Quantum number, Electronic configuration and Shape of orbitals Questions in Gujarati

(A) કક્ષકમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{Angular momentum} = \sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi}$.
જો કોણીય વેગમાન $0$ હોય,તો $\sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2\pi} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $l(l+1) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ નું મૂલ્ય $0$ હોવું જોઈએ.
$s$-કક્ષક $l = 0$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$3s$ કક્ષક સાચો જવાબ છે.

(D) કક્ષક માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ કોષ દર્શાવે છે,અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l$ એ ઉપકોષ દર્શાવે છે.
આપેલ છે $n=4$ અને $l=1$.
$l=1$ એ $p$ ઉપકોષને અનુરૂપ હોવાથી,કક્ષક $4p$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા:
$4s \rightarrow n=4, l=0$
$3d \rightarrow n=3, l=2$
$4d \rightarrow n=4, l=2$
$4p \rightarrow n=4, l=1$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સંજ્ઞા $n$ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક (કોષ) દર્શાવે છે. સંજ્ઞા $l$ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ આંક (પેટાકોષ) દર્શાવે છે,અને $m_l$ ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક (કક્ષકનું ઓરિએન્ટેશન) દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે $n=3$,$l=1$,અને $m_l=-1$.
ક્વોન્ટમ આંકના આપેલ સેટ $(n, l, m_l)$ માટે,માત્ર એક જ ચોક્કસ કક્ષક વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$n=3$ અને $l=1$ એ $3p$ પેટાકોષને અનુરૂપ છે,અને $m_l=-1$ એ ત્રણ $p$-કક્ષકોમાંથી એકને દર્શાવે છે.
આમ,ક્વોન્ટમ આંકના આ ચોક્કસ સેટ માટે માત્ર $1$ કક્ષક શક્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ઝેનોન $(Xe)$ જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $54$ છે,તેની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના: $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 3d^{10}, 4s^2, 4p^6, 4d^{10}, 5s^2, 5p^6$ છે.
કક્ષકોની ગણતરી કરતા:
$1s$ ($1$ કક્ષક),$2s$ ($1$ કક્ષક),$2p$ ($3$ કક્ષકો),$3s$ ($1$ કક્ષક),$3p$ ($3$ કક્ષકો),$3d$ ($5$ કક્ષકો),$4s$ ($1$ કક્ષક),$4p$ ($3$ કક્ષકો),$4d$ ($5$ કક્ષકો),$5s$ ($1$ કક્ષક),$5p$ ($3$ કક્ષકો).
કુલ કક્ષકોની સંખ્યા = $1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 = 27$.

(C) $n=4$ માટે,કુલ કક્ષકો = $n^2 = 16$. દરેક કક્ષકમાં $m_s=+\frac{1}{2}$ ધરાવતો એક ઇલેક્ટ્રોન હોઈ શકે છે. આમ,$16$ ઇલેક્ટ્રોન શક્ય છે. (સાચું)
b) $n=5$ માટે,પેટાકોષો $s, p, d, f, g$ $(l=0, 1, 2, 3, 4)$ છે,તેથી $5$ પેટાકોષો છે. (ખોટું)
c) $n=2$ માટે,$l$ ની કિંમત $0, 1$ હોઈ શકે. જો $l=1$ હોય,તો $m_l$ ની કિંમત $-1, 0, +1$ હોઈ શકે. આમ,$n=2, l=1, m_l=0, m_s=-\frac{1}{2}$ માન્ય છે. (સાચું)
d) રેડિયલ નોડ્સ = $n-l-1$. $3s$ માટે,$n=3, l=0$. નોડ્સ = $3-0-1 = 2$. (સાચું)
તેથી,વિધાનો $a, c,$ અને $d$ સાચા છે.

