Molecular speeds Questions in Gujarati

(D) સૌથી સંભવિત વેગનું સૂત્ર $V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $V_{mp} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
આપેલ વાયુઓ માટે સાપેક્ષ મૂલ્યોની ગણતરી:
$1$. $N_2$ $(300 \ K)$ માટે: $\sqrt{\frac{300}{28}} \approx 3.27$
$2$. $O_2$ $(400 \ K)$ માટે: $\sqrt{\frac{400}{32}} \approx 3.53$
$3$. $H_2$ $(300 \ K)$ માટે: $\sqrt{\frac{300}{2}} \approx 12.25$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$V_{mp}(N_2, 300 \ K) < V_{mp}(O_2, 400 \ K) < V_{mp}(H_2, 300 \ K)$ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $I$ એ $N_2$ $(300 \ K)$,બિંદુ $II$ એ $O_2$ $(400 \ K)$ અને બિંદુ $III$ એ $H_2$ $(300 \ K)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} \times \frac{M_{O_2}}{T_{O_2}}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T_{H_2} = 50 \ K$,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,$T_{O_2} = 800 \ K$,અને $M_{O_2} = 32 \ g/mol$.
$\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}} = \sqrt{25 \times \frac{1}{25}} = \sqrt{1} = 1$.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
વેગ સમાન હોવા માટે,$\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_2}{M_2}$ થાય.
અહીં,$M_1$ ($O_3$ નું આણ્વીય દળ) = $48 \, g/mol$,$M_2$ ($O_2$ નું આણ્વીય દળ) = $32 \, g/mol$,અને $T_2 = 27 + 273 = 300 \, K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_1}{48} = \frac{300}{32}$.
$T_1 = \frac{300 \times 48}{32} = 450 \, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $450 - 273 = 177 \, ^oC$.

(B) વાયુ માટે,ત્રણ પ્રકારની આણ્વિય ઝડપ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$1$. સરેરાશ વર્ગમૂળ ઝડપ: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$2$. સરેરાશ ઝડપ: $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$3$. સૌથી સંભવિત ઝડપ: $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sqrt{\frac{8}{3.14}} \approx 1.596$,અને $\sqrt{2} \approx 1.414$.
આમ,સાચો ક્રમ $v_{rms} > v_{avg} > u_{mp}$ છે.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$STP$ એ $CO_2$ માટે,$T = 273.15 \ K$ અને $M = 44 \ g/mol$.
$N_2$ માટે,$M = 28 \ g/mol$. આપણે એવું $T$ શોધવાનું છે કે જેથી $u_{rms}(N_2) = u_{rms}(CO_2)$ થાય.
સમીકરણોને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{CO_2}}{M_{CO_2}}}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{T_{N_2}}{M_{N_2}} = \frac{T_{CO_2}}{M_{CO_2}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{N_2}}{28} = \frac{273.15}{44}$.
$T_{N_2} = \frac{273.15 \times 28}{44} \approx 173.83 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^\circ C) = 173.83 - 273.15 = -99.32 \ ^\circ C$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $-99.27 \ ^\circ C$ છે.

(D) વાયુની સરેરાશ વર્ગ ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 37 + 273 = 310 \, K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 927 + 273 = 1200 \, K$.
ઝડપનો ગુણોત્તર: $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{1200}{310}} \approx \sqrt{3.87} \approx 1.96 \approx 2$.
તેથી,ઝડપ મૂળ ઝડપ કરતા લગભગ બે ગણી થશે.

(D) વાયુની મૂળ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ વાયુ અચળાંક,$T$ એ તાપમાન અને $M$ એ વાયુનું આણ્વીય દળ છે.
અહીં $R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આથી,જે વાયુનું આણ્વીય દળ સૌથી ઓછું હશે તેની ઝડપ સૌથી વધુ હશે.
આણ્વીય દળ: $M(SO_2) = 64 \ g/mol$,$M(CO_2) = 44 \ g/mol$,$M(O_2) = 32 \ g/mol$,અને $M(H_2) = 2 \ g/mol$.
$H_2$ નું આણ્વીય દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,તેની $u_{rms}$ સૌથી વધુ હશે.

