Kinetic molecular theory of gases and Molecular collisions Questions in Gujarati

(A) વાયુઓ પાત્રના તળિયે બેસી જતા નથી કારણ કે તેમના કણો ઉચ્ચ ગતિજ ઉર્જા ધરાવે છે,જે તેમને સતત અને અસ્તવ્યસ્ત ગતિમાં રાખે છે.
આ ઉચ્ચ ગતિજ ઉર્જા અને તેમના ખૂબ જ નાના દળને કારણે,વાયુના અણુઓ પર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર નગણ્ય હોય છે,જે તેમને તળિયે બેસતા અટકાવે છે.

(D) વિધાન ખોટું છે કારણ કે વાયુના અણુઓ આપેલ તાપમાને વિવિધ ઝડપ ધરાવે છે (મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ),સમાન ઝડપ નહીં.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે શુદ્ધ વાયુ માટે,તમામ અણુઓ કદ અને આકારમાં સમાન હોય છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(N/A) ગતિજ આણ્વિય સિદ્ધાંત વાયુઓના વર્તન માટે નીચે મુજબની અભિધારણાઓ પર આધારિત સૂક્ષ્મદર્શી મોડેલ પૂરું પાડે છે:
$1$. વાયુઓ મોટી સંખ્યામાં સમાન કણો (પરમાણુઓ અથવા અણુઓ) ના બનેલા હોય છે જે એટલા નાના અને એકબીજાથી એટલા દૂર હોય છે કે તેમની વચ્ચેની ખાલી જગ્યાની સરખામણીમાં અણુઓનું વાસ્તવિક કદ નગણ્ય હોય છે. તેમને 'બિંદુવત દળ' $(point masses)$ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જે વાયુઓની ઊંચી સંકોચનીયતા સમજાવે છે.
$2$. સામાન્ય તાપમાન અને દબાણે વાયુના કણો વચ્ચે કોઈ આકર્ષણ બળ હોતું નથી. આ સમજાવે છે કે શા માટે વાયુઓ ઉપલબ્ધ તમામ જગ્યા રોકવા માટે વિસ્તરે છે.
$3$. વાયુના કણો સીધી રેખામાં સતત અને યાદચ્છિક ગતિમાં હોય છે. જો તેઓ સ્થિર હોત,તો વાયુનો આકાર નિશ્ચિત હોત,જે જોવા મળતું નથી.
$4$. વાયુનું દબાણ પાત્રની દીવાલો સાથે કણોની અથડામણને કારણે ઉદ્ભવે છે.
$5$. વાયુના અણુઓની અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે અથડામણ પહેલાં અને પછી અણુઓની કુલ ગતિજ ઉર્જા અચળ રહે છે,ભલે વ્યક્તિગત ઉર્જા બદલાય.
$6$. કોઈપણ આપેલ તાપમાને,જોકે વ્યક્તિગત કણોની ઝડપ અને ગતિજ ઉર્જા અલગ-અલગ હોય છે અને અથડામણને કારણે સતત બદલાતી રહે છે,પરંતુ ઝડપનું એકંદર વિતરણ અચળ રહે છે.

