Molecular speeds Questions in Gujarati

(A) $1 \ mol$ આદર્શ વાયુ માટે સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}RT$ છે.
આથી,$RT = \frac{2E}{3}$ મળે.
વર્ગ સરેરાશ મૂળ વેગ $(U_{rms})$ નું સૂત્ર $U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
$RT$ ની કિંમત $U_{rms}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U_{rms} = \sqrt{\frac{3}{M} \times \frac{2E}{3}}$
$U_{rms} = \sqrt{\frac{2E}{M}}$
$U_{rms} = (\frac{2E}{M})^{1/2}$.

(C) $rms$ વેગ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
ઘનતા $d = \frac{PM}{RT}$ હોવાથી,$M = \frac{dRT}{P}$ થાય.
તેથી,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$.
અચળ દબાણ અને તાપમાને,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$.
માટે,$\frac{(v_{rms})_{O_2}}{(v_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{d_{H_2}}{d_{O_2}}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
આમ,સાચો જવાબ $1 : 4$ છે.

(A) વાયુના અણુઓની ઝડપ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
સૌથી સંભવિત ઝડપ $(v_{mp})$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સરેરાશ ઝડપ $(v_{av})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$RMS$ ઝડપ $(v_{rms})$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$v_{mp} : v_{av} : v_{rms}$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$= \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$
$= 1.414 : 1.596 : 1.732$
$1.414$ વડે ભાગતા:
$= 1 : 1.128 : 1.224$

(A) $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $CO_2$ $(M_1 = 44 \ g/mol)$ માટે $v_1 = x$ અને તાપમાન $T_1 = T$ છે.
નાઇટ્રસ ઓક્સાઇડ $(N_2O)$ $(M_2 = 44 \ g/mol)$ માટે $v_2 = 4x$ અને તાપમાન $T_2 = ?$ છે.
સૂત્ર મુજબ,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2} \times \frac{M_2}{M_1}}$
$\frac{x}{4x} = \sqrt{\frac{T}{T_2} \times \frac{44}{44}}$
$\frac{1}{4} = \sqrt{\frac{T}{T_2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{16} = \frac{T}{T_2}$
તેથી,$T_2 = 16T$.

(C) $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{rms(H_2)} = \sqrt{7} \times v_{rms(N_2)}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{7} \times \sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}} = 7 \times \frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}$.
અહીં $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ અને $M_{N_2} = 28 \ g/mol$ છે.
$\frac{T_{H_2}}{2} = 7 \times \frac{T_{N_2}}{28}$.
$\frac{T_{H_2}}{2} = \frac{T_{N_2}}{4}$.
$T_{H_2} = \frac{T_{N_2}}{2}$.
તેથી,$T_{(H_2)} < T_{(N_2)}$.

(D) વાયુનો સરેરાશ વેગ $(v_{avg})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
અહીં $R$,$\pi$ અને $M$ ($N_2$ નું આણ્વીય દળ) અચળ હોવાથી,$v_{avg} \propto \sqrt{T}$ થાય.
તેથી,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
આપેલ છે: $v_1 = 0.3 \, m/sec$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$,$v_2 = 0.6 \, m/sec$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.3}{0.6} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$.
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{300}{T_2}$.
$T_2 = 300 \times 4 = 1200 \, K$.

(B) વાયુની વર્ગ સરેરાશ ઝડપ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અચળ તાપમાને $(T)$,$u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે: $H_2 = 2 \ g/mol$,$N_2 = 28 \ g/mol$,$O_2 = 32 \ g/mol$,અને $HBr = 81 \ g/mol$.
$u_{rms}$ એ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,સૌથી ઓછું મોલર દળ ધરાવતા વાયુની $u_{rms}$ સૌથી વધુ હશે.
મોલર દળનો ક્રમ: $H_2 < N_2 < O_2 < HBr$ છે.
તેથી,$u_{rms}$ નો ક્રમ: $H_2 > N_2 > O_2 > HBr$ થશે.

