Mix Examples - Probability Questions in Gujarati

(B) જે ઘટના બની શકતી નથી તેને અશક્ય ઘટના કહેવામાં આવે છે.
અશક્ય ઘટનાની સંભાવના હંમેશા $0$ હોય છે.

(C) કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના,જેને $P(E)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે હંમેશા $0 \le P(E) \le 1$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
અહીં $17/16 = 1.0625$ છે,જે $1$ કરતા મોટી કિંમત છે,તેથી તે કોઈ ઘટનાની સંભાવના હોઈ શકે નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) જે ઘટના બનવાની શક્યતા ખૂબ જ ઓછી હોય તેની સંભાવના $0$ ની સૌથી નજીક હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$0.1 > 0.01 > 0.001 > 0.0001$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$0.0001$ એ સૌથી નાની કિંમત છે અને તે $0$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના અને તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવનાનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે.
ધારો કે $E$ એક ઘટના છે અને $E'$ તેની પૂરક ઘટના છે.
તેથી,$P(E) + P(E') = 1$.
અહીં આપેલ છે કે ઘટનાની સંભાવના $p$ છે,એટલે કે $P(E) = p$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $p + P(E') = 1$.
તેથી,તેની પૂરક ઘટનાની સંભાવના $P(E') = 1 - p$ થશે.

(B) કોઈપણ ઘટના $E$ ની સંભાવના,જેને $P(E)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે હંમેશા $0 \le P(E) \le 1$ ની વચ્ચે હોય છે.
જ્યારે તેને ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,ત્યારે સંભાવનાની શ્રેણી $0\% \le P(E) \le 100\%$ બને છે.
તેથી,કોઈ ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના,જ્યારે ટકાવારી તરીકે દર્શાવવામાં આવે,ત્યારે તે ક્યારેય $0\%$ કરતા ઓછી હોઈ શકે નહીં.

(C) કોઈપણ ઘટના $A$ ની સંભાવના,જેને $P(A)$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા ક્યારેય ઋણ હોઈ શકતી નથી અને તે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા કરતા વધી શકતી નથી,તેથી $P(A)$ નું મૂલ્ય $0 \leq P(A) \leq 1$ ની શરતનું પાલન કરે છે.

(D) પત્તાના કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
મુખમુદ્રાવાળા પત્તા (face cards) એટલે કે રાજા,રાણી અને ગુલામ.
પત્તાના ઢગમાં $4$ પ્રકારના રંગ/ચિહ્ન હોય છે: લાલ (Hearts),ચોકટ (Diamonds),કાળી (Spades) અને ફુલ્લી (Clubs).
લાલ અને ચોકટ એ લાલ રંગના પત્તા છે,જ્યારે કાળી અને ફુલ્લી એ કાળા રંગના પત્તા છે.
દરેક પ્રકારમાં $3$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા હોય છે.
તેથી,લાલ રંગના મુખમુદ્રાવાળા પત્તાની કુલ સંખ્યા $3$ (લાલ) $+ 3$ (ચોકટ) $= 6$ થાય.
સંભાવના શોધવા માટેનું સૂત્ર: સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
સંભાવના $= \frac{6}{52}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{3}{26}$ મળે છે.

(A) સામાન્ય વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $1$ વધારાના દિવસ બરાબર છે.
આ વધારાનો દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે: રવિવાર,સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર અથવા શનિવાર.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,આ વધારાનો દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
કુલ $7$ શક્ય પરિણામોમાંથી $1$ સાનુકૂળ પરિણામ (રવિવાર) હોવાથી,સંભાવના $\frac{1}{7}$ થાય છે.

(B) જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે,જે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
પાસા પરની એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
$3$ કરતા નાની એકી સંખ્યા માત્ર $\{1\}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
ઘટનાની સંભાવનાનું સૂત્ર: $\text{સંભાવના} = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
માટે,જરૂરી સંભાવના $= \frac{1}{6}$ છે.

(C) પત્તાના એક પ્રમાણિત ઢગમાં કુલ $52$ પત્તા હોય છે.
તેમાં લાલનો એક્કો હોય તેવું માત્ર $1$ જ પત્તું હોય છે.
ઘટના $E$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે ખેંચેલું પત્તું લાલનો એક્કો નથી.
$E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ પત્તામાંથી લાલના એક્કાની સંખ્યા બાદ કરીશું.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = કુલ પત્તા - લાલના એક્કાની સંખ્યા
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $52 - 1 = 51$.

