Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Gujarati

(B) $1.$ $S_1$ માટે (ગોલીય સંમિત,$\ell = 0$):
$\text{રેડિયલ નોડ} = n - \ell - 1 = 1$ $\Rightarrow n - 0 - 1 = 1$ $\Rightarrow n = 2.$
આમ,$S_1$ અવસ્થા $2s$ છે.
$S_2$ માટે,ઉર્જા $E_{S_2} = E_H(\text{ધરા અવસ્થા}) = -13.6 \ eV$.
$E_{S_2} = \frac{-13.6 \times Z^2}{n^2} = -13.6 \ eV$ $\Rightarrow \frac{3^2}{n^2} = 1$ $\Rightarrow n = 3.$
આપેલ છે કે $S_2$ માં એક રેડિયલ નોડ છે: $n - \ell - 1 = 1$ $\Rightarrow 3 - \ell - 1 = 1$ $\Rightarrow \ell = 1$.
$2.$ $S_1$ ની ઉર્જા $(n=2, Z=3)$: $E_{S_1} = \frac{-13.6 \times 3^2}{2^2} = -13.6 \times 2.25 \ eV$.
$E_H(\text{ધરા અવસ્થા}) = -13.6 \ eV$ ના એકમમાં,ઉર્જા $2.25$ છે.
$3.$ $S_2$ માટે,$\ell = 1$ (ઉપર ગણતરી મુજબ).

(C) $n$ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક ધરાવતી કક્ષા માટે,કુલ કક્ષકોની સંખ્યા $n^2$ છે.
$n=3$ માટે,કુલ કક્ષકોની સંખ્યા $3^2 = 9$ છે.
દરેક કક્ષક મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે,એક $m_s = +1/2$ સાથે અને એક $m_s = -1/2$ સાથે.
તેથી,$n=3$ માટે,$9$ કક્ષકો છે,અને દરેક $m_s = -1/2$ ધરાવતા બરાબર એક ઇલેક્ટ્રોનને સમાવી શકે છે.
આમ,$n=3$ અને $m_s = -1/2$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ સંખ્યા $9$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવી સ્પીસીઝ માટે,ઊર્જા $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$He^+$ માટે,$Z = 2$. આપેલ $E = -3.4 \ eV$,તેથી $-3.4 = -13.6 \times \frac{2^2}{n^2}$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $n^2 = 16$,એટલે કે $n = 4$.
આપેલ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $\ell = 2$ હોવાથી,તે $4d$ અવસ્થા છે.
કોણીય નોડ્સની સંખ્યા $= \ell = 2$.
રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યા $= n - \ell - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$.
$He^+$ એ એક-ઇલેક્ટ્રોન સ્પીસીઝ હોવાથી,અનુભવાતો પરમાણુ વીજભાર $Z = 2e$ છે,તેથી વિધાન $(4)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $(1)$ અને $(3)$ સાચા છે.

(C) $n=4$ માટે,શક્ય પેટાકોષો $4s, 4p, 4d, 4f$ છે.
શરત $|m_{\ell}|=1$ નો અર્થ છે $m_{\ell} = +1$ અથવા $m_{\ell} = -1$.
- $4p$ પેટાકોષમાં $(\ell=1)$: $m_{\ell} = -1, 0, +1$. $|m_{\ell}|=1$ ધરાવતી કક્ષકો $m_{\ell} = -1$ અને $m_{\ell} = +1$ ($2$ કક્ષકો) છે.
- $4d$ પેટાકોષમાં $(\ell=2)$: $m_{\ell} = -2, -1, 0, +1, +2$. $|m_{\ell}|=1$ ધરાવતી કક્ષકો $m_{\ell} = -1$ અને $m_{\ell} = +1$ ($2$ કક્ષકો) છે.
- $4f$ પેટાકોષમાં $(\ell=3)$: $m_{\ell} = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3$. $|m_{\ell}|=1$ ધરાવતી કક્ષકો $m_{\ell} = -1$ અને $m_{\ell} = +1$ ($2$ કક્ષકો) છે.
$|m_{\ell}|=1$ ધરાવતી કક્ષકોની કુલ સંખ્યા $2+2+2 = 6$ છે. દરેક કક્ષક $m_s=-1/2$ ધરાવતો એક ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે,તેથી ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $6$ છે.