(A) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણ વેગ $r$ એ આણ્વીય દળ $M$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આણ્વીય દળ નીચે મુજબ છે: $M(SO_2) = 64 \ g/mol$,$M(O_2) = 32 \ g/mol$,અને $M(CH_4) = 16 \ g/mol$.
વેગનો ગુણોત્તર $r(SO_2) : r(O_2) : r(CH_4) = \frac{1}{\sqrt{64}} : \frac{1}{\sqrt{32}} : \frac{1}{\sqrt{16}}$ થાય.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{8} : \frac{1}{4\sqrt{2}} : \frac{1}{4}$ મળે.
$8$ વડે ગુણતા,$1 : \frac{8}{4\sqrt{2}} : \frac{8}{4} = 1 : \frac{2}{\sqrt{2}} : 2$ મળે.
$\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2} : 2$ થાય.

(A) ત્રણ પ્રકારના આણ્વિય વેગ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
સૌથી સંભવિત વેગ $(u_{mp})$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સરેરાશ વેગ $(u_{av})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
વર્ગ સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(u_{rms})$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
તેથી,$u_{mp} : u_{av} : u_{rms}$ નો ગુણોત્તર:
$= \sqrt{\frac{2RT}{M}} : \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} : \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$= \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$

(C) ગ્રહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $(r)$ એ વાયુના આણ્વીય દળ $(M)$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આણ્વીય દળ $(M)$ ની ગણતરી:
$M(H_2) = 2 \ g/mol$
$M(NH_3) = 17 \ g/mol$
$M(O_2) = 32 \ g/mol$
$M(CO_2) = 44 \ g/mol$
પ્રસરણનો દર આણ્વીય દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,પ્રસરણના દરનો વધતો ક્રમ એ આણ્વીય દળના ઘટતા ક્રમ મુજબ હોય છે: $CO_2 < O_2 < NH_3 < H_2$.

(B) વાયુનો વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ વેગ $(V_{rms})$ એ વાયુના અણુઓના વ્યક્તિગત વેગના વર્ગોની સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે,અને $M_w$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ એ સાચો સંબંધ છે.

(B) ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $r$ એ સમય $t$ માં પ્રસરણ પામતા કદ $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(r = V/t)$.
બંને વાયુઓ માટે સમય $t$ સમાન હોવાથી,દરનો ગુણોત્તર કદના ગુણોત્તર જેટલો થાય છે: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{V_1}{V_2}$.
વળી,$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$,જ્યાં $M$ એ અણુભાર છે.
આથી,$\frac{V_{O_3}}{V_{Cl_2}} = \sqrt{\frac{M_{Cl_2}}{M_{O_3}}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{35}{29} = \sqrt{\frac{71}{M_{O_3}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\frac{35}{29})^2 = \frac{71}{M_{O_3}}$.
$M_{O_3} = 71 \times (\frac{29}{35})^2 = 48.74$.
આમ,ઓઝોનનો અણુભાર આશરે $48.7$ છે.

(B) સરેરાશ વેગનું સૂત્ર $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગનું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT'}{M}}$ છે,જ્યાં $T' = 27 + 273 = 300 \ K$.
આપેલ છે કે તાપમાન $T$ પર $\overline{v} = u_{rms}$:
$\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = \sqrt{\frac{3R \times 300}{M}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{8RT}{\pi M} = \frac{900R}{M}$
$\frac{8T}{\pi} = 900$
$T = \frac{900 \times \pi}{8} \approx 353.43 \ K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર: $T(^oC) = 353.43 - 273 = 80.43 \ ^oC$.

(A) સરેરાશ ઝડપ $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ અને $rms$ ઝડપ $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{u}{\overline{v}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \times \sqrt{\frac{\pi M}{8RT}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}}$.
$\pi \approx 3.14$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{u}{\overline{v}} = \sqrt{\frac{3 \times 3.14}{8}} = \sqrt{1.1775} \approx 1.085$.
તેથી,$u = 1.085 \times \overline{v} = 1.085 \times 400 \, m/s = 434 \, m/s$.