(D) અહીં,કુલ ઈંડાની સંખ્યા $= 400$ છે.
ખરાબ ઈંડું મળવાની સંભાવના $= 0.035$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$\text{સંભાવના} = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,$\frac{\text{ખરાબ ઈંડાની સંખ્યા}}{400} = 0.035$.
ખરાબ ઈંડાની સંખ્યા $= 0.035 \times 400$.
ખરાબ ઈંડાની સંખ્યા $= 14$ થાય.

(A) આપેલ છે કે,વેચાયેલી કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $= 6000$.
ધારો કે તેણે ખરીદેલી ટિકિટોની સંખ્યા $x$ છે.
પ્રથમ ઇનામ જીતવાની સંભાવના એ તેણે ખરીદેલી ટિકિટોની સંખ્યા અને વેચાયેલી કુલ ટિકિટોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,$\frac{x}{6000} = 0.08$.
બંને બાજુ $6000$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $x = 0.08 \times 6000$.
$x = 480$.
આમ,તેણે $480$ ટિકિટો ખરીદી હતી.

(B) થેલીમાં કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $40$ છે,તેથી શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $40$ છે.
$1$ થી $40$ સુધીની સંખ્યાઓમાંથી $5$ ના ગુણકો નીચે મુજબ છે: $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40$.
આ ટિકિટોની ગણતરી કરતા,આપણને કુલ $8$ ટિકિટો મળે છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $P(E) = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$.

(C) $1$ થી $100$ વચ્ચેની સંખ્યા પસંદ કરતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $100$ છે.
$1$ થી $100$ વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$.
આ સંખ્યાઓને ગણતા,કુલ $25$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મળે છે.
ઘટનાની સંભાવના શોધવાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ છે.

(D) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 23$.
હાઉસ $A, B$ અને $C$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 4 + 8 + 5 = 17$.
હાઉસ $A, B$ કે $C$ માં ન હોય તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (એટલે કે હાઉસ $D$ અને $E$ માંથી) $= 23 - 17 = 6$.
વૈકલ્પિક રીતે,હાઉસ $D$ માંથી વિદ્યાર્થીઓ $= 2$,અને હાઉસ $E$ માંથી વિદ્યાર્થીઓ $= 23 - (4 + 8 + 5 + 2) = 23 - 19 = 4$. કુલ $= 2 + 4 = 6$.
પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી હાઉસ $A, B$ કે $C$ માંથી ન હોય તેની સંભાવના $= \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{23}$.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
દરેક પરિણામની સંભાવના $\frac{1}{2}$ ત્યારે જ હોય જ્યારે બંને પરિણામો સમસંભાવી (equally likely) હોય.
ઉદાહરણ તરીકે,જો તમે પક્ષપાતી સિક્કો ઉછાળો,તો છાપ કે કાંટો મળવાની સંભાવના જરૂરી નથી કે $\frac{1}{2}$ જ હોય,ભલે ત્યાં માત્ર બે જ શક્ય પરિણામો હોય.

(B) ના,આ વિધાન ખોટું છે કારણ કે પરિણામો સમાન રીતે સંભવિત (equally likely) નથી.
સમર્થન:
ત્રણ બાળકો ધરાવતા કુટુંબ માટે,નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ સમાન રીતે સંભવિત પરિણામો છે: $S = \{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$,જ્યાં $B$ છોકરો અને $G$ છોકરી દર્શાવે છે.
ધારો કે $X$ એ છોકરીઓની સંખ્યા છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3$ છે.
- $P(X=0) = P(\{BBB\}) = \frac{1}{8}$
- $P(X=1) = P(\{BBG, BGB, GBB\}) = \frac{3}{8}$
- $P(X=2) = P(\{BGG, GBG, GGB\}) = \frac{3}{8}$
- $P(X=3) = P(\{GGG\}) = \frac{1}{8}$
આમ,સંભાવનાઓ અનુક્રમે $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \text{ અને } \frac{1}{8}$ છે,જે $\frac{1}{4}$ જેટલી નથી.