(N/A) વાયુઓનું માઇક્રોસ્કોપિક મોડેલ વાયુઓના ગતિજ આણ્વિય સિદ્ધાંત (Kinetic Molecular Theory) ના પૂર્વધારણાઓ પર આધારિત છે:
$1$. $\text{કણો}$ $\text{બિંદુવત}$ $\text{દળ}$ $\text{તરીકે}$: વાયુઓ અસંખ્ય સમાન કણો (પરમાણુઓ અથવા અણુઓ) ના બનેલા હોય છે જે એટલા નાના અને એકબીજાથી એટલા દૂર હોય છે કે તેમની વચ્ચેની ખાલી જગ્યાની સરખામણીમાં અણુઓનું વાસ્તવિક કદ નહિવત હોય છે. આ વાયુઓની ઊંચી સંકોચનીયતા સમજાવે છે.
$2$. $\text{આંતરઆણ્વિય}$ $\text{બળોનો}$ $\text{અભાવ}$: સામાન્ય તાપમાન અને દબાણે વાયુના કણો વચ્ચે કોઈ આકર્ષણ બળ હોતું નથી. આ સમજાવે છે કે શા માટે વાયુઓ ઉપલબ્ધ તમામ જગ્યા રોકવા માટે વિસ્તરે છે.
$3$. $\text{સતત}$ $\text{અસ્તવ્યસ્ત}$ $\text{ગતિ}$: વાયુના કણો સતત,અસ્તવ્યસ્ત અને સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. જો તેઓ સ્થિર હોત,તો વાયુનો આકાર નિશ્ચિત હોત,જે જોવા મળતું નથી.
$4$. $\text{દબાણ}$: વાયુના કણો એકબીજા સાથે અને પાત્રની દીવાલો સાથે અથડાય છે. વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ એ પાત્રની દીવાલો સાથે થતી આ અથડામણોનું પરિણામ છે.
$5$. $\text{સ્થિતિસ્થાપક}$ $\text{અથડામણો}$: વાયુના અણુઓ વચ્ચેની અથડામણો સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક હોય છે. અથડામણ દરમિયાન વ્યક્તિગત ઉર્જા બદલાઈ શકે છે,પરંતુ આપેલ તાપમાને તંત્રની કુલ ગતિજ ઉર્જા અચળ રહે છે.
$6$. $\text{ઝડપનું}$ $\text{વિતરણ}$: કોઈપણ આપેલ તાપમાને,જોકે અથડામણોને કારણે વ્યક્તિગત કણોની ઝડપ અલગ-અલગ હોય છે અને સતત બદલાતી રહે છે,પરંતુ ઝડપનું એકંદર વિતરણ અચળ રહે છે.

(N/A) $1$. ગતિઊર્જા: વાયુની કુલ ગતિઊર્જા એ તેના તમામ વ્યક્તિગત અણુઓની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે. આદર્શ વાયુ માટે,તે $E_k = \frac{3}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા: આ વાયુના અણુઓના પ્રતિ મોલ સરેરાશ ગતિઊર્જા છે,જે $E_{avg} = \frac{3}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. એક અણુ માટે,તે $\frac{3}{2} kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
$3$. વર્ગ સરેરાશ ઝડપ $(u_{rms})$: તેને વાયુના વિવિધ અણુઓની ઝડપના વર્ગોની સરેરાશના વર્ગમૂળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.

(N/A) વાયુના ગતિજ આણ્વિય સિદ્ધાંતની બે મુખ્ય અયોગ્ય ધારણાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ વાયુના કુલ કદની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય છે.
સમર્થન: ઊંચા દબાણે,વાયુના અણુઓ એકબીજાની નજીક આવે છે,અને તેમનું વાસ્તવિક કદ પાત્રના કુલ કદની સાપેક્ષમાં નોંધપાત્ર બની જાય છે.
$2$. વાયુના અણુઓ વચ્ચે કોઈ આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળ હોતું નથી.
સમર્થન: નીચા તાપમાને અને ઊંચા દબાણે,વાયુના અણુઓ ધીમેથી ગતિ કરે છે અને એકબીજાની નજીક આવે છે,જેનાથી નોંધપાત્ર આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો ઉદભવે છે,જે વાયુને આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત કરે છે અને અંતે તેનું પ્રવાહીકરણ થાય છે.

(C) આદર્શ વાયુમાં એવી ધારણા કરવામાં આવે છે કે અણુઓ વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળો હોતા નથી.
આ એક કાલ્પનિક ખ્યાલ છે.

(C) ગતિજ આણ્વિયવાદની ધારણાઓ વાયુના કણોના વર્તન સાથે સંબંધિત છે. તે વાયુઓના વર્તન માટે એક સૂક્ષ્મદર્શકીય નમૂનો પૂરો પાડે છે.