(A) મૂળ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$STP$ પર,$T = 273.15 \ K$ અને $R = 8.314 \ J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ છે.
$O_2$ નું મોલર દળ $(M)$ $32 \ g/mol = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 273.15}{32 \times 10^{-3}}} \approx 461.4 \ m/s$.
$m/s$ ને $cm/s$ માં ફેરવવા માટે $100$ વડે ગુણતા: $461.4 \times 100 = 46140 \ cm/s = 4.61 \times 10^4 \ cm/s$.

(D) આપેલ છે: $P = 3 \, atm$,$V = 14.8 \, L$,$m = 15 \, g$,$T = 300 \, K$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = (m/M)RT$ નો ઉપયોગ કરતા,મોલર દળ $M$ મળે છે:
$M = (mRT) / (PV) = (15 \, g \times 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1} \times 300 \, K) / (3 \, atm \times 14.8 \, L) \approx 25 \, g/mol$.
$u_{rms} = \sqrt{3RT/M}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$u_{rms} = \sqrt{(3 \times 8.314 \, J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1} \times 300 \, K) / (25 \times 10^{-3} \, kg/mol)} \approx 5.47 \times 10^4 \, cm/s$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $7.7 \times 10^4 \, cm/s$ છે.

(C) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$rms$ ઝડપ માત્ર તાપમાન $(T)$ અને વાયુના મોલર દળ $(M)$ પર આધાર રાખે છે.
તાપમાન અચળ $(27 \, ^oC)$ હોવાથી અને $O_2$ નું મોલર દળ અચળ હોવાથી,અણુઓની સંખ્યા બદલાવા છતાં $rms$ ઝડપ બદલાશે નહીં.

(B) મૂળ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ $(u_{rms})$ શોધવાનું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$
આપેલ છે:
દબાણ $(P)$ = $100 \, kPa = 10^5 \, Pa$
ઘનતા $(d)$ = $0.1 \, g \, dm^{-3} = 0.1 \, kg \, m^{-3}$
કિંમતો મૂકતા:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 10^5}{0.1}} = \sqrt{3 \times 10^6}$
$u_{rms} = 1000 \times 1.732 = 1732 \, ms^{-1}$

(D) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $(v_{avg})$ નું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $v_{avg} \propto \sqrt{T}$.
સરેરાશ ઝડપ ઘટાડવા માટે,વાયુનું તાપમાન $(T)$ ઘટાડવું જરૂરી છે.
આદર્શ વાયુના સમોષ્મી વિસ્તરણમાં,વાયુ તેની આંતરિક ઉર્જાના ભોગે આસપાસ પર કાર્ય કરે છે,જેનાથી વાયુનું તાપમાન ઘટે છે.
તેથી,સમોષ્મી વિસ્તરણ એ અણુઓની સરેરાશ ઝડપ ઘટાડવાની સાચી રીત છે.