(C) $3d$-ઓર્બિટલ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=3$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l=2$ છે.
$l=2$ માટે,ચુંબકીય ક્વોન્ટમ આંક $m$ ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની હોઈ શકે છે,એટલે કે $m \in \{-2, -1, 0, +1, +2\}$.
સ્પિન ક્વોન્ટમ આંક $s$ ની કિંમત $+\frac{1}{2}$ અથવા $-\frac{1}{2}$ હોઈ શકે છે.
આ શરતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ $(n=3, l=2, m=-2, s=+\frac{1}{2})$ તમામ માપદંડોને સંતોષે છે.

(D) $25$ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ધરાવતા તત્વની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^2, 3d^5$ છે.
$(n+l) = 3$ માટે:
- $2p$ કક્ષક $(n=2, l=1)$: $(n+l) = 2+1 = 3$. ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા = $6$.
- $3s$ કક્ષક $(n=3, l=0)$: $(n+l) = 3+0 = 3$. ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા = $2$.
તેથી,$x = 6 + 2 = 8$.
$(n+l) = 4$ માટે:
- $3p$ કક્ષક $(n=3, l=1)$: $(n+l) = 3+1 = 4$. ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા = $6$.
- $4s$ કક્ષક $(n=4, l=0)$: $(n+l) = 4+0 = 4$. ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા = $2$.
તેથી,$y = 6 + 2 = 8$.
$(x+y)$ નું મૂલ્ય = $8 + 8 = 16$.

(C) હુન્ડના મહત્તમ ગુણકતાના નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી પેટાકોષની દરેક કક્ષકમાં એક-એક ઇલેક્ટ્રોન ન ભરાય ત્યાં સુધી ઇલેક્ટ્રોનનું યુગ્મન થતું નથી.
વિકલ્પ $(C)$ માં,$p$-પેટાકોષમાં એક કક્ષક યુગ્મિત છે,જ્યારે બીજી કક્ષકમાં એક ઇલેક્ટ્રોન છે અને ત્રીજી ખાલી છે. આ હુન્ડના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે કારણ કે પ્રથમ કક્ષકમાં યુગ્મન થાય તે પહેલાં ઇલેક્ટ્રોને ત્રીજી કક્ષકમાં એકલા ગોઠવવું જોઈતું હતું.

(B) કુલ ઇલેક્ટ્રોન વિનિમયની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-1)}{2}$ છે,જ્યાં $n$ એ સમાન પેટાકોષમાં સમાન સ્પિન ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે.
$d^5$ ઇલેક્ટ્રોન રચના માટે,બધા $5$ ઇલેક્ટ્રોન $5$ અલગ-અલગ કક્ષકોમાં સમાન સ્પિન ધરાવે છે.
સૂત્રમાં $n = 5$ મૂકતા:
$\text{કુલ વિનિમય} = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

(B) $Pauli$ ના અપવર્જનના સિદ્ધાંત મુજબ,પરમાણુમાં કોઈ પણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે ચારેય ક્વોન્ટમ આંક $(n, l, m_l, m_s)$ ના મૂલ્યો સમાન હોઈ શકે નહીં.
આનો અર્થ એ છે કે એક કક્ષકમાં વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા મહત્તમ બે ઇલેક્ટ્રોન સમાઈ શકે છે.