(B) વાયુના અણુઓ શક્ય તેટલી બધી જ દિશામાં સતત,યાદચ્છિક અને સુરેખ ગતિ કરે છે. $ \newline $ જ્યારે આ અણુઓ પાત્રની દીવાલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેઓ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ લગાડે છે,જેને દબાણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(A) જ્યારે વાયુને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાયુના અણુઓની ગતિજ ઉર્જા વધે છે.
પરિણામે,અણુઓ ઝડપથી ગતિ કરે છે અને પાત્રની દીવાલો સાથે વધુ વારંવાર અને વધુ બળ સાથે અથડાય છે,જેનાથી જો કદ અચળ હોય તો દબાણમાં વધારો થાય છે.

(N/A) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ એટલે એવી અથડામણ કે જેમાં અથડામણના પરિણામે તંત્રની કુલ ગતિજ ઊર્જામાં કોઈ ચોખ્ખો ઘટાડો થતો નથી. ગતિજ ઊર્જા માત્ર અથડાતા અણુઓ વચ્ચે સ્થાનાંતરિત થાય છે.

(B) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિ ઊર્જા $ \frac{3}{2} k_B T $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$ k_B $ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $ T $ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ વાયુના ગતિવાદ પરથી તારવવામાં આવે છે જ્યાં $ 1 \text{ mole} $ વાયુ માટે કુલ ગતિ ઊર્જા $ \frac{3}{2} RT $ હોય છે.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,અથડામણો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક માનવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે ગતિ ઊર્જામાં કોઈ ઘટાડો થતો નથી. જો અથડામણો સ્થિતિસ્થાપક ન હોય,તો અણુઓ દરેક અથડામણ સાથે ગતિ ઊર્જા ગુમાવશે. અંતે,અણુઓ તેમની તમામ ગતિ ઊર્જા ગુમાવી દેશે,જેના કારણે તેઓ ગતિ કરવાનું બંધ કરી દેશે અને પાત્રની દીવાલો પર શૂન્ય બળ સાથે અથડાશે,પરિણામે દબાણ $0$ થઈ જશે.

(C) આદર્શ વાયુની ગતિ ઊર્જા માત્ર તેના નિરપેક્ષ તાપમાન પર આધાર રાખે છે,જેનું સૂત્ર $KE = \frac{3}{2} nRT$ ($n$ મોલ માટે) અથવા $KE = \frac{3}{2} kT$ (અણુ દીઠ) છે.
કારણ કે $N_2$ અને $O_2$ બંને $300 \ K$ ના સમાન તાપમાને છે,તેથી તેમની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા સમાન હશે.
તેથી,બંને માટે ગતિ ઊર્જા સમાન છે.

(B) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિજ ઉર્જા $(KE)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આ સંબંધ સમીકરણ $KE = \frac{3}{2} kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.

(A) કારણ કે $He$ અને $Ne$ એકપરમાણ્વીય નિષ્ક્રિય વાયુઓ છે,તેઓ ભ્રમણીય કે કંપન ગતિની સ્વતંત્રતા ધરાવતા નથી. તેઓ માત્ર સ્થળાંતર ગતિજ ઊર્જા દર્શાવે છે.

(D) આદર્શ વાયુની ગતિજ ઉર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{3}{2} n R T$ છે.
$H_2$ ના મોલની સંખ્યા $(n_{H_2})$ = $\frac{3 \ g}{2 \ g/mol} = 1.5 \ mol$.
$O_2$ ના મોલની સંખ્યા $(n_{O_2})$ = $\frac{4 \ g}{32 \ g/mol} = 0.125 \ mol = \frac{1}{8} \ mol$.
તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,ગતિજ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{KE_{H_2}}{KE_{O_2}} = \frac{n_{H_2}}{n_{O_2}} = \frac{1.5}{0.125} = 12: 1$.