(D) વાયુના અણુઓનો $RMS$ વેગ નીચેના સૂત્રો દ્વારા ગણી શકાય છે:
$1$. $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$,જ્યાં $P$ એ દબાણ અને $d$ એ ઘનતા છે.
$2$. $v_{rms} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$,જ્યાં $V$ એ કદ અને $M$ એ મોલર દળ છે.
$3$. $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,જ્યાં $R$ એ આદર્શ વાયુ અચળાંક અને $T$ એ તાપમાન છે.
આ ત્રણેય અભિવ્યક્તિઓ આદર્શ વાયુ માટે ગાણિતિક રીતે સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $(r)$ એ મોલર દળ $(M)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
જો બે વાયુઓનું મોલર દળ સમાન હોય,તો તેઓ સમાન દરે પ્રસરણ પામશે.
$NO$ માટે: મોલર દળ = $14 + 16 = 30 \ g/mol$.
$C_2H_6$ માટે: મોલર દળ = $(2 \times 12) + (6 \times 1) = 30 \ g/mol$.
આમ,$NO$ અને $C_2H_6$ બંનેનું મોલર દળ $30 \ g/mol$ હોવાથી,તેઓ સમાન દરે પ્રસરણ પામશે. તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) સરેરાશ વેગ $(v_{avg})$ નું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
બે વાયુઓના સરેરાશ વેગ સમાન હોવા માટે,$\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_2}{M_2}$ થાય.
આપેલ છે: $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$,$M_1 (NH_3) = 17 \ g/mol$,$M_2 (NO) = 30 \ g/mol$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_1}{17} = \frac{600}{30}$.
$T_1 = 17 \times 20 = 340 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1 = 340 - 273 = 67\,^oC$.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે $T_1 = 50 \ K$ અને આણ્વીય દળ $M_1 = 2 \ g/mol$:
$u_{H_2} = \sqrt{\frac{3R(50)}{2}}$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે $T_2 = 800 \ K$ અને આણ્વીય દળ $M_2 = 32 \ g/mol$:
$u_{O_2} = \sqrt{\frac{3R(800)}{32}}$.
ગુણોત્તર $\frac{u_{H_2}}{u_{O_2}} = \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}} = \sqrt{25 \times \frac{1}{25}} = \sqrt{1} = 1/1$ થાય છે.

(D) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ વક્ર અણુઓની સંખ્યા અને તેમની ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
સૌથી સંભવિત ઝડપ $(V_{mp})$ વક્રના શિખરને અનુરૂપ છે.
સરેરાશ ઝડપ $(V_{av})$ એ સૌથી સંભવિત ઝડપ કરતા થોડી વધારે હોય છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{rms})$ ત્રણેયમાં સૌથી વધુ હોય છે.
સંબંધ આ મુજબ છે: $V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} < V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} < V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આલેખ જોતા,$A$ શિખર પર છે,$B$ વચ્ચે છે,અને $C$ સૌથી વધુ ઝડપની સ્થિતિ પર છે.
તેથી,$A = V_{mp}$,$B = V_{av}$,અને $C = V_{rms}$.

(N/A) અણુઓની ઝડપ અને ઉર્જા: અણુઓ વાયુ અવસ્થામાં રહેલા પદાર્થના ઘટક કણો છે. આ કણો એકબીજાથી દૂર હોય છે અને મોટી જગ્યા રોકે છે. આ કણો સતત બધી દિશામાં ગતિ કરતા હોય છે.
આ ગતિશીલ કણો એકબીજા સાથે અને પાત્રની દીવાલ સાથે અથડાય છે.
આ અથડામણ દરમિયાન તેમની ઝડપ અને દિશા બદલાય છે,તેથી પાત્રમાં રહેલા તમામ કણોની ઝડપ સમાન હોતી નથી,પરંતુ તેમની ઝડપ અલગ-અલગ હોય છે જે સતત બદલાતી રહે છે. જોકે,એક નિશ્ચિત તાપમાને અણુઓની ઝડપનું વિતરણ સમાન રહે છે.
સરેરાશ અણુ ઝડપ $(u_{av})$: ધારો કે,વાયુના $n$ અણુઓ છે અને તેમની વ્યક્તિગત ઝડપ $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ $(u_{av})$ નીચે મુજબ છે:
$u_{av} = \frac{u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}}{n}$