(C) સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
આપેલ છે: $\overline{v} = 9.0 \times 10^4 \ cm \ s^{-1}$,$M = 44 \ g \ mol^{-1}$,$R = 8.314 \times 10^7 \ erg \ K^{-1} \ mol^{-1}$ ($CGS$ એકમમાં).
કિંમતો મૂકતા: $9.0 \times 10^4 = \sqrt{\frac{8 \times 8.314 \times 10^7 \times T}{3.14159 \times 44}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $81 \times 10^8 = \frac{8 \times 8.314 \times 10^7 \times T}{3.14159 \times 44}$.
$T$ માટે ગણતરી કરતા: $T = \frac{81 \times 10^8 \times 3.14159 \times 44}{8 \times 8.314 \times 10^7} \approx 1684 \ K$.

(A) આપેલ છે: કદ $V = 1 \ L = 10^{-3} \ m^3$,દબાણ $P = 7.57 \times 10^3 \ N \ m^{-2}$,અણુઓની સંખ્યા $N = 2.0 \times 10^{21}$.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{N}{N_A} = \frac{2.0 \times 10^{21}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3.321 \times 10^{-3} \ mol$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,તાપમાન $T = \frac{PV}{nR} = \frac{7.57 \times 10^3 \times 10^{-3}}{3.321 \times 10^{-3} \times 8.314} \approx 274.25 \ K$.
$N_2$ નું આણ્વીય દળ $M = 28 \ g \ mol^{-1} = 28 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 274.25}{28 \times 10^{-3}}} \approx 494.26 \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ માં ફેરવતા: $494.26 \times 100 = 49426 \ cm \ s^{-1}$.

(B) રૂટ મીન સ્કવેર ગતિનું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે: તાપમાન $T = 20 + 273 = 293 \, K$,ઓઝોન $(O_3)$ નું આણ્વીય દળ $M = 48 \, g \, mol^{-1} = 0.048 \, kg \, mol^{-1}$.
વાયુ અચળાંક $R = 8.314 \times 10^7 \, erg \, K^{-1} \, mol^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 10^7 \times 293}{48}}$
$u_{rms} = \sqrt{\frac{7307907000}{48}} = \sqrt{152248062.5} \approx 12338 \, cm \, s^{-1}$.
ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $3.90 \times 10^4 \, cm \, s^{-1}$ છે.

(D) વાયુની $rms$ ગતિનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
સમાન તાપમાન $(T)$ માટે,$v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
તેથી,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_2}{m_1}$.
આથી,$m_1v_1^2 = m_2v_2^2$ મળે છે.

(B) $rms$ ગતિનું સૂત્ર $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$N_2$ અણુઓ માટે $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,જ્યાં $M$ એ $N_2$ નું મોલર દળ છે.
જ્યારે તાપમાન બમણું કરવામાં આવે $(T' = 2T)$ અને $N_2$ નું વિભાજન $N$ પરમાણુઓમાં થાય,ત્યારે નવું મોલર દળ $M' = M/2$ થાય છે.
નવી $rms$ ગતિ $u'$ નીચે મુજબ મળે: $u' = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}} = \sqrt{\frac{3R(4T)}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}} = 2u$.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
સરેરાશ વેગ $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
સૌથી વધુ સંભવિત વેગ $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sqrt{\frac{8}{3.14}} \approx 1.596$,અને $\sqrt{2} \approx 1.414$.
તેથી,સાચો ક્રમ $v_{rms} > \overline{v} > v_{mp}$ છે.

(A) $rms$ ઝડપ માટેનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$STP$ એ $CO_2$ માટે,$T = 273 \, K$ અને $M = 44 \, g/mol$ છે.
$N_2$ માટે,$M = 28 \, g/mol$ છે.
$rms$ ઝડપને સરખાવતા:
$\sqrt{\frac{3R \times 273}{44}} = \sqrt{\frac{3RT}{28}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{273}{44} = \frac{T}{28}$
$T = \frac{273 \times 28}{44} = 173.73 \, K$
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T(^\circ C) = 173.73 - 273 = -99.27 \, ^\circ C$.