(D) સૌથી સંભવિત વેગ $(V_{mp})$,સરેરાશ વેગ $(\bar{V})$ અને રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(V_{rms})$ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$V_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
$\bar{V} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \approx \sqrt{\frac{2.55RT}{M}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને ક્રમ મળે છે: $V_{mp} < \bar{V} < V_{rms}$.
મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ વક્રમાં,શિખર (peak) $V_{mp}$ ને અનુરૂપ છે,ત્યારબાદ $\bar{V}$ અને પછી શિખરની જમણી બાજુએ $V_{rms}$ આવે છે.
આમ,સાચો આલેખ તે છે જેમાં ડાબેથી જમણે ક્રમ $V_{mp}$,$\bar{V}$,$V_{rms}$ હોય.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે અને વાયુના પ્રકાર કે તેના દળ પર આધાર રાખતી નથી.
કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે,અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $(K.E.)_{avg} = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ડ્યુટેરિયમ $(D_2)$ અને હાઇડ્રોજન $(H_2)$ બંને સમાન તાપમાને $(298 \, K)$ હોવાથી,તેમની સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હોય છે.

(A) પ્રસરણ ગુણાંક $D$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ અને સરેરાશ ઝડપ $v$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી $D \propto \lambda \cdot v$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda \propto \frac{T}{P}$ અને સરેરાશ ઝડપ $v \propto \sqrt{T}$ છે.
તેથી,$D \propto \frac{T}{P} \cdot \sqrt{T} = \frac{T^{3/2}}{P}$.
આપેલ છે કે તાપમાન $T_f = 4T_i$ અને દબાણ $P_f = 2P_i$ છે,તેથી આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ:
$\frac{D_f}{D_i} = \left( \frac{T_f}{T_i} \right)^{3/2} \cdot \left( \frac{P_i}{P_f} \right)$
$\frac{D_f}{D_i} = (4)^{3/2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$
$\frac{D_f}{D_i} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
આમ,$D_f = 4D_i$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$.

(A) . વાયુઓના ગતિવાદના અભિધારણા મુજબ,અણુઓ વચ્ચેની અને પાત્રની દીવાલ સાથેની અથડામણો સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક હોય છે.
$B$. દીવાલ પર સ્થાનાંતરિત વેગમાન $\Delta p = 2mu$ છે. વેગમાન એ દળ $(m)$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,ભારે અણુઓ અથડામણ વખતે વધુ વેગમાનનું સ્થાનાંતર કરે છે.
$C$. મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણ મુજબ,ખૂબ ઊંચો કે ખૂબ નીચો વેગ ધરાવતા અણુઓનું પ્રમાણ ખૂબ જ ઓછું હોય છે.
$D$. બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે,આંતરઆણ્વીય બળોના અભાવને કારણે અણુઓ અચળ વેગ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.

(A) $1.$ ગ્રેહામના નિયમ મુજબ,જો બધી પરિસ્થિતિઓ સમાન હોય,તો $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
અહીં $X$ અને $Y$ માટે બધી પરિસ્થિતિઓ સમાન હોવાથી,$\frac{r_x}{r_y} = \sqrt{\frac{M_y}{M_x}}$.
$\frac{d}{24-d} = \sqrt{\frac{40}{10}} = 2$.
$d = 48 - 2d \implies 3d = 48 \implies d = 16 \ cm$.
$2.$ સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = \frac{RT}{\sqrt{2} \pi d^2 N_A P}$ છે.
$d$ અને $P$ સમાન હોવાથી,$\lambda$ સમાન છે. $X$ નું મોલર દળ ઓછું હોવાથી તેની સરેરાશ ઝડપ વધારે છે,જેના કારણે તે નિષ્ક્રિય વાયુ સાથે વધુ અથડામણ અનુભવે છે. પરિણામે,$X$ વધુ અવરોધ અનુભવે છે અને ગ્રેહામના નિયમ કરતા ઓછું અંતર કાપે છે.