(N/A) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ વક્ર આપેલ તાપમાને વાયુમાં અણુઓની ઝડપનું વિતરણ દર્શાવે છે.
મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણના મુખ્ય મુદ્દાઓ:
$1$. ખૂબ ઓછી અથવા ખૂબ ઊંચી ઝડપ ધરાવતા અણુઓનો અંશ ખૂબ જ નાનો હોય છે.
$2$. જેમ ઝડપ વધે છે,તેમ તે ઝડપ ધરાવતા અણુઓનો અંશ વધે છે જ્યાં સુધી તે ટોચ (peak) પર ન પહોંચે,ત્યારબાદ તે ઘટવાનું શરૂ કરે છે.
$3$. વક્રની ટોચ સૌથી વધુ સંભવિત ઝડપ $(u_{mp})$ દર્શાવે છે,જે મહત્તમ અણુઓ દ્વારા ધરાવતી ઝડપ છે.
$4$. આ વિતરણ વાયુના તાપમાન અને મોલર દળ પર આધાર રાખે છે.
આલેખમાં y-અક્ષ પર અણુઓનો અંશ $\left(\frac{\Delta N}{N}\right)$ અને x-અક્ષ પર આણ્વીય ઝડપ દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણનો નિયમ આપેલા તાપમાને વાયુમાં આણ્વિય ઝડપના વિતરણનું વર્ણન કરે છે. અચળ તાપમાને ચોક્કસ ઝડપ ધરાવતા અણુઓનો અંશ અચળ રહે છે,જેને મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
મેક્સવેલ અને બોલ્ટ્ઝમેને દર્શાવ્યું કે વાયુઓમાં આણ્વિય ઝડપનું વિતરણ તાપમાન અને વાયુના મોલર દળ પર આધાર રાખે છે.
મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન ઝડપ વિતરણનો આલેખ: આ આલેખમાં y-અક્ષ પર અણુઓનો અંશ $\left(\frac{\Delta N}{N}\right)$ અને x-અક્ષ પર આણ્વિય ઝડપ લેવામાં આવે છે.
આલેખની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ:
$(i)$ ખૂબ ઓછી અથવા ખૂબ વધારે ઝડપ ધરાવતા અણુઓનો અંશ ખૂબ જ નાનો હોય છે.
$(ii)$ વધુ ઝડપ ધરાવતા અણુઓનો અંશ ટોચ (peak) સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી વધે છે અને ત્યારબાદ ઘટવા લાગે છે.
$(iii)$ અણુઓનો મહત્તમ અંશ વક્રની ટોચને અનુરૂપ ઝડપ ધરાવે છે. આ ઝડપને સૌથી વધુ સંભવ્ય ઝડપ $\left(u_{mp}\right)$ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) તાપમાનમાં વધારા સાથે આણ્વિય ઝડપ અને અણુઓની સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ નીચા તાપમાન $T_{1}$ અને ઊંચા તાપમાન $T_{2}$ ના વક્રની સરખામણી દ્વારા દર્શાવેલ છે.
મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ વક્ર મુજબ,ઊંચા તાપમાન $T_{2}$ પર,વક્ર નીચા તાપમાન $T_{1}$ ના વક્રની તુલનામાં વધુ સપાટ અને પહોળો બને છે.
$(i)$ અણુઓની સૌથી વધુ સંભવિત ઝડપ તાપમાન સાથે વધે છે,અને ઊંચા તાપમાન $\left(T_{2}\right)$ પર વક્ર વધુ પહોળો બને છે.
$(ii)$ પહોળો વક્ર સૂચવે છે કે તાપમાનમાં વધારા સાથે વધુ ઝડપ ધરાવતા અણુઓની સંખ્યામાં વધારો થાય છે.
$(iii)$ સરેરાશ ઝડપ $\left(u_{av}\right)$ અને વર્ગ મધ્યક મૂલ ઝડપ $\left(u_{rms}\right)$ નું મૂલ્ય $\left(T_{1}\right)$ ની સરખામણીમાં ઊંચા તાપમાન $\left(T_{2}\right)$ પર વધે છે.
$\rightarrow$ ઊંચા તાપમાને $u_{av}$,$u_{mp}$ અને $u_{rms}$ ના મૂલ્યો ઊંચા હોય છે.
$\rightarrow$ નીચા તાપમાને $u_{av}$,$u_{mp}$ અને $u_{rms}$ ના મૂલ્યો નીચા હોય છે.