(C) વાયુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$T_1 = 27\,^oC = 300\,K$ તાપમાને,ઝડપ $u_1 = \sqrt{\frac{3R \times 300}{M}}$ છે.
$T_2 = 927\,^oC = 1200\,K$ તાપમાને,ઝડપ $u_2 = \sqrt{\frac{3R \times 1200}{M}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{u_2}{u_1} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$u_2 = 2u_1$,એટલે કે $rms$ ઝડપ અગાઉના મૂલ્ય કરતા બમણી થશે.

(A) $rms$ વેગનું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$STP$ પર,$T = 273 \ K$ અને $O_2$ નું આણ્વીય દળ $M = 32 \ g/mol$ છે.
$R = 8.314 \times 10^7 \ erg \ K^{-1} \ mol^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 10^7 \times 273}{32}}$
$u_{rms} = \sqrt{212762812.5} \approx 4.61 \times 10^4 \ cm/s$.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \frac{w}{M}RT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $P = 3 \text{ atm}$,$V = 14.8 \text{ L}$,$w = 15 \text{ g}$,અને $R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$.
$3 \times 14.8 = \frac{15}{M} \times 0.0821 \times T$
$\frac{T}{M} = \frac{3 \times 14.8}{15 \times 0.0821} \approx 36.05 \text{ K g}^{-1} \text{ mol}$.
સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
$R = 8.314 \times 10^7 \text{ erg K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$ ($CGS$ એકમ માટે) અને $\frac{T}{M} = 36.05$ મૂકતા:
$\overline{v} = \sqrt{\frac{8 \times 8.314 \times 10^7 \times 36.05}{3.14159}}$
$\overline{v} = \sqrt{7.63 \times 10^9} \approx 8.73 \times 10^4 \text{ cm/s}$.

(D) $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$STP$ પર,$T = 273 \ K$ અને $CO$ માટે,$M = 28 \ g/mol$.
$CO_2$ માટે,$M = 44 \ g/mol$.
$rms$ ઝડપને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{3R \times 273}{28}} = \sqrt{\frac{3RT}{44}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{273}{28} = \frac{T}{44}$.
$T = \frac{273 \times 44}{28} = 429 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^oC) = 429 - 273 = 156 \ ^oC$.

(C) $rms$ ઝડપ એ અણુઓની સંખ્યા પર આધારિત નથી.
${u_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
અહીં $R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ અણુભાર છે. તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,$rms$ ઝડપ બદલાશે નહીં.

(A) $rms$ ગતિનું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$CO_2$ $(M = 44 \ g/mol)$ માટે: $u_1 = x = \sqrt{\frac{3RT}{44}}$.
$N_2O$ $(M = 44 \ g/mol)$ માટે: $u_2 = 4x = \sqrt{\frac{3RT'}{44}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{4x}{x} = \frac{\sqrt{\frac{3RT'}{44}}}{\sqrt{\frac{3RT}{44}}}$.
$4 = \sqrt{\frac{T'}{T}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16 = \frac{T'}{T}$.
તેથી,$T' = 16T$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $u_{rms}$ નું સૂત્ર: $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે: $T = 27\,^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$ અને $u_{rms} = 30\sqrt{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $30\sqrt{R} = \sqrt{\frac{3 \times R \times 300}{M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $900R = \frac{900R}{M}$.
તેથી,$M = 1\,g$.
કિલોગ્રામમાં ફેરવતા: $M = \frac{1}{1000}\,kg = 0.001\,kg$.

(B) $rms$ ગતિનું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ હોવાથી,$\frac{RT}{M} = \frac{P}{d}$ થાય,જ્યાં $d$ એ ઘનતા છે.
તેથી,$u_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{d}}$.
અહીં $P = 100 \, kPa = 100 \times 10^3 \, Pa$ અને $d = 0.1 \, g \, cm^{-3} = 100 \, kg \, m^{-3}$ છે.
$u_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 100 \times 10^3}{100}} = \sqrt{3000} \approx 1732 \, m \, s^{-1}$.