(N/A) ના,પરિણામો સમાન સંભાવના ધરાવતા નથી.
આપેલ આકૃતિમાં,વર્તુળને ત્રણ પ્રદેશો $1, 2$ અને $3$ માં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું છે.
પ્રદેશ $3$ એ વર્તુળનો અડધો ભાગ ($180^{\circ}$ જેટલું ક્ષેત્રફળ) રોકે છે,જ્યારે પ્રદેશ $1$ અને $2$ દરેક વર્તુળનો ચોથો ભાગ ($90^{\circ}$ જેટલું ક્ષેત્રફળ) રોકે છે.
જેহেতু પ્રદેશોના ક્ષેત્રફળ સમાન નથી,તેથી તીર દરેક પ્રદેશ પર નિર્દેશ કરે તેની સંભાવના સમાન નથી.
તેથી,પરિણામો $1, 2$ અને $3$ સમાન સંભાવના ધરાવતા નથી.

(B) અપૂર્વ બે પાસાઓને એકવાર ફેંકે છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$.
ગુણાકાર $36$ મળે તે માટે માત્ર એક જ શક્યતા છે $(6, 6)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
અપૂર્વ માટે સંભાવના $= \frac{1}{36}$.
પીહુ એક પાસો ફેંકે છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 6$.
વર્ગ $36$ મળે તે માટે માત્ર એક જ શક્યતા છે,એટલે કે $6$ આવવો જોઈએ $(6^2 = 36)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 1$.
પીહુ માટે સંભાવના $= \frac{1}{6} = \frac{6}{36}$.
સંભાવનાઓની સરખામણી કરતા,$\frac{6}{36} > \frac{1}{36}$.
તેથી,પીહુ પાસે $36$ મેળવવાની વધુ સારી તક છે.

(A) સિક્કો ઉછાળતી વખતે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે (છાપ અને કાંટો).
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,બંને પરિણામો સમાન રીતે સંભવિત છે.
કોઈ ઘટના $E$ ની સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા}}$.
છાપ માટે: $P(H) = \frac{1}{2}$.
કાંટા માટે: $P(T) = \frac{1}{2}$.
આમ,દરેક પરિણામની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે કારણ કે તે સમાન રીતે સંભવિત ઘટનાઓ છે.

(B) ના,આ સાચું નથી.
જ્યારે એક સમતોલ પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે,જે ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
$1$ મેળવવાની સંભાવના $P(1) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{6}$ છે.
'$1$ નહીં' મેળવવાની સંભાવના $P(\text{not } 1) = 1 - P(1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
અહીં $\frac{1}{6} \neq \frac{5}{6}$ હોવાથી,વિદ્યાર્થીનો દાવો કે દરેક સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે તે ખોટો છે.

$(D)$ જ્યારે ત્રણ સિક્કા એકસાથે ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ થાય છે.
આ પરિણામો છે: $(HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)$.
આ $8$ પરિણામો પૈકી દરેક સમાન સંભવિત છે.
'શૂન્ય છાપ' મળવાની ઘટના માત્ર એક જ પરિણામ સાથે સંકળાયેલી છે: $(TTT)$.
તેથી,શૂન્ય છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{8}$ છે.
સંભાવના $\frac{1}{4}$ છે તેવો નિષ્કર્ષ ખોટો છે કારણ કે તે ધારે છે કે ચાર પરિણામો (શૂન્ય છાપ,$1$ છાપ,$2$ છાપ,$3$ છાપ) સમાન સંભવિત છે,જે સાચું નથી.

(N/A) ના,આપણે એવું ન કહી શકીએ કે છાપ મળવાની સંભાવના $1$ છે.
જ્યારે એક નિષ્પક્ષ સિક્કો ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે બે શક્ય પરિણામો (છાપ અને કાંટો) સમાન રીતે સંભવિત છે.
એક સિક્કાને એકવાર ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ છે.
ભલે સિક્કો સતત $6$ વખત છાપ આપે,દરેક ઉછાળ એ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે.
અગાઉના પરિણામોને ધ્યાનમાં લીધા વગર,દરેક વ્યક્તિગત ઉછાળ માટે છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ જ રહે છે.

(N/A) આગામી ઉછાળમાં પરિણામ છાપ (tail) હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે. આનું કારણ એ છે કે સિક્કો ઉછાળવો એ એક યાદચ્છિક પ્રયોગ છે,જેમાં છાપ (head) અથવા કાંટો (tail) આવવાની શક્યતા સમાન હોય છે. દરેક ઉછાળ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે,જેનો અર્થ છે કે અગાઉના ઉછાળોનું પરિણામ આગામી ઉછાળના પરિણામને અસર કરતું નથી. તેથી,આગામી ઉછાળમાં છાપ (tail) મળવાની સંભાવના $1/2$ જ રહે છે.

