यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m, 9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है और $b=3$ है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,$a = 3q + r$,जहाँ $q \geq 0$ और $0 \leq r < 3$ है।
अतः,$a$ का मान $3q, 3q+1$ या $3q+2$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $a = 3q$ है,तो $a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,जहाँ $m = 3q^3$ है।
स्थिति $2$: यदि $a = 3q+1$ है,तो $a^3 = (3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,जहाँ $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ है।
स्थिति $3$: यदि $a = 3q+2$ है,तो $a^3 = (3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,जहाँ $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m, 9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।