(C) $n=1$ માટે,ઓર્બિટલ $1s$ ($1$ ઓર્બિટલ) છે.
$n=2$ માટે,ઓર્બિટલ્સ $2s$ અને $2p$ ($1+3=4$ ઓર્બિટલ્સ) છે.
$n=3$ માટે,ઓર્બિટલ્સ $3s$,$3p$,અને $3d$ ($1+3+5=9$ ઓર્બિટલ્સ) છે.
$n$ સુધી $3$ માટે કુલ ઓર્બિટલ્સની સંખ્યા $1 + 4 + 9 = 14$ છે.
દરેક ઓર્બિટલ $m_s = -\frac{1}{2}$ સાથે બરાબર એક ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે.
તેથી,$m_s = -\frac{1}{2}$ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $14$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n=4$ માટે,શક્ય સબશેલ્સ $4s$,$4p$,$4d$ અને $4f$ છે.
દરેક સબશેલમાં $m_l=0$ ધરાવતી ઓછામાં ઓછી એક કક્ષક હોય છે (જેમ કે $ns$,$np_z$,$nd_{z^2}$ અને $nf_{z^3}$ કક્ષકો).
$n=4$ કોષમાં આવી $4$ કક્ષકો છે જેમાં $m_l=0$ હોય છે.
દરેક કક્ષક $m_s=\frac{1}{2}$ સ્પિન ધરાવતો માત્ર એક જ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે,તેથી કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $4 \times 1 = 4$ થાય છે.

(A) $s$-ઇલેક્ટ્રોન અને $p$-ઇલેક્ટ્રોનનો ગુણોત્તર દરેક સ્પીસીઝની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$K^{+}$ $(Z=19)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$. કુલ $s$-ઇલેક્ટ્રોન = $2+2+2 = 6$. કુલ $p$-ઇલેક્ટ્રોન = $6+6 = 12$. ગુણોત્તર = $6:12 = 1:2$.
$Cr^{3+}$ $(Z=24)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^3$. કુલ $s$-ઇલેક્ટ્રોન = $2+2+2 = 6$. કુલ $p$-ઇલેક્ટ્રોન = $6+6 = 12$. ગુણોત્તર = $6:12 = 1:2$.
આમ,$K^{+}$ અને $Cr^{3+}$ બંનેમાં ગુણોત્તર $1:2$ સમાન છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $P$ $(Z=15)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^3$. કુલ $s$-ઇલેક્ટ્રોન = $6$. કુલ $p$-ઇલેક્ટ્રોન = $9$. ગુણોત્તર = $6/9 = 2/3$.
$Ca$ $(Z=20)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^2$. કુલ $s$-ઇલેક્ટ્રોન = $8$. કુલ $p$-ઇલેક્ટ્રોન = $12$. ગુણોત્તર = $8/12 = 2/3$.
આમ,સાચી જોડી $P$ અને $Ca$ છે.

(B) આપેલ છે,$E = \left( \frac{-R_{H}}{n^2} \right) = \left( \frac{-R_{H}}{16} \right)$.
છેદની સરખામણી કરતા,આપણને $n^2 = 16$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ઉર્જા ફક્ત મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ પર આધાર રાખે છે.
મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતા સ્તરની ડીજનરેસી $n^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ માટે,ડીજનરેસી $4^2 = 16$ છે.
આ $n = 4$ કોષમાં રહેલી $16$ કક્ષકોને અનુરૂપ છે: $4s$ ($1$ કક્ષક),$4p$ ($3$ કક્ષકો),$4d$ ($5$ કક્ષકો),અને $4f$ ($7$ કક્ષકો),જેનો કુલ સરવાળો $1 + 3 + 5 + 7 = 16$ થાય છે.

(C) તરંગ વિધેય $\psi$ પોતે કોઈ સીધો ભૌતિક અર્થ ધરાવતું નથી. તે એક ગાણિતિક વિધેય છે જે પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિનું વર્ણન કરે છે. $\psi$ નું ભૌતિક મહત્વ એ છે કે તેના મૂલ્યનો વર્ગ,$|\psi|^2$,અવકાશમાં કોઈ ચોક્કસ બિંદુએ ઇલેક્ટ્રોન શોધવાની સંભાવના ઘનતા દર્શાવે છે. તેથી,પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન વિશેની સંપૂર્ણ માહિતી તેની $\psi$ માં સંગ્રહિત છે તે વિધાન ખોટું છે કારણ કે $\psi$ માત્ર એક ગાણિતિક કંપનવિસ્તાર છે,જ્યારે ભૌતિક સંભાવના $|\psi|^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) $Sr$ $(Z=38)$ ની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^2, 3d^{10}, 4p^6, 5s^2$ છે.
$l=0$ ($s$-ઓર્બિટલ્સ) ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન: $1s^2, 2s^2, 3s^2, 4s^2, 5s^2$. કુલ ઇલેક્ટ્રોન $x = 2+2+2+2+2 = 10$.
$l=2$ ($d$-ઓર્બિટલ્સ) ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન: $3d^{10}$. કુલ ઇલેક્ટ્રોન $y = 10$.
તેથી,$(x-y) = 10 - 10 = 0$.