(C) $H^-$ જેવી બહુ-ઇલેક્ટ્રોન સ્પીસીઝ માટે,ઇલેક્ટ્રોનિક ગોઠવણી $1s^2$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ: $1s^2$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા: એક ઇલેક્ટ્રોન આગામી ઉપલબ્ધ ઓર્બિટલમાં જાય છે,$1s^1 2s^1$.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા: એક ઇલેક્ટ્રોન $2p$ સબશેલમાં જાય છે,$1s^1 2p^1$.
$2p$ સબશેલ ત્રણ અધોગતિ ધરાવતી ઓર્બિટલ્સ $(2p_x, 2p_y, 2p_z)$ ની બનેલી છે.
$1s$ ઇલેક્ટ્રોન નિશ્ચિત હોવાથી,અધોગતિ ઉપલબ્ધ $2p$ ઓર્બિટલ્સની સંખ્યા દ્વારા નક્કી થાય છે,જે $3$ છે.

(D) સમશક્તિમાન (degenerate) કક્ષકો એટલે એવી કક્ષકો જે સમાન ઉર્જા ધરાવે છે.
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં,$2p_x$ અને $2p_y$ કક્ષકો સમાન ઉર્જા ધરાવે છે,તેથી તે સમશક્તિમાન છે.
વર્ણપટ રેખા ત્યારે જ જોવા મળે છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન અલગ-અલગ ઉર્જા સ્તર ધરાવતી કક્ષકો વચ્ચે સંક્રમણ કરે (એટલે કે $\Delta E \neq 0$).
$2p_x$ અને $2p_y$ સમાન ઉર્જા ધરાવતી હોવાથી,$2p_x \rightarrow 2p_y$ સંક્રમણમાં ઉર્જાનો કોઈ ફેરફાર થતો નથી $(\Delta E = 0)$,તેથી કોઈ વર્ણપટ રેખા જોવા મળતી નથી.
આથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે અને વિધાન-$II$ સાચું છે.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે: આપેલ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે,કક્ષામાં કુલ કક્ષકોની સંખ્યા $n^2$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m_l$ કક્ષકોનું અવકાશીય અભિવિન્યાસ નક્કી કરે છે અને તે શૂન્ય સહિત $-l$ થી $+l$ સુધીના મૂલ્યો ધરાવે છે,જે પેટા-કક્ષામાં રહેલી કક્ષકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,કક્ષકની ઉર્જા ફક્ત મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે.
આપેલ $n$ માટે,બધી કક્ષકો સમાન ઉર્જા ધરાવે છે (સમશક્તિમાન).
આપેલ કક્ષકોના $n$ મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$A$. $4s$ $(n=4)$
$B$. $3p_x$ $(n=3)$
$C$. $3d_{x^2-y^2}$ $(n=3)$
$D$. $3d_{z^2}$ $(n=3)$
$E$. $4p_z$ $(n=4)$
જેમ $n$ વધે તેમ ઉર્જા વધે છે,તેથી $n=3$ ધરાવતી કક્ષકો $(3p_x, 3d_{x^2-y^2}, 3d_{z^2})$ સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ માત્ર $B, C$ અને $D$ છે.

(D) બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુમાં કક્ષકની ઉર્જા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(\ell)$ પર આધાર રાખે છે.
$A: n=1, \ell=0, m_{\ell}=0 \rightarrow 1s$
$B: n=2, \ell=0, m_{\ell}=0 \rightarrow 2s$
$C: n=2, \ell=1, m_{\ell}=1 \rightarrow 2p$
$D: n=3, \ell=2, m_{\ell}=1 \rightarrow 3d$
$E: n=3, \ell=2, m_{\ell}=0 \rightarrow 3d$
બાહ્ય વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોની ગેરહાજરીમાં,સમાન પેટાકોષ (સમાન $n$ અને $\ell$) ધરાવતી તમામ કક્ષકો ડીજનરેટ હોય છે,એટલે કે તેમની ઉર્જા સમાન હોય છે.
$D$ અને $E$ બંને $3d$ પેટાકોષના હોવાથી,તેમની ઉર્જા સમાન છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ માટે,કક્ષકની ઊર્જા માત્ર મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સમાન $n$ મૂલ્ય ધરાવતી કક્ષકોની ઊર્જા સમાન હોય છે,ભલે ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ ગમે તે હોય.
આમ,$2s = 2p$,$3s = 3p = 3d$,અને $4s = 4p = 4d = 4f$ થાય.
આપેલા વિધાનો તપાસતા:
$A$. $1s < 2p < 3d < 4s$ સાચું છે.
$B$. $1s < 2s = 2p < 3s = 3p$ સાચું છે.
$C$. $1s < 2s < 2p < 3s < 3p$ ખોટું છે કારણ કે $2s = 2p$ અને $3s = 3p$ થાય.
$D$. $1s < 2s < 4s < 3d$ ખોટું છે કારણ કે $3d < 4s$ થાય.
આમ,$C$ અને $D$ ખોટા વિધાનો છે.