(A) $Argon$ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેના પરમાણુઓ અવકાશમાં કોઈપણ દિશામાં ગતિ કરી શકે છે.
તે એક પરમાણુ હોવાથી,તેમાં કંપન માટે કોઈ બંધ કે ભ્રમણ માટે કોઈ અક્ષ હોતી નથી.
આથી,તે માત્ર ત્રણ સ્વતંત્ર ગતિઓ (બધી સ્થાનાંતરીય) ધરાવી શકે છે.
તેથી,$Argon$ માત્ર સ્થાનાંતરીય ગતિ ધરાવે છે.

(B) ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર $r \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,જ્યાં $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
આણ્વીય દળ નીચે મુજબ છે: $H_{2} = 2 \text{ g/mol}$,$CH_{4} = 16 \text{ g/mol}$,$SO_{2} = 64 \text{ g/mol}$.
$M(H_{2}) < M(CH_{4}) < M(SO_{2})$ હોવાથી,પ્રસરણનો દર $r(H_{2}) > r(CH_{4}) > r(SO_{2})$ થશે.
તેથી,$3 \text{ h}$ પછી પાત્રમાં બાકી રહેલા વાયુનો જથ્થો તેમના પ્રસરણ દરના ઉલટા ક્રમમાં હશે.
બાકી રહેલા જથ્થાનો ક્રમ: $SO_{2} > CH_{4} > H_{2}$ છે.
આંશિક દબાણ $p$ એ મોલની સંખ્યા $n$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(p = \frac{nRT}{V})$,આંશિક દબાણનો ક્રમ $pSO_{2} > pCH_{4} > pH_{2}$ થશે.

(B) આદર્શ વાયુના એક મોલની સરેરાશ ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{3}{2} RT$ છે.
અહીં $R$ અચળાંક હોવાથી,$KE \propto T$ થાય.
ઓક્સિજન $(O_{2})$ માટે: $T_{O_{2}} = 273 \ K$.
સલ્ફર ડાયોક્સાઇડ $(SO_{2})$ માટે: $T_{SO_{2}} = 546 \ K$.
ગતિઊર્જાની સરખામણી કરતા: $\frac{KE_{O_{2}}}{KE_{SO_{2}}} = \frac{T_{O_{2}}}{T_{SO_{2}}} = \frac{273}{546} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$KE_{SO_{2}} = 2 \times KE_{O_{2}}$,જે દર્શાવે છે કે $KE_{SO_{2}} > KE_{O_{2}}$ અથવા $KE_{O_{2}} < KE_{SO_{2}}$.

(D) આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{3}{2} nRT$ છે.
$H_2$ માટે:
મોલર દળ $M(H_2) = 2 \ g/mol$.
મોલની સંખ્યા $n_1 = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2 \ mol$.
તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
$x = \frac{3}{2} \times 2 \times R \times 300 = 900R$.
$O_2$ માટે:
મોલર દળ $M(O_2) = 32 \ g/mol$.
મોલની સંખ્યા $n_2 = \frac{6.4 \ g}{32 \ g/mol} = 0.2 \ mol$.
તાપમાન $T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$.
$KE_2 = \frac{3}{2} \times 0.2 \times R \times 400 = 120R$.
હવે,ગુણોત્તર શોધો: $\frac{KE_2}{x} = \frac{120R}{900R} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.
તેથી,$KE_2 = \frac{2x}{15} \ J$.