(C) કક્ષકમાં રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$ છે.
કોણીય નોડ્સ (Angular nodes) $= l$ છે.
કુલ નોડ્સની સંખ્યા: $\text{Total nodes} = n - 1$ થાય છે.

(C) ક્વોન્ટમ નંબર માટેના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$1$. મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર '$n$' કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $(1, 2, 3, \dots)$ હોઈ શકે છે.
$2$. એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર '$l$' ની કિંમત $0$ થી $(n-1)$ સુધીની હોઈ શકે છે.
$3$. ચુંબકીય ક્વોન્ટમ નંબર '$m$' ની કિંમત $-l$ થી $+l$ સુધીની (શૂન્ય સહિત) હોઈ શકે છે.
$4$. સ્પિન ક્વોન્ટમ નંબર '$s$' ની કિંમત $\pm\frac{1}{2}$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$n=3$ છે,તેથી '$l$' ની મહત્તમ કિંમત $(n-1) = 2$ થાય.
અહીં આપેલી કિંમત $l=3$ છે,જે $n=3$ માટે શક્ય નથી,તેથી આ સેટ અશક્ય છે.

(C) પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 24$ એ ક્રોમિયમ $(Cr)$ છે.
$Cr$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^1$ છે.
$(n+\ell) = 3$ માટે: કક્ષકો $2p$ $(n=2, \ell=1)$ અને $3s$ $(n=3, \ell=0)$ છે. કુલ ઇલેક્ટ્રોન $= 6 + 2 = 8$.
$(n+\ell) = 4$ માટે: કક્ષકો $3p$ $(n=3, \ell=1)$ અને $4s$ $(n=4, \ell=0)$ છે. કુલ ઇલેક્ટ્રોન $= 6 + 1 = 7$.
$(n+\ell) = 5$ માટે: કક્ષક $3d$ $(n=3, \ell=2)$ છે. કુલ ઇલેક્ટ્રોન $= 5$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનનું ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાન $(L)$ શોધવાનું સૂત્ર: $L = \sqrt{l(l+1)} \hbar$ છે,જ્યાં $l$ એ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર છે અને $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ છે.
$d$ ઓર્બિટલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ નું મૂલ્ય $2$ છે.
સૂત્રમાં $l = 2$ મૂકતા:
$L = \sqrt{2(2+1)} \hbar$
$L = \sqrt{2(3)} \hbar$
$L = \sqrt{6} \hbar$
તેથી,$d$ ઓર્બિટલમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાન $\sqrt{6} \hbar$ થાય છે.

