एक धनात्मक पूर्णांक $3q + 1$ के रूप में है,जहाँ $q$ एक प्राकृतिक संख्या है। क्या आप इसके वर्ग को $3m + 1$ के अलावा किसी अन्य रूप में,अर्थात् किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m + 2$ के रूप में लिख सकते हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

(B) नहीं। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक को किसी पूर्णांक $q$ के लिए $3q, 3q + 1$ या $3q + 2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
आइए इन रूपों के वर्गों की जाँच करें:
$1.$ यदि पूर्णांक $3q$ है,तो इसका वर्ग $(3q)^2 = 9q^2 = 3(3q^2) = 3m$ होता है,जहाँ $m = 3q^2$ है।
$2.$ यदि पूर्णांक $3q + 1$ है,तो इसका वर्ग $(3q + 1)^2 = 9q^2 + 6q + 1 = 3(3q^2 + 2q) + 1 = 3m + 1$ होता है,जहाँ $m = 3q^2 + 2q$ है।
$3.$ यदि पूर्णांक $3q + 2$ है,तो इसका वर्ग $(3q + 2)^2 = 9q^2 + 12q + 4 = 9q^2 + 12q + 3 + 1 = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 = 3m + 1$ होता है,जहाँ $m = 3q^2 + 4q + 1$ है।
अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा $3m$ या $3m + 1$ के रूप में होता है। यह कभी भी $3m + 2$ के रूप में नहीं हो सकता है।