Molecular speeds Questions in Gujarati

(D) $RMS$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + C$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = v_{rms}^2$ અને $x = T$ છે:
ઢાળ $m = \frac{3R}{M}$ થાય.
આપેલ ઢાળ $m = 249 \ m^2 \ s^{-2} \ K^{-1}$ અને $R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $249 = \frac{3 \times 8.3}{M}$.
$M = \frac{3 \times 8.3}{249} = \frac{24.9}{249} = 0.1 \ kg \ mol^{-1}$.
આમ,$M = 1 \times 10^{-1} \ kg \ mol^{-1}$.

(A) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન આણ્વિય ઝડપના વિતરણ મુજબ,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વક્રનું શિખર ઊંચા વેગ તરફ ખસે છે અને વક્ર વધુ પહોળો અને સપાટ બને છે.
આપેલ આલેખમાં,$T_2$ માટેનું શિખર સૌથી વધુ વેગ પર છે,ત્યારબાદ $T_1$ અને પછી $T_3$ આવે છે.
તેથી,તાપમાનનો સાચો ક્રમ $T_2 > T_1 > T_3$ છે.

(A) આપેલ છે: $T = 133.33 \ K$,$M = 0.083 \ kg \ mol^{-1}$,$R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
આદર્શ વાયુના $RMS$ વેગ માટેનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.3 \times 133.33}{0.083}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3323.917}{0.083}}$
$v_{rms} = \sqrt{40047.19} \approx 200.12 \ m \ s^{-1}$.
આમ,$RMS$ વેગ આશરે $200 \ m \ s^{-1}$ છે.

(D) આદર્શ વાયુના એક મોલ માટે ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર: $K.E. = \frac{1}{2} M v_{rms}^2$
આપેલ છે:
મોલર દળ $(M)$ $= 0.1 \ kg \ mol^{-1}$
$v_{rms} = 4 \times 10^2 \ ms^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2} \times (0.1 \ kg \ mol^{-1}) \times (4 \times 10^2 \ ms^{-1})^2$
$K.E. = 0.05 \times (16 \times 10^4)$
$K.E. = 0.8 \times 10^4 = 8 \times 10^3 \ J \ mol^{-1}$

(D) $RMS$ વેગ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3 RT}{M}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(u_{rms})^2 = \frac{3 RT}{M}$
આને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + C$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = (u_{rms})^2$ અને $x = T$ છે:
$(u_{rms})^2 = (\frac{3 R}{M}) \cdot T + 0$
અહીં,ઢાળ $(m)$ $= \frac{3 R}{M}$ થાય.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
$1$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ છે.
$u_{rms}$ ના સમીકરણમાં $RT = PV$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$u_{rms}^2 = \frac{3PV}{M}$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + C$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = u_{rms}^2$ અને $x = PV$:
$y = \left(\frac{3}{M}\right)x + 0$
આમ,ઢાળ $(m)$ $\frac{3}{M}$ છે.

(B) વેગ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$u_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$1$. $\frac{u_{rms}}{u_{av}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8/\pi}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}} \approx 1.085$
$2$. $\frac{u_{av}}{u_{mp}} = \frac{\sqrt{8/\pi}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{4}{\pi}} \approx 1.128 \approx 1.12$
$3$. $\frac{u_{rms}}{u_{mp}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{1.5} \approx 1.225$
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,ગુણોત્તર $\frac{u_{av}}{u_{mp}} = 1.12$ સાચો છે.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(u_{rms})$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
સમાન વાયુ માટે,$u_{rms} \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 30 + 273 = 303 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_{2} = 930 + 273 = 1203 \ K$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{u_{2}}{u_{1}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}} = \sqrt{\frac{1203}{303}} = \sqrt{3.97} \approx \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$u_{2} = 2u_{1}$.
આમ,વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ બમણી થશે.

(C) સરેરાશ આણ્વીય ઝડપ $(v_{avg})$ નું સૂત્ર: $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
આ દર્શાવે છે કે $v_{avg} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
દરેક વાયુ માટે $\frac{T}{M}$ ના ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા:
$A: \frac{500}{32} = 15.625$
$B: \frac{400}{44} \approx 9.09$
$C: \frac{200}{4} = 50.0$
$D: \frac{300}{17} \approx 17.65$
$He$ માટે $\frac{T}{M}$ ગુણોત્તર સૌથી વધુ $(50.0)$ હોવાથી,તેની સરેરાશ ઝડપ સૌથી વધુ હશે.

