Molecular speeds Questions in Gujarati

(A) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $(r)$ એ આણ્વીય દળ $(M)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આણ્વીય દળની ગણતરી:
$M(NH_3) = 17 \ g/mol$
$M(N_2) = 28 \ g/mol$
$M(CO_2) = 44 \ g/mol$
$M(O_2) = 32 \ g/mol$
$NH_3$ નું આણ્વીય દળ સૌથી ઓછું હોવાથી,તેનો પ્રસરણ દર સૌથી વધુ હશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $r$ એ અણુભાર $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આપેલ છે: $M_1 = 64$,$r_2 = 2r_1$.
સૂત્ર $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{r_1}{2r_1} = \sqrt{\frac{M_2}{64}}$
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{M_2}{64}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{M_2}{64}$
$M_2 = \frac{64}{4} = 16$.
આમ,અણુભાર $16$ છે.

(D) ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $(r)$ એ વાયુના મોલર દળ $(M)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
જો બે વાયુઓનું મોલર દળ સમાન હોય તો તેઓ સમાન દરે પ્રસરણ પામશે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $M_{NO} = 14 + 16 = 30 \ g/mol$ અને $M_{C_2H_6} = (2 \times 12) + (6 \times 1) = 30 \ g/mol$.
$NO$ અને $C_2H_6$ બંનેનું આણ્વીય દળ $30 \ g/mol$ હોવાથી,તેઓ સમાન દરે પ્રસરણ પામશે.

(C) ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $r$ એ મોલર દળ $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં અને તાપમાન $T$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{r_{N_2}}{r_{SO_2}} = \sqrt{\frac{M_{SO_2}}{M_{N_2}} \times \frac{T_{N_2}}{T_{SO_2}}}$
આપેલ છે: $r_{N_2} = 1.625 \times r_{SO_2}$,$T_{SO_2} = 50 + 273 = 323\,K$,$M_{N_2} = 28\,g/mol$,$M_{SO_2} = 64\,g/mol$.
કિંમતો મૂકતા:
$1.625 = \sqrt{\frac{64}{28} \times \frac{T_{N_2}}{323}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1.625)^2 = \frac{64}{28} \times \frac{T_{N_2}}{323}$
$T_{N_2} = 373\,K$.

(A) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $r$ એ વાયુના આણ્વીય દળ $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
$H_2$ નું આણ્વીય દળ $2 \ g/mol$ છે અને $O_2$ નું આણ્વીય દળ $32 \ g/mol$ છે,તેથી $H_2$ નું આણ્વીય દળ ઓછું છે.
આથી,$H_2$ એ $O_2$ કરતા ઝડપથી પ્રસરણ પામશે.

(C) ગતિજ વાયુ સમીકરણ $PV = \frac{1}{3} m N u_{rms}^2$ તરીકે તારવવામાં આવે છે.
આ તારવણીમાં,દબાણ એ વાયુના અણુઓના સરેરાશ વર્ગ વેગ સાથે સંબંધિત છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(u_{rms})$ એ વ્યક્તિગત અણુઓના વેગના વર્ગોની સરેરાશનું વર્ગમૂળ છે,એટલે કે $u_{rms} = \sqrt{\frac{u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2}{n}}$.
તેથી,તે અણુઓના સરેરાશ વર્ગ વેગનું વર્ગમૂળ છે.

(B) જેમ વાયુનું તાપમાન વધે છે,તેમ મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ વક્ર જમણી તરફ ખસે છે અને સપાટ બને છે.
$1$. સૌથી સંભવિત ઝડપ $(v_{mp} = \sqrt{2RT/M})$ વધે છે.
$2$. વક્રનું શિખર જમણી તરફ ખસે છે અને તેની ઊંચાઈ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે સૌથી સંભવિત ઝડપ ધરાવતા અણુઓનો અંશ ઘટે છે.
$3$. વિતરણ વક્ર વધુ વિસ્તૃત બને છે.
$4$. વક્ર હેઠળનો કુલ વિસ્તાર અણુઓની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે,જે તાપમાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના અચળ રહે છે.
તેથી,સૌથી સંભવિત ઝડપ ધરાવતા અણુઓનો અંશ વધે છે તે વિધાન સાચું નથી.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
સરેરાશ વેગ $(V_{av})$ નું સૂત્ર $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{V_{rms}}{V_{av}} = \sqrt{\frac{3RT}{M} \times \frac{\pi M}{8RT}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}}$ થાય છે.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\sqrt{\frac{3 \times 3.14}{8}} = \sqrt{1.1775} \approx 1.086$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $1.086 : 1$ છે.