(D) એઝિમુથલ (ગૌણ) ક્વોન્ટમ આંક $\ell$ કક્ષકનો આકાર નક્કી કરે છે.
$(B)$ આપેલી આકૃતિ $2p_x$ કક્ષકની સીમા સપાટી દર્શાવે છે.
$(C)$ $2p_x$ કક્ષકના તરંગ વિધેયમાં $+$ અને $-$ ચિહ્નો તરંગ વિધેયનો તબક્કો (Phase) દર્શાવે છે,વીજભાર નહીં.
$(D)$ $2p_x$ કક્ષકનું તરંગ વિધેય $yz$ સમતલમાં શૂન્ય હોય છે,જે આ કક્ષક માટે નોડલ સમતલ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(D) કક્ષકીય કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર $\sqrt{\ell(\ell+1)} \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$2s$ કક્ષક માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $\ell = 0$ છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન $= \sqrt{0(0+1)} \frac{h}{2 \pi} = 0$.
$2p$ કક્ષક માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $\ell = 1$ છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન $= \sqrt{1(1+1)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{2} \frac{h}{2 \pi}$.

(C) $Cr$ $(Z=24)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^5, 4s^1$ છે.
એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l=1$ એ $p$-ઓર્બિટલ્સ દર્શાવે છે. $p$-ઓર્બિટલ્સમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન $2p^6$ અને $3p^6$ માં છે,જે $6+6 = 12$ ઇલેક્ટ્રોન આપે છે.
એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l=2$ એ $d$-ઓર્બિટલ્સ દર્શાવે છે. $d$-ઓર્બિટલ્સમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન $3d^5$ માં છે,જે $5$ ઇલેક્ટ્રોન આપે છે.
તેથી,$l=1$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $12$ અને $l=2$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $5$ છે.

(B) અર્ધ-ભરાયેલી સબશેલની વધારાની સ્થિરતા નીચેના પરિબળોને કારણે છે:
$(I)$ ઇલેક્ટ્રોનનું સપ્રમાણ વિતરણ: ઇલેક્ટ્રોન ઓર્બિટલ્સમાં સપ્રમાણ રીતે વિતરિત થાય છે,જે ઓછી ઉર્જા તરફ દોરી જાય છે.
$(II)$ મોટી એક્સચેન્જ ઉર્જા: સમાંતર સ્પિન ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે શક્ય વિનિમયની સંખ્યા અર્ધ-ભરાયેલી અને સંપૂર્ણ ભરાયેલી ગોઠવણીમાં મહત્તમ હોય છે,જેના પરિણામે ઉચ્ચ એક્સચેન્જ ઉર્જા અને વધુ સ્થિરતા મળે છે.
$(III)$ ઓછી કુલંબિક અપાકર્ષણ: સપ્રમાણ ગોઠવણીને કારણે,આંતર-ઇલેક્ટ્રોનિક અપાકર્ષણ ન્યૂનતમ થાય છે.
$(IV)$ એકબીજા દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનું ઓછું શીલ્ડિંગ: આ ગોઠવણીમાં ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પરમાણુ ભાર શ્રેષ્ઠ બને છે.
તેથી,વિધાનો $(A), (B), (D)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(B) $9$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું તત્વ ફ્લોરિન $(F)$ છે,જેની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $1s^2 2s^2 2p^5$ છે.
$(A)$ $1s^2 2s^2 2p^5$ માં કુલ $9$ ઇલેક્ટ્રોન છે. અપ-સ્પિન $(m_s = +\frac{1}{2})$ ની સંખ્યા $5$ અને ડાઉન-સ્પિન $(m_s = -\frac{1}{2})$ ની સંખ્યા $4$ છે. વિધાન $A$ સાચું છે.
$(B)$ $2p^5$ રચનામાં અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન $p_x, p_y$ અથવા $p_z$ માંથી કોઈપણમાં હોઈ શકે છે,તેથી $B$ નિશ્ચિત નથી.
$(C)$ છેલ્લો ઇલેક્ટ્રોન $2p$ પેટાકોષમાં જાય છે જ્યાં $n=2$ અને $l=1$ છે. વિધાન $C$ સાચું છે.
$(D)$ કોણીય નોડ = $l$. $1s$ $(l=0)$,$2s$ $(l=0)$,$2p$ $(l=1)$ માટે કુલ કોણીય નોડ = $3$ થાય. વિધાન $D$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર $A$ અને $C$ સાચા છે.

