संख्याएँ $525$ और $3000$ दोनों $3, 5, 15, 25$ और $75$ से विभाज्य हैं। $HCF(525, 3000)$ क्या है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

एक धनात्मक पूर्णांक $3q + 1$ के रूप में है,जहाँ $q$ एक प्राकृतिक संख्या है। क्या आप इसके वर्ग को $3m + 1$ के अलावा किसी अन्य रूप में,अर्थात् किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m + 2$ के रूप में लिख सकते हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके $117$ और $65$ का म.स.प. $(g.c.d.)$ ज्ञात कीजिए।

दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के महत्तम समापवर्तक ($G$.$C$.$D$.) और लघुत्तम समापवर्त्य ($L$.$C$.$M$.) का गुणनफल किसके बराबर होता है? (जहाँ $a, b \in N$)

$2^{9} \cdot 5^{135}$ का अंतिम अंक .............. है।

सिद्ध कीजिए कि: $\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{2}$