(N/A) ના,સિક્કાના દરેક ઉછાળાનું પરિણામ એક સ્વતંત્ર ઘટના છે. જ્યારે આપણે નિષ્પક્ષ સિક્કો ઉછાળીએ છીએ,ત્યારે છાપ અથવા કાંટો મળવાની સંભાવના સમાન હોય છે,એટલે કે $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ અને $P(\text{Tail}) = \frac{1}{2}$. સિક્કાને અગાઉના પરિણામોની કોઈ યાદશક્તિ હોતી નથી,તેથી $4$ થી વખત સિક્કો ઉછાળતી વખતે કાંટો મળવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ જ રહે છે,જે અન્ય કોઈપણ ઉછાળા જેટલી જ છે. તેથી,કાંટો આવવાની શક્યતા વધારે છે તેવી અપેક્ષા રાખવાનું કોઈ કારણ નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1$ થી $100$ ની વચ્ચે અડધી સંખ્યાઓ બેકી અને અડધી સંખ્યાઓ એકી છે. એટલે કે,$50$ સંખ્યાઓ $(2, 4, 6, 8, \dots, 96, 98, 100)$ બેકી છે અને $50$ સંખ્યાઓ $(1, 3, 5, 7, \dots, 97, 99)$ એકી છે.
કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $100$ હોવાથી,બેકી સંખ્યા માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $50$ છે અને એકી સંખ્યા માટે પણ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $50$ છે.
બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{બેકી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{એકી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
બંને ઘટનાઓ માટે સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા સમાન હોવાથી,તે સમસંભાવી છે અને દરેકની સંભાવના ખરેખર $\frac{1}{2}$ છે.

(A) જ્યારે બે પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ બંને પાસા પર સમાન સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6$.
સંભાવના $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ બંને પાસા પર અલગ-અલગ સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
આ ઘટના $E_1$ ની પૂરક ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 36 - 6 = 30$.
સંભાવના $P(E_2) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.

(A-D) જ્યારે બે પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $7$ હોય. સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 6$.
$\text{સંભાવના} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(ii)$ પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય. શક્ય અવિભાજ્ય સરવાળા $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
- સરવાળો $= 2: (1, 1) \rightarrow 1$ પરિણામ
- સરવાળો $= 3: (1, 2), (2, 1) \rightarrow 2$ પરિણામો
- સરવાળો $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \rightarrow 4$ પરિણામો
- સરવાળો $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \rightarrow 6$ પરિણામો
- સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5) \rightarrow 2$ પરિણામો
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
$\text{સંભાવના} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
$(iii)$ પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $1$ હોય. બે પાસાનો ન્યૂનતમ સરવાળો $1 + 1 = 2$ હોવાથી,$1$ સરવાળો મેળવવો અશક્ય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 0$.
$\text{સંભાવના} = \frac{0}{36} = 0$.

