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{x}}{\frac{2 + 3 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{x}}{5 - \sqrt{5}}$.
चूंकि $x = 3 - \sqrt{5}$,$\sqrt{2} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1$.
मान रखने पर: $\frac{\sqrt{5} - 1}{5 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(D) हमें $a = \sqrt{21} - \sqrt{20}$ और $b = \sqrt{18} - \sqrt{17}$ दिया गया है।
$a$ और $b$ की तुलना करने के लिए,हम व्यंजकों का परिमेयकरण करते हैं:
$a = \frac{(\sqrt{21} - \sqrt{20})(\sqrt{21} + \sqrt{20})}{\sqrt{21} + \sqrt{20}} = \frac{21 - 20}{\sqrt{21} + \sqrt{20}} = \frac{1}{\sqrt{21} + \sqrt{20}}$.
इसी प्रकार,$b = \frac{(\sqrt{18} - \sqrt{17})(\sqrt{18} + \sqrt{17})}{\sqrt{18} + \sqrt{17}} = \frac{18 - 17}{\sqrt{18} + \sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{18} + \sqrt{17}}$.
चूंकि $\sqrt{21} + \sqrt{20} > \sqrt{18} + \sqrt{17}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{21} + \sqrt{20}} < \frac{1}{\sqrt{18} + \sqrt{17}}$.
अतः,$a < b$.

(D) सबसे पहले,$\sqrt{6 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}$ पद को सरल करें।
यह $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca} = a + b + c$ के रूप में है।
यहाँ,$a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 = 3$,इसलिए $a=1, b=\sqrt{2}, c=\sqrt{3}$.
अतः,$\sqrt{6 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}} = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$.
अब,$\frac{1}{\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}}$ को सरल करें।
ध्यान दें कि $5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{3 \times 2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
अंत में,व्यंजक की गणना करें: $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2}$.

(B) $11$ एक अभाज्य संख्या है,और हम जानते हैं कि किसी भी अभाज्य संख्या का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या होती है।
इसलिए,$\sqrt{11}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,दिया गया कथन $t$ असत्य है।

(C) सही विकल्प $(C)$ है।
दिया गया है कि $p, q, r \in \mathbb{Q}^{+}$ और $x = \sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r} \in \mathbb{Q}$.
यदि $\sqrt{p}, \sqrt{q}, \sqrt{r}$ में से कोई भी अपरिमेय है,मान लीजिए $\sqrt{p}$,तो हम लिख सकते हैं $\sqrt{p} = x - (\sqrt{q}+\sqrt{r})$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$p = x^2 + q + r + 2\sqrt{qr} - 2x(\sqrt{q}+\sqrt{r})$.
यह दर्शाता है कि $\sqrt{qr}$ को कुछ परिमेय $a, b, c$ के लिए $a + b\sqrt{q} + c\sqrt{r}$ के रूप में होना चाहिए।
इन स्थितियों का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि जब $p, q, r$ परिमेय होते हैं,तो योग के परिमेय होने के लिए प्रत्येक पद $\sqrt{p}, \sqrt{q}, \sqrt{r}$ का स्वयं परिमेय होना आवश्यक है।

(C) हमारे पास है,
$16^5 \times 5^{16} = (2^4)^5 \times 5^{16}$
$= 2^{20} \times 5^{16}$
$= 2^4 \times 2^{16} \times 5^{16}$
$= 16 \times (2 \times 5)^{16}$
$= 16 \times 10^{16}$
$= 160000000000000000$
इस संख्या में $2$ अंक ($1$ और $6$) हैं जिसके बाद $16$ शून्य हैं।
अतः,अंकों की कुल संख्या $2 + 16 = 18$ है।

(A) किसी संख्या $x$ का पांचवां मूल $x^{1/5}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई अभिव्यक्ति: $\left(10^{10^{10}}\right)^{\frac{1}{5}}$.
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए:
$= 10^{10^{10} \times \frac{1}{5}}$.
हम $10^{10}$ को $10 \times 10^9$ के रूप में लिख सकते हैं:
$= 10^{\frac{10}{5} \times 10^9}$.
$= 10^{2 \times 10^9}$.