(B) rms વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $M_1 = 32 \ g/mol$. આપેલ છે કે $v_{rms,1} = 800 \ m/s$.
મિથેન $(CH_4)$ માટે,$T_2 = 600 \ K$ અને $M_2 = 16 \ g/mol$. ધારો કે $v_{rms,2} = x$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{\frac{T_1}{M_1} \times \frac{M_2}{T_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{800}{x} = \sqrt{\frac{300}{32} \times \frac{16}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$x = 800 \times 2 = 1600 \ m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આદર્શ વાયુની ગતિજ ઉર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{3}{2} RT$ છે.
$RMS$ ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 RT}{M}}$ છે.
$\frac{3}{2} RT = KE$ મુકતા,$v_{rms} = \sqrt{\frac{2 KE}{M}}$ મળે.
આપેલ $KE = 4.0 \ kJ \ mol^{-1} = 4000 \ J \ mol^{-1}$ અને $O_2$ નું આણ્વીય દળ $M = 32 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{2 \times 4000 \ J \ mol^{-1}}{32 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}}} = \sqrt{\frac{8000}{32 \times 10^{-3}}} = \sqrt{250000} = 500 \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ માં રૂપાંતર કરતા: $500 \ m \ s^{-1} \times 100 \ cm \ m^{-1} = 5.0 \times 10^4 \ cm \ s^{-1}$.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms}) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
આપેલ છે:
$M_1 = H_2$ નું મોલર દળ $= 2 \ g/mol$
$M_2 = O_2$ નું મોલર દળ $= 32 \ g/mol$
$T_1 = 50 \ K, T_2 = 800 \ K$
$v_{rms,1}$ અને $v_{rms,2}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{\frac{3RT_1}{M_1}} \times \sqrt{\frac{M_2}{3RT_2}} = \sqrt{\frac{M_2 \times T_1}{M_1 \times T_2}}$
$\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{\frac{32}{2} \times \frac{50}{800}} = \sqrt{16 \times \frac{1}{16}} = \sqrt{1} = 1$
આમ,ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) એક મોલ આદર્શ વાયુની ગતિજ ઉર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{1}{2} M v_{rms}^2$,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ $kg \ mol^{-1}$ માં છે અને $v_{rms}$ એ $m \ s^{-1}$ માં ઝડપ છે.
આપેલ છે: $KE = 4.0 \ kJ \ mol^{-1} = 4000 \ J \ mol^{-1}$ અને $v_{rms} = 5.0 \times 10^4 \ cm \ s^{-1} = 500 \ m \ s^{-1}$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $4000 = \frac{1}{2} \times M \times (500)^2$.
$4000 = \frac{1}{2} \times M \times 250000$.
$4000 = M \times 125000$.
$M = \frac{4000}{125000} = 0.032 \ kg \ mol^{-1}$.
ગ્રામમાં ફેરવતા: $M = 0.032 \times 1000 \ g \ mol^{-1} = 32 \ g \ mol^{-1}$.

(B) આપેલ છે,\\ સૌથી સંભવિત વેગ $(v_{mp})$ અને સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(v_{rms})$ માટે તાપમાન $(T)$ સમાન છે. \\ સૂત્રો નીચે મુજબ છે: \\ $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ અને $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$. \\ ગુણોત્તર લેતા: \\ $\frac{v_{rms}}{v_{mp}} = \sqrt{\frac{3RT/M}{2RT/M}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1.5} \approx 1.2247$. \\ $v_{mp} = 400 \ ms^{-1}$ આપેલ હોવાથી: \\ $v_{rms} = 1.2247 \times 400 \ ms^{-1} \approx 489.88 \ ms^{-1} \approx 490 \ ms^{-1}$. \\ આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(C) સૌથી સંભવિત ઝડપ $(v_{mp})$ નું સૂત્ર $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
અચળ તાપમાને,$v_{mp} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આપેલ આલેખ પરથી,સૌથી સંભવિત ઝડપનો ક્રમ $r_2 < r_1 < r_3$ છે.
જેમ કે $v_{mp}$ એ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી ઓછી ઝડપ એ વધુ મોલર દળ સૂચવે છે.
તેથી,મોલર દળનો સાચો ક્રમ $M_2 > M_1 > M_3$ છે.