(D) આપેલ ઉર્જા સ્તર $n$ માટે,કક્ષકોની કુલ સંખ્યા $n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=4$ માટે,કક્ષકોની કુલ સંખ્યા $= 4^2 = 16$ છે.
દરેક કક્ષક વિરુદ્ધ સ્પિન ધરાવતા મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે,એટલે કે $+\frac{1}{2}$ અને $-\frac{1}{2}$.
ત્યાં $16$ કક્ષકો હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની કુલ સંખ્યા $16 \times 2 = 32$ છે.
આ $32$ ઇલેક્ટ્રોનમાંથી,અડધા ઇલેક્ટ્રોન $+\frac{1}{2}$ સ્પિન મૂલ્ય ધરાવશે.
તેથી,$+\frac{1}{2}$ સ્પિન ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $= \frac{32}{2} = 16$ છે.
આમ,મૂલ્યો $16$ અને $16$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોનનું ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાન શોધવાનું સૂત્ર: $\sqrt{l(l+1)} \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$d$-ઓર્બિટલ માટે,એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $(l) = 2$ થાય છે.
સૂત્રમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
ઓર્બિટલ કોણીય વેગમાન $= \sqrt{2(2+1)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{2(3)} \frac{h}{2 \pi} = \sqrt{6} \frac{h}{2 \pi}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) એન્ગ્યુલર નોડની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,એન્ગ્યુલર નોડ $= 1$,તેથી $l = 1$,જે $p$-સબશેલ સૂચવે છે.
રેડિયલ નોડની સંખ્યા $n - l - 1$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર છે.
આપેલ રેડિયલ નોડ $= 4$ અને $l = 1$ હોવાથી,$n - 1 - 1 = 4$,જે $n = 6$ આપે છે.
તેથી,કક્ષક $6p$ (દા.ત.,$6p_{z}$) છે.

(B) કોણીય નોડની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર,$l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે કક્ષકમાં એક કોણીય નોડ છે,તેથી $l = 1$,જે $p$-કક્ષક સૂચવે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી સંભાવના વિતરણ વક્રમાં મહત્તમ મૂલ્યોની સંખ્યા $n - l$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ મૂલ્યોની સંખ્યા $3$ છે,તેથી $n - l = 3$.
સમીકરણમાં $l = 1$ મૂકતા: $n - 1 = 3$,જે $n = 4$ આપે છે.
તેથી,તે કક્ષક $4p$ છે.

(B) રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$ છે.
$3s$ ઓર્બિટલ માટે,$n = 3$ અને $l = 0$. તેથી,$\text{Radial nodes} = 3 - 0 - 1 = 2$.
$2p$ ઓર્બિટલ માટે,$n = 2$ અને $l = 1$. તેથી,$\text{Radial nodes} = 2 - 1 - 1 = 0$.
આમ,$3s$ અને $2p$ ઓર્બિટલ્સમાં રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યા અનુક્રમે $2$ અને $0$ છે.

(A) કક્ષકની ઉર્જા $(n+l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. આ નિયમ મુજબ,જે કક્ષકનું $(n+l)$ મૂલ્ય વધારે હોય તેની ઉર્જા વધારે હોય છે.
જો $(n+l)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય વધારે હોય તેની ઉર્જા વધારે હોય છે.
દરેક માટે $(n+l)$ ની ગણતરી:
$A: n=5, l=2 \implies (n+l) = 5+2 = 7$
$B: n=5, l=0 \implies (n+l) = 5+0 = 5$
$C: n=4, l=3 \implies (n+l) = 4+3 = 7$
$D: n=4, l=1 \implies (n+l) = 4+1 = 5$
મૂલ્યોની સરખામણી:
$A$ અને $C$ માટે,$(n+l) = 7$. $A$ માટે $n$ નું મૂલ્ય વધારે હોવાથી $(5 > 4)$,$A > C$ થશે.
$B$ અને $D$ માટે,$(n+l) = 5$. $B$ માટે $n$ નું મૂલ્ય વધારે હોવાથી $(5 > 4)$,$B > D$ થશે.
તેથી,ઉર્જાનો ઘટતો ક્રમ $A > C > B > D$ છે.

(A) સબશેલ એ એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. $l=2$ માટે,સબશેલ એ $d$-સબશેલ છે.
સબશેલમાં ઓર્બિટલ્સની સંખ્યા $(2l+1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l=2$ માટે,ઓર્બિટલ્સની સંખ્યા $= 2(2)+1 = 5$.
દરેક ઓર્બિટલ મહત્તમ $2$ ઇલેક્ટ્રોન સમાવી શકે છે,તેથી $d$-સબશેલમાં ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ સંખ્યા $5 \times 2 = 10$ છે.