(N/A) બે પાસાને ફેંકતા મળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$(i)$ ગુણાકાર $6$ મળે તેવા શક્ય પરિણામો $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
સંભાવના $= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(ii)$ ગુણાકાર $12$ મળે તેવા શક્ય પરિણામો $(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 4$.
સંભાવના $= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(iii)$ ગુણાકાર $7$ મળે તેવું કોઈ શક્ય પરિણામ નથી,કારણ કે $7$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $1$ થી $6$ સુધીના અંકોના ગુણાકાર દ્વારા તે મેળવી શકાતી નથી.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $= 0$.
સંભાવના $= \frac{0}{36} = 0$.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
આપણે એવા પરિણામો શોધવાના છે જેમાં બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $9$ કરતા ઓછો હોય.
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ પાસા પર $1$ હોય ત્યારે: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)$ (ગુણાકાર: $1, 2, 3, 4, 5, 6$)
પ્રથમ પાસા પર $2$ હોય ત્યારે: $(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)$ (ગુણાકાર: $2, 4, 6, 8$)
પ્રથમ પાસા પર $3$ હોય ત્યારે: $(3,1), (3,2)$ (ગુણાકાર: $3, 6$)
પ્રથમ પાસા પર $4$ હોય ત્યારે: $(4,1), (4,2)$ (ગુણાકાર: $4, 8$)
પ્રથમ પાસા પર $5$ હોય ત્યારે: $(5,1)$ (ગુણાકાર: $5$)
પ્રથમ પાસા પર $6$ હોય ત્યારે: $(6,1)$ (ગુણાકાર: $6$)
આમ,કુલ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 16$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(N/A) કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$.
$(i)$ ઘટના $E_1$ (સરવાળો $= 2$): પરિણામો $\{(1, 1), (1, 1)\}$ છે. $n(E_1) = 2$. $P(E_1) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
$(ii)$ ઘટના $E_2$ (સરવાળો $= 3$): પરિણામો $\{(1, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 1)\}$ છે. $n(E_2) = 4$. $P(E_2) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(iii)$ ઘટના $E_3$ (સરવાળો $= 4$): પરિણામો $\{(1, 3), (1, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 1)\}$ છે. $n(E_3) = 6$. $P(E_3) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(iv)$ ઘટના $E_4$ (સરવાળો $= 5$): પરિણામો $\{(2, 3), (2, 3), (3, 2), (3, 2), (4, 1), (4, 1)\}$ છે. $n(E_4) = 6$. $P(E_4) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(v)$ ઘટના $E_5$ (સરવાળો $= 6$): પરિણામો $\{(3, 3), (3, 3), (4, 2), (4, 2), (5, 1), (5, 1)\}$ છે. $n(E_5) = 6$. $P(E_5) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(vi)$ ઘટના $E_6$ (સરવાળો $= 7$): પરિણામો $\{(4, 3), (4, 3), (5, 2), (5, 2), (6, 1), (6, 1)\}$ છે. $n(E_6) = 6$. $P(E_6) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(vii)$ ઘટના $E_7$ (સરવાળો $= 8$): પરિણામો $\{(5, 3), (5, 3), (6, 2), (6, 2)\}$ છે. $n(E_7) = 4$. $P(E_7) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(viii)$ ઘટના $E_8$ (સરવાળો $= 9$): પરિણામો $\{(6, 3), (6, 3)\}$ છે. $n(E_8) = 2$. $P(E_8) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(A) જ્યારે એક સિક્કાને $2$ વાર ઉછાળવામાં આવે ત્યારે શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$
તેથી,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 4$ છે.
ધારો કે $E$ એ વધુમાં વધુ એક છાપ મળે તે ઘટના છે.
આનો અર્થ એ છે કે શૂન્ય છાપ અથવા એક છાપ મળે.
ઘટના $E$ માટે સાનુકૂળ પરિણામો $\{(T, T), (H, T), (T, H)\}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$P(E) = \frac{3}{4}$.

(B) સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળતા મળતો નિદર્શ અવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(HHH), (HHT), (HTH), (HTT), (THH), (THT), (TTH), (TTT)\}$
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 8$.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ બધી છાપ મળે તે ઘટના છે.
$E_1 = \{(HHH)\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E_1) = 1$.
સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ ઓછામાં ઓછી $2$ છાપ મળે તે ઘટના છે.
$E_2 = \{(HHH), (HHT), (HTH), (THH)\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E_2) = 4$.
સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(C) બે પાસાને એકસાથે ફેંકતા મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ બંને પાસા પરના અંકોનો તફાવત $2$ હોય તેવી ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$E = \{(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)\}$.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 8$ છે.
ઘટના $E$ ની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ દ્વારા મળે છે.
$P(E) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

(N/A) થેલીમાં રહેલા કુલ દડાની સંખ્યા $10 + 5 + 7 = 22$ છે.
આમ,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 22$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ લાલ દડો પસંદ થવાની ઘટના છે. લાલ દડાની સંખ્યા $n(E_1) = 10$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$ થાય.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ લીલો દડો પસંદ થવાની ઘટના છે. લીલા દડાની સંખ્યા $n(E_2) = 7$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{7}{22}$ થાય.
$(iii)$ ધારો કે $E_3$ એ વાદળી દડો ન પસંદ થવાની ઘટના છે. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો લાલ અથવા લીલો દડો પસંદ થાય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E_3) = 10 + 7 = 17$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{17}{22}$ થાય.