(B) પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $(n+l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન $X$ માટે: $n=3, l=2$. તેથી,$(n+l) = 3+2 = 5$.
ઇલેક્ટ્રોન $Y$ માટે: $n=3, l=0$. તેથી,$(n+l) = 3+0 = 3$.
$X$ માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય $(5)$ એ $Y$ ના $(n+l)$ મૂલ્ય $(3)$ કરતા વધારે હોવાથી,$X$ ની ઉર્જા $Y$ કરતા વધારે છે.

(C) હુન્ડનો મહત્તમ ગુણકતાનો નિયમ જણાવે છે કે આપેલ ઇલેક્ટ્રોન ગોઠવણી માટે,મહત્તમ ગુણકતા ધરાવતું પદ સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવે છે. આનો અર્થ એ છે કે ઇલેક્ટ્રોન જોડી બનતા પહેલા શક્ય હોય ત્યાં સુધી સિંગલ (એકલા) ભરાવા જોઈએ.
$(A)$ $2s^2 2p^2$: ઇલેક્ટ્રોન $2p$ કક્ષકોમાં સિંગલ ભરાયેલા છે. આ હુન્ડના નિયમનું પાલન કરે છે.
$(B)$ $2s^2 2p^3$: $2s$ કક્ષકમાં બે ઇલેક્ટ્રોન સમાંતર સ્પિન સાથે છે,જે પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
$(C)$ $2s^2 2p^2$: ઇલેક્ટ્રોન સિંગલ ભરાવાને બદલે એક જ $2p$ કક્ષકમાં જોડીમાં છે. આ હુન્ડના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
$(D)$ $2s^2 2p^3$: આ પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંત અને હુન્ડના નિયમ બંનેનું પાલન કરતી સાચી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ગોઠવણી છે.
તેથી,માત્ર વિકલ્પ $(C)$ માં હુન્ડના નિયમનું ઉલ્લંઘન થાય છે.

(D) વિધાન $(a)$ ખોટું છે: જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(n=4)$ થી નીચા ઉર્જા સ્તર $(n=2)$ માં જાય છે,ત્યારે તે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે,મેળવતું નથી.
વિધાન $(b)$ ખોટું છે: કક્ષકની ઉર્જા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ સાથે વધે છે. તેથી,$3p$ કક્ષકની ઉર્જા $2p$ કક્ષક કરતા વધારે હોય છે.
વિધાન $(c)$ સાચું છે: કોઈપણ $s$-કક્ષક (અથવા પેટા-કોષ) માં મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન રહી શકે છે.
વિધાન $(d)$ ખોટું છે: કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ સંખ્યા $2n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $3^{rd}$ કક્ષા $(n=3)$ માટે,ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ સંખ્યા $2(3)^2 = 2(9) = 18$ ઇલેક્ટ્રોન છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનનું ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $L = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2 \pi}$.
$d-$ઓર્બિટલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l = 2$ છે.
સૂત્રમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = \sqrt{2(2+1)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{2(3)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{6} \frac{h}{2 \pi}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ શરત $(n+\ell) \leq 3$ છે.
$3p$ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $\ell = 1$ છે.
તેથી,$(n+\ell) = 3 + 1 = 4$.
$4 > 3$ હોવાથી,$3p$ ઉપકોષ શક્ય નથી.

(A) $1$. કોણીય નોડની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $(l)$ જેટલી હોય છે. $d$-કક્ષકો માટે $l=2$,તેથી તેમાં $2$ કોણીય નોડ હોય છે. આમ,$A$ એ $P$ $(4d_{x^2-y^2})$ સાથે જોડાય છે.
$2$. $d_{z^2}$ કક્ષકમાં શૂન્ય નોડલ સમતલ હોય છે. આમ,$B$ એ $Q$ $(3d_{z^2})$ સાથે જોડાય છે.
$3$. રેડિયલ નોડની ગણતરી $(n - l - 1)$ સૂત્ર દ્વારા થાય છે. $3s$ માટે $n=3, l=0$,તેથી રેડિયલ નોડ $= 3-0-1 = 2$. આમ,$C$ એ $S$ $(3s)$ સાથે જોડાય છે.
$4$. $f$-કક્ષકો માટે કોણીય નોડ $l=3$ હોય છે. આમ,$D$ એ $R$ $(4f)$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-P, B-Q, C-S, D-R$ છે.

(B) $H$-પરમાણુમાં,કક્ષકની ઉર્જા માત્ર મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,$3d$ $(n=3)$ ની ઉર્જા $4s$ $(n=4)$ કરતા ઓછી હોય છે.
જોકે,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણમાં આપેલ $(n+\ell)$ નો નિયમ માત્ર બહુ-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ માટે લાગુ પડે છે,$H$-પરમાણુ માટે નહીં.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર $\sqrt{\ell(\ell+1)} \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$3s$ સબશેલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $\ell = 0$ છે. તેથી,ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાન $= \sqrt{0(0+1)} \frac{h}{2 \pi} = 0$.
$3p$ સબશેલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $\ell = 1$ છે. તેથી,ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાન $= \sqrt{1(1+1)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{2} \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{\sqrt{2} \pi}$.