(B) આપેલ છે,$U_{rms} = 3000 \ ms^{-1}$.
$RMS$ ઝડપનું સૂત્ર $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$U_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$ મળે.
નાઈટ્રોજન $(N_2)$ માટે,મોલર દળ $M = 28 \ g/mol = 28 \times 10^{-3} \ kg/mol$.
કિંમતો મૂકતા: $(3000)^2 = \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}$.
$9 \times 10^6 = \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}$.
$3RT = 9 \times 10^6 \times 28 \times 10^{-3} = 252 \times 10^3 \ J/mol$.
આદર્શ વાયુના $1$ મોલ માટે ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{3}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K.E. = \frac{1}{2} \times (3RT) = \frac{1}{2} \times 252 \times 10^3 \ J/mol = 126 \times 10^3 \ J/mol = 126 \ kJ$.

(D) સૌથી સંભવિત ઝડપ $(u_{mp})$ નું સૂત્ર: $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$.
આપેલ છે $u_{mp} = 400 \ ms^{-1}$ અને મિથેનનું આણ્વીય દળ $(M)$ = $16 \ g \ mol^{-1} = 0.016 \ kg \ mol^{-1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $u_{mp}^2 = \frac{2RT}{M} \Rightarrow \frac{RT}{M} = \frac{u_{mp}^2}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{RT}{0.016} = \frac{400^2}{2} = 80000$.
તેથી,$RT = 80000 \times 0.016 = 1280 \ J \ mol^{-1}$.
એક મોલ આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(KE)$: $KE = \frac{3}{2} RT$.
$KE = \frac{3}{2} \times 1280 = 1920 \ J$.

(D) $RMS$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $T \ K$ તાપમાને $He$ નો $RMS$ વેગ $127^{\circ} C$ $(400 \ K)$ તાપમાને $SO_2$ ના $RMS$ વેગ સમાન છે:
$\sqrt{\frac{3RT}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{3R(400)}{M_{SO_2}}}$
$\frac{T}{M_{He}} = \frac{400}{M_{SO_2}}$
$M_{He} = 4 \ g/mol$ અને $M_{SO_2} = 64 \ g/mol$ લેતા:
$\frac{T}{4} = \frac{400}{64}$
$T = \frac{400 \times 4}{64} = \frac{1600}{64} = 25 \ K$.

(A) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ મુજબ,સૌથી સંભવિત વેગ $(v_{mp})$ નું સૂત્ર $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
આ દર્શાવે છે કે $v_{mp} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આપેલ આલેખ પરથી,સૌથી સંભવિત વેગનો ક્રમ $v_{mp}(M_2) < v_{mp}(M_1) < v_{mp}(M_3)$ છે.
વેગ એ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,મોલર દળનો ક્રમ $M_2 > M_1 > M_3$ થશે.

(C) આદર્શ વાયુના $RMS$ વેગનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,એટલે કે $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
અહીં $T_1 = 127^{\circ} C = 400 \ K$ અને $v_1 = v$ છે.
આપણે $T_2$ શોધવાનું છે જ્યાં $v_2 = 2v$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v}{2v} = \sqrt{\frac{400}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{400}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{400}{T_2}$.
$T_2 = 1600 \ K$.