(A) પત્તાંની એક જોડમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા = $52$.
ફુલ્લીનો રાજા,રાણી અને ગલ્લો કાઢી નાખ્યા પછી,બાકી રહેલા પત્તાંની સંખ્યા $n(S) = 52 - 3 = 49$ થાય.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ લાલ (heart) નું પત્તું મળવાની ઘટના છે.
એક જોડમાં કુલ $13$ લાલના પત્તાં હોય છે અને તેમાંથી એક પણ પત્તું કાઢવામાં આવ્યું નથી,તેથી $n(E_1) = 13$.
તેથી,સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{13}{49}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ રાજા મળવાની ઘટના છે.
એક જોડમાં કુલ $4$ રાજા હોય છે. ફુલ્લીનો રાજા કાઢી નાખવામાં આવ્યો હોવાથી,બાકી રહેલા રાજાની સંખ્યા $n(E_2) = 4 - 1 = 3$ થાય.
તેથી,સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{3}{49}$.

(A) $(i)$ ધારો કે $E_1$ એ ફુલ્લીનું પત્તું મેળવવાની ઘટના છે.
બાકી રહેલા કુલ પત્તા $= 52 - 3 = 49$.
બાકી રહેલા ફુલ્લીના પત્તા $= 13 - 3 = 10$.
$\therefore$ સંભાવના $= \frac{10}{49}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ લાલનો દસો મેળવવાની ઘટના છે.
પત્તાના ઢગમાં લાલનો દસો માત્ર એક જ હોય છે.
$\therefore$ સંભાવના $= \frac{1}{49}$.

(N/A) પત્તાના ઢગમાં કુલ પત્તા = $52$.
ગુલામ = $4$,રાણી = $4$,રાજા = $4$. કુલ કાઢી નાખેલા પત્તા = $4 + 4 + 4 = 12$.
બાકી રહેલા પત્તા $n(S) = 52 - 12 = 40$.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ $7$ કિંમત ધરાવતું પત્તું મળવાની ઘટના છે. આવા કુલ $4$ પત્તા છે (દરેક પ્રકારના એક).
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ $7$ થી વધુ કિંમત ધરાવતું પત્તું મળવાની ઘટના છે. શક્ય કિંમતો $8, 9, 10$ છે. કુલ $3$ કિંમતો છે,અને દરેકના $4$ પ્રકાર છે,તેથી $n(E_2) = 3 \times 4 = 12$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$.
$(iii)$ ધારો કે $E_3$ એ $7$ થી ઓછી કિંમત ધરાવતું પત્તું મળવાની ઘટના છે. શક્ય કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે. કુલ $6$ કિંમતો છે,અને દરેકના $4$ પ્રકાર છે,તેથી $n(E_3) = 6 \times 4 = 24$.
$P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$.

(D) $0$ અને $100$ ની વચ્ચે કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $99$ છે (એટલે કે ${1, 2, 3, \dots, 99}$).
$n(S) = 99$
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$0$ અને $100$ ની વચ્ચે $7$ ના ગુણકો ${7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}$ છે.
$n(E_1) = 14$
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{14}{99}$
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવો પૂર્ણાંક પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$n(E_2) = n(S) - n(E_1) = 99 - 14 = 85$
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{85}{99}$

(A) $2$ થી $101$ સુધીની સંખ્યાઓ માટે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 101 - 2 + 1 = 100$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ બેકી સંખ્યા ધરાવતું કાર્ડ પસંદ કરવાની ઘટના છે. બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, \dots, 100\}$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 2$,$d = 2$ અને $l = 100$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$100 = 2 + (n - 1)2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $98 = 2(n - 1)$,તેથી $n - 1 = 49$,અને $n = 50$.
આમ,$n(E_1) = 50$.
સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ધરાવતું કાર્ડ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$2$ અને $101$ ની વચ્ચેની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ $\{4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$ છે.
આ સંખ્યાઓ $\{2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2\}$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,$n(E_2) = 9$.
સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{9}{100}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાં $5$ સ્વર અને $21$ વ્યંજન હોય છે,જે કુલ $26$ અક્ષરો બનાવે છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 26$ છે.
ધારો કે $E$ એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાંથી વ્યંજન પસંદ કરવાની ઘટના છે.
વ્યંજનોનો સમૂહ ${b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 21$ છે.
ઘટનાની સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{21}{26}$ છે.