(N/A) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ મુજબ,નિશ્ચિત તાપમાને વાયુના અણુઓની ઝડપ તેમના મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}})$.
તેથી,અચળ તાપમાને,ભારે અણુઓ હલકા અણુઓ કરતા ધીમી ગતિ કરે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$N_{2}$ નું મોલર દળ $28 \ g/mol$ છે અને $Cl_{2}$ નું મોલર દળ $71 \ g/mol$ છે.
$N_{2}$ નું દળ $< Cl_{2}$ નું દળ હોવાથી,સમાન તાપમાને $N_{2}$ ની સૌથી સંભવિત ઝડપ $(u_{mp})$ એ $Cl_{2}$ ની સૌથી સંભવિત ઝડપ કરતા વધારે હોય છે.
$u_{mp}(N_{2}) > u_{mp}(Cl_{2})$ (અચળ $T$ પર)
$N_{2}$ અને $Cl_{2}$ માટે ઝડપ વિતરણ વક્ર આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

$(i)$ સૌથી સંભવિત ઝડપ $(u_{mp})$: આપેલા તાપમાને વાયુના મહત્તમ અણુઓ દ્વારા ધરાવતી ઝડપ. $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} = 0.816 \times u_{rms}$.
$(ii)$ સરેરાશ ઝડપ $(u_{av})$: વાયુના તમામ અણુઓની ઝડપનો અંકગણિતીય સરેરાશ. $u_{av} = \frac{u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n}{n} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$,જ્યાં $u_1, u_2, \dots$ એ વ્યક્તિગત ઝડપ છે અને $n$ એ અણુઓની કુલ સંખ્યા છે.
$(iii)$ સરેરાશ વર્ગ ઝડપ $(\overline{u}^2)$: વાયુના તમામ અણુઓની ઝડપના વર્ગોનો અંકગણિતીય સરેરાશ. $\overline{u}^2 = \frac{u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2}{n} = \frac{3RT}{M}$.
$(iv)$ વર્ગ સરેરાશ વર્ગમૂળ ઝડપ $(u_{rms})$: વાયુના તમામ અણુઓની ઝડપના વર્ગોના સરેરાશનું વર્ગમૂળ. $u_{rms} = \sqrt{\overline{u}^2} = \sqrt{\frac{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots}{n}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.

(N/A) આણ્વિય ઝડપના વિવિધ પ્રકારો માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
સૌથી વધુ સંભવિત ઝડપ $(u_{mp}) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સરેરાશ ઝડપ $(u_{av}) = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
વર્ગ સરેરાશ વર્ગમૂળ ઝડપ $(u_{rms}) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
આ ત્રણ ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$u_{rms} > u_{av} > u_{mp}$
આ ત્રણ ઝડપ વચ્ચેનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:

$u_{mp} : u_{av} : u_{rms}$	$1 : 1.128 : 1.224$
ગુણોત્તર	$0.82 : 0.92 : 1.00$

વધુમાં,$u_{rms}$ ને દબાણ $(p)$ અને ઘનતા $(d)$ ના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3pV}{M}} = \sqrt{\frac{3p}{d}}$
તેમજ,ઝડપો વચ્ચેનો સંબંધ:
$u_{av} = 0.9213 \times u_{rms}$
$u_{mp} = 0.8165 \times u_{rms}$

(N/A) ગતિજ આણ્વિય સિદ્ધાંત મુજબ વાયુના અણુઓની ઝડપ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ સરેરાશ ઝડપ $(u_{av}) = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$(ii)$ સૌથી વધુ સંભાવ્ય ઝડપ $(u_{mp}) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
$(iii)$ સરેરાશ વર્ગિત ઝડપનું વર્ગમૂળ $(u_{rms}) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.

(A) વિવિધ આણ્વિય ઝડપો માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
$u_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = 1.128 \times \sqrt{\frac{RT}{M}}$
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = 1.224 \times \sqrt{\frac{RT}{M}}$
આમ,તેમનો ગુણોત્તર $u_{mp} : u_{av} : u_{rms} = \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3} \approx 1 : 1.128 : 1.224$ થાય છે.