(A) રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $(u_{rms})$ નું સૂત્ર $u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે $u_{rms} = 412 \ ms^{-1}$ અને મોલર દળ $M = 44 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $u_{rms}^2 = \frac{3RT}{M} \implies \frac{3}{2}RT = \frac{1}{2} M u_{rms}^2$.
આદર્શ વાયુના $1 \ mol$ માટે ગતિઊર્જા $(KE)$ $KE = \frac{3}{2}RT = \frac{1}{2} M u_{rms}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $KE = \frac{1}{2} \times (44 \times 10^{-3} \ kg \ mol^{-1}) \times (412 \ ms^{-1})^2$.
$KE = 0.5 \times 0.044 \times 169744 \ J \ mol^{-1} = 3734.368 \ J \ mol^{-1}$.
$kJ \ mol^{-1}$ માં રૂપાંતર કરતા: $KE = \frac{3734.368}{1000} \approx 3.7344 \ kJ \ mol^{-1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $n$ મોલ વાયુ માટે $K.E. = \frac{3}{2} nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ આદર્શ વાયુના $1 \ mol$ માટે,$K.E. = \frac{3}{2} RT$.
આ દર્શાવે છે કે આદર્શ વાયુના $1 \ mol$ ની ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને વાયુના સ્વભાવ (અણુના દળ) થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,ગતિઊર્જા વાયુના અણુના દળ પર આધાર રાખે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) આદર્શ વાયુની ગતિજ ઉર્જા $(KE)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે,ગતિજ ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{3}{2} RT$
અહીં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક હોવાથી,$KE$ માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.

(D) આદર્શ વાયુની કુલ ગતિજ ઉર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{3}{2} n R T$ છે.
ગતિજ ઉર્જા સમાન હોવા માટે,$He$ અને $Ar$ માટેના સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{3}{2} n_{He} R T_{He} = \frac{3}{2} n_{Ar} R T_{Ar}$.
સામાન્ય પદો $\frac{3}{2}$ અને $R$ ને દૂર કરતા: $n_{He} \times T_{He} = n_{Ar} \times T_{Ar}$ મળે.
આપેલ છે: $n_{He} = 0.30 \ mol$,$n_{Ar} = 0.40 \ mol$,અને $T_{Ar} = 400 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $0.30 \times T_{He} = 0.40 \times 400$.
$T_{He} = \frac{0.40 \times 400}{0.30} = \frac{160}{0.30} = 533.33 \ K \approx 533 \ K$.

(B) વાયુના અણુઓ સતત યાદચ્છિક ગતિમાં હોય છે અને અન્ય અણુઓ સાથે અથડામણ થવાથી તેમની દિશા બદલાય છે. તેથી,વાયુઓમાં અણુઓની સંપૂર્ણ અસ્તવ્યસ્તતા હોય છે.

(B) આદર્શ વાયુના એક અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $KE_{avg} = \frac{3}{2} k T$
જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k = \frac{R}{N_A})$ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે.
આપેલ $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા:
$KE_{avg} = \frac{3}{2} \times \frac{8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \times 300 \ K$
$KE_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 \ J$
$KE_{avg} \approx 6.21 \times 10^{-21} \ J \ molecule^{-1}$

(C) આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = nRT$ છે,જ્યાં $n$ મોલની સંખ્યા છે,$R$ વાયુ અચળાંક છે અને $T$ તાપમાન છે.
હિલિયમ માટે: $n_1 = 0.3 \ mol$,$T_1 = T$.
$KE_{He} = 0.3 \times R \times T$.
આર્ગોન માટે: $n_2 = 0.4 \ mol$,$T_2 = 400 \ K$.
$KE_{Ar} = 0.4 \times R \times 400$.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE_{He} = KE_{Ar}$.
$0.3 \times R \times T = 0.4 \times R \times 400$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા:
$0.3 \times T = 160$.
$T = \frac{160}{0.3} = 533.33 \ K \approx 533 \ K$.

(D) ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,પ્રસરણનો દર સમાન સમયગાળામાં કાપેલા અંતરના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{r_A}{r_B} = \frac{d_A}{d_B} = \sqrt{\frac{M_B}{M_A}}$
આપેલ છે: $d_A = 40 \ m$,$d_B = 100 - 40 = 60 \ m$,$M_B = 18$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{40}{60} = \sqrt{\frac{18}{M_A}}$
$\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{18}{M_A}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{4}{9} = \frac{18}{M_A}$
$M_A = \frac{18 \times 9}{4} = 40.5 \ g/mol$.
આમ,$A$ નું આણ્વીય દળ $40.5 \ g/mol$ છે.

