Textbook - Real Numbers Questions in Hindi

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत है,हम हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
यदि $q = 2^n \times 5^m$ के रूप में है,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं,तो दशमलव प्रसार शांत होता है।
यहाँ,$q = 455$ है।
$455$ का अभाज्य गुणनखंडन $5 \times 7 \times 13$ है।
चूंकि अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा अन्य गुणनखंड ($7$ और $13$) मौजूद हैं,इसलिए $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार अशांत आवर्ती है।

(N/A) $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम भाग विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. $15$ को $1600$ से विभाजित करें।
$2$. चूंकि $15 < 1600$ है,इसलिए हम दशमलव बिंदु लगाकर $15$ के आगे शून्य बढ़ाते हैं और इसे $15.000000$ बनाते हैं।
$3$. $1600$ का $15000$ में नौ बार भाग जाता है $(1600 \times 9 = 14400)$,जिससे शेषफल $600$ बचता है।
$4$. $0$ नीचे उतारने पर $6000$ प्राप्त होता है। $1600$ का $6000$ में तीन बार भाग जाता है $(1600 \times 3 = 4800)$,जिससे शेषफल $1200$ बचता है।
$5$. $0$ नीचे उतारने पर $12000$ प्राप्त होता है। $1600$ का $12000$ में सात बार भाग जाता है $(1600 \times 7 = 11200)$,जिससे शेषफल $800$ बचता है।
$6$. $0$ नीचे उतारने पर $8000$ प्राप्त होता है। $1600$ का $8000$ में पांच बार भाग जाता है $(1600 \times 5 = 8000)$,जिससे शेषफल $0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार $0.009375$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि परिमेय संख्या $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार शांत है या नहीं,हम हर का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं।
$1$. हर $343 = 7^3$ है।
$2$. एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि और केवल यदि $q$ के अभाज्य गुणनखंड $2^n \times 5^m$ के रूप में हों,जहाँ $n$ और $m$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
$3$. चूँकि $343$ का अभाज्य गुणनखंडन $7^3$ है,जिसमें $2$ या $5$ का कोई गुणनखंड नहीं है।
$4$. अतः,इसका दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है। इसलिए,$\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार शांत नहीं है।

(N/A) परिमेय संख्या $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम पहले हर का सरलीकरण करते हैं:
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23}{8 \times 25} = \frac{23}{200}$
अब,हम $23$ को $200$ से विभाजित करते हैं:
$23 \div 200 = 0.115$
वैकल्पिक रूप से,हम $2$ और $5$ की घातों को समान बना सकते हैं:
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23 \times 5}{2^{3} \times 5^{2} \times 5} = \frac{115}{2^{3} \times 5^{3}} = \frac{115}{(2 \times 5)^{3}} = \frac{115}{10^{3}} = \frac{115}{1000} = 0.115$

(C) एक परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^n 5^m$ के रूप का हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
दी गई परिमेय संख्या $\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}$ में,हर में $2$ और $5$ के अतिरिक्त $7^5$ का एक गुणनखंड भी मौजूद है।
चूंकि हर के अभाज्य गुणनखंडन में $2$ और $5$ के अलावा एक अन्य अभाज्य गुणनखंड $(7)$ शामिल है,इसलिए इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating and repeating) है।
अतः,इसका दशमलव प्रसार शांत नहीं है।

(N/A) परिमेय संख्या $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम पहले अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.),जो कि $3$ है,से विभाजित करके भिन्न को सरल करते हैं।
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$.
अब,हम $2$ को $5$ से विभाजित करके $\frac{2}{5}$ को दशमलव में बदलते हैं:
$2 \div 5 = 0.4$.
अतः,$\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार $0.4$ है।

(N/A) परिमेय संख्या $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम भाग विधि का उपयोग कर सकते हैं या पहले भिन्न को सरल कर सकते हैं।
विधि $1$: भाग विधि
$35$ को $50$ से भाग देने पर:
$35 \div 50 = 0.7$
विधि $2$: हर को $10$ की घात के रूप में बदलकर
$\frac{35}{50} = \frac{35 \times 2}{50 \times 2} = \frac{70}{100} = 0.7$
अतः,$\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार $0.7$ है।

(B) सबसे पहले,भिन्न $\frac{77}{210}$ को उनके महत्तम समापवर्तक $7$ से विभाजित करके सरल कीजिए।
$\frac{77 \div 7}{210 \div 7} = \frac{11}{30}$.
अब,हर $30$ का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है यदि और केवल यदि उसके हर का अभाज्य गुणनखंड (सरलतम रूप में) $2^n \times 5^m$ के रूप का हो,जहाँ $n$ और $m$ ऋणेतर पूर्णांक हैं।
चूंकि हर $30$ में $3$ का गुणनखंड है (जो $2$ या $5$ नहीं है),इसलिए $\frac{11}{30}$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
$11 \div 30$ का भाग करने पर हमें $0.3666...$ या $0.3\overline{6}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई संख्या $43.123456789$ है।
चूंकि इस संख्या का दशमलव प्रसार शांत है,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत होने के लिए,हर $q$ का अभाज्य गुणनखंड $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप का होना चाहिए,जहाँ $m$ और $n$ ऋणत्तर पूर्णांक हैं।
अतः,$q$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2$ या $5$ या दोनों होंगे।

(N/A) दिया गया दशमलव प्रसार $0.120120012000120000 \ldots$ है।
$1$. यदि किसी संख्या का दशमलव प्रसार शांत या अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) होता है,तो वह संख्या परिमेय होती है।
$2$. यदि किसी संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating non-recurring) होता है,तो वह संख्या अपरिमेय होती है।
$3$. दी गई संख्या $0.120120012000120000 \ldots$ में,अंकों का पैटर्न किसी निश्चित ब्लॉक में दोहराया नहीं जा रहा है और यह समाप्त भी नहीं हो रहा है।
$4$. चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती है,इसलिए दी गई संख्या एक अपरिमेय संख्या है।
$5$. क्योंकि यह अपरिमेय है,इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

(N/A) दी गई संख्या $43. \overline{123456789}$ है।
चूंकि दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) है,इसलिए दी गई संख्या एक परिमेय संख्या है।
एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत (terminating) तभी होता है जब उसके हर $q$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^m \times 5^n$ के रूप का हो,जहाँ $m$ और $n$ ऋणोत्तर पूर्णांक हैं।
चूंकि यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है,इसलिए हर $q$ के अभाज्य गुणनखंडों में $2$ या $5$ के अतिरिक्त अन्य अभाज्य गुणनखंड भी होंगे।