(C) ક્વોન્ટમ નંબરોના નિયમો નીચે મુજબ છે:
$1$. $n = 1, 2, 3, \dots$
$2$. $l = 0$ થી $(n-1)$
$3$. $m_l = -l$ થી $+l$
$4$. $m_s = \pm \frac{1}{2}$
દરેક વિકલ્પ તપાસો:
$(A)$ $n=1, l=0$ માટે,$m_l$ ની એકમાત્ર શક્ય કિંમત $0$ છે. તેથી,$m_l=+1$ ખોટું છે.
$(B)$ $n=1$ માટે,$l$ માત્ર $0$ હોઈ શકે. તેથી,$l=1$ ખોટું છે.
$(C)$ $n=3$ માટે,$l$ એ $0, 1, 2$ હોઈ શકે. જો $l=1$ હોય,તો $m_l$ એ $-1, 0, +1$ હોઈ શકે. $m_l=0$ અને $m_s=+\frac{1}{2}$ માન્ય હોવાથી,આ સેટ શક્ય છે.
$(D)$ $n=3$ માટે,$l$ માત્ર $0, 1, 2$ હોઈ શકે. તેથી,$l=3$ ખોટું છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) સબશેલમાં ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $2(2l + 1)$ છે.
$n=4$ અને $l=3$ માટે,સબશેલ $4f$ છે.
સૂત્રમાં $l=3$ મૂકતા:
$= 2(2 \times 3 + 1) = 2(6 + 1) = 2 \times 7 = 14$ ઇલેક્ટ્રોન.

(C) $1$. $d_{x^2-y^2}$ કક્ષકમાં,ઇલેક્ટ્રોન $x$ અને $y$ અક્ષ પર હાજર હોય છે,તેથી $XY$ સમતલમાં ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા શૂન્ય નથી.
$2$. $(n+l)$ ના નિયમ મુજબ,$(n+l)$ નો સરવાળો જેટલો વધારે,તેટલી ઉર્જા વધારે.
$3p$ માટે,$(n+l) = 3+1 = 4$.
$2p$ માટે,$(n+l) = 2+1 = 3$.
આમ,$3p$ ની ઉર્જા $2p$ કરતા વધારે છે.
$3$. કોણીય નોડની સંખ્યા એઝિમુથલ ક્વોન્ટમ નંબર $l$ જેટલી હોય છે.
$p$-કક્ષકો માટે $l = 1$,તેથી $3p_z$ માં એક કોણીય નોડ હોય છે.
$4$. રેડિયલ નોડની સંખ્યા $(n-l-1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$4f$ માટે,$n = 4$ અને $l = 3$,તેથી રેડિયલ નોડ $= 4-3-1 = 0$.

(B) રેડિયલ નોડ્સની સંખ્યા ગણવાનું સૂત્ર છે: $\text{Radial nodes} = n - l - 1$.
$3p$ કક્ષક માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 3$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\text{Radial nodes} = 3 - 1 - 1 = 1$.

(A) $4d$ ઓર્બિટલ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $l = 2$ છે.
કોણીય નોડની સંખ્યા $= l = 2$.
ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા $= n - l - 1 = 4 - 2 - 1 = 1$.
તેથી,કોણીય અને ત્રિજ્યાવર્તી નોડની સંખ્યા અનુક્રમે $2$ અને $1$ છે.

(A) $Spin$ ક્વોન્ટમ નંબર $(s)$ વર્ણપટ રેખાઓની સૂક્ષ્મ રચનાને સમજાવે છે,જેમ કે $H$ અને આલ્કલી ધાતુઓના વર્ણપટમાં જોવા મળતા ડબલેટ્સ,અને આલ્કલાઇન અર્થ ધાતુઓના વર્ણપટમાં જોવા મળતા ડબલેટ્સ અને ટ્રિપલેટ્સ,જે ઇલેક્ટ્રોન સ્પિન કોણીય વેગમાનને કારણે હોય છે.