(D) ત્રણ પ્રકારના આણ્વિય વેગ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
સૌથી સંભવિત વેગ $(V_{mp})$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સરેરાશ વેગ $(V_{avg})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$V_{mp} : V_{avg} : V_{rms}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$= \sqrt{\frac{2RT}{M}} : \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} : \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$\sqrt{\frac{RT}{M}}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$= \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) . રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
સમાન તાપમાને $(T)$,$V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,જ્યાં $M$ એ વાયુનું આણ્વીય દળ છે.
$H_2$ નું આણ્વીય દળ $(M = 2 \ g/mol)$ $SO_2$ $(64 \ g/mol)$,$CO_2$ $(44 \ g/mol)$ અને $O_2$ $(32 \ g/mol)$ ની સરખામણીમાં સૌથી ઓછું હોવાથી,તેનો $V_{rms}$ મહત્તમ હશે.

(D) $RMS$ વેગનું સૂત્ર $U = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $300 \ K$ તાપમાને $SO_2$ નો $RMS$ વેગ $He$ કરતા અડધો છે,તેથી $\frac{U_{SO_2}}{U_{He}} = \frac{1}{2}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{M_{He}}{M_{SO_2}} \times \frac{T_{SO_2}}{T_{He}}}$.
મોલર દળ ($M_{He} = 4 \ g/mol$,$M_{SO_2} = 64 \ g/mol$) અને તાપમાન $(T_{He} = 300 \ K)$ મૂકતા: $\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{4}{64} \times \frac{T_{SO_2}}{300}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{4}{64} \times \frac{T_{SO_2}}{300}$.
$\frac{1}{4} = \frac{1}{16} \times \frac{T_{SO_2}}{300}$.
$T_{SO_2} = \frac{16 \times 300}{4} = 4 \times 300 = 1200 \ K$.

(C) $rms$ વેગનું સૂત્ર $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$rms$ વેગનો ગુણોત્તર તેમના મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{U_{O_3}}{U_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{O_3}}}$
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $32 \ g/mol$ અને ઓઝોન $(O_3)$ નું $48 \ g/mol$ છે.
$\frac{U_{O_3}}{U_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{48}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(B) $RMS$ વેગનું સૂત્ર $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
વેગ સમાન હોવા માટે: $\sqrt{\frac{3RT_{SO_2}}{M_{SO_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$.
આથી $\frac{T_{SO_2}}{M_{SO_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ મળે.
અહીં $M_{SO_2} = 64 \ g/mol$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$ અને $T_{O_2} = 303 \ K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{SO_2}}{64} = \frac{303}{32}$.
$T_{SO_2} = \frac{303 \times 64}{32} = 303 \times 2 = 606 \ K$.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ વાયુ અચળાંક છે,$T$ તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે અને $M$ વાયુનું મોલર દળ છે.
$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ હોવાથી,જે વાયુનું મોલર દળ સૌથી વધુ હશે તેનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ સૌથી ઓછો હશે.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે: $SO_2 = 64 \ g/mol$,$N_2 = 28 \ g/mol$,$O_2 = 32 \ g/mol$,અને $Cl_2 = 71 \ g/mol$.
$Cl_2$ નું મોલર દળ સૌથી વધુ $(71 \ g/mol)$ હોવાથી,તેનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ સૌથી ઓછો હશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ હોવાથી,$RT = \frac{PV M}{m}$ મળે છે. આને $rms$ સૂત્રમાં મૂકતા $v_{rms} = \sqrt{\frac{3PV}{m}} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$ મળે છે.
વળી,ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$P = \frac{dRT}{M}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{d} = \frac{RT}{M}$. આને $rms$ સૂત્રમાં મૂકતા $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ મળે છે.
તેથી,આપેલા તમામ સમીકરણો સાચા છે.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે,અને $M$ એ મોલર દળ (અથવા $m$ એ આણ્વીય દળ) છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$,જેને $V_{rms} \propto m^{-1/2}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) વાયુનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ $(v_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,જ્યાં $R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
સમાન તાપમાન $T$ માટે,$v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{M_2}{M_1}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $M_1 v_1^2 = M_2 v_2^2$ મળે છે. દળ $m$ એ મોલર દળ $M$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$m_1 v_1^2 = m_2 v_2^2$ સાચું છે.