(C) વાયુના અણુઓની વેગ વહેંચણી નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$(i)$ તાપમાન $(T)$
$(ii)$ વાયુનું આણ્વીય દળ $(M)$
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વેગ વહેંચણીનો આલેખ સપાટ થાય છે અને ઊંચા વેગ તરફ ખસે છે. જેમ આણ્વીય દળ વધે છે,તેમ વેગ વહેંચણી નીચા વેગ તરફ ખસે છે.

(B) જ્યારે તાપમાન વધે છે,ત્યારે અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા વધે છે. $ \newline $ પરિણામે,વેગ વિતરણ વક્ર વધુ પહોળો બને છે અને શિખર (સૌથી સંભવિત વેગ) જમણી તરફ ખસે છે,જે દર્શાવે છે કે અણુઓનો મોટો અંશ ઊંચો વેગ ધરાવે છે.

(A) $H_2$ વાયુની ઝડપ વધારે હશે કારણ કે ઓછા આણ્વીય દળ ધરાવતા વાયુઓની ઝડપ વધારે હોય છે. ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $r$ એ આણ્વીય દળ $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$. $H_2$ નું આણ્વીય દળ $(2 \ g/mol)$ એ $O_2$ $(32 \ g/mol)$ કરતા ઓછું હોવાથી,$H_2$ ની ઝડપ વધારે હશે.

(A) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વહેંચણી એ ચોક્કસ તાપમાને ભિન્ન ઝડપે ગતિ કરતા અણુઓની સંખ્યા $\left(\frac{dN}{N}\right)$ દર્શાવે છે.
તેને આલેખમાં અણુઓના અંશ વિરુદ્ધ આણ્વિય ઝડપના આલેખ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(v_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ માટે: $M = 2 \, g/mol$,$T = 50 \, K$.
$(v_{rms})_{H_2} = \sqrt{\frac{3 \times R \times 50}{2}} = \sqrt{75R}$.
નાઇટ્રોજન વાયુ $(N_2)$ માટે: $M = 28 \, g/mol$,$T = 500 \, K$.
$(v_{rms})_{N_2} = \sqrt{\frac{3 \times R \times 500}{28}} = \sqrt{\frac{1500R}{28}} = \sqrt{53.57R}$.
ગુણોત્તર $\frac{(v_{rms})_{H_2}}{(v_{rms})_{N_2}} = \sqrt{\frac{75R}{53.57R}} = \sqrt{1.4} \approx 1.18$ છે.

