यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=3$ है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a = 3q + r$,जहाँ $q \geq 0$ और $r \in \{0, 1, 2\}$ है।
स्थिति $1$: यदि $r=0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$,जहाँ $m = 3q^2$ है।
स्थिति $2$: यदि $r=1$ है,तो $a = 3q+1$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q+1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
स्थिति $3$: यदि $r=2$ है,तो $a = 3q+2$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = (3q+2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।