(D) સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(U_{rms})$ નું સૂત્ર $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
તેથી $U_{rms} \propto \sqrt{T}$,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થશે.
અહીં $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ અને $T_2 = 927 + 273 = 1200 \, K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$U_2 = 2 \times U_1$,એટલે કે વેગ બમણો થશે.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(U_{rms})$ નું સૂત્ર $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$50 \ K$ તાપમાને $H_2$ માટે: $U_{H_2} = \sqrt{\frac{3R \times 50}{2}}$.
$800 \ K$ તાપમાને $O_2$ માટે: $U_{O_2} = \sqrt{\frac{3R \times 800}{32}}$.
ગુણોત્તર $\frac{U_{H_2}}{U_{O_2}} = \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}} = \sqrt{25 \times 0.04} = \sqrt{1} = 1$ થાય છે.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(U)$ નું સૂત્ર $U = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ હોવાથી,$P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = d \cdot \frac{RT}{M}$ મળે,જ્યાં $d$ એ ઘનતા છે.
તેથી,$\frac{RT}{M} = \frac{P}{d}$.
આ કિંમત વેગના સૂત્રમાં મૂકતા,$U = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ મળે છે.
અચળ દબાણે $(P)$,$U \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$ થાય છે.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ઝડપ $(v_{avg})$ નું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$SO_2$ અને $O_2$ બંને માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,સરેરાશ ઝડપ એ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(v_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{M}})$.
$SO_2$ નું મોલર દળ $64 \ g/mol$ છે અને $O_2$ નું મોલર દળ $32 \ g/mol$ છે.
$M(SO_2) > M(O_2)$ હોવાથી,$SO_2$ ની સરેરાશ ઝડપ $O_2$ કરતા ઓછી હશે.

(B) $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$N_2$ અણુઓ માટે: $v_1 = v = \sqrt{\frac{3RT}{M_{N_2}}}$,જ્યાં $M_{N_2} = 28 \ g/mol$.
અંતમાં,$N$ પરમાણુઓ માટે: $v_2 = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M_N}}$,જ્યાં $M_N = 14 \ g/mol$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{14} \times \frac{28}{3RT}} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_2 = 2v$.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ ઝડપ $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી વધુ સંભવિત ઝડપ $v_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sqrt{\frac{8}{3.14}} \approx 1.596$,અને $\sqrt{2} \approx 1.414$.
તેથી,સાચો ક્રમ $v_{rms} > \bar{v} > v_p$ છે.

(C) સૌથી સંભવિત વેગ $(V_{mp})$ $\sqrt{2RT / M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ વેગ $(V_{av})$ $\sqrt{8RT / \pi M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તર $\frac{V_{mp}}{V_{av}} = \frac{\sqrt{2RT / M}}{\sqrt{8RT / \pi M}} = \sqrt{\frac{2RT}{M} \times \frac{\pi M}{8RT}} = \sqrt{\frac{2\pi}{8}} = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ છે.

(A) $r.m.s.$ વેગનું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$V_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
આપેલ છે કે $V_1 = v$ જ્યારે $T_1 = 300 \ K$ અને $V_2 = 2v$ જ્યારે $T_2 = ?$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v}{2v} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{300}{T_2} \implies \frac{1}{4} = \frac{300}{T_2}$.
તેથી,$T_2 = 300 \times 4 = 1200 \ K$.

(C) વાયુનો $rms$ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આમ,$V_{rms}$ એ વાયુના તાપમાન $(T)$ અને મોલર દળ $(M)$ બંને પર આધાર રાખે છે.

(C) એક મોલ એકપરમાણ્વીય વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \dots (1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક મોલ એકપરમાણ્વીય વાયુની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $(E)$ એ $E = \frac{3}{2}RT$ છે.
આના પરથી,આપણે $RT$ ને $RT = \frac{2E}{3} \dots (2)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3}{M} \times \frac{2E}{3}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{2E}{M}}$.