(A) મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ધરાવતી કક્ષક માટે:
$1.$ કોણીય નોડની સંખ્યા (નોડલ સમતલ) $= l$
$2.$ ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $= n - l - 1$
$3.$ કુલ નોડની સંખ્યા $= (n - l - 1) + l = n - 1$
આપેલ છે: નોડલ સમતલની સંખ્યા $= 2$,તેથી $l = 2$ ($d$-કક્ષક માટે).
આપેલ છે: કુલ નોડ $= 4$,તેથી $n - 1 = 4$,જેનો અર્થ છે $n = 5$.
તેથી,તે કક્ષક $5d$ છે.

(B) સોડિયમ $(Z=11)$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^1$ છે.
સંયોજકતા કક્ષાનો ઇલેક્ટ્રોન $3s$ કક્ષકમાં છે.
$3s$ કક્ષક માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ છે.
$s$-કક્ષક માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $\ell = 0$ છે.
$\ell = 0$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m = 0$ છે.
કક્ષકમાં પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોન માટે સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $s = +\frac{1}{2}$ લેવામાં આવે છે.

(A) પરમાણુની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2$ છે.
આપણે $m=0$ અને $s=+\frac{1}{2}$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા શોધવાની છે.
- $1s^2$: એક ઇલેક્ટ્રોન $m=0, s=+\frac{1}{2}$ ધરાવે છે.
- $2s^2$: એક ઇલેક્ટ્રોન $m=0, s=+\frac{1}{2}$ ધરાવે છે.
- $2p^6$: $2p_z$ કક્ષક $m=0$ ધરાવે છે. તેમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન છે,જેમાંથી એક $s=+\frac{1}{2}$ ધરાવે છે.
- $3s^2$: એક ઇલેક્ટ્રોન $m=0, s=+\frac{1}{2}$ ધરાવે છે.
- $3p^6$: $3p_z$ કક્ષક $m=0$ ધરાવે છે. તેમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન છે,જેમાંથી એક $s=+\frac{1}{2}$ ધરાવે છે.
- $4s^2$: એક ઇલેક્ટ્રોન $m=0, s=+\frac{1}{2}$ ધરાવે છે.
$m=0$ અને $s=+\frac{1}{2}$ ધરાવતા કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $1+1+1+1+1+1 = 6$ છે.

(B) $3d_{x^2-y^2}$ કક્ષકના લોબ $x$ અને $y$ અક્ષ પર હોય છે. ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા આ અક્ષો પર કેન્દ્રિત હોય છે,$xy$ સમતલમાં નહીં. તેથી,વિધાન સાચું છે.
$(b)$ $3d_{z^2}$ કક્ષકના લોબ $z$-અક્ષ પર હોય છે અને $xy$ સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતાનું વલય હોય છે. તેથી,$xy$ સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા શૂન્ય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
$(c)$ રેડિયલ નોડની સંખ્યા $(n - l - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $2s$ માટે,$n=2, l=0$,તેથી નોડ $= 2 - 0 - 1 = 1$. તેથી,વિધાન સાચું છે.
$(d)$ $2p_z$ કક્ષક માટે,નોડલ સમતલ $xy$ સમતલ છે (જ્યાં $z=0$). $yz$ સમતલ એ $2p_z$ માટે નોડલ સમતલ નથી. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
આમ,વિધાનો $(b)$ અને $(d)$ ખોટા છે.

(C) કક્ષકની ઊર્જા $(n + \ell)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
સમાન $(n + \ell)$ મૂલ્ય ધરાવતી કક્ષકો માટે,જેનું $n$ મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઊર્જા ઓછી હોય છે.
$(n + \ell)$ મૂલ્યોની ગણતરી:
$3s: 3 + 0 = 3$
$3p: 3 + 1 = 4$
$4s: 4 + 0 = 4$
$3d: 3 + 2 = 5$
$4p: 4 + 1 = 5$
$5s: 5 + 0 = 5$
$4d: 4 + 2 = 6$
$5p: 5 + 1 = 6$
આમ,સાચો વધતો ક્રમ $3s < 3p < 4s < 3d < 4p < 5s < 4d < 5p$ છે.