(C) બોક્સમાં કુલ સીલબંધ પરબિડીયાઓની સંખ્યા,$n(S) = 1000$.
રોકડ ઇનામ ધરાવતા પરબિડીયાઓની સંખ્યા $= 10 + 100 + 200 = 310$.
કોઈ રોકડ ઇનામ ન ધરાવતા પરબિડીયાઓની સંખ્યા,$n(E) = 1000 - 310 = 690$.
પરબિડીયામાં કોઈ રોકડ ઇનામ ન હોય તેની સંભાવના $P(E)$ એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{690}{1000} = 0.69$.

(D) ત્રીજી પેટીમાં કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા,$n(S) = 25 + 50 = 75$.
આપેલ માહિતી મુજબ:
પેટી $A$ માં $Rs. 1$ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 19$.
પેટી $A$ માં $Rs. 5$ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 25 - 19 = 6$.
પેટી $B$ માં $Rs. 1$ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 45$.
પેટી $B$ માં $Rs. 13$ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 50 - 45 = 5$.
$Rs. 1$ સિવાયની રકમ લખેલી કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા $= 6 + 5 = 11$.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $= \frac{\text{Rs. 1 સિવાયની રકમ લખેલી ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ ચિઠ્ઠીઓની સંખ્યા}} = \frac{11}{75}$.

(N/A) બલ્બની કુલ સંખ્યા, $n(S) = 24$.
ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $= 6$.
ખામી રહિત (સારા) બલ્બની સંખ્યા $= 24 - 6 = 18$.
ભાગ $1$: બલ્બ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{ખામીયુક્ત નથી}) = \frac{\text{સારા બલ્બની સંખ્યા}}{\text{બલ્બની કુલ સંખ્યા}} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.
ભાગ $2$: જો પ્રથમ પસંદ કરેલ બલ્બ ખામીયુક્ત હોય અને તેને પાછો મૂકવામાં ન આવે:
બાકી રહેલા બલ્બની કુલ સંખ્યા $= 24 - 1 = 23$.
બાકી રહેલા ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $= 6 - 1 = 5$.
બીજો બલ્બ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના $= \frac{\text{બાકી રહેલા ખામીયુક્ત બલ્બ}}{\text{બાકી રહેલા કુલ બલ્બ}} = \frac{5}{23}$.

(N/A) કુલ ટુકડાઓની સંખ્યા $= 8 \text{ ત્રિકોણ} + 10 \text{ ચોરસ} = 18$.
$(i)$ ખોવાયેલ ટુકડો ત્રિકોણ હોવાની સંભાવના $= \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
$(ii)$ ખોવાયેલ ટુકડો ચોરસ હોવાની સંભાવના $= \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
$(iii)$ વાદળી ચોરસની સંખ્યા $= 6$. ખોવાયેલ ટુકડો વાદળી ચોરસ હોવાની સંભાવના $= \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
$(iv)$ લાલ ત્રિકોણની સંખ્યા $= 8 - 3 = 5$. ખોવાયેલ ટુકડો લાલ ત્રિકોણ હોવાની સંભાવના $= \frac{5}{18}$.