(D) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જેનું સૂત્ર $\overline{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
$\overline{v} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,તાપમાન ઘટાડવાથી સરેરાશ ગતિ ઘટશે.
અચળ દબાણ સામે એડિયાબેટિક વિસ્તરણ દરમિયાન,વાયુ તેની આંતરિક ઉર્જાના ભોગે કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,વાયુને અચળ દબાણ સામે એડિયાબેટિક રીતે વિસ્તરણ કરવું એ સાચી રીત છે.

(C) $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{v_{rms}(H_2)}{v_{rms}(N_2)} = \sqrt{7}$.
તેથી,$\sqrt{\frac{T(H_2)}{M(H_2)}} \times \sqrt{\frac{M(N_2)}{T(N_2)}} = \sqrt{7}$.
મોલર દળ $M(H_2) = 2 \ g/mol$ અને $M(N_2) = 28 \ g/mol$ મૂકતા:
$\sqrt{\frac{T(H_2)}{2} \times \frac{28}{T(N_2)}} = \sqrt{7}$.
$\sqrt{14 \times \frac{T(H_2)}{T(N_2)}} = \sqrt{7}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $14 \times \frac{T(H_2)}{T(N_2)} = 7$.
$\frac{T(H_2)}{T(N_2)} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$T(N_2) = 2T(H_2)$,જે દર્શાવે છે કે $T(H_2) < T(N_2)$.

(B) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
$V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ હોવાથી,જે વાયુનું મોલર દળ સૌથી ઓછું હોય તેની $V_{rms}$ સૌથી વધુ હોય.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે: $M(H_2) = 2 \ g/mol$,$M(N_2) = 28 \ g/mol$,$M(O_2) = 32 \ g/mol$,અને $M(HBr) = 81 \ g/mol$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{\sqrt{28}} > \frac{1}{\sqrt{32}} > \frac{1}{\sqrt{81}}$.
તેથી,$V_{rms}$ નો ક્રમ $HBr < O_2 < N_2 < H_2$ છે.

(A) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વેગ $(V_{av})$ સૂત્ર $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$,$\pi$,અને $M$ અચળ હોવાથી,$V_{av} \propto \sqrt{T}$ થાય.
તાપમાનને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_1 = 50 + 273 = 323 \ K$ અને $T_2 = 200 + 273 = 473 \ K$.
સરેરાશ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{(V_{av})_2}{(V_{av})_1} = \sqrt{\frac{473}{323}} \approx \sqrt{1.464} \approx 1.21$ થાય.
તેથી,સાચો જવાબ $1.21 : 1$ છે.

(A) વાયુના અણુનો સરેરાશ વેગ $(V_{avg})$ સૂત્ર $V_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R$,$M$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,$V_{avg} \propto \sqrt{T}$ થાય.
આપેલ છે કે,$V_1 = 0.3 \, m/s$ અને $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$.
જ્યારે $V_2 = 0.6 \, m/s$ હોય ત્યારે $T_2$ શોધવાનું છે.
સંબંધ $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{0.3}{0.6} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{300}{T_2}$
$T_2 = 300 \times 4 = 1200 \, K$.

(D) વાયુમય અણુના સરેરાશ વેગ $(V_{av})$ નું સૂત્ર $V_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_{av} \propto \sqrt{T}$.
જ્યારે તાપમાન બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું તાપમાન $T' = 2T$ થાય છે.
તેથી,નવા સરેરાશ વેગ અને પ્રારંભિક સરેરાશ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_{av}'}{V_{av}} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{2T}{T}} = \sqrt{2} \approx 1.414$ થાય છે.
આમ,સરેરાશ વેગ આશરે $1.4$ ના અવયવથી વધે છે.

(C) ઝડપ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
સૌથી સંભવિત ઝડપ $(C^*)$ = $\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
સરેરાશ ઝડપ $(\overline{C})$ = $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(C)$ = $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$
ગુણોત્તર $C^* : \overline{C} : C = \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$ છે.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$1 : \sqrt{\frac{4}{\pi}} : \sqrt{1.5} \approx 1 : 1.128 : 1.225$.