(A) સરેરાશ વેગ $(v_{avg})$ નું સૂત્ર $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
સૌથી સંભવિત વેગ $(v_{mp})$ નું સૂત્ર $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
તેમનો ગુણોત્તર $\frac{v_{avg}}{v_{mp}} = \frac{\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}}{\sqrt{\frac{2RT}{M}}} = \sqrt{\frac{4}{\pi}} \approx 1.128$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1.128 : 1$ છે.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{rms} = 30 R^{1/2}$ અને $T = 27 ^\circ C = 300 \, K$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M} = (30 R^{1/2})^2 = 900 R$.
બંને પદોને સરખાવતા: $900 R = \frac{3RT}{M}$.
$T = 300 \, K$ મૂકતા: $900 R = \frac{3R \times 300}{M}$.
$900 R = \frac{900 R}{M}$,જે દર્શાવે છે કે $M = 1 \, g/mol$.
કિલોગ્રામમાં ફેરવતા: $M = 1 \, g = 0.001 \, kg$.

(A) વેગ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
સૌથી સંભવિત વેગ $(\alpha) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સરેરાશ વેગ $(v) = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(u) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
ગુણોત્તર $\alpha : v : u$ લેતા:
$\sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ વડે ભાગતા:
$1 : 1.128 : 1.224$

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(u_{rms})$ એ તમામ અણુઓની ઝડપના વર્ગોના સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ છે:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{\sum n_i C_i^2}{\sum n_i}} = \left[ \frac{n_1 C_1^2 + n_2 C_2^2 + n_3 C_3^2 + .....}{n_1 + n_2 + n_3 + .....} \right]^{1/2}$.

(B) સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
$CH_4$ અને $O_2$ ની સરેરાશ ઝડપ સમાન હોવા માટે: $\sqrt{\frac{8RT_{CH_4}}{\pi M_{CH_4}}} = \sqrt{\frac{8RT_{O_2}}{\pi M_{O_2}}}$.
આ સમીકરણ $\frac{T_{CH_4}}{M_{CH_4}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ માં પરિણમે છે.
અહીં $T_{O_2} = 300 \ K$,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,અને $M_{CH_4} = 16 \ g/mol$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{CH_4}}{16} = \frac{300}{32}$.
$T_{CH_4} = \frac{300 \times 16}{32} = 150 \ K$.

(D) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
વાયુ સમાન હોવાથી,$M$ અચળ છે. તેથી,$v_{avg} \propto \sqrt{T}$.
આપેલ છે કે $v_X = 2v_Y$,તેથી $\sqrt{T_X} = 2\sqrt{T_Y}$,જેનો અર્થ છે કે $T_X = 4T_Y$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$P = \frac{nRT}{V}$.
ફલાસ્ક $X$ માટે: $P_X = \frac{1 \cdot R \cdot T_X}{V_X} = \frac{RT_X}{1}$.
ફલાસ્ક $Y$ માટે: $P_Y = \frac{1 \cdot R \cdot T_Y}{V_Y} = \frac{RT_Y}{2}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_X}{P_Y} = \frac{RT_X}{1} \cdot \frac{2}{RT_Y} = 2 \cdot \frac{T_X}{T_Y}$.
$T_X = 4T_Y$ મૂકતા: $\frac{P_X}{P_Y} = 2 \cdot 4 = 8$.
તેથી,$P_X = 8P_Y$.

(A) વાયુના અણુઓનો સૌથી સંભવિત વેગ $(v_{mp})$ એ આપેલ તાપમાને અણુઓના મહત્તમ અંશ દ્વારા ધરાવતા વેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M_w}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M_w$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.

(C) વાયુ અણુઓનો સરેરાશ વેગ $(v_{avg})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M_w}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M_w$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આમ,સાચું સૂત્ર $(\frac{8RT}{\pi M_w})^{1/2}$ છે.

(B) The formula for $RMS$ speed is $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
Since the $RMS$ speeds are equal,we have $\sqrt{\frac{3RT_1}{M_1}} = \sqrt{\frac{3RT_2}{M_2}}$.
This simplifies to $\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_2}{M_2}$.
Given $T_1 = 303 \, K$ for $O_2$ $(M_1 = 32 \, g/mol)$ and we need to find $T_2$ for $SO_2$ $(M_2 = 64 \, g/mol)$.
$\frac{303}{32} = \frac{T_2}{64}$.
$T_2 = 303 \times \frac{64}{32} = 303 \times 2 = 606 \, K$.