(C) $RMS$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે: $v_{H_2} = \sqrt{7} \times v_{N_2}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{7} \times \sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}} = 7 \times \frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}$.
આણ્વીય દળ: $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ અને $M_{N_2} = 28 \ g/mol$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{H_2}}{2} = 7 \times \frac{T_{N_2}}{28}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{T_{N_2}}{4}$.
તેથી,$T_{H_2} = \frac{T_{N_2}}{2}$.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
અહીં $u_{rms} = 20 \ ms^{-1}$ અને $M = 40 \ g \ mol^{-1} = 0.04 \ kg \ mol^{-1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $u_{rms}^2 = \frac{3RT}{M} \implies 20^2 = \frac{3RT}{0.04}$.
$400 = \frac{3RT}{0.04} \implies 3RT = 400 \times 0.04 = 16$.
$RT = \frac{16}{3} \ J \ mol^{-1}$.
આદર્શ વાયુના એક મોલ માટે સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE_{avg})$ નું સૂત્ર: $KE_{avg} = \frac{3}{2}RT$.
$RT$ ની કિંમત મૂકતા: $KE_{avg} = \frac{3}{2} \times \frac{16}{3} = 8 \ J \ mol^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $RMS$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે ...$(I)$
સૌથી સંભવિત વેગનું સૂત્ર $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે ...$(II)$
આપેલ છે:
$SO_2$ માટે: $T_1 = 400 \ K$,$M_1 = 64 \ g/mol$
$O_2$ માટે: $T_2 = ?$,$M_2 = 32 \ g/mol$
બંને વેગને સરખાવતા:
$\sqrt{\frac{3R \times 400}{64}} = \sqrt{\frac{2R \times T_2}{32}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1200}{64} = \frac{2T_2}{32}$
$\frac{1200}{64} = \frac{T_2}{16}$
$T_2 = \frac{1200 \times 16}{64} = 300 \ K$

(A) સરેરાશ વેગનું સૂત્ર $\mu_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
તેથી $\mu_{av} \propto \sqrt{T}$,એટલે કે $\frac{\mu_{av_1}}{\mu_{av_2}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
અહીં $T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 1200 \ K$,અને $\mu_{av_1} = 3 \times 10^2 \ cm / s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3 \times 10^2}{\mu_{av_2}} = \sqrt{\frac{300}{1200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\mu_{av_2} = 2 \times 3 \times 10^2 = 6 \times 10^2 \ cm / s$.

(B) આપેલ છે કે,અચળ તાપમાને $O_2$ ની રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ ઝડપ $500 \ m/s$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{Mw}}$ છે.
$H_2$ વાયુ માટે,$u_{rms(H_2)} = \sqrt{\frac{3RT}{Mw_{H_2}}}$ જ્યાં $Mw_{H_2} = 2 \ g/mol$.
$O_2$ વાયુ માટે,$u_{rms(O_2)} = \sqrt{\frac{3RT}{Mw_{O_2}}}$ જ્યાં $Mw_{O_2} = 32 \ g/mol$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{u_{rms(H_2)}}{u_{rms(O_2)}} = \sqrt{\frac{Mw_{O_2}}{Mw_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = 4$.
તેથી,$u_{rms(H_2)} = 4 \times 500 \ m/s = 2000 \ m/s$.
મોલ દીઠ સરેરાશ ગતિજ ઉર્જા $KE_{avg} = \frac{3}{2} RT$ છે.
$u_{rms(O_2)} = \sqrt{\frac{3RT}{Mw_{O_2}}}$ પરથી $T$ શોધતા,$T \approx 320 \ K$ મળે છે.
$KE_{avg} = \frac{3}{2} \times 8.33 \times 320 \approx 4000 \ J/mol = 4 \ kJ/mol$.

(C) એક મોલ આદર્શ વાયુની ગતિજ ઉર્જા $(KE) = \frac{3}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$RT = \frac{2}{3} KE$.
સૌથી સંભવિત વેગ $(v_{mp}) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
અહીં,$M$ એ ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ છે,જે $32 \ g \ mol^{-1} = 0.032 \ kg \ mol^{-1}$ છે.
આપેલ છે $KE = 3741.3 \ J \ mol^{-1}$.
વેગના સૂત્રમાં $RT = \frac{2}{3} \times 3741.3$ મૂકતા:
$v_{mp} = \sqrt{\frac{2 \times (\frac{2}{3} \times 3741.3)}{0.032}}$
$v_{mp} = \sqrt{\frac{4 \times 3741.3}{3 \times 0.032}} = \sqrt{\frac{14965.2}{0.096}} = \sqrt{155887.5} \ m \ s^{-1}$.
આમ,આશરે સૌથી સંભવિત વેગ $\sqrt{155887} \ m \ s^{-1}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(C) સૌથી સંભવિત ઝડપ $(v_{mp})$ માટેનું સૂત્ર $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે:
$N_2$ નું મોલર દળ $(M_1)$ = $28 \ g \ mol^{-1}$,તાપમાન $(T_1)$ = $400 \ K$.
$CO$ નું મોલર દળ $(M_2)$ = $28 \ g \ mol^{-1}$,તાપમાન $(T_2)$ = $800 \ K$.
$N_2$ અને $CO$ ની સૌથી સંભવિત ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{mp(N_2)}}{v_{mp(CO)}} = \frac{\sqrt{\frac{2RT_1}{M_1}}}{\sqrt{\frac{2RT_2}{M_2}}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2} \times \frac{M_2}{M_1}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_{mp(N_2)}}{v_{mp(CO)}} = \sqrt{\frac{400}{800} \times \frac{28}{28}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$.