(C) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,વાયુનો પ્રસરણ દર $(r)$ તેના આણ્વીય દળ $(M)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આપેલા વાયુઓના આણ્વીય દળ નીચે મુજબ છે:
$M(H_2) = 2 \ g/mol$
$M(CH_4) = 16 \ g/mol$
$M(O_2) = 32 \ g/mol$
$M(CO_2) = 44 \ g/mol$
$CO_2$ નું આણ્વીય દળ સૌથી વધુ $(44 \ g/mol)$ હોવાથી,તેનો પ્રસરણ દર સૌથી ધીમો હશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વાયુની સરેરાશ ઝડપ $(V_{avg})$ નું સૂત્ર: $V_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
આપેલ તાપમાને $R$,$T$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,સરેરાશ ઝડપ એ મોલર દળ $(M)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $V_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
હિલિયમ $(He)$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે: $M_{He} = 4 \ g/mol$ અને $M_{O_2} = 32 \ g/mol$.
તેમની સરેરાશ ઝડપનો ગુણોત્તર: $\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$.
આમ,હિલિયમની સરેરાશ ઝડપ ઓક્સિજન કરતા $2 \sqrt{2}$ ગણી વધારે છે.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_X}}$ છે.
સૌથી સંભવિત ઝડપનું સૂત્ર $U_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M_Y}}$ છે.
આપેલ છે કે $(U_{rms})_{X, 600} = (U_{mp})_{Y, 90}$,તેથી:
$\sqrt{\frac{3 \times R \times 600}{40}} = \sqrt{\frac{2 \times R \times 90}{M_Y}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{3 \times 600}{40} = \frac{2 \times 90}{M_Y}$.
$\frac{1800}{40} = \frac{180}{M_Y}$.
$45 = \frac{180}{M_Y}$.
$M_Y = \frac{180}{45} = 4 \ g \ mol^{-1}$.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_X}}$ છે.
સૌથી સંભવિત ઝડપનું સૂત્ર $V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M_Y}}$ છે.
આપેલ છે કે $V_{rms} (X) = V_{mp} (Y)$,તેથી:
$\sqrt{\frac{3R(400)}{40}} = \sqrt{\frac{2R(60)}{M_Y}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{3 \times 400}{40} = \frac{2 \times 60}{M_Y}$.
$30 = \frac{120}{M_Y}$.
$M_Y = \frac{120}{30} = 4$.
આમ,વાયુ $Y$ નું આણ્વીય દળ $4$ છે. તેથી,સાચો જવાબ વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$. $U_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,જો $T$ એ $4T$ થાય,તો $U_{rms}$ એ $\sqrt{4} = 2$ ગણું થાય છે. તેથી,વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$\varepsilon_{av} = \frac{3}{2}kT$. આ સમીકરણ માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે,આણ્વીય દળ $M$ પર નહીં. તેથી,વિધાન $(2)$ સાચું છે.
$U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ પરથી,$U_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$. તેથી,વિધાન $(3)$ સાચું છે.
$\varepsilon_{av} = \frac{3}{2}kT$ હોવાથી,$\varepsilon_{av} \propto T$. જો તાપમાન ચાર ગણું કરવામાં આવે,તો $\varepsilon_{av}$ ચાર ગણું થાય છે,બમણું નહીં. તેથી,વિધાન $(4)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $(1), (2)$ અને $(3)$ સાચા છે.

(C) ઝડપ માટેના પ્રમાણિત સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
સૌથી સંભવિત ઝડપ $(u_{mp})$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સરેરાશ ઝડપ $(u_{av})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \approx 1.128 \times \sqrt{\frac{RT}{M}}$
વર્ગ સરેરાશ મૂળ ઝડપ $(u_{rms})$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}} \approx 1.224 \times \sqrt{\frac{RT}{M}}$
$u_{mp} : u_{av} : u_{rms}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
$1.414 : 1.596 : 1.732$
$1.414$ વડે ભાગતા:
$1 : 1.128 : 1.224$

(C) મેક્સવેલના વેગના વિતરણમાં,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વક્રનું શિખર જમણી તરફ (વધારે વેગ) ખસે છે અને શિખરની ઊંચાઈ ઘટે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$T_{1}$ ને અનુરૂપ શિખર એ $T_{2}$ ને અનુરૂપ શિખર ($V_{2}$ અને $f_{2}$) ની સરખામણીમાં વધારે વેગ $(V_{1})$ પર છે અને તેની ઊંચાઈ $(f_{1})$ ઓછી છે.
તેથી,$T_{1} > T_{2}$,$V_{1} > V_{2}$,અને $f_{2} > f_{1}$.
આમ,સાચું વિધાન $T_{1} > T_{2}$ છે.

(A) વાયુના $RMS$ વેગનું સૂત્ર $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ તાપમાને $R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$RMS$ વેગ એ આણ્વીય દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આણ્વીય દળ $(M)$ ની સરખામણી કરતા:
$CH_{4} = 16 \ g/mol$
$CO = 28 \ g/mol$
$Cl_{2} = 71 \ g/mol$
$CO_{2} = 44 \ g/mol$
$CH_{4}$ નું આણ્વીય દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,તેનો $RMS$ વેગ સૌથી વધુ હશે.

(D) $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{rms(H_{2})} = \sqrt{7} v_{rms(N_{2})}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_{H_{2}}}{M_{H_{2}}}} = \sqrt{7} \sqrt{\frac{3RT_{N_{2}}}{M_{N_{2}}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T_{H_{2}}}{2} = 7 \times \frac{T_{N_{2}}}{28}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{T_{H_{2}}}{2} = \frac{T_{N_{2}}}{4}$.
તેથી,$T_{N_{2}} = 2 T_{H_{2}}$.