(A) ${}_{24}Cr$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે અને ${}_{29}Cu$ ની $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ છે.
આ રચનાઓ અસામાન્ય ગણાય છે કારણ કે તે Aufbau ના સિદ્ધાંત મુજબ અપેક્ષિત ક્રમથી અલગ પડે છે.
આ રચનાઓની સ્થિરતાનું કારણ એ છે કે અર્ધ-પૂર્ણ $(d^5)$ અને પૂર્ણ ભરાયેલી $(d^{10})$ પેટાકોષો સંમિતિ અને વિનિમય ઉર્જાને કારણે વધારાની સ્થિરતા ધરાવે છે.
જોકે તેઓ $d-$બ્લોક તત્વો છે,પરંતુ ચોક્કસ ઇલેક્ટ્રોનિક ગોઠવણીનું મુખ્ય કારણ પેટાકોષોની સ્થિરતા છે.

(C) આપેલા વિકલ્પોમાં તત્વોની ઇલેક્ટ્રોન રચના નીચે મુજબ છે:
$Cu (Z=29): 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1 3d^{10}$
$Cr (Z=24): 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1 3d^5$
$Zn (Z=30): 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2 3d^{10}$
$K (Z=19): 1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1$
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ફક્ત $Zn$ $(Z=30)$ ની સૌથી બહારની કક્ષામાં $4s^2$ રચના છે.

(C) આર્ગોન ($Ar$,$Z=18$) ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$ છે.
$p$-ઓર્બિટલ માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m$ ની કિંમતો $-1, 0, +1$ હોય છે.
$2p^6$ સબશેલમાં $3$ ઓર્બિટલ્સ $(2p_x, 2p_y, 2p_z)$ હોય છે. દરેક ઓર્બિટલમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$m = +1$ ધરાવતી ઓર્બિટલમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
તે જ રીતે,$3p^6$ સબશેલમાં $3$ ઓર્બિટલ્સ હોય છે. $m = +1$ ધરાવતી ઓર્બિટલમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$m = +1$ ધરાવતા કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2 + 2 = 4$ થાય છે.

(D) $p$-કક્ષકો $(p_x, p_y, p_z)$ અનુક્રમે $x, y,$ અને $z$ અક્ષ પર ગોઠવાયેલી હોય છે.
$d$-કક્ષકોમાં,$d_{x^2-y^2}$ અને $d_{z^2}$ અક્ષ પર ગોઠવાયેલી હોય છે.
ખાસ કરીને,$d_{x^2-y^2}$ ના લોબ્સ $x$ અને $y$ અક્ષ પર હોય છે,અને $d_{z^2}$ ના લોબ્સ $z$ અક્ષ પર હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,$d_{xy}, d_{yz},$ અને $d_{zx}$ કક્ષકોના લોબ્સ અક્ષોની વચ્ચે આવેલા હોય છે.
તેથી,$p_z$ અને $d_{x^2-y^2}$ બંને અક્ષ પર આવેલા છે.

(C) $4^{th}$ કક્ષા $(n = 4)$ માં $\ell = 0, 1, 2, 3$ ને અનુરૂપ પેટાકોષો હોય છે.
$\ell = 2$ માટે,પેટાકોષ $4d$ છે.
પેટાકોષમાં કક્ષકોની સંખ્યા $(2\ell + 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\ell = 2$ મૂકતા,આપણને $2(2) + 1 = 5$ કક્ષકો મળે છે.

(D) આપેલ આકૃતિમાં,ત્રીજી કક્ષક ($p$-પેટાકોષનો પ્રથમ ખાનું) માં બે ઇલેક્ટ્રોન સમાન સ્પિન ધરાવે છે (બંને ઉપરની તરફ છે).
પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંત મુજબ,એક પરમાણુમાં કોઈપણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે ચાર ક્વોન્ટમ આંકનો સેટ સમાન હોઈ શકે નહીં.
આનો અર્થ એ છે કે એક જ કક્ષકમાં,ઇલેક્ટ્રોન વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
કારણ કે એક જ કક્ષકમાં રહેલા બે ઇલેક્ટ્રોન સમાન સ્પિન ધરાવે છે,તેથી પાઉલીના અપવર્જનના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન થાય છે.

(D) કક્ષકની ઉર્જા $(n+l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. કક્ષક માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય જેટલું વધારે,તેની ઉર્જા તેટલી જ વધારે હોય છે.
જો બે કક્ષકો માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય વધારે હોય તેની ઉર્જા વધારે હોય છે.
દરેક માટે $(n+l)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(A)$ $2p$: $n=2, l=1 \implies n+l = 3$
$(B)$ $3s$: $n=3, l=0 \implies n+l = 3$
$(C)$ $3d$: $n=3, l=2 \implies n+l = 5$
$(D)$ $4p$: $n=4, l=1 \implies n+l = 5$
$3d$ અને $4p$ ની સરખામણી કરતા,બંને માટે $(n+l) = 5$ છે. $4p$ માટે મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n=4)$ એ $3d$ $(n=3)$ કરતા વધારે હોવાથી,$4p$ સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવે છે.