(A) ત્રણ પ્રકારની આણ્વિય ઝડપ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$1$. રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ: $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$2$. સરેરાશ ઝડપ: $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$3$. સૌથી સંભવિત ઝડપ: $\alpha = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
ગુણાંકની સરખામણી કરતા:
$U_{rms} = \sqrt{3} \approx 1.732$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8}{3.14}} \approx \sqrt{2.546} \approx 1.596$
$\alpha = \sqrt{2} \approx 1.414$
તેથી,સાચો ક્રમ $U_{rms} > \bar{v} > \alpha$ છે.

(D) વાયુનો $R.M.S.$ વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
અચળ તાપમાને $(T)$,$v_{rms}$ એ મોલર દળ $(M)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,જે વાયુનું મોલર દળ સૌથી ઓછું હશે તેનો $R.M.S.$ વેગ મહતમ હશે.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે:
$O_2 = 32 \, g/mol$
$CO_2 = 44 \, g/mol$
$SO_2 = 64 \, g/mol$
$CO = 28 \, g/mol$
$CO$ નું મોલર દળ સૌથી ઓછું $(28 \, g/mol)$ હોવાથી,તેનો $R.M.S.$ વેગ મહતમ હશે.

(C) સરેરાશ વેગના વર્ગમૂળ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $u_{rms} \propto \sqrt{T}$.

(C) એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે સરેરાશ ગતિ ઊર્જા $(E) = \frac{3}{2}RT$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$U_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$,જેનો અર્થ છે કે $RT = \frac{U_{rms}^2 \times M}{3}$.
$RT$ ની કિંમત ગતિ ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E = \frac{3}{2} \times \left( \frac{U_{rms}^2 \times M}{3} \right) = \frac{1}{2} M U_{rms}^2$.
$U_{rms}$ માટે ગોઠવતા: $U_{rms}^2 = \frac{2E}{M}$,તેથી $U_{rms} = \sqrt{\frac{2E}{M}}$.

(D) વાયુની સરેરાશ વર્ગમૂળ ઝડપ $(u_{rms})$ માટેનું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં,$R$ વાયુ અચળાંક છે,$T$ તાપમાન (કેલ્વિનમાં) છે અને $M$ વાયુનું મોલર દળ છે.
સમાન તાપમાને $3$,$R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે જે વાયુનું મોલર દળ સૌથી વધુ હશે,તેની ઝડપ સૌથી ઓછી હશે.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે:
$M(SO_2) = 64 \, g/mol$
$M(N_2) = 28 \, g/mol$
$M(O_2) = 32 \, g/mol$
$M(Cl_2) = 71 \, g/mol$
મોલર દળની સરખામણી કરતા,$Cl_2$ નું મોલર દળ સૌથી વધુ $(71 \, g/mol)$ છે.
તેથી,$Cl_2$ ની સરેરાશ વર્ગમૂળ ઝડપ સૌથી ઓછી હશે.

(C) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $(v_{avg})$ નું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ સમાન હોવાથી,$\sqrt{\frac{8RT_1}{\pi M_1}} = \sqrt{\frac{8RT_2}{\pi M_2}}$ થાય.
આથી,$\frac{T_1}{M_1} = \frac{T_2}{M_2}$ મળે.
અહીં $T_1 = 300 \ K$,$M_1 (CH_4) = 16 \ g/mol$,અને $M_2 (O_2) = 32 \ g/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{300}{16} = \frac{T_2}{32}$.
$T_2 = \frac{300 \times 32}{16} = 300 \times 2 = 600 \ K$.

(B) આદર્શ વાયુનો વર્ગમુળ સરેરાશ વર્ગ વેગ $(v_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
આપેલ છે: $T_1 = 120 \ K$,$v_1 = v$ અને $T_2 = 480 \ K$.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{480}{120}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$v_2 = 2v$.