(D) $RMS$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં,$R$ એ મોલર ગેસ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
આપેલ છે કે $M_{(N_2)} = 28 \ g \ mol^{-1}$ અને $M_{(CO)} = 28 \ g \ mol^{-1}$.
મોલર દળ સમાન હોવાથી,$RMS$ વેગનો ગુણોત્તર ફક્ત તાપમાનના વર્ગમૂળ પર આધાર રાખે છે:
$\frac{v_{rms}(N_2)}{v_{rms}(CO)} = \sqrt{\frac{T_{(N_2)}}{T_{(CO)}}} = \sqrt{\frac{200}{800}}$.
$\frac{v_{rms}(N_2)}{v_{rms}(CO)} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(D) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ મુજબ,જેમ વાયુનું તાપમાન વધે છે,તેમ સૌથી સંભવિત ઝડપ $(u_{mp})$ વધે છે,અને વિતરણ વક્રની ટોચ જમણી તરફ ખસે છે અને સપાટ બને છે.
આપેલી આકૃતિમાં,$T_2$ માટેની ટોચ સૌથી વધુ ઝડપ પર છે,ત્યારબાદ $T_3$,અને પછી $T_1$ આવે છે.
તેથી,સૌથી સંભવિત ઝડપ $u_{mp}(T_2) > u_{mp}(T_3) > u_{mp}(T_1)$ ક્રમ અનુસરે છે.
કારણ કે $u_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$,જે સૂચવે છે કે $u_{mp} \propto \sqrt{T}$.
આમ,તાપમાનનો સાચો ક્રમ $T_2 > T_3 > T_1$ છે.

(C) સૌથી સંભવિત ઝડપ $(v_{mp})$ માટેનું સૂત્ર $v_{mp} = \sqrt{\frac{2 R T}{M}}$ છે.
$O_2$ વાયુ માટે,મોલર દળ $M = 32 \ g \ mol^{-1}$ છે.
સૂત્રમાં $M$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{mp} = \sqrt{\frac{2 R T}{32}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $v_{mp} = \sqrt{\frac{R T}{16}}$ મળે છે.

(C) આપેલ વેગ: $C_1 = 100 \ ms^{-1}, C_2 = 200 \ ms^{-1}, C_3 = 500 \ ms^{-1}$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ વેગનું સૂત્ર: $C_{rms} = \sqrt{\frac{C_1^2 + C_2^2 + C_3^2}{n}}$.
કિંમતો મૂકતા: $C_{rms} = \sqrt{\frac{100^2 + 200^2 + 500^2}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{\frac{10000 + 40000 + 250000}{3}}$.
$C_{rms} = \sqrt{\frac{300000}{3}} = \sqrt{100000}$.
$C_{rms} = 100 \sqrt{10} \ ms^{-1}$.

(A) r.m.s. વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$CO_2$ માટે: $M_{CO_2} = 12 + (2 \times 16) = 44 \ g \ mol^{-1}$. તાપમાન $T$ પર $v_{rms} = x$ આપેલ છે.
$N_2O$ માટે: $M_{N_2O} = (2 \times 14) + 16 = 44 \ g \ mol^{-1}$. ધારો કે તાપમાન $T'$ છે. $v_{rms} = 4x$ આપેલ છે.
$v_{rms} \propto \sqrt{T/M}$ અને $M_{CO_2} = M_{N_2O} = 44$ હોવાથી,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x}{4x} = \sqrt{\frac{T}{T'}}$.
$\frac{1}{4} = \sqrt{\frac{T}{T'}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{16} = \frac{T}{T'}$.
તેથી,$T' = 16T$.