(A) સિક્કાને $3$ વાર ઉછાળતા મળતા કુલ શક્ય પરિણામો:
$S = \{(HHH), (TTT), (HTT), (THT), (TTH), (THH), (HTH), (HHT)\}$
$\therefore n(S) = 8$
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે શ્વેતા પ્રવેશ ફી ગુમાવે છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તેને શૂન્ય છાપ મળે (એટલે કે $TTT$).
$E_1 = \{(TTT)\}$,તેથી $n(E_1) = 1$.
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે શ્વેતાને પ્રવેશ ફી કરતા બમણી રકમ મળે છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તેને $3$ છાપ મળે (એટલે કે $HHH$).
$E_2 = \{(HHH)\}$,તેથી $n(E_2) = 1$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(iii)$ ધારો કે $E_3$ એ ઘટના છે કે શ્વેતાને તેની પ્રવેશ ફી પાછી મળે છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તેને એક અથવા બે છાપ મળે.
$E_3 = \{(HTT), (THT), (TTH), (HHT), (HTH), (THH)\}$,તેથી $n(E_3) = 6$.
$P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(C) આપેલ છે કે,એક પાસાની છ સપાટીઓ પર ${0, 1, 1, 1, 6, 6}$ અંકિત છે.
કુલ નિદર્શાવકાશ,$n(S) = 6^2 = 36$.
$(i)$ શક્ય સરવાળા બે પાસાઓ પરના અંકોનો સરવાળો કરીને મેળવી શકાય છે:
$0+0=0, 0+1=1, 0+6=6, 1+1=2, 1+6=7, 6+6=12$.
આમ,શક્ય અલગ-અલગ સ્કોર ${0, 1, 2, 6, 7, 12}$ છે. કુલ $6$ શક્ય સ્કોર છે.
$(ii)$ ધારો કે $E$ એ $7$ નો સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે.
જે જોડીઓ $(d_1, d_2)$ નો સરવાળો $7$ થાય છે તે નીચે મુજબ છે:
$(1, 6)$ એ $3 \times 2 = 6$ વખત મળે છે.
$(6, 1)$ એ $2 \times 3 = 6$ વખત મળે છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 6 + 6 = 12$.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(N/A) આપેલ છે,મોબાઈલ ફોનની કુલ સંખ્યા $n(S) = 48$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_{1}$ એ ઘટના છે કે વર્ણિકા મોબાઈલ ફોન ખરીદશે.
વર્ણિકા ત્યારે જ ખરીદે છે જો તે સારો મોબાઈલ હોય.
તેથી,$n(E_{1}) = 42$.
$P(E_{1}) = \frac{n(E_{1})}{n(S)} = \frac{42}{48} = \frac{7}{8}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_{2}$ એ ઘટના છે કે વેપારી મોબાઈલ ફોન ખરીદશે.
વેપારી ત્યારે જ ખરીદશે જો તેમાં કોઈ મોટી ખામી ન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે વેપારી $42$ સારા ફોન અને $3$ સામાન્ય ખામીવાળા ફોન ખરીદશે.
તેથી,$n(E_{2}) = 42 + 3 = 45$.
$P(E_{2}) = \frac{n(E_{2})}{n(S)} = \frac{45}{48} = \frac{15}{16}$.

(A) આપેલ છે કે,થેલીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 24$ છે.
લાલ દડાની સંખ્યા $= x$,સફેદ દડાની સંખ્યા $= 2x$ અને વાદળી દડાની સંખ્યા $= 3x$ છે.
શરત મુજબ,$x + 2x + 3x = 24$.
$6x = 24$,તેથી $x = 4$.
તેથી,લાલ દડાની સંખ્યા $= 4$,સફેદ દડાની સંખ્યા $= 2 \times 4 = 8$ અને વાદળી દડાની સંખ્યા $= 3 \times 4 = 12$ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 24$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ લાલ ન હોય તેવો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે. એટલે કે,દડો સફેદ અથવા વાદળી હોઈ શકે છે.
$n(E_1) = \text{સફેદ દડાની સંખ્યા} + \text{વાદળી દડાની સંખ્યા} = 8 + 12 = 20$.
જરૂરી સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$.
$(ii)$ ધારો કે $E_2$ એ સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$n(E_2) = \text{સફેદ દડાની સંખ્યા} = 8$.
જરૂરી સંભાવના $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

(A) બોક્સમાં કાર્ડની કુલ સંખ્યા $n(S) = 1000$ છે.
$(i)$ ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ ખેલાડી ઇનામ જીતે છે. આ ત્યારે થાય છે જો ખેલાડી $500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા પસંદ કરે.
$1$ થી $1000$ વચ્ચેની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $1^2, 2^2, \dots, 31^2 = 961$ છે.
$500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $23^2=529, 24^2=576, 25^2=625, 26^2=676, 27^2=729, 28^2=784, 29^2=841, 30^2=900, 31^2=961$ છે.
આવા કુલ $9$ કાર્ડ છે.
તેથી, $n(E_1) = 9$.
પ્રથમ ખેલાડી જીતે તેની સંભાવના $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{9}{1000} = 0.009$ છે.
$(ii)$ જો પ્રથમ ખેલાડી જીતી ગયો હોય, તો એક કાર્ડ ($500$ થી મોટી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા) બોક્સમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.
બાકી રહેલા કાર્ડની સંખ્યા $n(S') = 1000 - 1 = 999$ છે.
$500$ થી મોટી બાકી રહેલી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓની સંખ્યા $n(E_2) = 9 - 1 = 8$ છે.
જો પ્રથમ ખેલાડી જીતી ગયો હોય, તો બીજા ખેલાડીના જીતવાની સંભાવના $P(E_2|E_1) = \frac{n(E_2)}{n(S')} = \frac{8}{999}$ છે.