(C) વાયુઓના ગતિજ આણ્વિક સિદ્ધાંત મુજબ:
$a$) અણુઓનું વાસ્તવિક કદ તેમની વચ્ચેની ખાલી જગ્યાની તુલનામાં નગણ્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે કણનું કદ બિંદુવત માનવામાં આવે છે.
$b$) વાયુના અણુઓની અથડામણો સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક હોય છે,અસ્થિતિસ્થાપક નહીં. તેથી,વિધાન $b$ ખોટું છે.
$c$) કોઈપણ ચોક્કસ સમયે,વાયુમાં રહેલા વિવિધ કણો અલગ-અલગ ઝડપ અને અલગ-અલગ ગતિજ ઉર્જા ધરાવે છે. માત્ર સરેરાશ ગતિજ ઉર્જા આપેલ તાપમાને અચળ રહે છે. તેથી,વિધાન $c$ ખોટું છે.
$d$) પાત્રની દીવાલો સાથે કણોની અથડામણને પરિણામે વાયુ દ્વારા દબાણ ઉત્પન્ન થાય છે. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $a$ અને $d$ સાચા છે.

(D) સાચો જવાબ $(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ છે.
વાયુના ગતિજ આણ્વિય સિદ્ધાંત મુજબ:
$(i)$ વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલ વાસ્તવિક કદ વાયુના કુલ કદની સરખામણીમાં નગણ્ય છે.
$(ii)$ વાયુના અણુઓ વચ્ચેની અને પાત્રની દીવાલો સાથેની અથડામણ સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક હોય છે,એટલે કે ગતિજ ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.
$(iii)$ કણોને બિંદુવત દળ માનવામાં આવે છે,અને તેમનું કદ તેમની વચ્ચેના સરેરાશ અંતરની તુલનામાં અત્યંત નાનું હોય છે.

(C) આપેલા વિધાનોની સમજૂતી નીચે મુજબ છે:
$(a)$ વાયુના કણોને બિંદુવત દળ અથવા સખત કણો તરીકે ગણવામાં આવે છે.
$(b)$ વાયુના અણુઓની ગતિઊર્જા નિરપેક્ષ તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. $\text{K.E.} \propto T$. તેથી,તાપમાન વધવાની સાથે $\text{K.E.}$ વધે છે.
$(c)$ સખત સ્થિતિસ્થાપક વાયુના કણો અથડામણ અનુભવે છે અને ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પાલન કરે છે. તેથી,અથડામણ પહેલાં અને પછી અણુઓની કુલ ઊર્જા સમાન રહે છે.
$(d)$ ચોક્કસ તાપમાને વાયુની આણ્વિય ઝડપનું વિતરણ અચળ રહે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ ખોટો છે.

(D) આદર્શ વાયુના $n$ મોલની ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $KE = \frac{3}{2} nRT$
આપેલ કિંમતો:
$n = 1 \ mol$
$T = 27 + 273 = 300 \ K$
$R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$KE = \frac{3}{2} \times 1 \times 8.314 \times 300$
$KE = 1.5 \times 8.314 \times 300$
$KE = 3741.3 \ J$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$3741 \ J$ મળે છે.

(C) વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ પર આધાર રાખે છે અને વાયુના સ્વભાવ પર આધાર રાખતી નથી.
સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $\text{Average Kinetic Energy} = \frac{3}{2} KT$ છે,જ્યાં $K$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
હાઇડ્રોજન અને હિલિયમ બંને સમાન તાપમાન $(298 \ K)$ પર હોવાથી,તેમની સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હશે.