(A) કક્ષકની ઉર્જા $(n+l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $l$ એ ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક છે. જે કક્ષક માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું હોય તેની ઉર્જા સૌથી ઓછી હોય છે. જો $(n+l)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઉર્જા ઓછી હોય છે.
દરેક માટે $(n+l)$ ની ગણતરી:
$2p: n=2, l=1 \implies n+l = 3$
$3s: n=3, l=0 \implies n+l = 3$
$3d: n=3, l=2 \implies n+l = 5$
$4p: n=4, l=1 \implies n+l = 5$
$2p$ અને $3s$ ની સરખામણી કરતા,બંને માટે $(n+l) = 3$ છે. $2p$ માટે $n$ નું મૂલ્ય $(n=2)$ એ $3s$ $(n=3)$ કરતા ઓછું હોવાથી,$2p$ સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવે છે.

(A) કોપર $(Cu)$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $29$ છે.
$Cu$ ની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^{10} 4s^1$ છે.
$3d$ સબશેલમાં,તમામ $10$ ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મિત છે.
$4s$ સબશેલમાં,$1$ ઇલેક્ટ્રોન છે,જે અયુગ્મિત છે.
તેથી,$Cu$ માં અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $1$ છે.

(A) આવર્ત-$4$ અને સમૂહ-$12$ માં રહેલું તત્વ ઝિંક $(Zn)$ છે.
$Zn$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $30$ છે.
ધરા અવસ્થામાં $Zn$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] \ 3d^{10} \ 4s^2$ છે.
આ રચનામાં,તમામ $3d$ અને $4s$ કક્ષકો સંપૂર્ણ ભરાયેલી છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં $0$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે.
ઉત્તેજિત અવસ્થામાં (દા.ત.,$Zn^{2+}$ આયન),ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] \ 3d^{10}$ છે,જેમાં પણ $0$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
તેથી,અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $0$ છે.

(C) $Ti$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $22$ છે. $Ti$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^2 4s^2$ છે.
$+2$ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં,$Ti^{2+}$ એ $4s$ કક્ષકમાંથી બે ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવે છે.
તેથી,$Ti^{2+}$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^2$ થાય છે.
આમ,$3d$ કક્ષકમાં $2$ ઇલેક્ટ્રોન હાજર છે.

(D) $Cr (Z=24)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે.
આ રચના એટલા માટે અપનાવવામાં આવે છે કારણ કે અર્ધ-ભરાયેલી $d$-ઓર્બિટલ્સ $(d^5)$ વધારાની સ્થિરતા આપે છે.
$3d$ સબશેલમાં $5$ ઇલેક્ટ્રોન છે,જેમાંથી દરેક $5$ $d$-ઓર્બિટલ્સમાં એક-એક ઇલેક્ટ્રોન ગોઠવાય છે.
તેથી,$d$-ઓર્બિટલ્સમાં અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $5$ છે.

(C) ક્રોમિયમ $(Cr)$ નો પરમાણુ ક્રમાંક $24$ છે.
તેની અપેક્ષિત ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^4 4s^2$ છે.
જોકે,અર્ધ-ભરાયેલી $d$-કક્ષકોની વધારાની સ્થિરતાને કારણે,વાસ્તવિક ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^5 4s^1$ છે.
આ રચનામાં,$3d$ પેટાકોષમાં $5$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન અને $4s$ પેટાકોષમાં $1$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે.
તેથી,અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $5 + 1 = 6$ છે.

(B) ઓર્બિટલમાં રેડિયલ નોડની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$ છે.
$2s$ ઓર્બિટલ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ અને એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l = 0$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\text{Radial nodes} = 2 - 0 - 1 = 1$.
તેથી,$2s$ ઓર્બિટલમાં $1$ રેડિયલ નોડ હોય છે.

(D) -કક્ષકો કુલ પાંચ છે: $d_{xy}$,$d_{yz}$,$d_{xz}$,$d_{x^2-y^2}$ અને $d_{z^2}$.
આ પૈકી,પ્રથમ ચાર ($d_{xy}$,$d_{yz}$,$d_{xz}$ અને $d_{x^2-y^2}$) ડબલ-ડમ્બેલ આકાર ધરાવે છે.
$d_{z^2}$ કક્ષક એક વિશિષ્ટ આકાર ધરાવે છે જેમાં $z$-અક્ષ પર ડમ્બેલ અને $xy$-સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતાની ડોનટ-આકારની રીંગ હોય છે.
તેથી,$d_{z^2}$ નો આકાર અન્ય કરતા અલગ છે.