(D) વાયુનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(u_{rms})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M_w}RT$ પરથી,આપણને $\frac{RT}{M_w} = \frac{PV}{m} = \frac{P}{d}$ મળે છે,જ્યાં $d$ એ વાયુની ઘનતા છે $(d = \frac{m}{V})$.
આ કિંમતો $u_{rms}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$1$. $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$2$. $u_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$ (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$3$. $u_{rms} = \sqrt{\frac{3PV}{M}}$ (વિકલ્પ $C$ સાચો છે,કારણ કે $PV = nRT$ અને $M$ એ કુલ દળ છે).
વિકલ્પ $D$ એ $(\frac{3P}{dM_w})^{1/2}$ છે,જે પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટું છે અને તે વેગ દર્શાવતું નથી.

(A) ઝડપ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
સૌથી સંભવિત ઝડપ $(\alpha) = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સરેરાશ ઝડપ $(v) = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(u) = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
ગુણોત્તર $\alpha : v : u$ લેતા:
$\sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
$1.414 : 1.596 : 1.732$
$1.414$ વડે ભાગતા:
$1 : 1.128 : 1.224$

(C) $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$H_2$ માટે $T_1 = 50 \ K$ અને $M_1 = 2 \ g/mol$,તથા $O_2$ માટે $T_2 = 800 \ K$ અને $M_2 = 32 \ g/mol$:
$\frac{u_{H_2}}{u_{O_2}} = \sqrt{\frac{T_1}{M_1} \times \frac{M_2}{T_2}}$
$\frac{u_{H_2}}{u_{O_2}} = \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}}$
$\frac{u_{H_2}}{u_{O_2}} = \sqrt{25 \times \frac{1}{25}} = \sqrt{1} = 1$.

(C) વર્ગમુળ સરેરાશ વેગ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$50 \ K$ તાપમાને $H_2$ માટે: $u_{rms(H_2)} = \sqrt{\frac{3R \times 50}{2}}$
$800 \ K$ તાપમાને $O_2$ માટે: $u_{rms(O_2)} = \sqrt{\frac{3R \times 800}{32}}$
ગુણોત્તર: $\frac{u_{rms(H_2)}}{u_{rms(O_2)}} = \sqrt{\frac{3R \times 50}{2} \times \frac{32}{3R \times 800}}$
$= \sqrt{\frac{50}{2} \times \frac{32}{800}} = \sqrt{25 \times 0.04} = \sqrt{1} = 1$

(D) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં,$R$ વાયુ અચળાંક છે,$T$ તાપમાન (કેલ્વિન) છે અને $M$ વાયુનું મોલર દળ છે.
$u_{rms}$ મહત્તમ કરવા માટે,આપણને ઊંચું તાપમાન $(T)$ અને ઓછું મોલર દળ $(M)$ જોઈએ.
દરેક માટે $\frac{T}{M}$ ની ગણતરી કરતા:
$A$: $O_2$ $(M=32)$,$T=273\,K \implies \frac{T}{M} \approx 8.53$
$B$: $N_2$ $(M=28)$,$T=1273\,K \implies \frac{T}{M} \approx 45.46$
$C$: $CH_4$ $(M=16)$,$T=298\,K \implies \frac{T}{M} \approx 18.63$
$D$: $H_2$ $(M=2)$,$T=223\,K \implies \frac{T}{M} = 111.5$
$\frac{T}{M}$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ હોવાથી,$-50\,^{\circ}C$ પર $H_2$ ની ઝડપ સૌથી વધુ હશે.

(A) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વેગ $(v_{avg})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
આ સૂત્ર પરથી કહી શકાય કે $v_{avg} \propto \sqrt{T}$.
અહીં $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$ અને $v_1 = 0.3\,m/s$ છે.
અહીં $T_2 = 927 + 273 = 1200\,K$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\frac{v_2}{0.3} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
$v_2 = 0.3 \times 2 = 0.6\,m/s$.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર $(rms)$ ઝડપ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $v_{rms} = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n}}$.
આપેલ ઝડપ $v_1 = 2, v_2 = 3, v_3 = 4, v_4 = 5 \, cm/s$ અને $n = 4$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો ગણતા: $\sum v_i^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54$.
હવે,$v_{rms} = \sqrt{\frac{54}{4}} = \sqrt{\frac{27}{2}} \, cm/s$.