(D) સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $u_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$RT = \frac{PV}{n}$ મળે છે.
આપેલ છે: $P = \pi \times 10 \ bar = \pi \times 10^6 \ Pa$,$V = 8 \ m^3$,$n = 2 \ mol$,અને $M = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$.
$RT = \frac{(\pi \times 10^6) \times 8}{2} = 4\pi \times 10^6 \ J/mol$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $u_{avg} = \sqrt{\frac{8 \times (4\pi \times 10^6)}{\pi \times (32 \times 10^{-3})}} = \sqrt{\frac{32\pi \times 10^6}{32\pi \times 10^{-3}}} = \sqrt{10^9} \ m/s$.

(B) સૌથી સંભવિત ઝડપ $(U_{M.P.})$ નું સૂત્ર $U_{M.P.} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $U_{M.P.} \propto \sqrt{T}$.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ વક્રનું શિખર જમણી તરફ ખસે છે,જે ઉચ્ચ સૌથી સંભવિત ઝડપ સૂચવે છે.
આપેલ આલેખમાં,$T_2$ માટેનું શિખર $T_1$ ના શિખરની સરખામણીમાં ઉચ્ચ વેગ મૂલ્ય પર છે,જેનો અર્થ છે કે $T_2 > T_1$.
તેથી,$T_2$ પર $U_{M.P.} > T_1$ પર $U_{M.P.}$.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
સમાન તાપમાને $R$ અને $T$ અચળ હોવાથી,$u_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
ઓઝોન $(O_3)$ નું આણ્વીય દળ $M_{O_3} = 3 \times 16 = 48 \, g/mol$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ નું આણ્વીય દળ $M_{O_2} = 2 \times 16 = 32 \, g/mol$ છે.
તેથી,રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{u_{O_3}}{u_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{O_3}}} = \sqrt{\frac{32}{48}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ થાય.

(C) સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર $U_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $RT = \frac{PV}{n}$ મૂકી શકીએ.
આમ,$U_{avg} = \sqrt{\frac{8PV}{\pi Mn}}$.
આપેલ છે: $P = \pi \times 10 \ bar = \pi \times 10^6 \ Pa$,$V = 8 \ L = 8 \times 10^{-3} \ m^3$,$n = 2 \ mol$,$M = 32 \ g/mol = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$.
કિંમતો મૂકતા: $U_{avg} = \sqrt{\frac{8 \times (\pi \times 10^6) \times (8 \times 10^{-3})}{\pi \times (32 \times 10^{-3}) \times 2}}$.
$U_{avg} = \sqrt{\frac{64 \times 10^3}{64 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10^6} = 10^3 \ m/s$.

(C) વાયુના $V_{rms}$ (રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ) નું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
અચળ તાપમાન અને દબાણે ઘનતા $(d)$ એ આણ્વીય દળ $(M)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(d = \frac{PM}{RT})$,તેથી $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$.
આપેલ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{d(O_2)}{d(H_2)} = \frac{16}{1}$ છે.
તેથી,તેમના $V_{rms}$ નો ગુણોત્તર: $\frac{V_{rms}(O_2)}{V_{rms}(H_2)} = \sqrt{\frac{d(H_2)}{d(O_2)}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ થાય.

(B) વાયુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ વાયુ માટે $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$V_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
$V_{rms}$ ને બમણી કરવા માટે,તાપમાનમાં $4$ ગણો વધારો કરવો પડે (કારણ કે $\sqrt{4} = 2$).
સખત પાત્ર માટે,કદ $(V)$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$P \propto T$. તેથી,જો તાપમાન $4$ ગણું વધે,તો દબાણ $(P)$ પણ $4$ ગણું વધવું જોઈએ.
આમ,વાયુને ગરમ કરીને દબાણ ચાર ગણું વધારવાથી $V_{rms}$ બમણી થશે.