(A) વાયુના અણુઓના $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ છે.
અહીં,દબાણ $P = 1.2 \times 10^{5} \ Nm^{-2}$ અને ઘનતા $d = 4 \ kg \ m^{-3}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.2 \times 10^{5}}{4}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3.6 \times 10^{5}}{4}}$
$v_{rms} = \sqrt{0.9 \times 10^{5}} = \sqrt{90000} = 300 \ ms^{-1}$.

(A) ગ્રેહામના નિયમ મુજબ,વાયુનો પ્રસરણ દર $(r)$ તેના આણ્વીય દળ $(M)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
પ્રથમ,આપેલા અણુઓના આણ્વીય દળની ગણતરી કરો:
$CO_2: 44 \ g/mol$
$SO_2: 64 \ g/mol$
$SO_3: 80 \ g/mol$
$PCl_3: 137.5 \ g/mol$
જે અણુનું આણ્વીય દળ ઓછું હોય તેનો પ્રસરણ દર સૌથી વધુ હોય છે.
આણ્વીય દળનો ક્રમ: $CO_2 < SO_2 < SO_3 < PCl_3$.
તેથી,પ્રસરણ દરનો સાચો ક્રમ: $CO_2 > SO_2 > SO_3 > PCl_3$.

(B) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $r$ એ મોલર દળ $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r_1/r_2 = \sqrt{M_2/M_1}$.
અહીં $r_{He}/r_x = 4$ આપેલ છે,જ્યાં $M_{He} = 4 \ g/mol$.
કિંમતો મૂકતા: $4 = \sqrt{M_x/4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16 = M_x/4$.
તેથી,$M_x = 16 \times 4 = 64 \ g/mol$.
વિકલ્પોના મોલર દળની સરખામણી કરતા:
$M(ClO_2) = 67.5 \ g/mol$
$M(SO_2) = 64 \ g/mol$
$M(CO_2) = 44 \ g/mol$
$M(NO_2) = 46 \ g/mol$
$64 \ g/mol$ મોલર દળ ધરાવતો વાયુ $SO_2$ છે.

(B) $rms$ ઝડપ $(v_{rms})$ અને સૌથી સંભવિત વેગ $(v_{mp})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ અને $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_{mp}}{v_{rms}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
અહીં $v_{rms} = 3.16 \times 10^2 \ ms^{-1}$ આપેલ છે,તેથી $v_{mp} = v_{rms} \times \sqrt{\frac{2}{3}}$.
$v_{mp} = 3.16 \times 10^2 \times \sqrt{0.6667} \approx 3.16 \times 10^2 \times 0.8165$.
$v_{mp} \approx 2.58 \times 10^2 \ ms^{-1}$.

(B) સૌથી સંભવિત ઝડપનું સૂત્ર $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે $u_{mp} = 200 \ ms^{-1}$ અને મોલર દળ $M = 2 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$.
$200 = \sqrt{\frac{2RT}{2 \times 10^{-3}}} \implies 40000 = \frac{2RT}{2 \times 10^{-3}} \implies RT = 40 \ J \ mol^{-1}$.
આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $KE = \frac{3}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{8 \ g}{2 \ g \ mol^{-1}} = 4 \ mol$.
$KE = \frac{3}{2} \times 4 \times 40 = 6 \times 40 = 240 \ J$.

(C) $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$SO_2$ નો $v_{rms}$ અને $O_2$ નો $v_{rms}$ સમાન હોવા માટે,$\sqrt{\frac{3RT_{SO_2}}{M_{SO_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સામાન્ય પદો દૂર કરતા,$\frac{T_{SO_2}}{M_{SO_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ મળે.
અહીં $T_{O_2} = 27 + 273 = 300 \ K$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,અને $M_{SO_2} = 64 \ g/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{SO_2}}{64} = \frac{300}{32}$.
$T_{SO_2} = \frac{300 \times 64}{32} = 300 \times 2 = 600 \ K$.