(C) $N$ કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ છે.
ઉપ-સ્તરોની સંખ્યા $n$ જેટલી હોય છે,તેથી $4$ ઉપ-સ્તરો છે.
કક્ષકોની સંખ્યા $n^2 = 4^2 = 16$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2n^2 = 2 \times 4^2 = 32$ છે.
આમ,મૂલ્યો $4, 16, 32$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,જે એક-ઇલેક્ટ્રોન સિસ્ટમ છે,કક્ષકોની ઉર્જા માત્ર મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,$2s$ અને $2p$ કક્ષકોની ઉર્જા સમાન હોય છે.
$He$ જેવા બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુઓમાં,કક્ષકોની ઉર્જા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n)$ અને ગૌણ ક્વોન્ટમ આંક $(l)$ બંને પર આધાર રાખે છે. શીલ્ડિંગ અસરને કારણે,$2s$ કક્ષકની ઉર્જા $2p$ કક્ષક કરતા ઓછી હોય છે.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) કોઈપણ આવર્તમાં તત્વોની સંખ્યા તે આવર્ત માટે ભરાતી કક્ષકોમાં સમાઈ શકતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
$6^{th}$ આવર્ત માટે,$6s$,$4f$,$5d$,અને $6p$ કક્ષકો ભરાય છે.
આ કક્ષકોમાં સમાઈ શકતા મહત્તમ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$6s: 2$ ઇલેક્ટ્રોન
$4f: 14$ ઇલેક્ટ્રોન
$5d: 10$ ઇલેક્ટ્રોન
$6p: 6$ ઇલેક્ટ્રોન
તત્વોની કુલ સંખ્યા = $2 + 14 + 10 + 6 = 32$.
આમ,$6^{th}$ આવર્તમાં $32$ તત્વો હોય છે,જેનો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z) = 55$ થી $(Z) = 86$ સુધીનો હોય છે.

(B) Aufbau ના સિદ્ધાંત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન તેમની ઉર્જાના વધતા ક્રમમાં કક્ષકોમાં ભરાય છે,જે $(n+l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$Ti$ $(Z=22)$ માટે,ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^2, 2s^2, 2p^6, 3s^2, 3p^6, 4s^2, 3d^2$ છે.
તેથી,કક્ષકોમાં ઇલેક્ટ્રોન ભરવાનો ક્રમ $1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d$ છે.

(A) આપેલ ઇલેક્ટ્રોનિક કોન્ફિગરેશન $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^{10} 4s^1$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો સરવાળો: $2+2+6+2+6+10+1 = 29$.
પરમાણુ ક્રમાંક $29$ ધરાવતું તત્વ કોપર $(Cu)$ છે.
આ કોન્ફિગરેશન $Cu$ ની સ્થાયી ધરા-સ્થિતિ દર્શાવે છે જેમાં $3d$ સબશેલ સંપૂર્ણ ભરાયેલી છે.