(D) વાયુનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે તાપમાન $T$ બંને વાયુઓ માટે સમાન છે,તેથી $u \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,$\frac{u_{1}}{u_{2}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{u_{1}^{2}}{u_{2}^{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ મળે છે.
ગુણાકાર કરતા $m_{1} u_{1}^{2} = m_{2} u_{2}^{2}$ મળે છે.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનું સૂત્ર $C_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$T$ તાપમાને $X_2$ વાયુ માટે,$C_1 = x = \sqrt{\frac{3RT}{M_{X_2}}}$.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય $(T_2 = 2T)$ અને $X_2$ નું $2X$ માં વિઘટન થાય,ત્યારે મોલર દળ $M_2 = \frac{M_{X_2}}{2}$ થાય છે.
નવી rms ઝડપ $C_2 = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M_{X_2}/2}} = \sqrt{4 \times \frac{3RT}{M_{X_2}}} = 2 \times \sqrt{\frac{3RT}{M_{X_2}}}$.
શરૂઆતની ઝડપ માટે $x$ મૂકતા,આપણને $C_2 = 2x \ m/s$ મળે છે.

(B) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE_{avg})$ એ $\frac{3}{2}kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કિસ્સા $-2$ માં તાપમાન $T$ અડધું થતું હોવાથી,સરેરાશ ગતિઊર્જા પણ અડધી થાય છે.
સરેરાશ ઝડપ $(C_{avg})$ એ $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિસ્સા $-1$ માટે: $C_1 \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
કિસ્સા $-2$ માટે: $C_2 \propto \sqrt{\frac{T/2}{2M}} = \sqrt{\frac{T}{4M}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T}{M}}$.
આમ,$C_2 = \frac{1}{2} C_1$.
તેથી,બીજા કિસ્સામાં સરેરાશ ગતિઊર્જા અને સરેરાશ ઝડપ બંને અડધી થાય છે.

(D) સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $C_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
આપેલ છે કે $(C_{av})_{H_2} = (C_{av})_{O_2}$,તેથી:
$\sqrt{\frac{8RT_1}{\pi M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{8RT_2}{\pi M_{O_2}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T_1}{M_{H_2}} = \frac{T_2}{M_{O_2}}$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}$
મોલર દળ ($M_{H_2} = 2 \ g/mol$ અને $M_{O_2} = 32 \ g/mol$) મૂકતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$
આમ,$T_1: T_2$ નો ગુણોત્તર $1: 16$ છે.

(B) r.m.s. ઝડપનું સૂત્ર $(C_{rms}) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે અને સૌથી સંભવિત ઝડપનું સૂત્ર $(C_{mp}) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $(C_{rms})_{H_2} = \sqrt{\frac{3 \times R \times 150}{2}}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$(C_{mp})_{He} = \frac{1}{2} (C_{rms})_{H_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{\frac{2RT}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3 \times R \times 150}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2RT}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{3 \times R \times 150}{2}$.
$\frac{RT}{2} = \frac{450R}{8}$.
$T = \frac{450}{4} = 112.5 \ K$.

(D) $rms$ વેગ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$v_{rms} \propto \sqrt{\frac{1}{M}}$ હોવાથી,જે વાયુનું આણ્વીય દળ $(M)$ સૌથી ઓછું હોય તેની $rms$ ઝડપ સમાન તાપમાને સૌથી વધુ હોય છે.
આણ્વીય દળ નીચે મુજબ છે: $SO_{2} = 64 \ g/mol$,$CO_{2} = 44 \ g/mol$,$O_{2} = 32 \ g/mol$,અને $H_{2} = 2 \ g/mol$.
$H_{2}$ નું આણ્વીય દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,તેની $rms$ ઝડપ સૌથી વધુ હશે.

(B) $RMS$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,એટલે કે $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
અહીં $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ અને $v_1 = 1000 \ m / s$ આપેલ છે.
$T_2 = 600 \ K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1000}{v_2} = \sqrt{\frac{300}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{1.414}$.
તેથી,$v_2 = 1000 \times 1.414 = 1414 \ m / s$.