(C) $3d$ કક્ષક માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$3d$ માટે,$n=3$ અને $l=2$,તેથી $(n+l) = 3+2 = 5$.
હવે,આપેલા વિકલ્પો માટે $(n+l)$ ના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:
$A) 4s$: $n=4, l=0 \implies (n+l) = 4+0 = 4$
$B) 3s$: $n=3, l=0 \implies (n+l) = 3+0 = 3$
$C) 4p$: $n=4, l=1 \implies (n+l) = 4+1 = 5$
$D) 2p$: $n=2, l=1 \implies (n+l) = 2+1 = 3$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$4p$ કક્ષકનું $(n+l)$ મૂલ્ય $5$ છે,જે $3d$ કક્ષક સમાન છે.

(C) મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ કક્ષાનો ક્રમ દર્શાવે છે,અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ એ ઉપકોષનો પ્રકાર દર્શાવે છે.
$l=0$ માટે,ઉપકોષ $s$ છે.
$l=1$ માટે,ઉપકોષ $p$ છે.
$l=2$ માટે,ઉપકોષ $d$ છે.
$l=3$ માટે,ઉપકોષ $f$ છે.
આપેલ $n=3$ અને $l=2$ માટે,કક્ષક $3d$ છે.

(D) $N$ કોષ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ ને અનુરૂપ છે.
કોઈપણ $n$ માટે,ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ના મૂલ્યો $0$ થી $n-1$ સુધીના હોય છે.
તેથી,$n = 4$ માટે,$l = 0, 1, 2, 3$ ($4s, 4p, 4d, 4f$ પેટાકોષો).
પેટાકોષમાં કક્ષકોની સંખ્યા $2l + 1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$l = 0$ $(4s)$ માટે: $2(0) + 1 = 1$ કક્ષક.
$l = 1$ $(4p)$ માટે: $2(1) + 1 = 3$ કક્ષકો.
$l = 2$ $(4d)$ માટે: $2(2) + 1 = 5$ કક્ષકો.
$l = 3$ $(4f)$ માટે: $2(3) + 1 = 7$ કક્ષકો.
$N$ કોષમાં કુલ કક્ષકોની સંખ્યા $= 1 + 3 + 5 + 7 = 16$.
વૈકલ્પિક રીતે,કોષમાં કુલ કક્ષકોની સંખ્યા $n^2 = 4^2 = 16$ દ્વારા મળે છે.

(D) કક્ષકનું નામ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$l=0$ માટે,કક્ષક $s$ છે.
$l=1$ માટે,કક્ષક $p$ છે.
$l=2$ માટે,કક્ષક $d$ છે.
$l=3$ માટે,કક્ષક $f$ છે.
અહીં $n=4$ અને $l=3$ આપેલ હોવાથી,કક્ષક $4f$ થશે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,કક્ષકની શક્તિ ફક્ત મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે.
$2s$ અને $2p$ બંને માટે $n = 2$ હોવાથી,તેમની શક્તિ સમાન છે.
સમાન શક્તિ ધરાવતી કક્ષકોને સમાન શક્તિ ધરાવતી (degenerate) કક્ષકો કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$2s$ અને $2p$ એ સમાન શક્તિ ધરાવતી કક્ષકો છે.

(B) પાઉલીના અપવર્જનના નિયમ મુજબ,કોઈપણ એક કક્ષક મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે જે વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા હોય.
અહીં પ્રશ્નમાં $n=5$ અને $m=1$ દ્વારા નિર્દિષ્ટ એક $p$-કક્ષક વિશે પૂછવામાં આવ્યું છે,તેથી તેમાં મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન રહી શકે છે.

(B) $M$-કોષ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ ને અનુરૂપ છે.
$n = 3$ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક $l$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, 1, 2$ છે,જે $3s, 3p$ અને $3d$ પેટાકોષોને અનુરૂપ છે.
પેટાકોષમાં કક્ષકોની સંખ્યા $2l + 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l = 0$ $(3s)$ માટે: $2(0) + 1 = 1$ કક્ષક.
$l = 1$ $(3p)$ માટે: $2(1) + 1 = 3$ કક્ષકો.
$l = 2$ $(3d)$ માટે: $2(2) + 1 = 5$ કક્ષકો.
કુલ કક્ષકોની સંખ્યા $= 1 + 3 + 5 = 9$.
દરેક કક્ષક મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે.
તેથી,$M$-કોષમાં ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ સંખ્યા $= 9 \times 2 = 18$.