(A) અડધી ભરાયેલી અને સંપૂર્ણ ભરાયેલી ઇલેક્ટ્રોનિક રચનાની વધારાની સ્થિરતાને સંમિતિ અને વિનિમય ઉર્જાના સંદર્ભમાં સમજાવી શકાય છે.
સમાન પેટાકોષના તમામ કક્ષકો જે કાં તો સંપૂર્ણ ભરાયેલા હોય અથવા અડધા ભરાયેલા હોય તેમાં ઇલેક્ટ્રોનનું વધુ સપ્રમાણ વિતરણ હોય છે.
પરિણામે,તેમનું એકબીજાનું શીલ્ડિંગ પ્રમાણમાં ઓછું હોય છે અને ઇલેક્ટ્રોન કેન્દ્ર દ્વારા વધુ મજબૂત રીતે આકર્ષાય છે.
વધુમાં,આ રચનાઓમાં શક્ય વિનિમયોની સંખ્યા મહત્તમ હોય છે,જે ઉચ્ચ વિનિમય ઉર્જા તરફ દોરી જાય છે અને તેથી,પરમાણુની સ્થિરતા વધે છે.
આમ,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) $+2$ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં $Z$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતા તત્વની ઇલેક્ટ્રોન રચના $Z-2$ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુને સમાન હોય છે.
આપેલ છે કે $Z-2 = 24$,તેથી પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 26$. આ તત્વ $Fe$ છે.
$Fe$ $(Z=26)$ ની ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^6 4s^2$ છે.
$Fe^{2+}$ ની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ar] 3d^6$ છે.
$3d^6$ રચનામાં,ઇલેક્ટ્રોન હન્ડના નિયમ મુજબ $d$-પેટાકોષના $5$ કક્ષકોમાં વહેંચાયેલા છે: $d_{xy}^2, d_{yz}^1, d_{zx}^1, d_{x^2-y^2}^1, d_{z^2}^1$.
આમ,તેમાં $4$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે.

(D) ઊર્જા વધવાનો ક્રમ $(n+l)$ ના નિયમ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે.
જો બે કક્ષકો માટે $(n+l)$ નું મૂલ્ય સમાન હોય,તો જે કક્ષક માટે $n$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય તેની ઊર્જા ઓછી હોય છે.
$(i)$ $n=4, l=1$ માટે,$(n+l) = 4+1 = 5$.
(ii) $n=4, l=0$ માટે,$(n+l) = 4+0 = 4$.
(iii) $n=3, l=2$ માટે,$(n+l) = 3+2 = 5$.
(iv) $n=3, l=1$ માટે,$(n+l) = 3+1 = 4$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: (iv) અને (ii) માટે $(n+l) = 4$ છે. (iv) માટે $n$ ઓછું હોવાથી,$(iv) < (ii)$.
$(i)$ અને (iii) માટે $(n+l) = 5$ છે. (iii) માટે $n$ ઓછું હોવાથી,$(iii) < (i)$.
આમ,ઊર્જાનો વધતો ક્રમ $(iv) < (ii) < (iii) < (i)$ છે.

(C) તત્વોની ઇલેક્ટ્રોનીય રચના નીચે મુજબ છે:
$X$ $(Z=19)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 4s^1$. $M$-કોષ $(n=3)$ માં $2+6 = 8$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Y$ $(Z=21)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^1 4s^2$. $M$-કોષ $(n=3)$ માં $2+6+1 = 9$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Z$ $(Z=25)$ માટે: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^5 4s^2$. $M$-કોષ $(n=3)$ માં $2+6+5 = 13$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$M$-કોષમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાની સરખામણી કરતા: $Z (13) > Y (9) > X (8)$.
આમ,સાચો ક્રમ $Z > Y > X$ છે.

(A) આપેલા તત્વોની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના નીચે મુજબ છે:
$K (Z=19): 1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6, 4s^1$. $M$ કક્ષા $(n=3)$ માં $2+6 = 8$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Mn (Z=25): 1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^5, 4s^2$. $M$ કક્ષા $(n=3)$ માં $2+6+5 = 13$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Ni (Z=28): 1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^8, 4s^2$. $M$ કક્ષા $(n=3)$ માં $2+6+8 = 16$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$Sc (Z=21): 1s^2, 2s^2 2p^6, 3s^2 3p^6 3d^1, 4s^2$. $M$ કક્ષા $(n=3)$ માં $2+6+1 = 9$ ઇલેક્ટ્રોન છે.
$M$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યાની સરખામણી કરતા: $K (8) < Sc (9) < Mn (13) < Ni (16)$.
આમ,$K$ ની $M$ કક્ષામાં સૌથી ઓછા ઇલેક્ટ્રોન છે.