(A) આણ્વિય ઝડપ માટેના સૂત્રો:
$U_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$,$U_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$,$U_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
$(a)$ ગુણોત્તર $U_{rms} / U_{av} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} / \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}} \approx 1.08$.
$(b)$ ગુણોત્તર $U_{av} / U_{mp} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} / \sqrt{\frac{2RT}{M}} = \sqrt{\frac{4}{\pi}} \approx 1.13$.
$(c)$ ગુણોત્તર $U_{rms} / U_{mp} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} / \sqrt{\frac{2RT}{M}} = \sqrt{1.5} \approx 1.22$.
આમ,સાચી જોડ $(a)-(iii), (b)-(ii), (c)-(i)$ છે.

(C) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $V_{rms} = (30R)^{1/2}$ અને $T = 27\,^{\circ}C = 300 \ K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $(30R)^{1/2} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $30R = \frac{3RT}{M}$.
$30 = \frac{3 \times 300}{M}$.
$30 = \frac{900}{M}$.
$M = \frac{900}{30} = 30 \ g/mol$.
મોલર દળને $kg/mol$ માં ફેરવવા માટે,$1000$ વડે ભાગતા: $M = \frac{30}{1000} = 0.03 \ kg/mol$.

(C) વાયુની $r.m.s.$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયુની સૌથી સંભવિત ઝડપ $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$300 \ K$ તાપમાને $H_2$ વાયુ માટે,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,તેથી $v_{mp} = \sqrt{\frac{2R(300)}{2}} = \sqrt{300R}$.
$T_2$ તાપમાને $O_2$ વાયુ માટે,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,તેથી $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT_2}{32}}$.
બંને ઝડપને સરખાવતા: $\sqrt{\frac{3RT_2}{32}} = \sqrt{300R}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{3RT_2}{32} = 300R$.
$T_2 = \frac{300 \times 32}{3} = 100 \times 32 = 3200 \ K$.

(A) $rms$ વેગનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$T$ તાપમાને $N_2$ અણુઓ માટે,$u = \sqrt{\frac{3RT}{28 \times 10^{-3} \ kg/mol}}$.
જ્યારે તાપમાન બમણું થાય $(T' = 2T)$ અને $N_2$ નું $N$ પરમાણુઓમાં વિભાજન થાય,ત્યારે મોલર દળ $M' = 14 \times 10^{-3} \ kg/mol$ થાય છે.
નવો $rms$ વેગ $v'$ આ મુજબ મળે: $v' = \sqrt{\frac{3R(2T)}{14 \times 10^{-3}}} = \sqrt{4 \times \frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}} = 2 \times \sqrt{\frac{3RT}{28 \times 10^{-3}}}$.
તેથી,$v' = 2u$.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $V_{rms(O_2)} = V_{rms(He)}$,તેથી:
$\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$ મળે છે.
અહીં,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,$M_{He} = 4 \ g/mol$,અને $T_{He} = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{300}{4}$.
$T_{O_2} = \frac{300 \times 32}{4} = 300 \times 8 = 2400 \ K$.

(D) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ નું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
અહીં $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$V_{rms} \propto \sqrt{T}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
આપેલ છે કે $V_1 = 5 \times 10^4 \ cm/s$ અને $V_2 = 10 \times 10^4 \ cm/s$,તેથી $\frac{5 \times 10^4}{10 \times 10^4} = \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} = \frac{T_1}{T_2}$,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 4T_1$.
તેથી,તાપમાન $4$ ગણું વધશે.

(A) વેગ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ (વર્ગ સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ)
$v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ (સરેરાશ વેગ)
$\alpha = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ (સૌથી સંભવિત વેગ)
તેમના ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા:
$u : v : \alpha = \sqrt{3} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{2}$
આંકડાકીય મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતા $(\pi \approx 3.14)$:
$u : v : \alpha = 1.732 : 1.596 : 1.414$
તેથી, સાચો ક્રમ $u > v > \alpha$ છે.

(A) સૌથી સંભવિત વેગનું સૂત્ર $C^* = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ છે.
સરેરાશ વેગનું સૂત્ર $\bar{C} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગનું સૂત્ર $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,ગુણોત્તર $C^* : \bar{C} : C = \sqrt{2} : \sqrt{\frac{8}{\pi}} : \sqrt{3}$ મળે છે.