(A) મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણના નિયમ મુજબ,$x$-અક્ષ અણુઓની ઝડપ દર્શાવે છે અને $y$-અક્ષ અણુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
નીચા તાપમાને,અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા ઓછી હોય છે,તેથી વિતરણનું શિખર ઓછી ઝડપ તરફ ખસે છે અને વક્ર સાંકડો અને ઊંચો હોય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા વધે છે,જેના કારણે વિતરણનું શિખર ઊંચી ઝડપ તરફ ખસે છે અને વક્ર વધુ પહોળો અને સપાટ બને છે.
તેથી,$T_1 < T_2 < T_3$ તાપમાન માટે,સાચો આલેખ દર્શાવે છે કે તાપમાન વધવાની સાથે શિખર જમણી તરફ ખસે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખ સાથે સુસંગત છે.

(B) $N_2$ ના મોલની સંખ્યા $(n)$ = $\frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{280 \ g}{28 \ g \ mol^{-1}} = 10 \ mol$.
તાપમાન $(T)$ = $27^{\circ} C = (27 + 273) \ K = 300 \ K$.
આદર્શ વાયુની ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} nRT$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K.E. = \frac{3}{2} \times 10 \ mol \times 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1} \times 300 \ K$.
$K.E. = 1.5 \times 10 \times 8.314 \times 300 = 37413 \ J$.
$kJ$ માં ફેરવતા: $37413 \ J = 37.413 \ kJ \approx 37.4 \ kJ$.

(A) આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{3}{2} RT$ છે.
ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુ અચળાંક $R$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે વાયુના પ્રકાર કે મોલર દળથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સમાન તાપમાન $T$ પર,$CH_4$ અને $O_2$ ની ગતિઊર્જા સમાન હશે.
આમ,$KE_{(CH_4)} = KE_{(O_2)} = X$.

(D) આદર્શ વાયુના $n$ મોલ માટે ગતિજ ઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = n \times \frac{3}{2} RT$ છે.
$4$ $g$ $H_2$ માટે,મોલની સંખ્યા $n_{H_2} = \frac{4 \ g}{2 \ g/mol} = 2$ $mol$ થાય.
તેથી,$KE_{H_2} = 2 \times \frac{3}{2} RT = 3RT$ થાય.
$8$ $g$ $O_2$ માટે,મોલની સંખ્યા $n_{O_2} = \frac{8 \ g}{32 \ g/mol} = 0.25$ $mol$ અથવા $\frac{1}{4}$ $mol$ થાય.
તેથી,$KE_{O_2} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{2} RT = \frac{3}{8} RT$ થાય.
આમ,$KE_{H_2} : KE_{O_2} = 3RT : \frac{3}{8} RT = 1 : \frac{1}{8} = 8 : 1$ થાય.

(B) આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $KE_{avg} = \frac{3}{2} k T$ છે.
અહીં,$k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે $(k = \frac{R}{N_A})$,$T$ એ કેલ્વિનમાં તાપમાન છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
આપેલ છે: $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા:
$KE_{avg} = \frac{3}{2} \times \left( \frac{8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}} \right) \times 300 \ K$.
$KE_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 10^{-23} \ J \ K^{-1} \times 300 \ K$.
$KE_{avg} \approx 6.21 \times 10^{-21} \ J \ \text{molecule}^{-1}$.

(A) આદર્શ વાયુના $n$ મોલની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{3}{2} nRT$ છે.
$16 \ g$ મિથેન ($CH_4$,આણ્વીય દળ = $16 \ g/mol$) માટે,$n = \frac{16}{16} = 1 \ mol$.
$32 \ g$ ઓક્સિજન ($O_2$,આણ્વીય દળ = $32 \ g/mol$) માટે,$n = \frac{32}{32} = 1 \ mol$.
બંને નમૂનાઓ સમાન તાપમાને $(300 \ K)$ $1 \ mol$ વાયુ ધરાવતા હોવાથી,તેમની ગતિઊર્જા સમાન છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કોઈપણ આદર્શ વાયુના $1 \ mol$ ની ગતિઊર્જા $\frac{3}{2} RT$ હોય છે,જે માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તેથી,$(R)$ સાચું છે અને $(A)$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.